Ungleichungen lösen und darstellen - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Ungleichungen lösen und darstellen ist ein zentrales Thema der Mathematik in Klasse 7-8. Du lernst, wie man Aussagen wie $x>3$, $x\le -2$ oder $2x-5\ge 9$ versteht, umformt, löst und auf der Zahlengerade darstellt. Eine Ungleichung beschreibt keinen exakten Gleichstand wie eine Gleichung, sondern einen Größenvergleich. Sie beantwortet Fragen wie: Welche Zahlen sind größer als eine bestimmte Zahl? Welche Werte erfüllen eine Bedingung? Ab wann ist ein Preis günstiger, ein Abstand zu groß oder ein Ergebnis mindestens ausreichend?

In diesem aiMOOC arbeitest Du mit der MediaWiki-Extension Math. Mathematische Ausdrücke werden deshalb in der Form <math>...</math> geschrieben. Beispiele sind $x<5$, $3x+2\ge 11$ oder $L=\{x\in \mathbb{Q}\mid x\le 4\}$. Die Darstellung mit der Math-Extension hilft Dir, mathematische Schreibweisen sauber zu lesen und selbst korrekt zu formulieren.

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Was ist eine Ungleichung?

Eine Ungleichung ist eine mathematische Aussage oder Aussageform, bei der zwei Terme durch ein Vergleichszeichen verbunden sind. Während eine Gleichung zwei Terme mit dem Gleichheitszeichen verbindet, verwendet eine Ungleichung Zeichen wie $<$, $\le$, $>$ oder $\ge$.

Die wichtigsten Vergleichszeichen

1. Kleinerzeichen: $x<5$ bedeutet: $x$ ist kleiner als $5$.
2. Kleinergleichzeichen: $x\le 5$ bedeutet: $x$ ist kleiner als $5$ oder gleich $5$.
3. Größerzeichen: $x>5$ bedeutet: $x$ ist größer als $5$.
4. Größergleichzeichen: $x\ge 5$ bedeutet: $x$ ist größer als $5$ oder gleich $5$.
5. Ungleichheitszeichen: $x\ne 5$ bedeutet: $x$ ist nicht gleich $5$.

Aussage, Aussageform und Lösungsmenge

Eine Ungleichung kann eine wahre oder falsche Aussage sein. Beispiel: $3<8$ ist wahr, $9<4$ ist falsch. Enthält die Ungleichung eine Variable, spricht man von einer Aussageform. Beispiel: $x+2<7$. Je nachdem, welche Zahl Du für $x$ einsetzt, ist die Aussage wahr oder falsch. Die Menge aller Zahlen, die eine Ungleichung wahr machen, heißt Lösungsmenge.

Beispiel: $x+2<7$

Ziehe auf beiden Seiten $2$ ab: $x+2-2<7-2$

Damit erhältst Du: $x<5$

Die Lösungsmenge ist also: $L=\{x\mid x<5\}$

Wenn der Grundbereich die ganzen Zahlen sind, dann gehören zum Beispiel $4$, $0$, $-3$ und $-100$ zur Lösungsmenge. Wenn der Grundbereich die rationalen Zahlen oder reellen Zahlen sind, gehören auch Zahlen wie $\mathrm{4,5}$, $-\mathrm{2,1}$ oder $\frac{1}{3}$ dazu.

Ungleichungen an der Zahlengerade darstellen

Die Zahlengerade hilft Dir, Ungleichungen sichtbar zu machen. Besonders wichtig ist dabei, ob der Randwert zur Lösungsmenge gehört oder nicht.

Offener und geschlossener Punkt

Bei einer Darstellung auf der Zahlengerade unterscheidet man:

1. Offener Punkt: Der Randwert gehört nicht zur Lösungsmenge. Das gilt bei $<$ und $>$. Beispiel: Bei $x<3$ ist $3$ selbst keine Lösung.
2. Geschlossener Punkt: Der Randwert gehört zur Lösungsmenge. Das gilt bei $\le$ und $\ge$. Beispiel: Bei $x\le 3$ ist $3$ selbst eine Lösung.
3. Pfeilrichtung: Der Pfeil zeigt, in welche Richtung die Lösungsmenge weitergeht. Bei $x>3$ zeigt der Pfeil nach rechts, bei $x<3$ nach links.

Beispiele zur Darstellung

$x<2$ bedeutet: Alle Zahlen links von $2$ sind Lösungen. Der Punkt bei $2$ ist offen.

$x\le 2$ bedeutet: Alle Zahlen links von $2$ und die Zahl $2$ selbst sind Lösungen. Der Punkt bei $2$ ist geschlossen.

$x>-1$ bedeutet: Alle Zahlen rechts von $-1$ sind Lösungen. Der Punkt bei $-1$ ist offen.

$x\ge -1$ bedeutet: Alle Zahlen rechts von $-1$ und die Zahl $-1$ selbst sind Lösungen. Der Punkt bei $-1$ ist geschlossen.

Ungleichungen lösen

Beim Lösen von Ungleichungen formst Du die Ungleichung so um, dass die Variable allein auf einer Seite steht. Das Ziel ist eine einfache Aussage wie $x<4$, $x\ge -2$ oder $x\le \frac{3}{2}$.

Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen

Viele Regeln kennst Du bereits vom Lösen von Gleichungen. Du darfst auf beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren. Du darfst beide Seiten mit derselben positiven Zahl multiplizieren oder durch dieselbe positive Zahl dividieren. Wichtig ist aber eine besondere Regel: Wenn Du beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl dividierst, dann dreht sich das Vergleichszeichen um.

Grundregeln mit Beispielen

1. Addition: Aus $x-4<6$ wird durch Addition von $4$ die Ungleichung $x<10$.
2. Subtraktion: Aus $x+7\ge 3$ wird durch Subtraktion von $7$ die Ungleichung $x\ge -4$.
3. Multiplikation mit positiver Zahl: Aus $\frac{x}{3}>2$ wird durch Multiplikation mit $3$ die Ungleichung $x>6$.
4. Division durch positive Zahl: Aus $5x\le 20$ wird durch Division durch $5$ die Ungleichung $x\le 4$.
5. Multiplikation mit negativer Zahl: Aus $-x<5$ wird durch Multiplikation mit $-1$ die Ungleichung $x>-5$.
6. Division durch negative Zahl: Aus $-2x\ge 8$ wird durch Division durch $-2$ die Ungleichung $x\le -4$.

Die Umkehrregel

Die wichtigste Sonderregel beim Lösen von Ungleichungen lautet:

Multiplizierst oder dividierst Du beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl, kehrt sich das Vergleichszeichen um.

Beispiele: $-3x<12$

Teile durch $-3$. Weil $-3$ negativ ist, wird aus $<$ ein $>$: $x>-4$

Noch ein Beispiel: $-5x\ge 20$

Teile durch $-5$. Weil $-5$ negativ ist, wird aus $\ge$ ein $\le$: $x\le -4$

Warum dreht sich das Zeichen um?

Die Umkehrregel ist logisch, wenn Du einfache Zahlen betrachtest. Die wahre Aussage $2<5$ bleibt wahr, wenn Du auf beiden Seiten $3$ addierst: $5<8$. Multiplizierst Du aber beide Seiten mit $-1$, erhältst Du $-2$ und $-5$. Auf der Zahlengerade liegt $-2$ rechts von $-5$. Deshalb ist nicht $-2<-5$ wahr, sondern $-2>-5$. Das Zeichen muss sich also umdrehen.

Schritt-für-Schritt-Methode

Eine lineare Ungleichung kannst Du meist mit einem festen Verfahren lösen. Dieses Verfahren hilft Dir, Fehler zu vermeiden.

Vorgehen beim Lösen

1. Klammer auflösen: Falls Klammern vorkommen, löse sie mit dem Distributivgesetz auf.
2. Terme zusammenfassen: Fasse gleichartige Terme auf jeder Seite zusammen.
3. Variable sammeln: Bringe alle Terme mit der Variable auf eine Seite.
4. Zahlen sammeln: Bringe alle Zahlen ohne Variable auf die andere Seite.
5. Koeffizient entfernen: Dividiere oder multipliziere so, dass die Variable allein steht.
6. Vergleichszeichen prüfen: Achte besonders darauf, ob Du durch eine negative Zahl geteilt oder mit einer negativen Zahl multipliziert hast.
7. Lösungsmenge notieren: Schreibe das Ergebnis als Ungleichung, Lösungsmenge oder Darstellung auf der Zahlengerade.
8. Probe durchführen: Setze eine Zahl aus der Lösungsmenge und eine Zahl außerhalb der Lösungsmenge ein.

Beispiel 1: Einfache lineare Ungleichung

Löse: $3x+4<16$

Subtrahiere $4$: $3x<12$

Dividiere durch $3$: $x<4$

Lösungsmenge: $L=\{x\mid x<4\}$

Darstellung: offener Punkt bei $4$, Pfeil nach links.

Beispiel 2: Variable auf beiden Seiten

Löse: $5x-3\ge 2x+9$

Subtrahiere $2x$: $3x-3\ge 9$

Addiere $3$: $3x\ge 12$

Dividiere durch $3$: $x\ge 4$

Lösungsmenge: $L=\{x\mid x\ge 4\}$

Darstellung: geschlossener Punkt bei $4$, Pfeil nach rechts.

Beispiel 3: Division durch eine negative Zahl

Löse: $-4x+7<19$

Subtrahiere $7$: $-4x<12$

Dividiere durch $-4$. Das Zeichen dreht sich um: $x>-3$

Lösungsmenge: $L=\{x\mid x>-3\}$

Darstellung: offener Punkt bei $-3$, Pfeil nach rechts.

Beispiel 4: Ungleichung mit Klammern

Löse: $2(x-3)\le x+5$

Klammer auflösen: $2x-6\le x+5$

Subtrahiere $x$: $x-6\le 5$

Addiere $6$: $x\le 11$

Lösungsmenge: $L=\{x\mid x\le 11\}$

Darstellung: geschlossener Punkt bei $11$, Pfeil nach links.

Lösungsmenge und Grundbereich

Die Lösungsmenge hängt davon ab, welche Zahlen Du erlaubst. Dieser erlaubte Zahlenbereich heißt Grundbereich oder Definitionsbereich. In Klasse 7-8 arbeitest Du häufig mit ganzen Zahlen, rationalen Zahlen oder reellen Zahlen.

Beispiel: $x<3$

Wenn $x\in \mathbb{Z}$ gilt, sind mögliche Lösungen: $\dots ,-2,-1,0,1,2$

Wenn $x\in \mathbb{Q}$ gilt, sind auch Brüche und Dezimalzahlen wie $\mathrm{2,5}$, $\frac{7}{3}$ oder $-\mathrm{1,25}$ erlaubt.

Wenn $x\in ℝ$ gilt, gehören alle reellen Zahlen kleiner als $3$ zur Lösungsmenge.

Darstellung als Intervall

In höheren Klassen wird eine Lösungsmenge oft als Intervall geschrieben. Auch in Klasse 7-8 kann diese Schreibweise hilfreich sein.

1. $x<3$ entspricht $L=(-\mathrm{\infty },3)$.
2. $x\le 3$ entspricht $L=(-\mathrm{\infty },3]$.
3. $x>3$ entspricht $L=(3,\mathrm{\infty })$.
4. $x\ge 3$ entspricht $L=[3,\mathrm{\infty })$.
5. $-2<x\le 5$ entspricht $L=(-2,5]$.

Bei einem runden Klammerzeichen gehört der Randwert nicht dazu. Bei einem eckigen Klammerzeichen gehört der Randwert dazu. Das Symbol $\mathrm{\infty }$ steht für Unendlichkeit und ist keine Zahl. Deshalb steht bei $\mathrm{\infty }$ immer eine runde Klammer.

Doppelte Ungleichungen

Eine doppelte Ungleichung beschreibt einen Bereich zwischen zwei Grenzen. Beispiel: $2<x\le 7$

Das bedeutet: $x$ ist größer als $2$ und zugleich kleiner oder gleich $7$. Auf der Zahlengerade liegt die Lösungsmenge zwischen $2$ und $7$. Bei $2$ wird ein offener Punkt gezeichnet, bei $7$ ein geschlossener Punkt.

Du kannst auch doppelte Ungleichungen umformen. Dabei musst Du dieselbe Umformung auf alle drei Teile anwenden.

Beispiel: $1<x+3\le 8$

Subtrahiere überall $3$: $-2<x\le 5$

Lösungsmenge: $L=\{x\mid -2<x\le 5\}$

Häufige Fehler und wie Du sie vermeidest

1. Vorzeichenfehler: Prüfe bei jeder Multiplikation oder Division, ob die Zahl negativ ist.
2. Vergleichszeichen vergessen: Schreibe das Zeichen in jedem Umformungsschritt sauber mit.
3. Randwert falsch markiert: Bei $<$ und $>$ ist der Punkt offen, bei $\le$ und $\ge$ geschlossen.
4. Grundbereich übersehen: Die Lösungsmenge sieht anders aus, wenn nur ganze Zahlen erlaubt sind.
5. Probe ausgelassen: Eine Probe mit einer passenden und einer unpassenden Zahl entdeckt viele Fehler.
6. Klammern falsch aufgelöst: Nutze das Distributivgesetz sorgfältig, besonders bei negativen Faktoren.

Sachaufgaben mit Ungleichungen

Ungleichungen sind nicht nur Rechenaufgaben. Sie helfen Dir, reale Bedingungen mathematisch zu beschreiben. Oft kommen Wörter wie höchstens, mindestens, mehr als, weniger als, unter, über oder nicht mehr als vor.

Sprachliche Hinweise

1. Mindestens: Bedeutet $\ge$. Beispiel: Mindestens $12$ Punkte heißt $x\ge 12$.
2. Höchstens: Bedeutet $\le$. Beispiel: Höchstens $20$ Euro heißt $x\le 20$.
3. Mehr als: Bedeutet $>$. Beispiel: Mehr als $5$ Kilometer heißt $x>5$.
4. Weniger als: Bedeutet $<$. Beispiel: Weniger als $10$ Minuten heißt $x<10$.
5. Nicht weniger als: Bedeutet $\ge$.
6. Nicht mehr als: Bedeutet $\le$.

Beispiel einer Sachaufgabe

Ein Kino verlangt $6$ Euro Eintritt. Du hast höchstens $30$ Euro zur Verfügung. Wie viele Eintrittskarten $x$ kannst Du kaufen?

Mathematischer Ansatz: $6x\le 30$

Division durch $6$: $x\le 5$

Da Eintrittskarten nur als ganze Stückzahl gekauft werden können, gilt: $x\in \{0,1,2,3,4,5\}$

Du kannst also höchstens $5$ Eintrittskarten kaufen.

Grafische Vertiefung

In höheren Klassen werden Ungleichungen auch in Koordinatensystemen dargestellt. Eine lineare Ungleichung mit zwei Variablen beschreibt dann häufig eine Halbebene. Für Klasse 7-8 ist vor allem die Zahlengerade wichtig, aber der folgende Ausblick zeigt Dir, dass Ungleichungen später noch breiter verwendet werden.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt eine Ungleichung? (Einen Größenvergleich zwischen zwei Termen) (!Immer den exakten Wert einer Variablen) (!Nur eine Rechnung mit Pluszeichen) (!Eine geometrische Figur)

Welche Bedeutung hat das Zeichen kleiner gleich? (Kleiner als oder gleich) (!Nur kleiner als) (!Nur größer als) (!Ungleich)

Welche Lösungsmenge passt zu x plus 2 kleiner 7? (x kleiner 5) (!x größer 5) (!x kleiner 9) (!x gleich 5)

Wann muss sich das Vergleichszeichen beim Lösen einer Ungleichung umdrehen? (Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl) (!Beim Addieren einer positiven Zahl) (!Beim Subtrahieren derselben Zahl auf beiden Seiten) (!Beim Abschreiben der Ungleichung)

Wie wird x kleiner 4 auf der Zahlengerade dargestellt? (Mit offenem Punkt bei 4 und Pfeil nach links) (!Mit geschlossenem Punkt bei 4 und Pfeil nach rechts) (!Mit offenem Punkt bei 4 und Pfeil nach rechts) (!Mit geschlossenem Punkt bei 4 und Pfeil nach links)

Wie wird x größer gleich minus 2 auf der Zahlengerade dargestellt? (Mit geschlossenem Punkt bei minus 2 und Pfeil nach rechts) (!Mit offenem Punkt bei minus 2 und Pfeil nach links) (!Mit geschlossenem Punkt bei minus 2 und Pfeil nach links) (!Mit offenem Punkt bei minus 2 und Pfeil nach rechts)

Welche Lösung erhält man aus minus 2x größer 8? (x kleiner minus 4) (!x größer minus 4) (!x größer 4) (!x kleiner 4)

Was bedeutet höchstens 12 in mathematischer Schreibweise? (x kleiner gleich 12) (!x größer gleich 12) (!x größer 12) (!x gleich 12)

Was gehört bei x kleiner gleich 3 zur Lösungsmenge? (Die Zahl 3) (!Nur Zahlen größer als 3) (!Keine negativen Zahlen) (!Nur die Zahl 3 und keine andere)

Warum ist eine Probe sinnvoll? (Sie hilft, Rechenfehler und Vorzeichenfehler zu entdecken) (!Sie ersetzt alle Umformungsschritte) (!Sie macht jede Ungleichung zu einer Gleichung) (!Sie verhindert, dass man eine Lösungsmenge angeben muss)

Memory

Kleinerzeichen	Randwert gehört nicht dazu
Kleinergleichzeichen	Randwert gehört dazu
Geschlossener Punkt	Lösung enthält die Grenze
Offener Punkt	Lösung enthält die Grenze nicht
Pfeil nach rechts	Größere Zahlen
Pfeil nach links	Kleinere Zahlen
Umkehrregel	Negative Multiplikation oder Division

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
x kleiner 5	Offener Punkt bei 5 und Pfeil nach links
x kleiner gleich 5	Geschlossener Punkt bei 5 und Pfeil nach links
x größer 5	Offener Punkt bei 5 und Pfeil nach rechts
x größer gleich 5	Geschlossener Punkt bei 5 und Pfeil nach rechts
minus 2x kleiner 10	Beim Teilen durch minus 2 dreht sich das Zeichen um
höchstens 8	kleiner gleich 8

...

Kreuzworträtsel

Zahlengerade	Worauf stellt man Lösungsbereiche mit Punkten und Pfeilen dar?
Intervall	Wie nennt man eine zusammenhängende Zahlenmenge zwischen Grenzen?
Umkehrregel	Welche Regel gilt beim Multiplizieren oder Dividieren mit negativen Zahlen?
Probe	Wie heißt das Einsetzen eines Wertes zur Kontrolle der Lösung?
Variable	Wie heißt ein Platzhalter für eine Zahl?
Lösungsmenge	Wie heißt die Menge aller Zahlen, die eine Ungleichung wahr machen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme mit einem . Eine Ungleichung mit einer Variablen ist eine . Alle Werte, die eine Ungleichung wahr machen, bilden die . Bei $x<4$ gehört die Zahl vier zur Lösungsmenge. Bei $x\le 4$ wird der Randpunkt auf der Zahlengerade gezeichnet. Bei $x>4$ zeigt der Pfeil nach . Beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl muss sich das Vergleichszeichen . Die Kontrolle einer Lösung durch Einsetzen nennt man . Das Wort höchstens wird meist mit dem Zeichen übersetzt. Das Wort mindestens wird meist mit dem Zeichen übersetzt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Vergleichszeichen: Sammle zehn Alltagssätze mit den Wörtern mehr als, weniger als, mindestens oder höchstens und übersetze sie in mathematische Ungleichungen.
2. Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von $-10$ bis $10$ und stelle vier Ungleichungen Deiner Wahl dar.
3. Randwert: Erkläre mit eigenen Worten den Unterschied zwischen einem offenen und einem geschlossenen Punkt.
4. Probe: Wähle drei einfache Ungleichungen und prüfe jeweils eine passende und eine unpassende Zahl durch Einsetzen.

Standard

1. Ungleichungen lösen: Erstelle ein Lernplakat mit den wichtigsten Umformungsregeln und jeweils einem Beispiel.
2. Sachaufgabe: Formuliere drei eigene Sachaufgaben, die mit Ungleichungen gelöst werden können, und gib die Lösungen an.
3. Fehleranalyse: Erfinde eine falsch gelöste Ungleichung, markiere den Fehler und korrigiere die Lösung Schritt für Schritt.
4. Intervall: Schreibe fünf Ungleichungen als Intervall und erkläre, welche Randwerte dazugehören.

Schwer

1. Doppelte Ungleichung: Entwickle eine Aufgabe mit einer doppelten Ungleichung aus einer Alltagssituation und stelle die Lösung auf der Zahlengerade dar.
2. Grundbereich: Vergleiche dieselbe Ungleichung für $x\in \mathbb{Z}$, $x\in \mathbb{Q}$ und $x\in ℝ$ und erkläre die Unterschiede.
3. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du die Umkehrregel anhand der Zahlengerade erklärst.
4. Mathematische Argumentation: Begründe schriftlich, warum sich beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl das Vergleichszeichen umdrehen muss.

Lernkontrolle

1. Transferaufgabe: Ein Schwimmbad verlangt eine Grundgebühr und zusätzlich einen Betrag pro Stunde. Entwickle selbst passende Zahlen, formuliere eine Ungleichung für ein begrenztes Budget und interpretiere die Lösung im Sachzusammenhang.
2. Darstellungswechsel: Übersetze eine vorgegebene Zahlengeraden-Darstellung in eine Ungleichung, eine Intervallschreibweise und einen erklärenden Satz.
3. Fehler begründen: Eine Schülerin löst $-3x<12$ zu $x<-4$. Erkläre, warum das falsch ist, und korrigiere den Lösungsweg.
4. Vergleich von Grundbereichen: Erkläre anhand eines Beispiels, warum die Lösungsmenge einer Ungleichung davon abhängt, ob nur ganze Zahlen oder alle rationalen Zahlen erlaubt sind.
5. Sachkontext prüfen: Beurteile, ob die Lösung $x<\mathrm{6,5}$ in einer Aufgabe über die Anzahl von Eintrittskarten sinnvoll direkt übernommen werden kann oder ob sie angepasst werden muss.
6. Mathematisches Modellieren: Beschreibe eine reale Situation mit zwei Bedingungen gleichzeitig, formuliere daraus eine doppelte Ungleichung und stelle die Lösungsmenge dar.

Lernnachweis

1. Rechenweg dokumentieren: Löse mindestens vier lineare Ungleichungen mit vollständigen Umformungsschritten und markiere alle Stellen, an denen das Vergleichszeichen überprüft werden muss.
2. Zahlengerade anwenden: Stelle die vier Lösungsbereiche korrekt auf Zahlengeraden dar und unterscheide offene und geschlossene Randpunkte.
3. Sprache übersetzen: Übersetze mindestens sechs Alltagssätze in mathematische Ungleichungen und erkläre Deine Wahl des Vergleichszeichens.
4. Reflexion: Schreibe eine kurze Erklärung, welche Fehler beim Lösen von Ungleichungen besonders häufig passieren und wie Du sie vermeidest.
5. Eigenes Beispiel: Erfinde eine Sachaufgabe, die zu einer Ungleichung führt, löse sie und interpretiere die Lösung im Kontext.

Links

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Zusammenfassung

Ungleichungen beschreiben Größenvergleiche und werden mit Zeichen wie $<$, $\le$, $>$ und $\ge$ formuliert. Beim Lösen einer linearen Ungleichung formst Du so lange äquivalent um, bis die Variable allein steht. Die wichtigste Besonderheit ist die Umkehrregel: Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl dreht sich das Vergleichszeichen um. Die Lösung kannst Du als Ungleichung, als Lösungsmenge, als Intervall oder auf der Zahlengerade darstellen. Offene Punkte zeigen, dass ein Randwert nicht dazugehört; geschlossene Punkte zeigen, dass er dazugehört. In Sachaufgaben helfen Dir Schlüsselwörter wie mindestens, höchstens, mehr als und weniger als, die passende Ungleichung zu finden.