Rechnen mit rationalen Zahlen - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Rechnen mit rationalen Zahlen bedeutet, mit positiven und negativen rationalen Zahlen sicher zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren. Rationale Zahlen können als Brüche, Dezimalzahlen oder ganze Zahlen auftreten. Deshalb ist es wichtig, Rechenregeln nicht nur auswendig zu kennen, sondern ihre Bedeutung zu verstehen.

Die Menge der rationalen Zahlen wird mit $\mathbb{Q}$ bezeichnet. Für rationale Zahlen gilt: Sie können in der Form $\frac{a}{b}$ mit $a\in \mathbb{Z}$, $b\in \mathbb{Z}$ und $b\ne 0$ dargestellt werden. Beim Rechnen mit rationalen Zahlen verbindest Du die Regeln der Vorzeichenregeln, der Bruchrechnung und der Rechengesetze.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du rationale Zahlen in verschiedenen Schreibweisen berechnen, Rechenregeln begründen und Fehler in Rechnungen erkennen. Du übst den sicheren Umgang mit Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Klammerrechnung, Punktrechnung vor Strichrechnung und Vorzeichenregeln.

Grundlagen

Rationale Zahlen als Rechenbereich

Rationale Zahlen bilden einen Rechenbereich, in dem die vier Grundrechenarten meistens wie gewohnt ausgeführt werden können. Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren sind immer möglich. Dividieren ist möglich, wenn nicht durch $0$ geteilt wird.

Das bedeutet:

1. Für $a,b\in \mathbb{Q}$ gilt $a+b\in \mathbb{Q}$.
2. Für $a,b\in \mathbb{Q}$ gilt $a-b\in \mathbb{Q}$.
3. Für $a,b\in \mathbb{Q}$ gilt $a\cdot b\in \mathbb{Q}$.
4. Für $a,b\in \mathbb{Q}$ und $b\ne 0$ gilt $a:b\in \mathbb{Q}$.

Diese Eigenschaft nennt man in der Mathematik Abgeschlossenheit gegenüber den Rechenarten. Sie bedeutet: Wenn Du mit rationalen Zahlen rechnest, bleibt das Ergebnis wieder rational.

Schreibweise wechseln

Beim Rechnen mit rationalen Zahlen ist es oft sinnvoll, die Schreibweise zu wechseln. Brüche sind bei exakten Rechnungen besonders gut geeignet. Dezimalzahlen sind oft übersichtlich, wenn sie endlich sind. Ganze Zahlen lassen sich als Brüche mit dem Nenner $1$ schreiben.

Beispiele:

$3=\frac{3}{1}$

$-\mathrm{0,75}=-\frac{75}{100}=-\frac{3}{4}$

$\mathrm{1,2}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$

$\mathrm{0,}\bar{3}=\frac{1}{3}$

Eine gute Strategie lautet: Wähle die Schreibweise, in der die Rechnung am einfachsten und sichersten ist.

Vorzeichenregeln

Positive und negative Zahlen

Beim Rechnen mit rationalen Zahlen musst Du immer auf das Vorzeichen achten. Eine positive Zahl liegt auf der Zahlengeraden rechts von $0$, eine negative Zahl links von $0$. Die Zahl $0$ ist weder positiv noch negativ.

Vorzeichen bei Addition und Subtraktion

Bei der Addition und Subtraktion rationaler Zahlen kannst Du Dir die Zahlengerade vorstellen. Addieren einer positiven Zahl bedeutet eine Bewegung nach rechts. Addieren einer negativen Zahl bedeutet eine Bewegung nach links.

Beispiele:

$3+2=5$

$3+(-2)=1$

$-3+2=-1$

$-3+(-2)=-5$

Die Subtraktion einer Zahl kann als Addition der Gegenzahl verstanden werden:

$a-b=a+(-b)$

Beispiele:

$5-8=5+(-8)=-3$

$-4-3=-4+(-3)=-7$

$-4-(-3)=-4+3=-1$

Vorzeichen bei Multiplikation und Division

Bei Multiplikation und Division gelten klare Vorzeichenregeln:

1. Gleiches Vorzeichen ergibt ein positives Ergebnis.
2. Verschiedenes Vorzeichen ergibt ein negatives Ergebnis.

Beispiele:

$(+3)\cdot (+4)=+12$

$(-3)\cdot (-4)=+12$

$(-3)\cdot (+4)=-12$

$(+3)\cdot (-4)=-12$

Bei der Division gilt entsprechend:

$(-12):(+3)=-4$

$(-12):(-3)=+4$

Wichtig: Durch $0$ darf niemals dividiert werden.

Addition rationaler Zahlen

Addition von Brüchen mit gleichem Nenner

Brüche mit gleichem Nenner werden addiert, indem Du die Zähler addierst und den Nenner beibehältst:

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$

Beispiel:

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$

Mit negativen Zahlen:

$-\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{1}{7}$

Addition von Brüchen mit verschiedenen Nennern

Brüche mit verschiedenen Nennern müssen zuerst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Danach kannst Du die Zähler addieren.

Beispiel:

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$

Gemeinsamer Nenner ist $12$:

$\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$

$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$

Also:

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

Addition mit Dezimalzahlen

Endliche Dezimalzahlen kannst Du stellenweise addieren. Achte darauf, die Kommas untereinander zu schreiben.

Beispiel:

$-\mathrm{2,5}+\mathrm{1,75}=-\mathrm{0,75}$

Du kannst auch in Brüche umwandeln:

$-\mathrm{2,5}=-\frac{5}{2}$

$\mathrm{1,75}=\frac{7}{4}$

$-\frac{5}{2}+\frac{7}{4}=-\frac{10}{4}+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$

Subtraktion rationaler Zahlen

Subtraktion als Addition der Gegenzahl

Die wichtigste Regel lautet:

$a-b=a+(-b)$

Das bedeutet: Subtrahieren heißt, die Gegenzahl zu addieren.

Beispiele:

$7-10=7+(-10)=-3$

$-5-4=-5+(-4)=-9$

$-5-(-4)=-5+4=-1$

Subtraktion von Brüchen

Bei Brüchen funktioniert die Subtraktion ähnlich wie die Addition: Zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dann die Zähler subtrahieren.

Beispiel:

$\frac{5}{6}-\frac{1}{4}$

Gemeinsamer Nenner ist $12$:

$\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$

$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$

Also:

$\frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

Mit negativen Zahlen:

$-\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=-\frac{4}{6}-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$

Multiplikation rationaler Zahlen

Multiplikation von Brüchen

Brüche werden multipliziert, indem Du Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizierst:

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

Beispiel:

$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{10}{21}$

Mit Vorzeichen:

$-\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=-\frac{10}{21}$

$-\frac{2}{3}\cdot -\frac{5}{7}=+\frac{10}{21}$

Kürzen vor dem Multiplizieren

Beim Multiplizieren von Brüchen kannst Du vor dem Ausrechnen kürzen. Das macht die Rechnung einfacher.

Beispiel:

$\frac{6}{15}\cdot \frac{10}{9}$

Du kannst $6$ mit $9$ kürzen und $10$ mit $15$ kürzen:

$\frac{6}{15}\cdot \frac{10}{9}=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{9}$

Wichtig ist: Kürzen bedeutet, Zähler und Nenner durch denselben Faktor zu teilen. Beim Multiplizieren darf auch über Kreuz gekürzt werden.

Multiplikation mit Dezimalzahlen

Endliche Dezimalzahlen kannst Du direkt multiplizieren oder zuerst in Brüche umwandeln.

Beispiel:

$-\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{2,5}$

Als Brüche:

$-\mathrm{0,4}=-\frac{2}{5}$

$\mathrm{2,5}=\frac{5}{2}$

$-\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{2}=-1$

Division rationaler Zahlen

Division durch einen Bruch

Durch einen Bruch zu dividieren bedeutet, mit seinem Kehrwert zu multiplizieren:

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$ mit $c\ne 0$ und $d\ne 0$.

Beispiel:

$\frac{3}{5}:\frac{2}{7}=\frac{3}{5}\cdot \frac{7}{2}=\frac{21}{10}$

Mit Vorzeichen:

$-\frac{3}{5}:\frac{2}{7}=-\frac{21}{10}$

$-\frac{3}{5}:-\frac{2}{7}=+\frac{21}{10}$

Division durch Dezimalzahlen

Bei Dezimalzahlen kannst Du häufig in Brüche umwandeln oder das Komma verschieben.

Beispiel:

$\mathrm{1,2}:\mathrm{0,3}$

Als Brüche:

$\mathrm{1,2}=\frac{12}{10}$

$\mathrm{0,3}=\frac{3}{10}$

$\frac{12}{10}:\frac{3}{10}=\frac{12}{10}\cdot \frac{10}{3}=4$

Division durch null

Die Division durch $0$ ist nicht definiert. Deshalb sind Ausdrücke wie $5:0$ oder $\frac{3}{0}$ nicht erlaubt. Beim Rechnen mit rationalen Zahlen musst Du deshalb immer prüfen, ob ein Nenner oder Divisor $0$ ist.

Rechenreihenfolge

Punktrechnung vor Strichrechnung

Beim Rechnen mit rationalen Zahlen gilt die bekannte Reihenfolge:

1. Klammern zuerst
2. Potenzen vor Punktrechnung
3. Punktrechnung vor Strichrechnung
4. Von links nach rechts, wenn Rechenarten gleichrangig sind

Für diesen aiMOOC sind besonders wichtig: Klammerrechnung und Punktrechnung vor Strichrechnung.

Beispiel:

$-3+2\cdot \frac{5}{2}$

Zuerst die Multiplikation:

$2\cdot \frac{5}{2}=5$

Dann die Addition:

$-3+5=2$

Klammern beachten

Klammern verändern die Reihenfolge der Rechnung. Alles in der Klammer wird zuerst berechnet.

Beispiel:

$(-3+2)\cdot \frac{5}{2}$

Zuerst die Klammer:

$-3+2=-1$

Dann die Multiplikation:

$-1\cdot \frac{5}{2}=-\frac{5}{2}$

Das Ergebnis unterscheidet sich deutlich vom vorherigen Beispiel. Deshalb sind Klammern sehr wichtig.

Rechengesetze

Kommutativgesetz

Bei Addition und Multiplikation darfst Du die Reihenfolge vertauschen:

$a+b=b+a$

$a\cdot b=b\cdot a$

Beispiel:

$-\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}$

Assoziativgesetz

Bei Addition und Multiplikation darfst Du Klammern anders setzen:

$(a+b)+c=a+(b+c)$

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Das hilft, Rechnungen geschickt zu ordnen.

Distributivgesetz

Das Distributivgesetz verbindet Multiplikation mit Addition oder Subtraktion:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Beispiel:

$3\cdot (\frac{1}{3}+\frac{2}{3})=3\cdot 1=3$

Oder verteilt:

$3\cdot \frac{1}{3}+3\cdot \frac{2}{3}=1+2=3$

Strategien für sichere Rechnungen

1. Vorzeichen prüfen: Bestimme zuerst, ob das Ergebnis positiv oder negativ sein wird.
2. Schreibweise wählen: Entscheide, ob Bruchschreibweise oder Dezimalschreibweise einfacher ist.
3. Gemeinsamer Nenner: Bei Addition und Subtraktion von Brüchen brauchst Du meistens einen gemeinsamen Nenner.
4. Kehrwert bilden: Bei Division durch einen Bruch multiplizierst Du mit dem Kehrwert.
5. Kürzen: Kürze Brüche, besonders vor dem Multiplizieren.
6. Probe machen: Prüfe Dein Ergebnis durch Überschlag, Rückrechnung oder Vergleich mit der Zahlengeraden.

Beispiele mit vollständigen Lösungswegen

Beispiel 1: Addition

Berechne:

$-\frac{3}{4}+\frac{5}{6}$

Gemeinsamer Nenner ist $12$:

$-\frac{3}{4}=-\frac{9}{12}$

$\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$

$-\frac{9}{12}+\frac{10}{12}=\frac{1}{12}$

Ergebnis:

$\frac{1}{12}$

Beispiel 2: Subtraktion

Berechne:

$-\mathrm{1,5}-\mathrm{0,75}$

Als Brüche:

$-\mathrm{1,5}=-\frac{3}{2}$

$\mathrm{0,75}=\frac{3}{4}$

$-\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=-\frac{6}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}$

Ergebnis:

$-\frac{9}{4}=-\mathrm{2,25}$

Beispiel 3: Multiplikation

Berechne:

$-\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{15}$

Vorzeichen: verschieden, also negativ. Kürzen:

$\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$

$\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

Also:

$-\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{15}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$

Beispiel 4: Division

Berechne:

$\frac{7}{9}:(-\frac{14}{3})$

Division durch einen Bruch heißt Multiplikation mit dem Kehrwert:

$\frac{7}{9}\cdot (-\frac{3}{14})$

Kürzen:

$\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$

$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$

Ergebnis:

$-\frac{1}{6}$

Beispiel 5: Rechenreihenfolge

Berechne:

$-2+\frac{3}{4}\cdot (-8)$

Zuerst Punktrechnung:

$\frac{3}{4}\cdot (-8)=-6$

Dann Strichrechnung:

$-2+(-6)=-8$

Ergebnis:

$-8$

Typische Fehler

Fehler 1: Vorzeichen vergessen

Falsch:

$-3\cdot 4=12$

Richtig:

$-3\cdot 4=-12$

Bei verschiedenen Vorzeichen ist das Produkt negativ.

Fehler 2: Bei Addition Zähler und Nenner addieren

Falsch:

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{2}{7}$

Richtig:

$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$

Bei Addition und Subtraktion brauchst Du einen gemeinsamen Nenner.

Fehler 3: Division nicht mit Kehrwert gerechnet

Falsch:

$\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{5}$

Richtig:

$\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$

Fehler 4: Punktrechnung vor Strichrechnung missachtet

Falsch:

$-2+3\cdot 4=1\cdot 4=4$

Richtig:

$-2+3\cdot 4=-2+12=10$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist beim Addieren von Brüchen mit verschiedenen Nennern zuerst nötig? (Ein gemeinsamer Nenner) (!Ein gemeinsamer Zähler) (!Ein Kehrwert) (!Ein positives Vorzeichen)

Wie rechnet man eine Subtraktion um? (Man addiert die Gegenzahl) (!Man multipliziert mit null) (!Man vertauscht immer Zähler und Nenner) (!Man lässt das Minuszeichen weg)

Was ergibt ein Produkt aus zwei negativen rationalen Zahlen? (Ein positives Ergebnis) (!Ein negatives Ergebnis) (!Immer null) (!Immer eine ganze Zahl)

Was bedeutet Division durch einen Bruch? (Multiplikation mit dem Kehrwert) (!Addition mit dem Kehrwert) (!Subtraktion des Nenners) (!Multiplikation mit dem Zähler)

Welche Rechnung ist nicht erlaubt? (5 durch 0) (!0 durch 5) (!Minus 5 durch 1) (!3 durch minus 2)

Welche Regel gilt bei Punktrechnung vor Strichrechnung? (Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion) (!Addition immer zuerst) (!Subtraktion immer zuerst) (!Klammern werden ignoriert)

Was ist der Kehrwert von drei Viertel? (Vier Drittel) (!Drei Viertel) (!Minus drei Viertel) (!Sieben Viertel)

Was ist das Ergebnis von minus 2 mal minus 3? (6) (!-6) (!-5) (!0)

Welche Strategie hilft beim Multiplizieren von Brüchen? (Vor dem Multiplizieren kürzen) (!Nenner addieren) (!Kommas untereinander schreiben) (!Immer in Prozent umwandeln)

Was ist beim Rechnen mit Klammern wichtig? (Klammern zuerst berechnen) (!Klammern zuletzt berechnen) (!Klammern verändern nie das Ergebnis) (!Klammern nur bei positiven Zahlen beachten)

Memory

Addition von Brüchen	Gemeinsamer Nenner
Subtraktion	Addition der Gegenzahl
Multiplikation von Brüchen	Zähler mal Zähler
Division durch Bruch	Mal Kehrwert
Verschiedene Vorzeichen	Negatives Ergebnis
Gleiche Vorzeichen	Positives Ergebnis
Punktrechnung	Vor Strichrechnung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Addition	Gemeinsamen Nenner bilden
Subtraktion	Gegenzahl addieren
Multiplikation	Zähler und Nenner multiplizieren
Division	Mit Kehrwert multiplizieren
Klammer	Zuerst berechnen
Kürzen	Durch gleichen Faktor teilen
Vorzeichen	Ergebnisrichtung bestimmen

Kreuzworträtsel

Kehrwert	Womit multipliziert man bei der Division durch einen Bruch?
Nenner	Was muss bei der Addition von Brüchen oft gleich gemacht werden?
Klammer	Was wird vor Punktrechnung und Strichrechnung berechnet?
Kuerzen	Wie nennt man das Teilen von Zähler und Nenner durch denselben Faktor?
Produkt	Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
Summe	Wie heißt das Ergebnis einer Addition?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Addieren von Brüchen mit verschiedenen Nennern bildet man zuerst einen gemeinsamen . Eine Subtraktion kann als Addition der geschrieben werden. Beim Multiplizieren von Brüchen rechnet man Zähler mal . Beim Dividieren durch einen Bruch multipliziert man mit dem . Zwei negative Faktoren ergeben ein Produkt. Verschiedene Vorzeichen ergeben bei Multiplikation und Division ein Ergebnis. Bei einer Rechnung werden Klammern immer berechnet. Nach der Klammerregel gilt Punktrechnung vor . Durch die Zahl darf man nicht dividieren. Kürzen bedeutet, Zähler und Nenner durch denselben zu teilen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Vorzeichen trainieren: Erstelle zehn einfache Aufgaben zur Multiplikation mit positiven und negativen rationalen Zahlen und löse sie.
2. Zahlengerade nutzen: Zeichne drei Additionen rationaler Zahlen als Bewegungen auf der Zahlengeraden.
3. Brüche addieren: Rechne fünf Additionsaufgaben mit Brüchen und erkläre jeweils, welchen gemeinsamen Nenner Du gewählt hast.
4. Dezimalzahlen rechnen: Erfinde fünf Alltagssituationen mit positiven und negativen Dezimalzahlen und berechne die Ergebnisse.

Standard

1. Rechenregeln erklären: Schreibe zu jeder Grundrechenart mit rationalen Zahlen eine Regel, ein Beispiel und einen typischen Fehler.
2. Kehrwert anwenden: Erstelle acht Divisionsaufgaben mit Brüchen und löse sie mit dem Kehrwert.
3. Klammerrechnung üben: Entwickle sechs Aufgaben mit Klammern, Vorzeichen und Brüchen. Markiere die Rechenschritte farbig.
4. Fehler finden: Schreibe drei falsche Lösungen zu Aufgaben mit rationalen Zahlen und erkläre genau, wo der Fehler liegt.

Schwer

1. Rechenstrategie vergleichen: Löse dieselbe Aufgabe einmal mit Dezimalzahlen und einmal mit Brüchen. Vergleiche beide Wege.
2. Distributivgesetz anwenden: Erstelle ein Beispiel, bei dem Ausmultiplizieren die Rechnung erleichtert, und ein Beispiel, bei dem Ausklammern sinnvoll ist.
3. Mathe-Erklärvideo: Plane ein kurzes Erklärvideo zur Division rationaler Zahlen mit Bruch, Kehrwert und Vorzeichenregel.
4. Komplexe Rechenkette: Erfinde eine Rechenkette mit mindestens fünf rationalen Zahlen, zwei Klammern und allen vier Grundrechenarten. Löse sie vollständig.

Lernkontrolle

1. Strategie begründen: Erkläre, warum man bei der Addition von Brüchen einen gemeinsamen Nenner braucht, bei der Multiplikation aber nicht.
2. Vorzeichen transferieren: Beschreibe eine Alltagssituation, in der das Produkt zweier negativer Zahlen sinnvoll als positives Ergebnis interpretiert werden kann.
3. Fehleranalyse Rechenweg: Untersuche einen vorgegebenen fehlerhaften Rechenweg mit Brüchen und korrigiere ihn Schritt für Schritt.
4. Darstellungswechsel nutzen: Entscheide bei drei Aufgaben, ob Bruchschreibweise oder Dezimalschreibweise günstiger ist, und begründe Deine Wahl.
5. Rechenreihenfolge anwenden: Erkläre anhand einer Aufgabe mit Klammern, Punktrechnung und Strichrechnung, wie sich das Ergebnis verändert, wenn man die Reihenfolge missachtet.
6. Mathematische Begründung: Begründe, warum das Ergebnis einer Rechnung mit rationalen Zahlen wieder rational ist, solange nicht durch null geteilt wird.

Links

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Wichtige Rechenregeln

Grundrechenarten Addition rationaler Zahlen Subtraktion rationaler Zahlen Multiplikation rationaler Zahlen Division rationaler Zahlen Kürzen Erweitern