Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Der Flächeninhalt beschreibt, wie groß eine Fläche ist. Wenn Du zum Beispiel wissen möchtest, wie viel Teppichboden in ein Zimmer passt, wie groß ein Spielfeld ist oder wie viele Quadratzentimeter ein Heftumschlag bedeckt, brauchst Du den Flächeninhalt. In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du den Flächeninhalt von Rechtecken und Quadraten sicher berechnest, wie Du die passenden Formeln verwendest und wie Du typische Fehler vermeidest.

Ein Rechteck ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck: Es hat ebenfalls vier rechte Winkel, aber alle vier Seiten sind gleich lang. Deshalb kann man den Flächeninhalt eines Quadrats mit einer besonders einfachen Formel berechnen.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, was der Flächeninhalt bedeutet, den Flächeninhalt eines Rechtecks und eines Quadrats berechnen, passende Flächeneinheiten verwenden, zwischen Umfang und Flächeninhalt unterscheiden und einfache Sachaufgaben aus dem Alltag lösen.

Grundidee des Flächeninhalts

Der Flächeninhalt gibt an, wie viele gleich große Einheitsquadrate eine Fläche bedecken. Ein Einheitsquadrat kann zum Beispiel ein Quadrat mit der Seitenlänge $1\text{cm}$ sein. Dann hat dieses kleine Quadrat den Flächeninhalt $1{\text{cm}}^2$. Wenn ein Rechteck aus 24 solchen kleinen Quadraten besteht, beträgt sein Flächeninhalt $24{\text{cm}}^2$.

Die Einheit ist besonders wichtig: Längen misst man in mm, cm, m oder km. Flächen misst man dagegen in mm², cm², m² oder km². Das kleine hochgestellte $2$ zeigt, dass es um eine Fläche geht.

Das Rechteck

Ein Rechteck hat eine Länge und eine Breite. Häufig werden diese Seiten mit $a$ und $b$ bezeichnet. Der Flächeninhalt eines Rechtecks entsteht, wenn Du zählst, wie viele Kästchen in jeder Reihe liegen und wie viele Reihen es gibt. Statt alle Kästchen einzeln zu zählen, multiplizierst Du die Länge mit der Breite.

Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks

Für ein Rechteck gilt:

$A=a\cdot b$

Dabei bedeutet $A$ der Flächeninhalt, $a$ die Länge und $b$ die Breite. Wenn ein Rechteck $8\text{cm}$ lang und $5\text{cm}$ breit ist, rechnest Du:

$A=8\text{cm}\cdot 5\text{cm}=40{\text{cm}}^2$

Der Flächeninhalt beträgt also $40{\text{cm}}^2$.

Warum wird multipliziert?

Ein Rechteck mit $8$ Kästchen in jeder Reihe und $5$ Reihen enthält insgesamt $8\cdot 5=40$ Kästchen. Die Multiplikation ist also eine schnelle Form des wiederholten Addierens:

$8+8+8+8+8=5\cdot 8=40$

So wird aus dem Zählen von Kästchen eine kurze Rechnung.

Das Quadrat

Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck. Alle vier Seiten sind gleich lang. Deshalb brauchst Du für den Flächeninhalt eines Quadrats nur eine Seitenlänge. Diese Seitenlänge wird oft mit $a$ bezeichnet.

Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats

Für ein Quadrat gilt:

$A=a\cdot a$

Das kann man auch so schreiben:

$A=a^2$

Wenn ein Quadrat die Seitenlänge $6\text{cm}$ hat, rechnest Du:

$A=6\text{cm}\cdot 6\text{cm}=36{\text{cm}}^2$

Der Flächeninhalt beträgt also $36{\text{cm}}^2$.

Rechteck und Quadrat vergleichen

Ein Quadrat ist immer auch ein Rechteck, weil es vier rechte Winkel besitzt. Aber nicht jedes Rechteck ist ein Quadrat, denn bei einem Rechteck müssen nicht alle Seiten gleich lang sein. Für beide Figuren gilt: Der Flächeninhalt entsteht durch das Multiplizieren zweier Seitenlängen. Beim Rechteck sind es Länge und Breite, beim Quadrat ist es dieselbe Seitenlänge zweimal.

Figur	Eigenschaften	Formel für den Flächeninhalt
Rechteck	Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang, alle Winkel sind rechte Winkel	$A=a\cdot b$
Quadrat	Alle vier Seiten sind gleich lang, alle Winkel sind rechte Winkel	$A=a^2$

Flächeneinheiten richtig verwenden

Beim Berechnen des Flächeninhalts musst Du darauf achten, dass beide Seitenlängen in derselben Einheit stehen. Wenn eine Seite in m und die andere in cm angegeben ist, musst Du zuerst umrechnen. Erst danach darfst Du multiplizieren.

Beispiel: Ein Rechteck ist $2\text{m}$ lang und $50\text{cm}$ breit. Zuerst wandelst Du $2\text{m}$ in $200\text{cm}$ um:

$A=200\text{cm}\cdot 50\text{cm}=10000{\text{cm}}^2$

Du kannst auch $50\text{cm}$ in $\mathrm{0,5}\text{m}$ umwandeln:

$A=2\text{m}\cdot \mathrm{0,5}\text{m}=1{\text{m}}^2$

Beide Ergebnisse beschreiben dieselbe Fläche, denn $1{\text{m}}^2=10000{\text{cm}}^2$.

Unterschied zwischen Umfang und Flächeninhalt

Der Umfang beschreibt die Länge des Randes einer Figur. Der Flächeninhalt beschreibt dagegen, wie groß die Fläche im Inneren der Figur ist. Das ist ein häufiger Fehler: Wer einen Zaun um ein rechteckiges Grundstück bauen möchte, braucht den Umfang. Wer Rasen auf dem Grundstück säen möchte, braucht den Flächeninhalt.

Für ein Rechteck gilt beim Umfang:

$U=2\cdot a+2\cdot b$

Für den Flächeninhalt gilt dagegen:

$A=a\cdot b$

Die Rechenarten zeigen den Unterschied deutlich: Beim Umfang addierst Du Seitenlängen, beim Flächeninhalt multiplizierst Du Seitenlängen.

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Sachaufgaben lösen

Bei Sachaufgaben hilft ein klares Vorgehen. Lies zuerst genau, was gesucht ist. Dann markierst Du die gegebenen Längen und überprüfst die Einheiten. Anschließend wählst Du die passende Formel und rechnest Schritt für Schritt.

Beispiel: Ein rechteckiger Garten ist $12\text{m}$ lang und $7\text{m}$ breit. Wie groß ist die Rasenfläche?

$A=a\cdot b$

$A=12\text{m}\cdot 7\text{m}=84{\text{m}}^2$

Die Rasenfläche ist $84{\text{m}}^2$ groß.

Formel umstellen

Manchmal ist nicht der Flächeninhalt gesucht, sondern eine fehlende Seitenlänge. Dann kannst Du die Formel umstellen. Wenn beim Rechteck $A=a\cdot b$ gilt, kannst Du eine fehlende Seite berechnen, indem Du durch die bekannte Seite teilst.

Wenn $A=48{\text{cm}}^2$ und $a=8\text{cm}$ gegeben sind, rechnest Du:

$b=\frac{A}{a}$

$b=\frac{48{\text{cm}}^2}{8\text{cm}}=6\text{cm}$

Die fehlende Breite beträgt $6\text{cm}$.

Typische Fehler vermeiden

1. Einheiten: Prüfe vor dem Rechnen, ob beide Seitenlängen in derselben Einheit angegeben sind.
2. Quadratzahlen: Beim Quadrat bedeutet $a^2$, dass Du $a$ mit sich selbst multiplizierst.
3. Umfang: Verwechsle den Umfang nicht mit dem Flächeninhalt.
4. Antwortsatz: Schreibe am Ende einer Sachaufgabe einen vollständigen Antwortsatz.
5. Plausibilität: Überlege, ob Dein Ergebnis realistisch ist. Ein Klassenzimmer hat eher viele Quadratmeter und nicht nur wenige Quadratzentimeter.

Merksätze

1. Flächeninhalt: Der Flächeninhalt gibt an, wie groß eine Fläche ist.
2. Rechteck: Beim Rechteck gilt $A=a\cdot b$.
3. Quadrat: Beim Quadrat gilt $A=a^2$.
4. Flächeneinheit: Flächen werden in Einheiten wie ${\text{cm}}^2$ oder ${\text{m}}^2$ angegeben.
5. Sachaufgabe: Bei Sachaufgaben musst Du zuerst klären, ob der Umfang oder der Flächeninhalt gesucht ist.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Flächeninhalt? (Wie groß eine Fläche ist) (!Wie lang der Rand einer Figur ist) (!Wie schwer eine Figur ist) (!Wie viele Ecken eine Figur hat)

Welche Formel berechnet den Flächeninhalt eines Rechtecks? (A gleich a mal b) (!A gleich a plus b) (!A gleich zwei mal a plus zwei mal b) (!A gleich a geteilt durch b)

Welche Formel berechnet den Flächeninhalt eines Quadrats? (A gleich a mal a) (!A gleich vier mal a) (!A gleich a plus a) (!A gleich zwei mal a)

Welche Einheit passt zu einem Flächeninhalt? (Quadratzentimeter) (!Zentimeter) (!Kilogramm) (!Liter)

Ein Rechteck ist 9 cm lang und 4 cm breit. Wie groß ist sein Flächeninhalt? (36 Quadratzentimeter) (!13 Quadratzentimeter) (!26 Quadratzentimeter) (!18 Quadratzentimeter)

Ein Quadrat hat die Seitenlänge 7 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt? (49 Quadratzentimeter) (!14 Quadratzentimeter) (!28 Quadratzentimeter) (!21 Quadratzentimeter)

Was ist ein Quadrat im Vergleich zum Rechteck? (Ein besonderes Rechteck mit vier gleich langen Seiten) (!Ein Rechteck ohne rechte Winkel) (!Ein Dreieck mit vier Seiten) (!Ein Kreis mit Ecken)

Was musst Du tun, wenn zwei Seitenlängen in verschiedenen Einheiten angegeben sind? (Zuerst in dieselbe Einheit umrechnen) (!Sofort addieren) (!Die Einheiten weglassen) (!Immer durch vier teilen)

Wofür brauchst Du den Umfang eines rechteckigen Gartens? (Für die Länge eines Zauns um den Garten) (!Für die Menge Rasensamen auf der Fläche) (!Für die Anzahl der Quadratmeter im Garten) (!Für die Farbe der Blumen)

Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 30 Quadratzentimeter und ist 6 cm lang. Wie breit ist es? (5 cm) (!24 cm) (!36 cm) (!180 cm)

Memory

Rechteck	Länge mal Breite
Quadrat	Seitenlänge mal Seitenlänge
Flächeninhalt	Größe einer Fläche
Umfang	Länge des Randes
Quadratzentimeter	Flächeneinheit
Einheitsquadrat	Hilfsmittel zum Zählen von Fläche

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Rechteck	Flächeninhalt ist Länge mal Breite
Quadrat	Flächeninhalt ist Seitenlänge mal Seitenlänge
Umfang	Länge des Randes einer Figur
Flächeninhalt	Größe des Inneren einer Figur
Quadratzentimeter	Einheit für kleine Flächen
Quadratmeter	Einheit für größere Flächen

Kreuzworträtsel

Rechteck	Wie heißt ein Viereck mit vier rechten Winkeln?
Quadrat	Welche Figur hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel?
Flaeche	Was wird beim Flächeninhalt gemessen?
Laenge	Wie nennt man oft die längere Seite eines Rechtecks?
Breite	Wie nennt man oft die kürzere Seite eines Rechtecks?
Umfang	Wie heißt die Länge des Randes einer Figur?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Flächeninhalt beschreibt, wie groß eine ist. Beim Rechteck berechnest Du den Flächeninhalt mit der Formel . Beim Quadrat sind alle vier Seiten . Deshalb gilt beim Quadrat die Formel . Flächen werden nicht in Zentimetern, sondern zum Beispiel in angegeben. Wenn zwei Seitenlängen verschiedene Einheiten haben, musst Du sie vor dem Rechnen in dieselbe umwandeln. Der Umfang beschreibt den einer Figur. Wer Teppichboden für ein Zimmer kaufen will, braucht den .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Kästchen zählen: Zeichne drei verschiedene Rechtecke auf kariertes Papier und bestimme den Flächeninhalt zunächst durch Zählen der Kästchen.
2. Formel anwenden: Miss die Länge und Breite Deines Hefts und berechne den Flächeninhalt der Vorderseite.
3. Quadrat finden: Suche zu Hause oder im Klassenzimmer drei quadratische Flächen und notiere ihre Seitenlängen.
4. Einheiten sammeln: Erstelle eine kleine Übersicht mit Längeneinheiten und passenden Flächeneinheiten.

Standard

1. Zimmer planen: Zeichne einen rechteckigen Raum im Maßstab und berechne seinen Flächeninhalt.
2. Sachaufgabe entwickeln: Erfinde eine eigene Textaufgabe zum Flächeninhalt eines Rechtecks und schreibe eine Musterlösung dazu.
3. Umfang und Fläche vergleichen: Zeichne zwei verschiedene Rechtecke mit demselben Umfang und vergleiche ihre Flächeninhalte.
4. Quadratzahlen untersuchen: Erstelle eine Tabelle der Quadratzahlen von $1^2$ bis $15^2$ und erkläre ein Muster.

Schwer

1. Zusammengesetzte Fläche: Zeichne eine zusammengesetzte Figur aus mehreren Rechtecken und berechne ihren gesamten Flächeninhalt.
2. Fehleranalyse: Schreibe eine falsche Schülerlösung zum Flächeninhalt eines Rechtecks und erkläre genau, wo der Fehler liegt.
3. Alltagsprojekt: Plane den Kauf von Bodenbelag für ein rechteckiges Zimmer und berücksichtige einen kleinen Verschnitt.
4. Formel umstellen: Erstelle drei Aufgaben, bei denen der Flächeninhalt und eine Seitenlänge gegeben sind und die andere Seitenlänge gesucht ist.

Lernkontrolle

1. Transferaufgabe Raumplanung: Du möchtest einen rechteckigen Klassenraum mit Teppichfliesen auslegen. Erkläre, welche Daten Du brauchst, welche Formel Du verwendest und warum der Umfang dafür nicht ausreicht.
2. Fehler begründen: Eine Schülerin berechnet bei einem Rechteck mit $8\text{cm}$ und $5\text{cm}$ den Wert $26\text{cm}$. Erkläre, welche Rechnung sie vermutlich durchgeführt hat und warum sie nicht den Flächeninhalt berechnet hat.
3. Einheitenentscheidung: Ein Tisch ist $120\text{cm}$ lang und $\mathrm{0,6}\text{m}$ breit. Beschreibe, wie Du vorgehen musst, bevor Du den Flächeninhalt berechnest.
4. Vergleich von Figuren: Zwei Rechtecke haben denselben Flächeninhalt, aber unterschiedliche Seitenlängen. Zeichne ein Beispiel und erkläre, warum beide Flächen gleich groß sind.
5. Quadrat als Sonderfall: Begründe mit Eigenschaften und Formeln, warum jedes Quadrat ein Rechteck ist, aber nicht jedes Rechteck ein Quadrat.
6. Modellieren im Alltag: Wähle eine rechteckige Fläche aus Deinem Alltag und beschreibe, wie Du ihren Flächeninhalt möglichst genau bestimmen würdest.

Links

Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat Flächeninhalt Rechteck Quadrat Flächeneinheit Quadratzentimeter Quadratmeter Umfang Geometrie Multiplikation Sachaufgabe