Dezimalzahlen multiplizieren und dividieren - aiMOOC

Einleitung

Dezimalzahlen multiplizieren und dividieren gehört zu den wichtigsten Grundlagen der Arithmetik in Mathematik. In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du mit Dezimalzahlen sicher rechnest, warum das Dezimalkomma beim Multiplizieren und Dividieren verschoben wird und wie Du Ergebnisse durch Überschlagen kontrollierst. Der Kurs ist besonders für die Klasse 5-6 geeignet und nutzt die MediaWiki-Extension Math, damit Rechenwege auch mathematisch sauber dargestellt werden können.

Eine Dezimalzahl ist eine Zahl, die aus einem ganzzahligen Teil, einem Dezimaltrennzeichen und einem Nachkommateil besteht. Beispiele sind $\mathrm{3,5}$, $\mathrm{0,27}$ oder $\mathrm{12,04}$. Jede Stelle nach dem Komma hat einen bestimmten Stellenwert: Zehntel, Hundertstel, Tausendstel und so weiter. Wenn Du mit Dezimalzahlen rechnest, arbeitest Du also immer auch mit dem Stellenwertsystem.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, was Dezimalzahlen sind, wie Stellenwerte nach dem Komma funktionieren und warum sich das Komma beim Rechnen mit Zehnerpotenzen verschiebt. Du lernst, Dezimalzahlen schriftlich und halbschriftlich zu multiplizieren und zu dividieren. Außerdem trainierst Du, Ergebnisse sinnvoll zu schätzen, typische Fehler zu erkennen und Rechenwege mit Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \LaTeX} -Schreibweise in der MediaWiki-Extension Math darzustellen.

Grundwissen: Dezimalzahlen und Stellenwerte

Dezimalzahlen verstehen

Eine Dezimalzahl beschreibt eine Zahl im Dezimalsystem. Das Dezimalsystem arbeitet mit der Basis $10$. Jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die Stelle rechts daneben. Vor dem Komma stehen Einer, Zehner, Hunderter und weitere Stellen. Nach dem Komma stehen Zehntel, Hundertstel, Tausendstel und weitere kleinere Teile.

Beispiel: $\mathrm{4,386}=4+\frac{3}{10}+\frac{8}{100}+\frac{6}{1000}$

Das bedeutet: Die Zahl $\mathrm{4,386}$ besteht aus $4$ Ganzen, $3$ Zehnteln, $8$ Hundertsteln und $6$ Tausendsteln. Diese Zerlegung hilft Dir, Rechenwege zu verstehen und Fehler beim Setzen des Kommas zu vermeiden.

Komma, Dezimaltrennzeichen und Schreibweise

In Deutschland wird als Dezimaltrennzeichen meistens das Komma verwendet: $\mathrm{2,75}$. In vielen englischsprachigen Ländern wird dagegen ein Punkt geschrieben: $2.75$. In diesem Kurs verwenden wir die deutsche Schreibweise mit Komma. In der MediaWiki-Extension Math schreibst Du das Komma in Formeln am besten als $,$, damit es korrekt dargestellt wird.

Beispiel: $\mathrm{1,5}\cdot 2=3$

Dezimalzahlen und Brüche

Jede endliche Dezimalzahl kann auch als Bruch geschrieben werden. Dadurch kannst Du viele Regeln besser verstehen.

$\mathrm{0,7}=\frac{7}{10}$

$\mathrm{0,25}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$

$\mathrm{1,2}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}$

Beim Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen hilft Dir dieses Wissen: Nachkommastellen entsprechen Zehnteln, Hundertsteln oder Tausendsteln. Wenn Du also mit Dezimalzahlen rechnest, rechnest Du oft indirekt mit Brüchen.

Multiplizieren von Dezimalzahlen

Dezimalzahl mal natürliche Zahl

Wenn Du eine Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl multiplizierst, kannst Du zunächst so rechnen, als gäbe es kein Komma. Danach setzt Du das Komma wieder an die richtige Stelle.

Beispiel: $\mathrm{2,4}\cdot 3=\mathrm{7,2}$

Du kannst denken: $24\cdot 3=72$

Da $\mathrm{2,4}$ eine Nachkommastelle hat, erhält auch das Ergebnis eine Nachkommastelle: $\mathrm{7,2}$

Dezimalzahl mal Dezimalzahl

Beim Multiplizieren zweier Dezimalzahlen kannst Du in drei Schritten vorgehen:

1. Komma ignorieren: Rechne zunächst mit ganzen Zahlen.
2. Nachkommastellen zählen: Zähle die Nachkommastellen beider Faktoren zusammen.
3. Komma setzen: Setze im Produkt von rechts so viele Nachkommastellen, wie Du gezählt hast.

Beispiel: $\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,34}$

Zuerst ohne Komma: $12\cdot 34=408$

Nachkommastellen zählen: $\mathrm{1,2}$ hat eine Nachkommastelle, $\mathrm{0,34}$ hat zwei Nachkommastellen. Zusammen sind es drei Nachkommastellen.

Also: $\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,34}=\mathrm{0,408}$

Warum werden die Nachkommastellen zusammengezählt?

Die Regel entsteht aus dem Zusammenhang zwischen Dezimalzahl und Bruch. Die Rechnung $\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,34}$ kann als Bruchrechnung geschrieben werden:

$\mathrm{1,2}=\frac{12}{10}$

$\mathrm{0,34}=\frac{34}{100}$

Dann gilt: $\frac{12}{10}\cdot \frac{34}{100}=\frac{408}{1000}=\mathrm{0,408}$

Weil $10\cdot 100=1000$ ist, entstehen drei Nachkommastellen. Darum zählt man beim Multiplizieren die Nachkommastellen der Faktoren zusammen.

Multiplizieren mit Zehnerpotenzen

Besonders wichtig ist das Multiplizieren mit $10$, $100$, $1000$ und weiteren Zehnerpotenzen. Dabei verschiebt sich das Komma nach rechts, weil die Zahl größer wird.

$\mathrm{3,47}\cdot 10=\mathrm{34,7}$

$\mathrm{3,47}\cdot 100=347$

$\mathrm{3,47}\cdot 1000=3470$

Die Zahl wird bei der Multiplikation mit $10$ zehnmal so groß, mit $100$ hundertmal so groß und mit $1000$ tausendmal so groß. Fehlen Stellen, kannst Du Nullen ergänzen.

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Überschlagen beim Multiplizieren

Mit einem Überschlag prüfst Du, ob Dein Ergebnis ungefähr passen kann. Runde die Zahlen auf einfache Werte und rechne im Kopf.

Beispiel: $\mathrm{2,95}\cdot \mathrm{1,9}$

Überschlag: $3\cdot 2=6$

Das genaue Ergebnis liegt also ungefähr bei $6$. Wenn Du beim schriftlichen Rechnen $\mathrm{56,05}$ erhältst, weißt Du sofort: Das Komma wurde wahrscheinlich falsch gesetzt.

Dividieren von Dezimalzahlen

Dezimalzahl durch natürliche Zahl

Wenn Du eine Dezimalzahl durch eine natürliche Zahl dividierst, kannst Du ähnlich wie bei ganzen Zahlen rechnen. Beim schriftlichen Dividieren setzt Du das Komma im Ergebnis genau dann, wenn Du beim Dividenden über das Komma gehst.

Beispiel: $\mathrm{5,4}:3=\mathrm{1,8}$

Denn: $\mathrm{1,8}\cdot 3=\mathrm{5,4}$

Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Deshalb kannst Du jede Division durch eine Multiplikation kontrollieren.

Natürliche Zahl durch Dezimalzahl

Wenn der Divisor eine Dezimalzahl ist, verschiebst Du das Komma bei beiden Zahlen gleich weit nach rechts, bis der Divisor eine ganze Zahl ist. Der Wert des Quotienten verändert sich dadurch nicht.

Beispiel: $\mathrm{4,5}:\mathrm{0,3}$

Verschiebe bei beiden Zahlen das Komma um eine Stelle nach rechts: $45:3=15$

Also: $\mathrm{4,5}:\mathrm{0,3}=15$

Warum ist das erlaubt? Du multiplizierst Dividend und Divisor mit derselben Zahl. Hier ist das $10$:

$\frac{\mathrm{4,5}}{\mathrm{0,3}}=\frac{\mathrm{4,5}\cdot 10}{\mathrm{0,3}\cdot 10}=\frac{45}{3}=15$

Dezimalzahl durch Dezimalzahl

Auch bei $\mathrm{1,44}:\mathrm{0,12}$ machst Du den Divisor zuerst zu einer ganzen Zahl.

$\mathrm{1,44}:\mathrm{0,12}$

Beide Zahlen werden mit $100$ multipliziert: $144:12=12$

Also: $\mathrm{1,44}:\mathrm{0,12}=12$

Wichtig ist: Du verschiebst das Komma immer bei beiden Zahlen gleich weit. Nur dann bleibt der Wert des Quotienten gleich.

Dividieren mit Zehnerpotenzen

Beim Dividieren durch $10$, $100$, $1000$ und weitere Zehnerpotenzen verschiebt sich das Komma nach links, weil die Zahl kleiner wird.

$\mathrm{84,6}:10=\mathrm{8,46}$

$\mathrm{84,6}:100=\mathrm{0,846}$

$\mathrm{84,6}:1000=\mathrm{0,0846}$

Auch hier kannst Du Nullen ergänzen, wenn Stellen fehlen.

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Überschlagen beim Dividieren

Beim Dividieren hilft der Überschlag, besonders wenn Dezimalzahlen beteiligt sind.

Beispiel: $\mathrm{9,6}:\mathrm{0,48}$

Du kannst beide Zahlen ungefähr runden: $10:\mathrm{0,5}=20$

Das genaue Ergebnis liegt also ungefähr bei $20$. Tatsächlich gilt: $\mathrm{9,6}:\mathrm{0,48}=20$

Rechenstrategien

Strategie 1: Komma verschieben bei Zehnerpotenzen

Wenn Du mit $10$, $100$ oder $1000$ multiplizierst oder dividierst, veränderst Du nicht die Ziffern, sondern ihre Stellenwerte. Beim Multiplizieren rücken die Ziffern nach links in größere Stellenwerte, beim Dividieren rücken sie nach rechts in kleinere Stellenwerte. Im Alltag sagt man oft: Das Komma wandert. Mathematisch genauer ist: Die Ziffern verändern ihren Stellenwert.

Strategie 2: Komma beim Multiplizieren setzen

Beim Multiplizieren zweier Dezimalzahlen ist die wichtigste Frage: Wie viele Nachkommastellen hat das Ergebnis? Die Antwort erhältst Du durch Addieren der Nachkommastellen der Faktoren.

Beispiel: $\mathrm{0,06}\cdot \mathrm{0,7}$

Ohne Komma: $6\cdot 7=42$

Nachkommastellen: $\mathrm{0,06}$ hat zwei Nachkommastellen, $\mathrm{0,7}$ hat eine Nachkommastelle. Zusammen sind es drei Nachkommastellen.

Also: $\mathrm{0,06}\cdot \mathrm{0,7}=\mathrm{0,042}$

Strategie 3: Divisor ganz machen

Bei der Division durch eine Dezimalzahl ist der wichtigste Schritt, den Divisor zu einer ganzen Zahl zu machen.

Beispiel: $\mathrm{0,84}:\mathrm{0,07}$

Verschiebe bei beiden Zahlen das Komma um zwei Stellen nach rechts: $84:7=12$

Also: $\mathrm{0,84}:\mathrm{0,07}=12$

Strategie 4: Mit der Umkehraufgabe prüfen

Jede Division kannst Du mit einer Multiplikation prüfen.

Wenn gilt: $\mathrm{7,2}:\mathrm{0,9}=8$

Dann muss gelten: $8\cdot \mathrm{0,9}=\mathrm{7,2}$

Diese Probe ist besonders nützlich, wenn Du unsicher bist, ob Du das Komma richtig gesetzt hast.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Fehler 1: Das Komma nach Gefühl setzen

Ein häufiger Fehler ist, das Komma im Ergebnis nur nach Gefühl zu setzen. Besser ist: Nutze eine klare Regel. Beim Multiplizieren zählst Du die Nachkommastellen. Beim Dividieren machst Du zuerst den Divisor ganzzahlig. Danach kannst Du die Probe verwenden.

Fehler 2: Nur bei einer Zahl das Komma verschieben

Bei einer Division wie $\mathrm{6,3}:\mathrm{0,7}$ darfst Du nicht nur aus $\mathrm{0,7}$ die Zahl $7$ machen. Du musst auch $\mathrm{6,3}$ verändern.

Richtig: $\mathrm{6,3}:\mathrm{0,7}=63:7=9$

Falsch wäre: $\mathrm{6,3}:7=\mathrm{0,9}$

Fehler 3: Ergebnis nicht überschlagen

Ohne Überschlag bleiben Kommafehler oft unentdeckt. Wenn Du $\mathrm{3,1}\cdot \mathrm{2,8}$ rechnest, sollte das Ergebnis ungefähr $3\cdot 3=9$ sein. Ein Ergebnis wie $\mathrm{0,868}$ passt nicht zum Überschlag und muss überprüft werden.

Alltagsbezüge

Dezimalzahlen brauchst Du in vielen Alltagssituationen: beim Einkaufen, beim Rechnen mit Geld, beim Abmessen von Längen, beim Wiegen von Massen, beim Umgang mit Volumen und beim Lesen von Diagrammen. Wenn ein Kilogramm Äpfel Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 2{,}40\,€} kostet, dann kosten $\mathrm{1,5}$ kg:

$\mathrm{2,40}\cdot \mathrm{1,5}=\mathrm{3,60}$

Wenn $\mathrm{0,75}$ Liter Saft gleichmäßig auf $3$ Gläser verteilt werden, enthält jedes Glas:

$\mathrm{0,75}:3=\mathrm{0,25}$

So wird sichtbar: Dezimalzahlen sind nicht nur Schulstoff, sondern ein Werkzeug für viele reale Entscheidungen.

Schritt-für-Schritt-Beispiele

Beispiel 1: Multiplikation

Berechne: $\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{1,25}$

Schritt 1: Ohne Komma rechnen: $36\cdot 125=4500$

Schritt 2: Nachkommastellen zählen: $\mathrm{3,6}$ hat eine Nachkommastelle, $\mathrm{1,25}$ hat zwei Nachkommastellen. Zusammen sind es drei Nachkommastellen.

Schritt 3: Komma setzen: $\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{1,25}=\mathrm{4,500}=\mathrm{4,5}$

Kontrolle: $\mathrm{3,6}\cdot 1=\mathrm{3,6}$ und $\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{1,25}$ muss etwas größer als $\mathrm{3,6}$ sein. $\mathrm{4,5}$ passt.

Beispiel 2: Division

Berechne: $\mathrm{7,2}:\mathrm{0,24}$

Schritt 1: Divisor ganz machen. $\mathrm{0,24}$ wird durch Verschieben um zwei Stellen zu $24$.

Schritt 2: Dividend genauso verändern: $\mathrm{7,2}$ wird zu $720$.

Schritt 3: Dividieren: $720:24=30$

Also: $\mathrm{7,2}:\mathrm{0,24}=30$

Probe: $30\cdot \mathrm{0,24}=\mathrm{7,2}$

Merksätze

1. Multiplikation mit Dezimalzahlen: Multipliziere zunächst ohne Komma, zähle dann alle Nachkommastellen der Faktoren und setze das Komma im Ergebnis passend.
2. Division durch Dezimalzahlen: Verschiebe das Komma bei Dividend und Divisor gleich weit nach rechts, bis der Divisor eine ganze Zahl ist.
3. Zehnerpotenzen: Beim Multiplizieren mit $10$, $100$ und $1000$ wird die Zahl größer; beim Dividieren wird sie kleiner.
4. Überschlag: Schätze vor oder nach dem Rechnen, ob Dein Ergebnis ungefähr stimmen kann.
5. Probe: Prüfe eine Division durch Multiplikation und eine Multiplikation durch Division.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist das Ergebnis von 2,5 mal 4? (10) (!6,5) (!1) (!25)

Wie viele Nachkommastellen hat das Ergebnis von 1,2 mal 0,03? (3) (!1) (!2) (!4)

Was ist das Ergebnis von 0,6 mal 0,7? (0,42) (!4,2) (!0,042) (!42)

Was ist das Ergebnis von 4,8 geteilt durch 6? (0,8) (!8) (!0,08) (!2,8)

Wie rechnet man 5,4 geteilt durch 0,9 am besten um? (54 geteilt durch 9) (!5,4 geteilt durch 9) (!54 geteilt durch 0,9) (!0,54 geteilt durch 9)

Was passiert beim Multiplizieren einer Dezimalzahl mit 100? (Das Komma verschiebt sich zwei Stellen nach rechts) (!Das Komma verschiebt sich zwei Stellen nach links) (!Die Zahl bleibt immer gleich) (!Das Ergebnis wird immer kleiner)

Was passiert beim Dividieren einer Dezimalzahl durch 10? (Das Komma verschiebt sich eine Stelle nach links) (!Das Komma verschiebt sich eine Stelle nach rechts) (!Die Zahl wird zehnmal so groß) (!Alle Nachkommastellen verschwinden)

Was ist das Ergebnis von 3,6 geteilt durch 0,3? (12) (!1,2) (!0,12) (!120)

Welche Probe passt zu 7,2 geteilt durch 0,9 gleich 8? (8 mal 0,9 gleich 7,2) (!8 plus 0,9 gleich 7,2) (!7,2 mal 0,9 gleich 8) (!7,2 minus 0,9 gleich 8)

Warum ist ein Überschlag beim Rechnen mit Dezimalzahlen wichtig? (Er hilft Kommafehler zu erkennen) (!Er ersetzt immer den genauen Rechenweg) (!Er macht jede schriftliche Rechnung überflüssig) (!Er verändert das genaue Ergebnis)

Memory

Faktor	Zahl, mit der multipliziert wird
Produkt	Ergebnis einer Multiplikation
Dividend	Zahl, die geteilt wird
Divisor	Zahl, durch die geteilt wird
Quotient	Ergebnis einer Division
Überschlag	Grobe Kontrolle des Ergebnisses
Nachkommastelle	Stelle rechts vom Komma

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Produkt	Ergebnis einer Multiplikation
Quotient	Ergebnis einer Division
Zehntel	Erste Stelle nach dem Komma
Hundertstel	Zweite Stelle nach dem Komma
Probe	Kontrolle mit der Umkehraufgabe
Überschlag	Kontrolle durch grobes Runden

Kreuzworträtsel

Produkt	Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
Quotient	Wie heißt das Ergebnis einer Division?
Divisor	Wie heißt die Zahl, durch die geteilt wird?
Komma	Welches Zeichen trennt den ganzzahligen Teil vom Nachkommateil?
Zehntel	Wie heißt die erste Stelle nach dem Komma?
Probe	Wie heißt die Kontrolle einer Rechnung mit der Umkehraufgabe?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Multiplizieren von Dezimalzahlen rechnest Du zuerst ohne und zählst danach die der Faktoren. Beim Dividieren durch eine Dezimalzahl verschiebst Du das Komma bei und Divisor gleich weit nach rechts. Der Divisor soll dadurch eine Zahl werden. Eine Division kannst Du mit der passenden kontrollieren. Beim Multiplizieren mit 100 verschiebt sich das Komma zwei Stellen nach . Beim Dividieren durch 100 verschiebt sich das Komma zwei Stellen nach . Ein hilft Dir, Kommafehler zu erkennen.

Übungsaufgaben mit Lösungen

Einfache Übungen

1. Multiplikation: Berechne $\mathrm{1,5}\cdot 4$. Lösung: $6$.
2. Multiplikation: Berechne $\mathrm{0,8}\cdot 3$. Lösung: $\mathrm{2,4}$.
3. Division: Berechne $\mathrm{6,4}:8$. Lösung: $\mathrm{0,8}$.
4. Zehnerpotenz: Berechne $\mathrm{4,56}\cdot 10$. Lösung: $\mathrm{45,6}$.
5. Zehnerpotenz: Berechne $\mathrm{4,56}:100$. Lösung: $\mathrm{0,0456}$.

Standard-Übungen

1. Dezimalzahl: Berechne $\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{1,5}$. Lösung: $\mathrm{3,6}$.
2. Dezimalzahl: Berechne $\mathrm{0,06}\cdot \mathrm{0,5}$. Lösung: $\mathrm{0,03}$.
3. Division: Berechne $\mathrm{8,1}:\mathrm{0,9}$. Lösung: $9$.
4. Division: Berechne $\mathrm{0,72}:\mathrm{0,08}$. Lösung: $9$.
5. Probe: Prüfe $\mathrm{3,2}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{1,28}$ durch eine passende Umkehraufgabe.

Anspruchsvolle Übungen

1. Sachaufgabe: Ein Meter Stoff kostet Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 7{,}80\,€} . Berechne den Preis für $\mathrm{2,5}$ Meter. Lösung: Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 19{,}50\,€} .
2. Sachaufgabe: $\mathrm{3,6}$ Liter Saft werden gleichmäßig auf Flaschen mit $\mathrm{0,6}$ Liter Inhalt verteilt. Berechne die Anzahl der Flaschen. Lösung: $6$.
3. Überschlag: Prüfe, ob $\mathrm{5,9}\cdot \mathrm{3,1}=\mathrm{18,29}$ plausibel ist. Begründe mit einem Überschlag.
4. Fehleranalyse: Eine Person rechnet $\mathrm{4,2}:\mathrm{0,6}=\mathrm{0,7}$. Erkläre den Fehler und korrigiere die Rechnung.
5. Transfer: Erfinde eine eigene Alltagssituation, in der $\mathrm{1,25}\cdot \mathrm{3,6}$ vorkommt, und löse sie.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Stellenwerttafel: Erstelle eine farbige Stellenwerttafel für die Zahl $\mathrm{36,482}$ und erkläre jede Stelle in einem Satz.
2. Komma verschieben: Schreibe fünf eigene Aufgaben zum Multiplizieren mit $10$, $100$ und $1000$ und löse sie.
3. Alltagsbeispiel: Suche zu Hause drei Gegenstände mit Dezimalangaben, zum Beispiel Gewicht, Länge oder Volumen, und notiere passende Rechenfragen.
4. Fehlersuche: Erfinde zwei falsche Rechnungen mit Dezimalzahlen und erkläre, woran man den Fehler erkennt.

Standard

1. Rechenplakat: Gestalte ein Plakat mit den Regeln zum Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen. Verwende eigene Beispiele und die Begriffe Faktor, Produkt, Dividend, Divisor und Quotient.
2. Erklärvideo: Nimm ein kurzes Erklärvideo auf, in dem Du die Rechnung $\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,35}$ Schritt für Schritt erklärst.
3. Interview: Befrage eine erwachsene Person, wann sie im Alltag Dezimalzahlen multipliziert oder dividiert. Fasse die Antworten in einem kurzen Bericht zusammen.
4. Lernkartei: Erstelle zehn Karteikarten mit Aufgaben auf der Vorderseite und Lösungen mit Rechenweg auf der Rückseite.

Schwer

1. Fehleranalyse: Sammle fünf typische Fehler beim Rechnen mit Dezimalzahlen und entwickle zu jedem Fehler eine passende Gegenstrategie.
2. Sachaufgabenprojekt: Entwickle ein kleines Aufgabenblatt mit fünf Sachaufgaben aus Einkauf, Sport, Kochen oder Messen. Jede Aufgabe soll eine Multiplikation oder Division mit Dezimalzahlen enthalten.
3. Mathematische Begründung: Erkläre mit Brüchen, warum beim Multiplizieren die Nachkommastellen addiert werden. Verwende mindestens zwei Beispiele.
4. Digitale Übung: Erstelle eine interaktive Übung, ein Quiz oder ein Lernspiel zu Dezimalzahlen und teste es mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler.

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Lernkontrolle

1. Begründen: Erkläre, warum $\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,3}$ kleiner als beide Faktoren ist, obwohl bei der Multiplikation oft eine größere Zahl erwartet wird.
2. Vergleichen: Vergleiche die Rechnungen $\mathrm{6,3}:\mathrm{0,7}$ und $\mathrm{6,3}:7$. Erkläre, warum die Ergebnisse unterschiedlich sind.
3. Transfer: Entwickle eine Einkaufssituation, in der man $\mathrm{2,75}\cdot \mathrm{1,6}$ sinnvoll verwenden kann, und löse sie.
4. Fehlerdiagnose: Eine Schülerin schreibt $\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,3}=\mathrm{3,6}$. Analysiere den Denkfehler und formuliere eine hilfreiche Erklärung.
5. Strategiewahl: Entscheide bei drei selbst gewählten Aufgaben, ob Du schriftlich rechnest, halbschriftlich rechnest oder überschlägst. Begründe Deine Wahl.
6. Darstellen: Zeige eine Division durch eine Dezimalzahl einmal durch Komma-Verschieben und einmal als Bruchrechnung. Vergleiche beide Darstellungen.

Links

Dezimalzahlen multiplizieren und dividieren Dezimalzahl Dezimalbruch Stellenwertsystem Zehntel Hundertstel Multiplikation Division Produkt Quotient Dividend Divisor Zehnerpotenz Überschlag Probe

Zusammenfassung

Beim Rechnen mit Dezimalzahlen ist das Stellenwertsystem entscheidend. Beim Multiplizieren rechnest Du zunächst ohne Komma, zählst dann die Nachkommastellen der Faktoren und setzt das Komma im Ergebnis passend. Beim Dividieren durch eine Dezimalzahl verschiebst Du das Komma bei Dividend und Divisor gleich weit nach rechts, bis der Divisor eine ganze Zahl ist. Mit Überschlag und Probe kannst Du kontrollieren, ob Dein Ergebnis sinnvoll ist. Die wichtigsten Regeln lassen sich mit Brüchen, Zehnerpotenzen und dem Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division begründen.

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026

Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.

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