M6 E - Kreisumfang berechnen

Einleitung

Ein Kreis begegnet Dir überall: am Fahrradreifen, an einem Kanaldeckel, an einer runden Pizza oder an einer Uhr. Wenn Du wissen möchtest, wie lang der Rand eines solchen Kreisobjekts ist, brauchst Du den Kreisumfang $U$. In diesem aiMOOC entdeckst Du die Kreiszahl $\pi$ experimentell und leitest daraus die beiden Umfangsformeln her:

$U=\pi d$

und wegen $d=2r$ auch

$U=2\pi r$.

Du arbeitest mit Messungen, dynamischer Geometrie, Tabellen, visuellen Rechenwegen und realitätsnahen Problemen. Das Niveau ist für Klasse 6 auf E-Niveau ausgelegt.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Kreisumfang: erklären, was der Umfang eines Kreises bedeutet.
2. Radius und Durchmesser: $r$ und $d$ sicher unterscheiden und $d=2r$ nutzen.
3. Kreiszahl Pi: das Verhältnis $\frac{U}{d}$ als ungefähr $\mathrm{3,14}$ erkennen.
4. Formel: $U=\pi d$ und $U=2\pi r$ begründen und anwenden.
5. Einheiten: Längeneinheiten passend wählen und Ergebnisse sinnvoll runden.
6. Sachaufgabe: Kreisumfänge bei Rädern, Deckeln, Pizzen und anderen runden Gegenständen berechnen.

Kreis, Radius, Durchmesser und Umfang

Der Umfang ist die Länge der Kreislinie. Der Radius $r$ führt vom Mittelpunkt bis zur Kreislinie. Der Durchmesser $d$ führt durch den Mittelpunkt von einer Seite des Kreises zur gegenüberliegenden Seite.

Größe	Bedeutung	Beziehung
$r$	Radius	vom Mittelpunkt bis zur Kreislinie
$d$	Durchmesser	$d=2r$
$U$	Umfang	Länge der Kreislinie

Visueller Merksatz:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{d=2r}}

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{r=\frac d2}}

Reale Kreisobjekte entdecken

Die Mathematik des Kreisumfangs beschreibt echte Gegenstände. Miss bei einem runden Objekt möglichst durch den Mittelpunkt und nicht schräg.

Beim Fahrradreifen entspricht eine vollständige Umdrehung ungefähr einer zurückgelegten Strecke von einem Reifenumfang.

Bei einem runden Kanaldeckel kann aus dem Durchmesser die Länge des Randes berechnet werden.

Auch bei einer runden Pizza ist der Rand eine Kreislinie. Der Umfang beschreibt also zum Beispiel die Länge des äußeren Pizzarands.

Experiment: Wie hängen Umfang und Durchmesser zusammen?

Nimm mehrere runde Gegenstände, zum Beispiel Becher, Deckel oder Rollen. Miss

1. den Durchmesser $d$ mit einem Lineal,
2. den Umfang $U$ mit einem Faden oder Maßband,
3. anschließend den Quotienten $\frac{U}{d}$.

Beispieldaten einer Messreihe:

Gegenstand	Durchmesser $d$	gemessener Umfang $U$	Quotient $\frac{U}{d}$
Kreisobjekt A	$\mathrm{4,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$	$\mathrm{12,6}\mathrm{c}\mathrm{m}$	$\mathrm{3,15}$
Kreisobjekt B	$\mathrm{7,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$	$\mathrm{22,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$	$\mathrm{3,14}$
Kreisobjekt C	$\mathrm{10,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$	$\mathrm{31,4}\mathrm{c}\mathrm{m}$	$\mathrm{3,14}$

Kleine Abweichungen entstehen durch Messfehler. Mathematisch gilt für jeden Kreis in der Ebene exakt:

$\frac{U}{d}=\pi$

mit

$\pi =\mathrm{3,14159265}\dots$

Für viele Rechnungen in Klasse 6 genügt als Näherung

$\pi \approx \mathrm{3,14}$.

Dynamische Messanimation: Einen Kreis abrollen

In der folgenden GeoGebra-Aktivität kannst Du einen Kreis gedanklich beziehungsweise dynamisch auf einer Geraden abrollen. Beobachte: Nach einer vollständigen Umdrehung ist die zurückgelegte Strecke genau so lang wie der Kreisumfang.

Beobachtung:

$\text{eine Umdrehung}⟷\text{eine Umfangslänge}$

Wenn Du gleichzeitig den Durchmesser vergleichst, siehst Du ungefähr:

$U\approx \mathrm{3,14}\cdot d$.

Die Formel $U=\pi d$ herleiten

Aus dem Messversuch folgt:

$\frac{U}{d}=\pi$

Multipliziere beide Seiten mit $d$:

$\frac{U}{d}\cdot d=\pi \cdot d$

Links kürzt sich $d$:

$U=\pi d$

Damit ist die erste Formel hergeleitet:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{U=\pi d}}

Bedeutung: Der Umfang ist $\pi$-mal so groß wie der Durchmesser.

Von $U=\pi d$ zu $U=2\pi r$

Für jeden Kreis gilt:

$d=2r$

Setze $d=2r$ in $U=\pi d$ ein:

$U=\pi \cdot 2r$

Ordne die Faktoren:

$U=2\pi r$

Damit erhältst Du die zweite Formel:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{U=2\pi r}}

Beide Formeln bedeuten dasselbe:

gegeben	passende Formel	Grund
Durchmesser $d$	$U=\pi d$	$\frac{U}{d}=\pi$
Radius $r$	$U=2\pi r$	$d=2r$

Dynamische Geometrie: Radius verändern

Verändere in der GeoGebra-Aktivität den Kreis. Beobachte, wie sich Radius, Durchmesser und Umfang gemeinsam verändern.

Prüfe dabei drei Vermutungen:

1. Verdoppelst Du $r$, verdoppelt sich auch $U$.
2. Verdoppelst Du $d$, verdoppelt sich auch $U$.
3. Der Quotient $\frac{U}{d}$ bleibt gleich und hat den Wert $\pi$.

Visueller Rechenweg: Durchmesser ist gegeben

Beispiel: Ein runder Tisch hat den Durchmesser $d=\mathrm{1,20}\mathrm{m}$. Wie lang ist sein Rand?

Schritt	Rechnung	Bedeutung
1	$d=\mathrm{1,20}\mathrm{m}$	Gegebenen Wert notieren
2	$U=\pi d$	Passende Formel auswählen
3	$U=\pi \cdot \mathrm{1,20}\mathrm{m}$	Wert einsetzen
4	$U\approx \mathrm{3,7699}\mathrm{m}$	Mit $\pi$ rechnen
5	$U\approx \mathrm{3,77}\mathrm{m}$	Sinnvoll runden

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{U\approx3{,}77\,\mathrm{m}}}

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Visueller Rechenweg: Radius ist gegeben

Beispiel: Ein runder Gartenteich hat den Radius $r=\mathrm{2,5}\mathrm{m}$. Wie lang wäre ein Zaun direkt am Rand?

Schritt	Rechnung	Bedeutung
1	$r=\mathrm{2,5}\mathrm{m}$	Radius ablesen
2	$U=2\pi r$	Radiusformel wählen
3	$U=2\pi \cdot \mathrm{2,5}\mathrm{m}$	Wert einsetzen
4	$U=5\pi \mathrm{m}$	Faktoren zusammenfassen
5	$U\approx \mathrm{15,71}\mathrm{m}$	Mit $\pi$ berechnen und runden

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{U\approx15{,}71\,\mathrm{m}}}

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Einheiten sicher verwenden

Der Kreisumfang ist eine Länge. Deshalb hat das Ergebnis eine Längeneinheit, zum Beispiel $\mathrm{m}\mathrm{m}$, $\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\mathrm{m}$ oder $\mathrm{k}\mathrm{m}$.

Umrechnung	Beispiel
$10\mathrm{m}\mathrm{m}=1\mathrm{c}\mathrm{m}$	$35\mathrm{m}\mathrm{m}=\mathrm{3,5}\mathrm{c}\mathrm{m}$
$100\mathrm{c}\mathrm{m}=1\mathrm{m}$	$250\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{2,5}\mathrm{m}$
$1000\mathrm{m}=1\mathrm{k}\mathrm{m}$	$1500\mathrm{m}=\mathrm{1,5}\mathrm{k}\mathrm{m}$

Einheitenregel: Bringe die gegebenen Längen zuerst auf eine gemeinsame Einheit und rechne dann.

Rechnen mit $\pi$ und sinnvoll runden

Wenn ein Taschenrechner eine $\pi$-Taste besitzt, verwende sie möglichst bis zum letzten Rechenschritt. Runde erst am Ende.

Beispiel:

$U=\pi \cdot 68\mathrm{c}\mathrm{m}$

$U\approx \mathrm{213,628}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Auf einen Zentimeter gerundet:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{U\approx214\,\mathrm{cm}}}

Mit der Schulnäherung $\pi \approx \mathrm{3,14}$ erhältst Du:

$U\approx \mathrm{3,14}\cdot 68\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{213,52}\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Beide Ergebnisse liegen für viele Alltagssituationen sehr nah beieinander.

Realitätsnahe Probleme

Fahrradreifen

Ein Fahrradreifen hat ungefähr den Durchmesser $d=70\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$U=\pi d$

$U=\pi \cdot 70\mathrm{c}\mathrm{m}$

$U\approx \mathrm{219,9}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{2,199}\mathrm{m}$

Nach $100$ vollständigen Umdrehungen ist die theoretische Strecke ungefähr

$100\cdot \mathrm{2,199}\mathrm{m}=\mathrm{219,9}\mathrm{m}$.

In der Realität können Reifendruck, Profil und Schlupf kleine Abweichungen verursachen.

Pizza

Eine runde Pizza hat den Durchmesser $d=32\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$U=\pi \cdot 32\mathrm{c}\mathrm{m}\approx \mathrm{100,53}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Der äußere Rand ist also ungefähr

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{1{,}01\,\mathrm{m}}}

lang.

Kanaldeckel

Ein runder Kanaldeckel hat den Durchmesser $d=68\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$U=\pi \cdot 68\mathrm{c}\mathrm{m}\approx \mathrm{213,63}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Also ist der Rand ungefähr

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{2{,}14\,\mathrm{m}}}

lang.

Eine Radumdrehung als Wegstrecke

Hat ein Rad den Durchmesser $d=64\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,64}\mathrm{m}$, dann gilt:

$U=\pi \cdot \mathrm{0,64}\mathrm{m}\approx \mathrm{2,01}\mathrm{m}$.

Bei $250$ Umdrehungen:

$s=250\cdot U$

$s\approx 250\cdot \mathrm{2,01}\mathrm{m}\approx \mathrm{502,65}\mathrm{m}$.

Damit wird aus Kreisgeometrie eine Wegmessung.

Typische Fehler erkennen

Fehler	Warum falsch?	Korrektur
$U=\pi r$	Der Radius ist nur die Hälfte des Durchmessers.	$U=2\pi r$
$U=2\pi d$	Der Faktor $2$ gehört nur zur Radiusformel.	$U=\pi d$
Ergebnis in $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$	Umfang ist eine Länge, keine Fläche.	Ergebnis in $\mathrm{c}\mathrm{m}$
Zu früh runden	Rundungsfehler können größer werden.	Erst am Ende runden.

Rückwärts denken: Durchmesser oder Radius aus dem Umfang

Als E-Niveau-Erweiterung kannst Du die Umfangsformeln umstellen.

Aus

$U=\pi d$

folgt durch Division durch $\pi$:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{d=\frac{U}{\pi}}} .

Aus

$U=2\pi r$

folgt durch Division durch $2\pi$:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{r=\frac{U}{2\pi}}} .

Beispiel: Ein runder Gegenstand hat den Umfang $U=\mathrm{62,8}\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$d=\frac{\mathrm{62,8}\mathrm{c}\mathrm{m}}{\pi }\approx \mathrm{20,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Verhältnisdiagramm: proportional denken

Da $U=\pi d$ gilt, sind Umfang und Durchmesser proportional.

$d$ in cm	$U=\pi d$ in cm, gerundet
$1$	$\mathrm{3,14}$
$2$	$\mathrm{6,28}$
$5$	$\mathrm{15,71}$
$10$	$\mathrm{31,42}$

Verdoppelt sich $d$, dann verdoppelt sich $U$. Verdreifacht sich $d$, dann verdreifacht sich $U$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Umfang eines Kreises? (Die Länge der Kreislinie) (!Die Fläche innerhalb des Kreises) (!Die Strecke vom Mittelpunkt zum Rand) (!Die Hälfte des Durchmessers)

Welche Beziehung gilt zwischen Durchmesser und Radius? (d gleich 2 mal r) (!d gleich r) (!d gleich pi mal r) (!d gleich r geteilt durch 2)

Welcher Quotient ist bei jedem Kreis gleich der Kreiszahl Pi? (U geteilt durch d) (!d geteilt durch U) (!U geteilt durch r) (!r geteilt durch d)

Welche Formel passt, wenn der Durchmesser gegeben ist? (U gleich pi mal d) (!U gleich pi mal r) (!U gleich 2 mal pi mal d) (!U gleich d geteilt durch pi)

Welche Formel passt, wenn der Radius gegeben ist? (U gleich 2 mal pi mal r) (!U gleich pi mal r) (!U gleich 2 mal pi mal d) (!U gleich r geteilt durch pi)

Welcher Näherungswert wird häufig für Pi verwendet? (3 Komma 14) (!1 Komma 57) (!2 Komma 00) (!6 Komma 28)

Ein Kreis hat den Durchmesser 10 cm. Welcher Umfang ist ungefähr richtig? (31 Komma 4 cm) (!10 cm) (!20 cm) (!314 cm)

Ein Kreis hat den Radius 5 cm. Wie groß ist sein Durchmesser? (10 cm) (!2 Komma 5 cm) (!5 cm) (!15 cm)

Welche Einheit passt zu einem Kreisumfang? (cm) (!Quadratzentimeter) (!Kubikzentimeter) (!Grad)

Was geschieht mit dem Umfang, wenn der Durchmesser verdoppelt wird? (Der Umfang verdoppelt sich) (!Der Umfang halbiert sich) (!Der Umfang bleibt gleich) (!Der Umfang vervierfacht sich)

Memory

Radius	Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie
Durchmesser	Doppelte Radiuslänge
Umfang	Länge der Kreislinie
Kreiszahl Pi	Verhältnis von Umfang zu Durchmesser
Durchmesserformel	U gleich Pi mal d
Radiusformel	U gleich 2 mal Pi mal r

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Radius	Mittelpunkt bis Kreislinie
Durchmesser	Durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand
Kreiszahl Pi	Quotient aus Umfang und Durchmesser
Kreisumfang	Länge des Kreisrandes
Sinnvoll runden	Erst am Ende der Rechnung

Kreuzworträtsel

Umfang	Wie heißt die Länge der Kreislinie?
Radius	Wie heißt die Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie?
Durchmesser	Wie heißt die Strecke durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand?
Kreiszahl	Wie nennt man Pi als mathematische Konstante im Kreis?
Messen	Was tust Du mit Lineal, Faden oder Maßband?
Formel	Wie nennt man eine allgemeine Rechenvorschrift wie U gleich Pi mal d?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Länge der Kreislinie heißt . Der Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie heißt . Der Durchmesser ist so lang wie der Radius. Für jeden Kreis ist der Quotient aus Umfang und Durchmesser gleich der Kreiszahl . Als Näherungswert wird häufig verwendet. Ist der Durchmesser gegeben, nutzt Du die Formel . Ist der Radius gegeben, nutzt Du die Formel . Ein Umfang wird in einer angegeben. Beim Rechnen mit Pi solltest Du möglichst erst am runden.

Interaktive Entdeckeraufgabe mit GeoGebra

Untersuche dort verschiedene Kreisgrößen. Notiere für mindestens drei Kreise jeweils $r$, $d$ und $U$ und kontrolliere:

$d=2r$

sowie

$\frac{U}{d}\approx \mathrm{3,14}$.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Kreisobjekte finden: Fotografiere oder skizziere drei kreisförmige Gegenstände aus Deinem Alltag und markiere jeweils einen möglichen Durchmesser.
2. Fadenmessung: Miss den Umfang eines Bechers oder Deckels mit einem Faden und den Durchmesser mit einem Lineal. Berechne $\frac{U}{d}$.
3. Formelkarte: Gestalte eine Lernkarte mit $U=\pi d$, $U=2\pi r$ und $d=2r$. Ergänze zu jeder Formel eine kleine Skizze.
4. Fehlersuche: Erfinde zwei falsche Rechnungen zum Kreisumfang und schreibe jeweils eine kurze Korrektur dazu.

Standard

1. Messreihe: Miss mindestens fünf runde Gegenstände. Erstelle eine Tabelle mit $d$, $U$ und $\frac{U}{d}$. Erkläre mögliche Messabweichungen.
2. Fahrradprojekt: Miss den Durchmesser eines Fahrradreifens, berechne den Umfang und schätze die Strecke für 50 Radumdrehungen. Überprüfe die Schätzung praktisch, wenn es sicher möglich ist.
3. Pizza-Vergleich: Vergleiche zwei runde Pizzen mit verschiedenen Durchmessern. Berechne jeweils den Randumfang und erkläre, wie sich der Umfang verändert.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du aus $\frac{U}{d}=\pi$ die Formel $U=\pi d$ ableitest.

Schwer

1. Rückwärtsaufgabe: Finde zu einem gemessenen Umfang den Durchmesser mit $d=\frac{U}{\pi }$ und prüfe das Ergebnis durch Nachmessen.
2. Radumdrehungen: Plane eine Strecke von ungefähr $100\mathrm{m}$. Berechne, wie viele Umdrehungen ein Rad mit bekanntem Durchmesser dafür theoretisch benötigt, und diskutiere Abweichungen.
3. Proportionalität: Untersuche rechnerisch und grafisch, wie sich $U$ verändert, wenn $d$ mit den Faktoren $\mathrm{0,5}$, $2$ und $3$ verändert wird.
4. Mathematische Modellierung: Wähle ein reales rundes Objekt, entwickle eine eigene Sachaufgabe mit mindestens einer Einheitenumrechnung und löse sie vollständig mit Begründung.

Lernkontrolle

1. Formel begründen: Erkläre anhand des Verhältnisses $\frac{U}{d}=\pi$, warum $U=\pi d$ gilt. Leite anschließend $U=2\pi r$ her.
2. Fehler analysieren: Eine Person rechnet bei $r=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ mit $U=\pi r$. Erkläre den Denkfehler und korrigiere die Rechnung.
3. Vergleichen: Kreis A hat den Durchmesser $12\mathrm{c}\mathrm{m}$, Kreis B den Durchmesser $18\mathrm{c}\mathrm{m}$. Begründe ohne vollständige Dezimalrechnung, um welchen Faktor der Umfang von B größer ist.
4. Alltagsproblem: Ein rundes Beet hat den Radius $\mathrm{3,2}\mathrm{m}$. Für eine Einfassung werden zusätzlich $\mathrm{0,8}\mathrm{m}$ Reserve benötigt. Bestimme die Materiallänge und dokumentiere Deinen Rechenweg.
5. Modell prüfen: Ein Rad mit $d=\mathrm{0,60}\mathrm{m}$ dreht sich $300$-mal. Berechne die theoretische Strecke und nenne zwei Gründe, weshalb eine reale Messung leicht abweichen kann.
6. Rückwärts schließen: Ein runder Deckel hat einen gemessenen Umfang von ungefähr $\mathrm{94,2}\mathrm{c}\mathrm{m}$. Bestimme seinen Durchmesser und erkläre, warum das Ergebnis wegen der Messung nur näherungsweise gilt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Deinen Lösungsweg nachvollziehbar darstellst.

Kompetenz	Das solltest Du zeigen können
Begriffe	Radius, Durchmesser und Umfang unterscheiden
Zusammenhang	$d=2r$ sicher verwenden
Herleitung	aus $\frac{U}{d}=\pi$ die Formel $U=\pi d$ gewinnen
Formelwahl	passend zwischen $U=\pi d$ und $U=2\pi r$ wählen
Rechnen	Werte korrekt einsetzen, Einheiten beachten und sinnvoll runden
Transfer	reale Kreisprobleme modellieren und Ergebnisse auf Plausibilität prüfen
Kommunikation	Rechenweg mit Formel, Einsetzen, Rechnung, Einheit und Antwortsatz darstellen

OERs zum Thema

Weitere freie und interaktive Lernmedien

1. Kreis auf Wikimedia Commons: Die eingebundenen Dateien stammen aus Wikimedia Commons und führen zu ihren jeweiligen freien Lizenzinformationen.
2. GeoGebra: Die eingebetteten Aktivitäten visualisieren Radius, Durchmesser, Umfang und das Abrollen eines Kreises.
3. Lernvideo: Die eingebetteten YouTube-Videos zeigen Rechenwege für gegebenen Durchmesser beziehungsweise gegebenen Radius.

Verknüpfte Lernbereiche

M6 E - Kreisumfang berechnen Kreis Radius Durchmesser Kreisumfang Kreiszahl Pi Proportionalität Längeneinheiten Sachaufgaben