M6 E - Maßstab in komplexeren Modellierungsaufgaben

Einleitung

Ein Maßstab verbindet eine Darstellung mit der Wirklichkeit. Du brauchst ihn bei Karten, Bauplänen, Modellen, Stadtplänen, Modelleisenbahnen und digitalen 3D-Modellen. In diesem aiMOOC arbeitest Du auf E-Niveau mit mehrschrittigen Modellierungsaufgaben: Du wechselst sicher zwischen Einheiten, vergleichst verschiedene Maßstäbe, entscheidest selbst über geeignete Rechenwege und prüfst am Ende, ob Dein Ergebnis überhaupt plausibel sein kann.

Ein Maßstab der Form $1:n$ bedeutet:

$1\text{Längeneinheit im Modell}=n\text{gleiche Längeneinheiten im Original}$

Die Grundidee lässt sich auch als Bruch schreiben:

$\frac{L_{\text{Modell}}}{L_{\text{Original}}}=\frac{1}{n}$

Wichtig: Bevor Du multiplizierst oder dividierst, müssen Modell- und Originallänge in derselben Einheit vorliegen.

Die historische topografische Karte ist mit $1:25000$ angegeben. Damit gilt zum Beispiel:

$1\text{cm auf der Karte}=25000\text{cm}=250\text{m in der Wirklichkeit}$

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Maßstab: einen Maßstab $1:n$ als Verhältnis und als Bruch deuten.
2. Längeneinheit: zwischen $\text{mm}$, $\text{cm}$, $\text{dm}$, $\text{m}$ und $\text{km}$ sicher umrechnen.
3. Modellierung: mehrschrittige Aufgaben aus Karten, Bauplänen und Modellbau in ein mathematisches Modell übersetzen.
4. Proportionalität: Modell- und Originallängen mit Multiplikation oder Division berechnen.
5. Plausibilität: Ergebnisse durch Überschlag, Rückrechnung und Größenvergleich prüfen.
6. Kartenmaßstab: verschiedene Maßstäbe vergleichen und erklären, welche Darstellung detailreicher ist.

Maßstab als Verhältnis

Drei Größen, drei Aufgabentypen

Für einen Verkleinerungsmaßstab $1:n$ reichen drei Formeln. Sie bilden ein Rechendreieck:

Gesucht	Formel	Denkfrage
Originallänge	$L_{\text{Original}}=L_{\text{Modell}}\cdot n$	Muss das Original größer als das Modell sein?
Modelllänge	$L_{\text{Modell}}=\frac{L_{\text{Original}}}{n}$	Muss das Modell kleiner als das Original sein?
Maßstabszahl	$n=\frac{L_{\text{Original}}}{L_{\text{Modell}}}$	Sind beide Längen vorher in derselben Einheit?

Merksatz:

$\text{Modell}\stackrel{\cdot n}{\to }\text{Original}$

$\text{Original}\stackrel{:n}{\to }\text{Modell}$

Beweglicher Verhältnis-Slider

Mit dem Slider kannst Du sehen, wie sich Verhältnisse verändern. Stelle zum Beispiel $1:10$, $1:50$ und $1:100$ ein und beobachte, wie klein der Modellanteil $\frac{1}{n}$ wird.

Bewegliche Bruchdarstellung

Ein Maßstab $1:n$ ist ein Bruch $\frac{1}{n}$. Verschiebe im folgenden Material den Nenner und vergleiche:

$\frac{1}{25}>\frac{1}{50}>\frac{1}{100}$

Das erklärt, warum $1:25000$ ein größerer Maßstab ist als $1:100000$: Der Bruch $\frac{1}{25000}$ ist größer.

Einheitenwechsel sicher beherrschen

Längeneinheiten als Stellenwertmodell

km	m	dm	cm	mm
$1$	$1000$	$10000$	$100000$	$1000000$
$\mathrm{0,001}$	$1$	$10$	$100$	$1000$

Zwischen benachbarten Einheiten gilt meistens der Faktor $10$; nur zwischen $\text{km}$ und $\text{m}$ liegt der Faktor $1000$.

$\mathrm{4,7}\text{m}=470\text{cm}=4700\text{mm}$

$325000\text{cm}=3250\text{m}=\mathrm{3,25}\text{km}$

Interaktive Stellenwerttafel

Verschiebe bzw. verändere Dezimalzahlen und beobachte, wie sich Stellenwerte beim Umrechnen verschieben.

Dynamische Zahlengerade

Stelle auf der Zahlengeraden zum Beispiel $0$ bis $5$ ein. Markiere $\mathrm{1,25}$, $\mathrm{2,5}$ und $\mathrm{3,75}$. Übertrage danach die Werte von Kilometern in Meter.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Methode

Bei komplexen Maßstabsaufgaben hilft ein fester Modellierungsweg:

Schritt	Symbol	Frage
1. Situation verstehen	$\to$	Was ist Modell, was ist Original?
2. Größen notieren	$L_M,L_O,n$	Welche Größe ist gegeben, welche gesucht?
3. Einheiten angleichen	$\text{cm}\leftrightarrow \text{m}\leftrightarrow \text{km}$	Sind beide Längen in derselben Einheit?
4. Maßstabsbeziehung wählen	$\cdot n$ oder $:n$	Wird vergrößert oder verkleinert?
5. Rechnen	$=$	Stimmen Rechenschritte und Dezimalstellen?
6. Ergebnis deuten	$✓$	Passt Einheit und Größenordnung zur Situation?
7. Rückwärts prüfen	$\circlearrowleft$	Liefert die Rückrechnung wieder den Ausgangswert?

Animierter Rechenweg zum Aufklappen

Beispiel: Eine Wanderroute ist auf einer Karte im Maßstab $1:25000$ in drei Abschnitte zerlegt: $\mathrm{3,8}\text{cm}$, $\mathrm{2,6}\text{cm}$ und $\mathrm{1,4}\text{cm}$. Wie lang ist die Route in Wirklichkeit?

Schritt 1 – Kartenstrecken addieren

$\mathrm{3,8}+\mathrm{2,6}+\mathrm{1,4}=\mathrm{7,8}\text{cm}$

Schritt 2 – Maßstab anwenden

$\mathrm{7,8}\cdot 25000=195000\text{cm}$

Schritt 3 – Einheit wechseln

$195000\text{cm}=1950\text{m}=\mathrm{1,95}\text{km}$

Schritt 4 – Plausibilität

Da bei $1:25000$ schon $1\text{cm}=250\text{m}$ gilt, müssen knapp $8\text{cm}$ knapp $2\text{km}$ ergeben. $\mathrm{1,95}\text{km}$ ist plausibel.

Karten und Maßstabsleisten

Eine grafische Maßstabsleiste hilft beim Schätzen. Bei einer Zahlenangabe musst Du dagegen rechnen. Für $1:50000$ gilt:

$1\text{cm}=50000\text{cm}=500\text{m}=\mathrm{0,5}\text{km}$

Darum sind typische Ankerwerte nützlich:

Maßstab	$1\text{cm}$ entspricht	$4\text{cm}$ entsprechen
$1:10000$	$100\text{m}$	$400\text{m}$
$1:25000$	$250\text{m}$	$1\text{km}$
$1:50000$	$500\text{m}$	$2\text{km}$
$1:100000$	$1\text{km}$	$4\text{km}$

Komplexe Kartenaufgabe

Auf einer Karte im Maßstab $1:50000$ misst eine Strecke $\mathrm{6,4}\text{cm}$. Ein zweiter Kartenausschnitt derselben Gegend hat den Maßstab $1:25000$.

1. Wirkliche Länge:

$\mathrm{6,4}\text{cm}\cdot 50000=320000\text{cm}=\mathrm{3,2}\text{km}$

2. Länge derselben Strecke auf der zweiten Karte:

$\mathrm{3,2}\text{km}=320000\text{cm}$

$\frac{320000\text{cm}}{25000}=\mathrm{12,8}\text{cm}$

3. Vergleich:

$\mathrm{12,8}\text{cm}=2\cdot \mathrm{6,4}\text{cm}$

Die Karte $1:25000$ zeigt dieselbe Strecke doppelt so lang wie die Karte $1:50000$. Sie ist damit großmaßstäbiger und kann typischerweise mehr Einzelheiten zeigen.

Maßstäbe direkt vergleichen

Dynamisches Vergleichsdiagramm: Nutze die gekoppelten Zahlengeraden für Verhältnisse. Stelle zum Beispiel ein, dass $1\text{cm}$ auf der oberen Zahlengeraden $250\text{m}$ auf der unteren Zahlengeraden entspricht. Verschiebe anschließend beide Markierungen.

Für dieselbe Originallänge $L_O$ gilt:

$L_M=\frac{L_O}{n}$

Je kleiner die Maßstabszahl $n$, desto größer erscheint dieselbe Strecke in der Darstellung.

Beispiel mit $L_O=\mathrm{1,8}\text{km}=180000\text{cm}$:

Maßstab	Rechnung	Kartenlänge
$1:25000$	$\frac{180000}{25000}$	$\mathrm{7,2}\text{cm}$
$1:50000$	$\frac{180000}{50000}$	$\mathrm{3,6}\text{cm}$
$1:100000$	$\frac{180000}{100000}$	$\mathrm{1,8}\text{cm}$

Baupläne und Architekturmodelle

Ein Bauplan ist eine maßstäbliche Darstellung. Für einen Grundriss im Maßstab $1:50$ gilt:

$1\text{cm im Plan}=50\text{cm}=\mathrm{0,5}\text{m in Wirklichkeit}$

Beispiel: Ein Raum ist im Plan $\mathrm{7,2}\text{cm}$ lang und $\mathrm{5,4}\text{cm}$ breit.

$\mathrm{7,2}\cdot 50=360\text{cm}=\mathrm{3,60}\text{m}$

$\mathrm{5,4}\cdot 50=270\text{cm}=\mathrm{2,70}\text{m}$

Die realen Raummaße sind also $\mathrm{3,60}\text{m}\times \mathrm{2,70}\text{m}$.

Bauplan mit Einheitenwechsel und Gegenprobe

Ein Tisch soll in denselben Raum passen. Seine reale Länge beträgt $\mathrm{1,80}\text{m}$. Wie lang musst Du ihn im Grundriss $1:50$ zeichnen?

$\mathrm{1,80}\text{m}=180\text{cm}$

$L_M=\frac{180\text{cm}}{50}=\mathrm{3,6}\text{cm}$

Gegenprobe:

$\mathrm{3,6}\text{cm}\cdot 50=180\text{cm}=\mathrm{1,80}\text{m}$

Damit ist der Rechenweg konsistent.

Dynamische maßstäbliche Zeichnung

Ziehe das Lineal und verändere die Länge. Nutze das Material, um eine Strecke im Maßstab zu konstruieren.

Modellbau: Eisenbahn, Fahrzeuge und 3D-Modelle

Bei Modelleisenbahnen werden verschiedene Maßstäbe verwendet. Eine Lokomotive mit einer Originallänge von $\mathrm{19,14}\text{m}$ wird in $1:87$ modelliert.

$\mathrm{19,14}\text{m}=1914\text{cm}$

$L_M=\frac{1914\text{cm}}{87}=22\text{cm}$

Im Maßstab $1:160$ wäre dieselbe Lokomotive nur

$L_M=\frac{1914\text{cm}}{160}=\mathrm{11,9625}\text{cm}\approx \mathrm{12,0}\text{cm}$

lang.

Das Foto zeigt Modellfahrzeuge in unterschiedlichen Maßstäben. Vergleiche die sichtbaren Größen mit den Nennern der Maßstäbe: Ein kleinerer Nenner bedeutet bei demselben Original ein größeres Modell.

Mehrschrittige Modellbauaufgabe

Ein Modellauto ist $\mathrm{24,5}\text{cm}$ lang. Das Original ist $\mathrm{4,41}\text{m}$ lang.

1. Einheiten angleichen:

$\mathrm{4,41}\text{m}=441\text{cm}$

2. Maßstabszahl bestimmen:

$n=\frac{441}{\mathrm{24,5}}=18$

3. Maßstab angeben:

$1:18$

4. Plausibilität:

$\mathrm{24,5}\cdot 18=441\text{cm}=\mathrm{4,41}\text{m}$

Die Rückrechnung bestätigt das Ergebnis.

3D-Körper: Länge skaliert linear

Bei einem 3D-Modell werden alle Längen mit demselben Maßstabsfaktor verändert. Ein Turm ist im Original $45\text{m}$ hoch, $30\text{m}$ lang und $18\text{m}$ breit. Das Modell soll im Maßstab $1:150$ gebaut werden.

$45\text{m}=4500\text{cm}$

$\frac{4500}{150}=30\text{cm}$

$30\text{m}=3000\text{cm}\Rightarrow \frac{3000}{150}=20\text{cm}$

$18\text{m}=1800\text{cm}\Rightarrow \frac{1800}{150}=12\text{cm}$

Das Modell hat also die Maße

$30\text{cm}\times 20\text{cm}\times 12\text{cm}$.

E-Niveau-Erweiterung: Längen werden mit $\frac{1}{n}$ skaliert. Flächen würden mit $\frac{1}{n^2}$, Volumina mit $\frac{1}{n^3}$ skaliert. Für reine Längenaufgaben brauchst Du aber nur den linearen Maßstab.

Faltbarer und rotierbarer 3D-Körper

Öffne und schließe das Würfelnetz und drehe den Körper. Überlege dabei: Wenn jede Kante im Modell halb so lang wird, was passiert mit den Kantenlängen im Originalvergleich?

Plausibilität prüfen

Eine richtige Rechnung ist erst dann wirklich überzeugend, wenn das Ergebnis zur Situation passt.

Fünf-Punkte-Plausibilitätscheck

1. Größenordnung: Ist das Original bei $1:n$ deutlich größer als das Modell?
2. Einheiten: Sind $\text{mm}$, $\text{cm}$, $\text{m}$ und $\text{km}$ korrekt umgerechnet?
3. Ankerwert: Was entspricht $1\text{cm}$ bei diesem Maßstab?
4. Überschlag: Liegt das Ergebnis ungefähr dort, wo es liegen sollte?
5. Probe: Führt die Rückrechnung wieder zum Ausgangswert?

Fehlerdetektiv: Kann das stimmen?

Eine Schülerin misst auf einer Karte $\mathrm{5,2}\text{cm}$. Der Maßstab ist $1:25000$. Sie erhält $13\text{km}$.

Prüfe zuerst ohne vollständige Rechnung:

$1\text{cm}\leftrightarrow 250\text{m}=\mathrm{0,25}\text{km}$

Dann müssen ungefähr $5\text{cm}$ ungefähr

$5\cdot \mathrm{0,25}\text{km}=\mathrm{1,25}\text{km}$

entsprechen. $13\text{km}$ ist also um etwa den Faktor $10$ zu groß.

Die exakte Rechnung:

$\mathrm{5,2}\cdot 25000=130000\text{cm}=1300\text{m}=\mathrm{1,3}\text{km}$

Typische Denkfehler

Fehler	Warum falsch?	Besserer Check
$4\text{cm}$ bei $1:50000$ werden als $200\text{m}$ gedeutet.	$1\text{cm}$ entspricht schon $500\text{m}$.	Ankerwert zuerst bestimmen.
$\mathrm{2,4}\text{m}$ werden direkt durch $50$ geteilt und als $\mathrm{0,048}\text{cm}$ notiert.	Die Einheit wurde nicht mitgedacht.	Zuerst $\mathrm{2,4}\text{m}=240\text{cm}$.
$1:100000$ wird als größerer Maßstab als $1:25000$ bezeichnet.	Der Bruch $\frac{1}{100000}$ ist kleiner.	Maßstab als Bruch vergleichen.

Komplexe Modellierungsaufgaben

Aufgabe A: Schulweg auf zwei Karten

Eine reale Strecke ist auf Karte A im Maßstab $1:20000$ $\mathrm{8,5}\text{cm}$ lang.

1. Berechne die reale Länge.
2. Bestimme die Kartenlänge auf Karte B im Maßstab $1:50000$.
3. Erkläre, warum die Strecke auf Karte B kürzer erscheint.
4. Prüfe beide Ergebnisse mit einem Ankerwert.

Lösung zum Aufklappen:

$\mathrm{8,5}\cdot 20000=170000\text{cm}=\mathrm{1,7}\text{km}$

$\mathrm{1,7}\text{km}=170000\text{cm}$

$\frac{170000}{50000}=\mathrm{3,4}\text{cm}$

Da $1:50000$ einen größeren Nenner hat, wird dieselbe reale Strecke kleiner dargestellt. Probe: $\mathrm{3,4}\cdot 50000=170000\text{cm}$.

Aufgabe B: Zimmer, Grundriss und Möbelmodell

Ein Zimmer ist $\mathrm{4,80}\text{m}$ lang und $\mathrm{3,60}\text{m}$ breit. Der Grundriss soll im Maßstab $1:40$ gezeichnet werden. Ein Regal ist in Wirklichkeit $\mathrm{2,00}\text{m}$ breit.

$\mathrm{4,80}\text{m}=480\text{cm}\Rightarrow \frac{480}{40}=12\text{cm}$

$\mathrm{3,60}\text{m}=360\text{cm}\Rightarrow \frac{360}{40}=9\text{cm}$

$\mathrm{2,00}\text{m}=200\text{cm}\Rightarrow \frac{200}{40}=5\text{cm}$

Im Plan entsteht ein Zimmer von $12\text{cm}\times 9\text{cm}$; das Regal muss $5\text{cm}$ breit eingezeichnet werden.

Aufgabe C: Modellbahn mit zwei Maßstäben

Eine reale Wagenlänge beträgt $\mathrm{26,1}\text{m}$.

Für $1:87$:

$\mathrm{26,1}\text{m}=2610\text{cm}$

$\frac{2610}{87}=30\text{cm}$

Für $1:160$:

$\frac{2610}{160}=\mathrm{16,3125}\text{cm}\approx \mathrm{16,3}\text{cm}$

Das Modell in $1:87$ ist damit etwa

$\frac{30}{\mathrm{16,3125}}\approx \mathrm{1,84}$

mal so lang wie das Modell in $1:160$.

Interaktive Maßstabsberechnung

Gib jeweils zwei bekannte Größen ein und lass die fehlende Größe berechnen. Prüfe danach selbst mit einer Rückrechnung.

Video: Maßstab kurz wiederholen

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Medien- und OER-Hinweise

Die eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons. Ihre jeweiligen Dateibeschreibungsseiten nennen Urheber und Lizenz. Für die hier verwendeten Beispiele wurden frei nutzbare bzw. gemeinfreie Dateien ausgewählt, darunter gemeinfreie historische Karten und Baupläne sowie CC-lizenzierte Modellbau- und Maßstabsgrafiken.

1. Topographische Karte 1:25 000: gemeinfrei.
2. Putnam House – floor plans: gemeinfrei als Werk der US-Bundesregierung.
3. Architekturmodell: CC BY-SA 4.0.
4. Vergleich von Modelleisenbahnmaßstäben: CC BY-SA 4.0.
5. Modellauto-Vergleich: CC BY-SA 3.0 und GFDL.
6. Grafische Maßstabsleiste: CC BY-SA 4.0.
7. Würfelnetz: CC0.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet der Maßstab 1:50? (1 cm im Modell entspricht 50 cm im Original) (!50 cm im Modell entsprechen 1 cm im Original) (!1 cm im Modell entspricht 50 m im Original) (!1 m im Modell entspricht 50 cm im Original)

Wie lang sind 250000 cm in Kilometern? (2,5 km) (!25 km) (!0,25 km) (!250 km)

Eine Kartenstrecke ist bei 1:25000 genau 4 cm lang. Wie lang ist sie in Wirklichkeit? (1 km) (!100 m) (!10 km) (!250 km)

Welche Karte stellt dieselbe reale Strecke am längsten dar? (Maßstab 1:25000) (!Maßstab 1:50000) (!Maßstab 1:100000) (!Maßstab 1:200000)

Ein Original ist 600 cm lang und das Modell 12 cm. Welcher Maßstab liegt vor? (1:50) (!1:5) (!1:500) (!50:1)

Ein Raum ist im Plan 8 cm lang. Der Maßstab ist 1:50. Wie lang ist der Raum in Wirklichkeit? (4 m) (!40 m) (!0,4 m) (!400 m)

Welche Rechnung bestimmt die Modelllänge bei einem Maßstab 1:n? (Originallänge durch n) (!Originallänge mal n) (!Modelllänge mal n) (!n durch Originallänge)

Ein 18 m langer Wagen wird im Maßstab 1:100 gebaut. Wie lang ist das Modell? (18 cm) (!1,8 cm) (!180 cm) (!0,18 cm)

Welcher Plausibilitätscheck ist bei 1:25000 besonders nützlich? (1 cm entspricht 250 m) (!1 cm entspricht 25 m) (!1 cm entspricht 2,5 km) (!1 cm entspricht 250 km)

Eine Strecke ist auf einer Karte 3 cm lang und in Wirklichkeit 1,5 km. Welcher Maßstab passt? (1:50000) (!1:5000) (!1:15000) (!1:500000)

Memory

Maßstab 1:25 000	1 cm entspricht 250 m
Maßstab 1:50 000	1 cm entspricht 500 m
Maßstab 1:100 000	1 cm entspricht 1 km
Modell zu Original	mit der Maßstabszahl multiplizieren
Original zu Modell	durch die Maßstabszahl dividieren
Plausibilitätsprobe	Ergebnis rückwärts prüfen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Einheiten angleichen	Vor dem Bestimmen der Maßstabszahl
Multiplizieren	Vom Modell zum Original
Dividieren	Vom Original zum Modell
Kleinerer Nenner	Größerer Maßstab
Rückrechnung	Plausibilität prüfen

Kreuzworträtsel

Massstab	Verhältnis von Darstellung und Wirklichkeit
Modell	Verkleinerte oder vergrößerte Darstellung eines Originals
Original	Wirklicher Gegenstand oder reale Strecke
Einheit	Bezeichnung wie Zentimeter oder Kilometer
Karte	Maßstäbliche Darstellung eines Gebietes
Plausibel	So nennt man ein Ergebnis, das zur Situation passen kann

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Maßstab $1:n$ beschreibt das Verhältnis zwischen Modell und . Beim Rechnen müssen beide Längen zunächst in derselben stehen. Vom Modell zum Original wird bei einem Verkleinerungsmaßstab mit der Maßstabszahl . Vom Original zum Modell wird durch die Maßstabszahl . Bei $1:25000$ entspricht ein Zentimeter auf der Karte in Wirklichkeit . Eine Karte im Maßstab $1:25000$ stellt dieselbe reale Strecke größer dar als eine Karte im Maßstab . Nach einer Rechnung sollte das Ergebnis durch Überschlag oder geprüft werden. Ein zu großes oder zu kleines Ergebnis kann auf einen Fehler beim hinweisen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Maßstab im Klassenraum: Miss einen Gegenstand im Klassenraum und zeichne ihn im Maßstab $1:10$. Notiere Modell- und Originallänge mit Einheit.
2. Kartenanker: Erstelle eine Mini-Tabelle für $1:10000$, $1:25000$, $1:50000$ und $1:100000$, die jeweils zeigt, wie viel $1\text{cm}$ in Wirklichkeit bedeutet.
3. Fehlerdetektiv: Erfinde eine falsche Maßstabsrechnung mit einem typischen Einheitenfehler und erkläre, wie man den Fehler erkennt.
4. Modellfoto: Fotografiere ein selbst gebautes Papiermodell neben einem Lineal und beschreibe, welche Originallänge bei einem von Dir gewählten Maßstab dazugehören würde.

Standard

1. Grundrissprojekt: Zeichne einen einfachen Raumgrundriss im Maßstab $1:50$ und füge mindestens drei Möbel maßstäblich ein.
2. Zwei Karten vergleichen: Wähle zwei Maßstäbe und berechne, wie lang dieselbe reale Strecke auf beiden Karten wäre. Erkläre den Unterschied.
3. Modellbahnplanung: Berechne für ein Fahrzeug mit selbst gewählter Originallänge die Modelllängen in $1:87$ und $1:160$. Vergleiche die Ergebnisse.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du eine mehrschrittige Maßstabsaufgabe mit Einheitenwechsel und Plausibilitätscheck löst.

Schwer

1. Schulgelände modellieren: Entwirf ein maßstäbliches Modell eines Ausschnitts des Schulgeländes. Begründe die Wahl des Maßstabs und dokumentiere mindestens fünf Umrechnungen.
2. Maßstabwechsel: Nimm eine Zeichnung im Maßstab $1:40$ und übertrage sie in $1:25$, ohne die Originallängen neu zu messen. Entwickle dafür eine allgemeine Strategie.
3. 3D-Modell: Plane einen quaderförmigen Baukörper im Maßstab $1:100$. Bestimme Modellmaße und erkläre als Erweiterung, warum Flächen und Volumina nicht mit demselben Faktor wie Längen skalieren.
4. Plausibilitätsstudie: Sammle fünf reale Größen aus Alltag, Karte oder Modellbau. Entwickle zu jeder Größe einen Überschlag, mit dem sich ein Maßstabsergebnis schnell prüfen lässt.

Lernkontrolle

1. Modellierungsweg erklären: Eine Karte zeigt eine Strecke von $\mathrm{7,3}\text{cm}$ bei $1:25000$. Beschreibe einen vollständigen Lösungsweg mit Einheitenwechsel, Rechnung und Plausibilitätsprüfung. Begründe jeden Schritt.
2. Maßstäbe beurteilen: Zwei Schulhofpläne verwenden $1:200$ und $1:500$. Erkläre, welcher Plan ein $30\text{m}$ langes Gebäude größer darstellt und warum. Berechne beide Planlängen.
3. Fehleranalyse: Jemand rechnet bei $1:50000$ aus $\mathrm{4,2}\text{cm}$ die Strecke $210\text{km}$. Finde mindestens zwei Kontrollmöglichkeiten, mit denen der Fehler auffällt, und korrigiere ihn.
4. Transfer Bauplan: Ein $\mathrm{1,8}\text{m}$ breiter Schrank soll in einen Grundriss $1:40$ eingezeichnet werden. Entwickle einen Rechenweg und prüfe das Ergebnis durch Rückrechnung.
5. Maßstabwechsel: Eine Strecke ist in einem Plan $9\text{cm}$ lang und der Plan hat $1:100$. Wie lang wäre dieselbe Strecke in $1:50$? Löse auf mindestens zwei Wegen und vergleiche.
6. Modellbau und Plausibilität: Ein $1:87$-Modell eines Zugwagens ist angeblich $\mathrm{3,2}\text{cm}$ lang. Prüfe, welche Originallänge daraus folgen würde, und beurteile anhand einer sinnvollen Größenordnung, ob die Angabe für einen Reisezugwagen plausibel erscheint.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Deinen Modellierungsweg sichtbar machst. Zeige insbesondere:

1. Maßstab deuten: die Bedeutung von $1:n$ in Worten, als Verhältnis und als Bruch.
2. Einheiten umrechnen: sichere Umrechnungen zwischen $\text{mm}$, $\text{cm}$, $\text{m}$ und $\text{km}$.
3. Mehrschrittig rechnen: mindestens eine Aufgabe mit mehreren Teilrechnungen.
4. Maßstäbe vergleichen: eine begründete Aussage darüber, wie sich verschiedene Maßstäbe auf die Darstellungsgröße auswirken.
5. Plausibilität prüfen: mindestens einen Überschlag und eine Rückrechnung.
6. Darstellungen nutzen: mindestens eine Karte, einen Bauplan oder ein Modell mathematisch auswerten.
7. Kommunizieren: Rechenwege so notieren, dass andere sie nachvollziehen können.

Verknüpfte Lernbereiche

Maßstab Verhältnis Proportionalität Längeneinheit Einheiten umrechnen Karte (Kartografie) Bauplan Modellbau Modellierung Überschlag Plausibilität