M6 M - Primfaktorzerlegung nutzen

Einleitung

Zahlen haben einen inneren Aufbau. Viele natürliche Zahlen lassen sich als Produkt kleinerer Zahlen schreiben. Zerlegst Du so lange weiter, bis nur noch Primzahlen übrig sind, erhältst Du die Primfaktorzerlegung.

In diesem aiMOOC lernst Du auf M-Niveau der Klasse 6,

1. natürliche Zahlen sicher in Primfaktoren zu zerlegen,
2. Primfaktoren mit Potenzen übersichtlich zusammenzufassen,
3. Teilbarkeit mithilfe der Primfaktorzerlegung zu untersuchen,
4. gemeinsame Primfaktoren zu erkennen und
5. Brüche mithilfe gemeinsamer Primfaktoren vollständig zu kürzen.

Ein Leitbeispiel ist:

$84=2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^2\cdot 3\cdot 7$

Primzahlen als Bausteine der natürlichen Zahlen

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als $1$, die genau zwei positive Teiler besitzt: $1$ und sich selbst.

Wichtig: $1$ ist keine Primzahl.

$2$ ist die einzige gerade Primzahl.

Die ersten Primzahlen sind:

$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$

Diese Zahlen kannst Du wie Primzahlkarten verwenden. Beim Zerlegen einer Zahl suchst Du nach passenden Karten, deren Produkt wieder die Ausgangszahl ergibt.

Die Abbildung macht einen wichtigen Unterschied sichtbar: Zusammengesetzte Zahlen lassen sich als Rechtecke mit mehreren möglichen Seitenlängen anordnen. Bei Primzahlen gibt es nur die Zerlegung $1\cdot p$.

Primzahlen finden: Sieb des Eratosthenes

Mit dem Sieb des Eratosthenes kannst Du Primzahlen systematisch finden. Du streichst nacheinander die Vielfachen von $2$, dann von $3$, danach von $5$ und so weiter. Übrig bleiben die Primzahlen.

Die Animation zeigt Schritt für Schritt, wie zusammengesetzte Zahlen herausgefiltert werden.

Beobachte: $2,3,5,7,11,13,17,19,\dots$

sind nicht als Vielfache kleinerer natürlicher Zahlen größer als $1$ entstanden.

Was bedeutet Primfaktorzerlegung?

Bei einer Primfaktorzerlegung wird eine natürliche Zahl als Produkt von Primzahlen geschrieben.

Beispiele:

$12=2\cdot 2\cdot 3=2^2\cdot 3$

$20=2\cdot 2\cdot 5=2^2\cdot 5$

$45=3\cdot 3\cdot 5=3^2\cdot 5$

$72=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=2^3\cdot 3^2$

Eine Potenz fasst gleiche Faktoren zusammen:

$2^3=2\cdot 2\cdot 2$

$3^2=3\cdot 3$

Faktorbaum: Zerlegen Schritt für Schritt

Ein Faktorbaum zeigt den Rechenweg sichtbar. Jede zusammengesetzte Zahl wird in zwei Faktoren aufgeteilt. Primzahlen werden nicht weiter zerlegt.

Für $20$ gilt:

$20=4\cdot 5=(2\cdot 2)\cdot 5=2^2\cdot 5$

Ein weiteres Beispiel:

$24=6\cdot 4=(2\cdot 3)\cdot (2\cdot 2)=2^3\cdot 3$

Du darfst einen Faktorbaum unterschiedlich beginnen. Entscheidend ist: Am Ende stehen dieselben Primfaktoren.

Zum Beispiel für $24$:

$24=3\cdot 8=3\cdot 2\cdot 4=3\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^3\cdot 3$

oder

$24=6\cdot 4=(2\cdot 3)\cdot (2\cdot 2)=2^3\cdot 3$

Das ist kein Zufall. Jede natürliche Zahl größer als $1$ besitzt – abgesehen von der Reihenfolge – genau eine Primfaktorzerlegung.

Leitbeispiel: $84$ zerlegen

Wir nutzen Teilbarkeitsregeln und teilen schrittweise durch kleine Primzahlen.

Schritt	Beobachtung	Rechnung
1	$84$ ist gerade.	$84:2=42$
2	$42$ ist gerade.	$42:2=21$
3	Die Quersumme von $21$ ist $2+1=3$.	$21:3=7$
4	$7$ ist eine Primzahl.	Ende

Damit gilt:

$84=2\cdot 2\cdot 3\cdot 7$

und zusammengefasst:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{84=2^2\cdot3\cdot7}}

Als Rechenkette:

$84\stackrel{:2}{\to }42\stackrel{:2}{\to }21\stackrel{:3}{\to }7\stackrel{:7}{\to }1$

Jeder verwendete Divisor ist ein Primfaktor von $84$.

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Das Video erklärt die Primfaktorzerlegung auf Klasse-6-Niveau ebenfalls am Beispiel $84$.

Größere Zahlen zerlegen

Auch größere Zahlen lassen sich mit einem Faktorbaum zerlegen.

Für $864$ ergibt sich:

$864=2^5\cdot 3^3$

Eine Kontrolle ist immer möglich:

$2^5\cdot 3^3=32\cdot 27=864$

Merksatz: Multiplizierst Du alle Primfaktoren wieder miteinander, musst Du die Ausgangszahl erhalten.

Teilbarkeitsregeln als Werkzeug

Teilbarkeitsregeln helfen Dir, schnell einen geeigneten Primfaktor zu finden.

Primzahl	Regel	Beispiel
$2$	Die letzte Ziffer ist gerade.	$138$ ist durch $2$ teilbar.
$3$	Die Quersumme ist durch $3$ teilbar.	$123:1+2+3=6$
$5$	Die letzte Ziffer ist $0$ oder $5$.	$245$ ist durch $5$ teilbar.
$7$	Häufig hilft Probieren mit Division, wenn kleinere Primfaktoren nicht passen.	$49=7\cdot 7$

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Teilbarkeit an der Primfaktorzerlegung erkennen

Die Primfaktorzerlegung zeigt nicht nur, woraus eine Zahl besteht. Sie zeigt auch, welche Produkte aus diesen Primfaktoren Teiler der Zahl sein können.

Beispiel:

$252=2^2\cdot 3^2\cdot 7$

Damit kannst Du prüfen:

Prüfe	Zerlegung des möglichen Teilers	Ergebnis
Ist $252$ durch $6$ teilbar?	$6=2\cdot 3$	Ja, beide Faktoren sind vorhanden.
Ist $252$ durch $12$ teilbar?	$12=2^2\cdot 3$	Ja.
Ist $252$ durch $18$ teilbar?	$18=2\cdot 3^2$	Ja.
Ist $252$ durch $5$ teilbar?	$5=5$	Nein, der Primfaktor $5$ fehlt.

Allgemein gilt:

Wenn

$a=p_1^{e_1}\cdot p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}$

und ein möglicher Teiler nur Primfaktoren enthält, die in $a$ in mindestens gleicher Anzahl vorkommen, dann teilt dieser Teiler die Zahl $a$.

Teilbarkeitsbeziehungen sichtbar machen

Die Grafik zeigt die Teiler von $60$ und ihre Beziehungen.

Die Primfaktorzerlegung lautet:

$60=2^2\cdot 3\cdot 5$

Daraus entstehen zum Beispiel die Teiler:

$2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$

Du kannst jeden Teiler aus den vorhandenen Primfaktoren zusammensetzen, ohne einen Exponenten zu überschreiten.

Beispiel:

$20=2^2\cdot 5$

ist ein Teiler von $60$.

Dagegen ist

$8=2^3$

kein Teiler von $60$, weil in $60=2^2\cdot 3\cdot 5$ nur zwei Faktoren $2$ vorhanden sind.

Brüche mit Primfaktoren kürzen

Beim Kürzen eines Bruchs teilst Du Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler. Mit Primfaktorzerlegungen erkennst Du gemeinsame Faktoren besonders sicher.

Beispiel:

$\frac{84}{126}$

Zerlege zuerst Zähler und Nenner:

$84=2^2\cdot 3\cdot 7$

$126=2\cdot 3^2\cdot 7$

Gemeinsam sind:

$2\cdot 3\cdot 7=42$

Jetzt wird die Struktur sichtbar:

$\frac{84}{126}=\frac{2\cdot (2\cdot 3\cdot 7)}{3\cdot (2\cdot 3\cdot 7)}=\frac{2}{3}$

Also:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{84}{126}=\frac23}}

Die Darstellung gleichwertiger Brüche verdeutlicht: Beim Kürzen ändert sich die Schreibweise, aber nicht der Wert des Bruchs.

Noch ein Kürzungsbeispiel

Kürze:

$\frac{150}{210}$

Primfaktorzerlegungen:

$150=2\cdot 3\cdot 5^2$

$210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$

Gemeinsamer Faktor:

$2\cdot 3\cdot 5=30$

Damit:

$\frac{150}{210}=\frac{5}{7}$

Kontrolle:

$150:30=5$

$210:30=7$

Schritt-für-Schritt-Strategie

Schritt	Frage an Dich	Mathematische Aktion
1	Welche kleine Primzahl könnte teilen?	Prüfe $2,3,5,7,\dots$
2	Ist die Division ohne Rest möglich?	Teile durch die Primzahl.
3	Ist der Quotient schon prim?	Falls nein, zerlege weiter.
4	Welche Primfaktoren wiederholen sich?	Schreibe gleiche Faktoren als Potenz.
5	Stimmt das Ergebnis?	Multipliziere alle Primfaktoren zur Probe.

Kurzform:

$\text{Zahl}⟶\text{Primfaktoren}⟶\text{Potenzschreibweise}⟶\text{Anwendung}$

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Interaktive Zerlegung: Rechenweg vervollständigen

Zerlege $180$ Schritt für Schritt:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 180:2=\} { 90 }

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 90:2=\} { 45 }

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 45:3=\} { 15 }

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 15:3=\} { 5 }

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 5:5=\} { 1 }

Also gilt:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 180=\} { $2^2\cdot 3^2\cdot 5$ }

Primfaktor-Checkkarten

Nutze diese Tabelle wie ein Kartenset. Decke die rechte Spalte ab und zerlege zuerst selbst.

Zahl	Primfaktorzerlegung
$18$	$2\cdot 3^2$
$24$	$2^3\cdot 3$
$30$	$2\cdot 3\cdot 5$
$36$	$2^2\cdot 3^2$
$42$	$2\cdot 3\cdot 7$
$60$	$2^2\cdot 3\cdot 5$
$72$	$2^3\cdot 3^2$
$84$	$2^2\cdot 3\cdot 7$
$90$	$2\cdot 3^2\cdot 5$
$120$	$2^3\cdot 3\cdot 5$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Aussage beschreibt eine Primzahl richtig? (Sie ist größer als 1 und hat genau zwei positive Teiler) (!Sie ist durch jede kleinere Zahl teilbar) (!Sie ist immer ungerade) (!Sie besitzt genau einen positiven Teiler)

Welche Primfaktorzerlegung gehört zu 84? (2² · 3 · 7) (!2 · 3² · 7) (!2² · 5 · 7) (!2³ · 3 · 7)

Welche Primfaktorzerlegung gehört zu 72? (2³ · 3²) (!2² · 3³) (!2³ · 5²) (!2 · 3 · 12)

Was bedeutet 2³? (2 · 2 · 2) (!2 · 3) (!2 + 2 + 2) (!3 · 3)

Welche Zahl ist eine Primzahl? (29) (!21) (!27) (!33)

90 hat die Primfaktorzerlegung 2 · 3² · 5. Durch welche Zahl ist 90 sicher teilbar? (15) (!16) (!27) (!40)

Welches vollständig gekürzte Ergebnis hat 84 geteilt durch 126 als Bruch? (2 durch 3) (!3 durch 2) (!4 durch 7) (!7 durch 9)

60 hat die Primfaktorzerlegung 2² · 3 · 5. Welche Zahl ist ein Teiler von 60? (20) (!8) (!18) (!25)

Woran erkennst Du in der Primfaktorzerlegung, dass eine Zahl durch 6 teilbar ist? (Die Primfaktoren 2 und 3 kommen vor) (!Der Primfaktor 5 kommt vor) (!Der Faktor 2 kommt dreimal vor) (!Die Zahl besitzt nur zwei Primfaktoren)

Warum liefern verschiedene Faktorbaum-Wege am Ende dieselben Primfaktoren? (Die Primfaktorzerlegung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig) (!Jeder Faktorbaum muss mit 2 beginnen) (!Jede zusammengesetzte Zahl hat nur zwei Teiler) (!Primzahlen lassen sich beliebig weiter zerlegen)

Memory

Primzahl	Genau zwei positive Teiler
Primfaktor	Primzahl als Faktor einer Zerlegung
Faktorbaum	Schrittweise Zerlegung einer Zahl
Potenz	Kurzschreibweise für gleiche Faktoren
Teilbarkeit	Division ohne Rest
Kürzen	Zähler und Nenner durch denselben Teiler teilen
Quersumme	Summe aller Ziffern einer Zahl

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Primzahl	$13$
Primfaktorzerlegung	$36=2^2\cdot 3^2$
Teilbarkeitsregel	Eine gerade Endziffer zeigt Teilbarkeit durch $2$
Gemeinsamer Faktor	$2\cdot 3$ bei $18$ und $24$
Vollständig gekürzter Bruch	$\frac{84}{126}=\frac{2}{3}$

Kreuzworträtsel

Primzahl	Wie heißt eine Zahl größer als eins mit genau zwei positiven Teilern?
Faktor	Wie heißt eine Zahl, die in einer Multiplikation vorkommt?
Produkt	Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
Potenz	Welche Kurzschreibweise nutzt man für mehrfach gleiche Faktoren?
Teiler	Wie heißt eine Zahl, durch die ohne Rest geteilt werden kann?
Quersumme	Wie heißt die Summe aller Ziffern einer Zahl?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Primzahl besitzt genau positive Teiler.

Die Zahl $1$ ist Primzahl.

Bei einer Primfaktorzerlegung wird eine natürliche Zahl als Produkt von geschrieben.

Gleiche Primfaktoren können mit einer zusammengefasst werden.

Die Zahl $84$ enthält den Primfaktor $2$ genau .

Die Primfaktorzerlegung von $84$ lautet $2^2\cdot 3\cdot$ .

Ist der Primfaktor $5$ in einer Zerlegung nicht vorhanden, ist die Zahl nicht durch teilbar.

Beim Kürzen werden Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen geteilt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Primzahlkarte: Gestalte zehn Karten mit den ersten zehn Primzahlen. Schreibe auf die Rückseite jeweils zwei zusammengesetzte Zahlen, in denen die Primzahl als Faktor vorkommt.
2. Faktorbaum: Zeichne Faktor­bäume für $24$, $36$ und $54$. Vergleiche Deine Endergebnisse mit der Potenzschreibweise.
3. Sieb des Eratosthenes: Erstelle ein Hunderterfeld und markiere die Primzahlen bis $100$. Beschreibe, welche Vielfachen Du gestrichen hast.
4. Teilbarkeitsregel: Erfinde je drei Zahlen, die durch $2$, $3$ und $5$ teilbar sind, und begründe Deine Auswahl.

Standard

1. Primfaktorzerlegung: Zerlege $84$, $90$, $120$ und $180$. Nutze bei zwei Zahlen einen Faktorbaum und bei zwei Zahlen eine Divisionskette.
2. Teilbarkeit: Untersuche mit der Primfaktorzerlegung von $360$, ob die Zahl durch $8$, $9$, $12$, $15$ und $25$ teilbar ist.
3. Brüche kürzen: Zerlege Zähler und Nenner von $\frac{72}{108}$, $\frac{90}{150}$ und $\frac{126}{210}$ in Primfaktoren und kürze vollständig.
4. Erklärvideo: Plane ein einminütiges Erklärvideo, in dem Du die Zerlegung von $126$ Schritt für Schritt erklärst. Nutze dabei die Begriffe Primzahl, Faktor und Potenz.

Schwer

1. Fehleranalyse: Eine Person behauptet $180=2^2\cdot 3\cdot 5$. Finde den Fehler, korrigiere die Zerlegung und erkläre, wie eine Probe den Fehler sichtbar macht.
2. Teilerstruktur: Bestimme aus $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$ möglichst viele Teiler, ohne $360$ jeweils durch jede Zahl zu dividieren. Erkläre Dein System.
3. Kürzungsstrategie: Vergleiche das Kürzen von $\frac{168}{252}$ durch schrittweises Kürzen mit dem Kürzen über Primfaktorzerlegungen. Beurteile, welche Methode Dir mehr Sicherheit gibt.
4. Forscherauftrag: Wähle zwei verschiedene Zahlen zwischen $100$ und $300$, die mindestens drei verschiedene Primfaktoren besitzen. Zerlege beide und untersuche ihre gemeinsamen Teiler.

Lernkontrolle

1. Transfer Primfaktorzerlegung: Eine Zahl besitzt die Primfaktorzerlegung $2^3\cdot 3\cdot 5$. Entscheide ohne Ausmultiplizieren, ob sie durch $8$, $12$, $15$, $20$ und $45$ teilbar ist. Begründe jeweils.
2. Fehler finden: Prüfe die Aussage $126=2\cdot 3^2\cdot 5$. Zeige mit einer Rückrechnung und mit Teilbarkeit, warum die Aussage richtig oder falsch ist.
3. Bruchstruktur: Erkläre anhand von $\frac{180}{252}$, wie gemeinsame Primfaktoren beim Kürzen helfen. Führe die vollständige Kürzung durch.
4. Faktorbaum vergleichen: Erstelle zwei verschiedene Faktor­bäume für $144$. Begründe, warum beide zur gleichen Primfaktorzerlegung führen.
5. Teilbarkeit begründen: Eine Zahl enthält in ihrer Primfaktorzerlegung $2^2$, $3$ und $7$. Entwickle drei sichere Aussagen über ihre Teilbarkeit und eine Zahl, durch die sie nicht zwingend teilbar sein muss.
6. Eigene Zahl konstruieren: Konstruiere die kleinste natürliche Zahl, die durch $8$, $9$ und $5$ teilbar ist. Nutze Primfaktoren zur Begründung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können:

1. Du erkennst Primzahlen und unterscheidest sie von zusammengesetzten Zahlen.
2. Du zerlegst natürliche Zahlen sicher in Primfaktoren.
3. Du schreibst wiederholte Primfaktoren als Potenzen.
4. Du kontrollierst eine Primfaktorzerlegung durch Rückmultiplikation.
5. Du nutzt Teilbarkeitsregeln gezielt bei der Zerlegung.
6. Du entscheidest aus einer Primfaktorzerlegung, ob ein bestimmter Teiler möglich ist.
7. Du erkennst gemeinsame Primfaktoren zweier Zahlen.
8. Du kürzt Brüche mithilfe gemeinsamer Primfaktoren vollständig.
9. Du erklärst Deinen Rechenweg mit passenden mathematischen Fachbegriffen.
10. Du überträgst die Methode auf unbekannte Zahlen und begründest Deine Entscheidungen.

OERs zum Thema

Passende freie Medien in diesem aiMOOC stammen aus Wikimedia Commons. Besonders nützlich sind die Faktorbaum-Grafiken, die Primzahl- und Zerlegungsvisualisierungen sowie die animierte Darstellung des Siebs des Eratosthenes.

Verknüpfte Lernbereiche

Primfaktorzerlegung Primzahl Teilbarkeit Teiler Vielfache Sieb des Eratosthenes Faktorbaum Potenz Bruchrechnung Kürzen Größter gemeinsamer Teiler