Y-Achsenabschnitt linearer Funktionen - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Der y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion ist ein zentraler Begriff beim Arbeiten mit Funktionsgraphen. Er sagt Dir, an welcher Stelle eine Gerade die y-Achse schneidet. Bei linearen Funktionen kannst Du diesen Wert besonders einfach aus der Funktionsgleichung ablesen, berechnen oder im Koordinatensystem erkennen.

Eine lineare Funktion wird in der Schule häufig in der Form $f(x)=mx+b$ oder $y=mx+b$ geschrieben. Dabei beschreibt $m$ die Steigung und $b$ den y-Achsenabschnitt. Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat deshalb die Koordinaten $S_y=(0|b)$. Anders gesagt: Der y-Achsenabschnitt ist immer der Funktionswert an der Stelle $x=0$.

Dieser aiMOOC hilft Dir, den y-Achsenabschnitt sicher zu erkennen, zu berechnen und in Sachzusammenhängen zu deuten. Du lernst auch, typische Fehler zu vermeiden, zum Beispiel die Verwechslung von y-Achsenabschnitt und Nullstelle.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, was der y-Achsenabschnitt ist, ihn aus einer Funktionsgleichung ablesen, ihn aus einem Punkt und einer Steigung berechnen, ihn im Graphen markieren und ihn in einfachen Alltagssituationen deuten. Außerdem kannst Du mit der MediaWiki-Extension Math mathematische Schreibweisen wie $f(x)=mx+b$, $b=f(0)$ und $S_y=(0|b)$ korrekt lesen.

Grundidee: Was bedeutet y-Achsenabschnitt?

Der y-Achsenabschnitt ist der Wert, bei dem der Graph einer Funktion die y-Achse schneidet. Da alle Punkte auf der y-Achse die x-Koordinate $0$ haben, findest Du den y-Achsenabschnitt, indem Du $x=0$ in die Funktion einsetzt.

Für eine lineare Funktion $f(x)=mx+b$ gilt:

$f(0)=m\cdot 0+b=b$

Der y-Achsenabschnitt ist also $b$. Der zugehörige Schnittpunkt mit der y-Achse ist:

$S_y=(0|b)$

Wichtig ist die Unterscheidung zwischen dem Wert des y-Achsenabschnitts und dem Punkt auf der y-Achse. Wenn $b=4$ ist, dann ist der y-Achsenabschnitt der Wert $4$, und der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet $(0|4)$.

Lineare Funktionen und ihre Gleichung

Eine lineare Funktion hat allgemein die Form:

$f(x)=mx+b$

Dabei ist $m$ die Steigung. Sie beschreibt, wie stark die Gerade steigt oder fällt. Das $b$ ist der y-Achsenabschnitt. Es beschreibt, wo die Gerade die y-Achse schneidet.

1. Steigung $m$: Gibt an, wie sich der y-Wert verändert, wenn x um $1$ zunimmt.
2. y-Achsenabschnitt $b$: Gibt den Startwert bei $x=0$ an.
3. Graph: Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade.
4. Funktionswert: Der Wert $f(0)$ ist der y-Wert des Schnittpunktes mit der y-Achse.

Das Bild zeigt mehrere lineare Funktionen. Sie können unterschiedliche Steigungen haben und trotzdem denselben y-Achsenabschnitt besitzen. Dann schneiden sie die y-Achse an derselben Stelle, verlaufen aber unterschiedlich steil.

Den y-Achsenabschnitt aus der Gleichung ablesen

Wenn die Funktion in der Form $f(x)=mx+b$ vorliegt, ist der y-Achsenabschnitt sofort erkennbar. Er ist das absolute Glied der Funktionsgleichung, also die Zahl, die ohne $x$ am Ende steht.

Beispiel 1: Positiver y-Achsenabschnitt

Gegeben ist:

$f(x)=2x+3$

Hier ist $m=2$ und $b=3$. Die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt:

$S_y=(0|3)$

Das bedeutet: Wenn $x=0$ ist, dann ist $f(0)=3$.

Beispiel 2: Negativer y-Achsenabschnitt

Gegeben ist:

$g(x)=-\frac{1}{2}x-4$

Hier ist $b=-4$. Die Gerade schneidet die y-Achse unterhalb des Ursprungs im Punkt:

$S_y=(0|-4)$

Der negative Wert zeigt Dir, dass der Schnittpunkt auf der y-Achse unterhalb von $0$ liegt.

Beispiel 3: y-Achsenabschnitt null

Gegeben ist:

$h(x)=4x$

Hier fehlt ein sichtbarer Summand $+b$. Das bedeutet:

$h(x)=4x+0$

Also ist $b=0$. Die Gerade schneidet die y-Achse im Ursprung:

$S_y=(0|0)$

Solche Funktionen heißen auch proportionale Funktionen, weil ihr Graph durch den Ursprung verläuft.

Den y-Achsenabschnitt berechnen

Manchmal ist die Gleichung nicht vollständig gegeben. Dann kannst Du den y-Achsenabschnitt berechnen, wenn Du die Steigung und einen Punkt der Geraden kennst.

Die lineare Funktion lautet:

$f(x)=mx+b$

Wenn ein Punkt $P(x_1|y_1)$ auf der Geraden liegt, dann gilt:

$y_1=m\cdot x_1+b$

Nach $b$ umgestellt ergibt sich:

$b=y_1-m\cdot x_1$

Beispiel: Steigung und Punkt gegeben

Gegeben sind die Steigung $m=2$ und der Punkt $P(4|11)$. Setze die Werte in die Formel ein:

$b=y_1-m\cdot x_1$

$b=11-2\cdot 4$

$b=11-8$

$b=3$

Die Funktionsgleichung lautet also:

$f(x)=2x+3$

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist:

$S_y=(0|3)$

Den y-Achsenabschnitt aus zwei Punkten bestimmen

Wenn zwei Punkte einer Geraden gegeben sind, bestimmst Du zuerst die Steigung und danach den y-Achsenabschnitt.

Gegeben seien zwei Punkte:

$P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$

Die Steigung berechnest Du mit:

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Danach berechnest Du $b$ mit:

$b=y_1-m\cdot x_1$

Beispiel: Zwei Punkte gegeben

Gegeben sind die Punkte $P_1(2|7)$ und $P_2(5|13)$.

Zuerst berechnest Du die Steigung:

$m=\frac{13-7}{5-2}=\frac{6}{3}=2$

Dann berechnest Du den y-Achsenabschnitt mit $P_1(2|7)$:

$b=7-2\cdot 2$

$b=7-4=3$

Die Funktion lautet:

$f(x)=2x+3$

Der y-Achsenabschnitt ist $3$, der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $(0|3)$.

Den y-Achsenabschnitt im Graphen erkennen

Im Koordinatensystem findest Du den y-Achsenabschnitt an der Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet. Die y-Achse ist die senkrechte Achse. Alle Punkte auf ihr haben die x-Koordinate $0$.

Beim Ablesen gehst Du so vor:

1. y-Achse finden: Suche die senkrechte Achse im Koordinatensystem.
2. Schnittpunkt bestimmen: Markiere die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet.
3. y-Wert ablesen: Lies den y-Wert an dieser Stelle ab.
4. Punktkoordinate notieren: Schreibe den Schnittpunkt als $S_y=(0|b)$.

Achte darauf, welche Skalierung das Koordinatensystem hat. Manchmal entspricht ein Kästchen nicht dem Wert $1$, sondern zum Beispiel $\mathrm{0,5}$, $2$ oder $10$.

Bedeutung in Sachzusammenhängen

Der y-Achsenabschnitt ist oft ein Startwert. Er beschreibt den Wert einer Größe, bevor eine Veränderung beginnt oder bevor eine unabhängige Variable größer wird.

Beispiel: Taxifahrt

Ein Taxiunternehmen berechnet eine Grundgebühr von $4$ Euro und zusätzlich $2$ Euro pro Kilometer. Die Kostenfunktion lautet:

$K(x)=2x+4$

Dabei ist $x$ die gefahrene Strecke in Kilometern. Der y-Achsenabschnitt ist $4$. Er bedeutet: Schon bei $x=0$ Kilometern entstehen $4$ Euro Kosten. Das ist die Grundgebühr.

Beispiel: Wasserstand

Ein Behälter enthält zu Beginn $15$ Liter Wasser. Pro Minute fließen $3$ Liter hinzu. Die Funktion lautet:

$W(t)=3t+15$

Der y-Achsenabschnitt ist $15$. Er beschreibt den Anfangswert des Wasserstandes bei $t=0$ Minuten.

Beispiel: Temperaturmodell

Eine Temperatur beträgt morgens $8$ Grad Celsius und steigt pro Stunde um $2$ Grad Celsius. Ein einfaches lineares Modell lautet:

$T(x)=2x+8$

Der y-Achsenabschnitt $8$ beschreibt die Anfangstemperatur zum Zeitpunkt $x=0$.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Der y-Achsenabschnitt ist leicht zu bestimmen, aber es gibt typische Fehlerquellen.

1. Nullstelle und y-Achsenabschnitt verwechseln: Die Nullstelle liegt auf der x-Achse, der y-Achsenabschnitt liegt auf der y-Achse.
2. Vorzeichen übersehen: Bei $f(x)=3x-5$ ist der y-Achsenabschnitt $-5$, nicht $5$.
3. Punkt und Wert verwechseln: Der Wert ist $b$, der Punkt ist $(0|b)$.
4. Skalierung falsch ablesen: Prüfe, welche Abstände auf der Achse verwendet werden.
5. Unvollständige Gleichung falsch lesen: Bei $f(x)=-2x$ ist $b=0$.

Merksätze

Merksatz 1: Der y-Achsenabschnitt ist der Funktionswert bei $x=0$.

Merksatz 2: Bei $f(x)=mx+b$ ist $b$ der y-Achsenabschnitt.

Merksatz 3: Der Schnittpunkt mit der y-Achse lautet $S_y=(0|b)$.

Merksatz 4: Wenn $b=0$, verläuft die Gerade durch den Ursprung.

Merksatz 5: In Sachaufgaben ist der y-Achsenabschnitt häufig ein Anfangswert, Startwert oder Grundbetrag.

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion? (Den Funktionswert bei x gleich null) (!Die Steigung der Geraden) (!Die Nullstelle der Funktion) (!Den größten Funktionswert)

Welchen y-Achsenabschnitt hat die Funktion f von x gleich 3x plus 5? (5) (!3) (!8) (!0)

Wie lautet der Schnittpunkt mit der y-Achse bei einer Funktion mit y-Achsenabschnitt b? (0 Strich b) (!b Strich 0) (!m Strich b) (!0 Strich m)

Welchen y-Achsenabschnitt hat die Funktion g von x gleich minus 2x minus 7? (minus 7) (!minus 2) (!7) (!2)

Was gilt für den Graphen einer linearen Funktion mit y-Achsenabschnitt 0? (Er verläuft durch den Ursprung) (!Er ist immer waagerecht) (!Er hat keine Steigung) (!Er schneidet die x-Achse nie)

Eine Gerade hat die Steigung 2 und geht durch den Punkt 4 Strich 11. Wie groß ist der y-Achsenabschnitt? (3) (!2) (!7) (!11)

Welche Formel berechnet den y-Achsenabschnitt aus einem Punkt x1 Strich y1 und der Steigung m? (b gleich y1 minus m mal x1) (!b gleich y1 plus m mal x1) (!b gleich m minus y1 mal x1) (!b gleich x1 minus m mal y1)

Was haben zwei lineare Funktionen gemeinsam, wenn sie denselben y-Achsenabschnitt besitzen? (Sie schneiden die y-Achse an derselben Stelle) (!Sie haben immer dieselbe Steigung) (!Sie sind immer identisch) (!Sie schneiden die x-Achse an derselben Stelle)

Welche Achse ist die y-Achse im üblichen Koordinatensystem? (Die senkrechte Achse) (!Die waagerechte Achse) (!Die Diagonale durch den Ursprung) (!Die Achse mit nur negativen Werten)

Welche Aussage beschreibt einen häufigen Fehler? (Der y-Achsenabschnitt wird mit der Nullstelle verwechselt) (!Der y-Achsenabschnitt wird immer richtig abgelesen) (!Die Steigung ist immer gleich dem y-Achsenabschnitt) (!Jede Gerade hat den y-Achsenabschnitt 1)

Memory

y-Achsenabschnitt	Schnittpunkt mit der y-Achse
Steigung	Änderungsrate der Geraden
b	Startwert der linearen Funktion
x gleich null	Einsetzen zum Finden des Achsenschnitts
Gerade	Graph einer linearen Funktion
Ursprung	Punkt mit beiden Koordinaten null
Nullstelle	Schnittpunkt mit der x-Achse

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Funktionswert bei x gleich null	y-Achsenabschnitt
Zahl vor dem x	Steigung
Zahl ohne x	absolutes Glied
Schnittpunkt mit der x-Achse	Nullstelle
senkrechte Achse	y-Achse
Graph einer linearen Funktion	Gerade
Anfangswert in Sachaufgaben	y-Achsenabschnitt

Kreuzworträtsel

Achsenabschnitt	Wie nennt man den Wert, an dem eine Gerade eine Koordinatenachse schneidet?
Steigung	Welche Größe beschreibt, wie steil eine Gerade steigt oder fällt?
Gerade	Wie heißt der Graph einer linearen Funktion?
Ursprung	Wie heißt der Punkt mit den Koordinaten null und null?
Koordinatensystem	In welchem System werden x-Achse und y-Achse dargestellt?
Funktionswert	Wie nennt man den y-Wert, der zu einem eingesetzten x-Wert gehört?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine lineare Funktion hat häufig die Form f von x gleich m mal x plus b. Die Zahl m beschreibt die der Geraden. Die Zahl b beschreibt den . Um den y-Achsenabschnitt zu berechnen, setzt man für x den Wert ein. Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat immer die x-Koordinate . Bei der Funktion f von x gleich 2x plus 6 ist der y-Achsenabschnitt . Wenn der y-Achsenabschnitt negativ ist, liegt der Schnittpunkt mit der y-Achse des Ursprungs. In Sachaufgaben beschreibt der y-Achsenabschnitt häufig einen . Eine Nullstelle ist dagegen der Schnittpunkt mit der .

Offene Aufgaben

Leicht

1. y-Achsenabschnitt erkennen: Zeichne ein Koordinatensystem und markiere bei drei selbst gewählten Geraden jeweils den Schnittpunkt mit der y-Achse.
2. Funktionsgleichungen lesen: Schreibe fünf lineare Funktionen der Form $f(x)=mx+b$ auf und unterstreiche jeweils den y-Achsenabschnitt.
3. Graph und Gleichung verbinden: Erstelle drei kleine Graphen und notiere zu jedem Graphen eine passende Funktionsgleichung mit sichtbarem y-Achsenabschnitt.
4. Merksatz gestalten: Gestalte eine Lernkarte mit dem Merksatz $b=f(0)$ und einem passenden Beispiel.

Standard

1. Wertetabelle erstellen: Erstelle zu zwei linearen Funktionen eine Wertetabelle mit den x-Werten $-2$, $-1$, $0$, $1$ und $2$ und markiere jeweils den y-Achsenabschnitt.
2. Sachaufgabe entwickeln: Erfinde eine Sachaufgabe, in der der y-Achsenabschnitt als Grundgebühr, Startwert oder Anfangsbestand vorkommt.
3. Fehleranalyse durchführen: Schreibe eine falsche Lösung zum y-Achsenabschnitt und erkläre anschließend, worin der Denkfehler liegt.
4. Punkt und Steigung nutzen: Wähle einen Punkt und eine Steigung, berechne den y-Achsenabschnitt und kontrolliere Dein Ergebnis durch Einsetzen.

Schwer

1. Lineares Modell untersuchen: Sammle reale Daten, zum Beispiel zu Kosten, Füllständen oder Entfernungen, und prüfe, ob ein lineares Modell mit y-Achsenabschnitt sinnvoll ist.
2. Zwei-Punkte-Verfahren erklären: Erstelle ein Erklärplakat, das zeigt, wie man aus zwei Punkten zuerst die Steigung und danach den y-Achsenabschnitt berechnet.
3. Parameter verändern: Untersuche mit einer digitalen Zeichenhilfe, wie sich der Graph verändert, wenn nur $b$ verändert wird und $m$ gleich bleibt.
4. Vergleich mehrerer Funktionen: Finde drei lineare Funktionen mit demselben y-Achsenabschnitt, aber unterschiedlichen Steigungen, und erkläre Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen.

Lernkontrolle

1. Zusammenhänge erklären: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, warum der y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion immer mit dem Funktionswert bei $x=0$ zusammenhängt.
2. Graphisch argumentieren: Beschreibe, wie Du den y-Achsenabschnitt aus einem Graphen abliest, und erkläre, welche Rolle die Skalierung des Koordinatensystems spielt.
3. Sachkontext deuten: Eine Kostenfunktion lautet $K(x)=\mathrm{1,50}x+6$. Erkläre, was die Zahlen $\mathrm{1,50}$ und $6$ im Sachkontext bedeuten könnten.
4. Fehler begründen: Eine Schülerin sagt, bei $f(x)=4x-9$ sei der y-Achsenabschnitt $4$. Erkläre den Fehler und formuliere die richtige Aussage.
5. Transfer leisten: Vergleiche die Bedeutungen von y-Achsenabschnitt und Nullstelle. Erkläre, warum beide Schnittpunkte mit Achsen sind, aber unterschiedliche Informationen liefern.

Links

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