M6 G - Einfacher Dreisatz

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Beim einfachen Dreisatz löst Du proportionale Sachaufgaben in einem festen, gut sichtbaren Weg:

Start	Schritt zur Einheit	Schritt zur gesuchten Menge
gegeben	auf 1	gesucht
$a⟷b$	$1⟷b:a$	$c⟷c\cdot (b:a)$

Für das G-Niveau in Klasse 6 arbeitest Du vor allem mit einfachen, direkt proportionalen Situationen: Je mehr gleiche Dinge Du kaufst, desto höher ist der Preis. Je mehr Kilometer Du bei gleichbleibender Geschwindigkeit fährst, desto länger ist die Strecke. Wichtig ist dabei: Beide Größen ändern sich mit demselben Faktor.

Stell Dir vor: 4 Flaschen Saft kosten 6,80 €. Wie viel kosten 7 Flaschen? Du kennst den Preis für 4 Flaschen, aber nicht für 7. Deshalb rechnest Du zuerst auf 1 Flasche und danach auf 7 Flaschen.

$\mathrm{6,80}:4=\mathrm{1,70}$

$\mathrm{1,70}\cdot 7=\mathrm{11,90}$

Antwort: 7 Flaschen kosten 11,90 €.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Dreisatz: einfache proportionale Sachaufgaben mit dem Weg über die Einheit lösen.
2. Proportionalität: erkennen, ob „mehr → mehr im gleichen Verhältnis“ gilt.
3. Wertetabelle: gegebene Werte, Einheit und gesuchten Wert übersichtlich eintragen.
4. Sachaufgabe: aus einem Text die zwei zusammengehörenden Größen herausfinden.
5. Überschlag: prüfen, ob Dein Ergebnis sinnvoll sein kann.

Grundidee: Was bedeutet proportional?

Bei einer proportionalen Zuordnung gehören zwei Größen so zusammen, dass sie immer mit demselben Faktor wachsen oder kleiner werden.

Beispiel:

Anzahl Hefte	Preis
1	1,50 €
2	3,00 €
4	6,00 €
6	9,00 €

Hier gilt:

$2\cdot \mathrm{1,50}=\mathrm{3,00}$

$4\cdot \mathrm{1,50}=\mathrm{6,00}$

$6\cdot \mathrm{1,50}=\mathrm{9,00}$

Der Preis pro Heft bleibt immer gleich:

$\mathrm{3,00}:2=\mathrm{6,00}:4=\mathrm{9,00}:6=\mathrm{1,50}$

Das ist das Kennzeichen einer direkten Proportionalität.

Schnelltest: Ist die Situation proportional?

Nutze diese drei Fragen:

Prüffrage	Wenn die Antwort „ja“ ist …
Kostet die doppelte Menge auch doppelt so viel?	spricht das für Proportionalität.
Kostet die halbe Menge auch halb so viel?	spricht das für Proportionalität.
Bleibt der Preis für genau 1 Stück gleich?	liegt eine konstante Einheit vor.

Beispiel proportional: 3 Brezeln kosten 4,50 €. Dann kostet 1 Brezel 1,50 € und 6 Brezeln kosten 9,00 €.

Beispiel nicht proportional: Ein Lieferdienst verlangt 3,00 € Grundgebühr und zusätzlich Geld pro Pizza. Dann verdoppelt sich der Gesamtpreis beim Verdoppeln der Pizzazahl nicht unbedingt. Für solche Aufgaben darfst Du den einfachen proportionalen Dreisatz nicht blind verwenden.

Der sichere Rechenweg: gegeben → 1 → gesucht

Merke Dir den Dreisatz als Pfeilweg.

Menge	Preis	Rechenpfeil
4 Flaschen	6,80 €	gegeben
$\downarrow :4$	$\downarrow :4$	auf 1
1 Flasche	1,70 €	Einheit
$\downarrow \cdot 7$	$\downarrow \cdot 7$	auf 7
7 Flaschen	11,90 €	gesucht

Ganz wichtig: In beiden Spalten rechnest Du immer mit demselben Faktor.

$4:4=1$ und $\mathrm{6,80}:4=\mathrm{1,70}$

danach

$1\cdot 7=7$ und $\mathrm{1,70}\cdot 7=\mathrm{11,90}$

Visueller Schritt-für-Schritt-Rechenweg

Schritt 1 anzeigen: Was ist gegeben?

4 Flaschen kosten 6,80 €. Gesucht ist der Preis für 7 Flaschen. $4⟷\mathrm{6,80}$

Schritt 2 anzeigen: Auf 1 rechnen

Teile beide Seiten durch 4. $4:4=1$ $\mathrm{6,80}:4=\mathrm{1,70}$ Also kostet 1 Flasche 1,70 €.

Schritt 3 anzeigen: Auf 7 rechnen

Multipliziere beide Seiten mit 7. $1\cdot 7=7$ $\mathrm{1,70}\cdot 7=\mathrm{11,90}$ Also kosten 7 Flaschen 11,90 €.

Schritt 4 anzeigen: Ergebnis prüfen

7 Flaschen sind mehr als 4 Flaschen. Deshalb muss der Preis größer als 6,80 € sein. 11,90 € passt dazu.

Einkaufssituation 1: Äpfel

Aufgabe: 3 kg Äpfel kosten 7,50 €. Wie viel kosten 5 kg?

Masse	Preis	Rechenweg
3 kg	7,50 €	gegeben
$\downarrow :3$	$\downarrow :3$	auf 1 kg
1 kg	2,50 €	Einheit
$\downarrow \cdot 5$	$\downarrow \cdot 5$	auf 5 kg
5 kg	12,50 €	gesucht

Rechnung:

$\mathrm{7,50}:3=\mathrm{2,50}$

$\mathrm{2,50}\cdot 5=\mathrm{12,50}$

Antwort: 5 kg Äpfel kosten 12,50 €.

Preisstreifen als Bruchdarstellung

Die 7,50 € für 3 kg kannst Du als drei gleich große Teile sehen:

2,50 €

2,50 €

2,50 €

$\frac{\mathrm{7,50}}{3}=\mathrm{2,50}$

Ein Teil entspricht dem Preis für 1 kg. Für 5 kg brauchst Du fünf gleich große Teile:

2,50 €

2,50 €

2,50 €

2,50 €

2,50 €

$5\cdot \mathrm{2,50}=\mathrm{12,50}$

Einkaufssituation 2: Hefte

Aufgabe: 6 Hefte kosten 9,00 €. Wie viel kosten 10 Hefte?

Hefte	Preis
6	9,00 €
$\downarrow :6$	$\downarrow :6$
1	1,50 €
$\downarrow \cdot 10$	$\downarrow \cdot 10$
10	15,00 €

$\mathrm{9,00}:6=\mathrm{1,50}$

$\mathrm{1,50}\cdot 10=\mathrm{15,00}$

Antwort: 10 Hefte kosten 15,00 €.

Stellenwertmodell für Geldbeträge

Bei Geld ist die Dezimalstelle wichtig:

Euro	Komma	Zehntel Euro	Hundertstel Euro
1	,	5	0

$\mathrm{1,50}=1+\mathrm{0,50}$ (in Euro: 1 Euro und 50 Cent)

Baue den Geldbetrag richtig zusammen.

$\mathrm{1,70}$ € sind Euro und Cent.

Beispiel 3: Stoffband

Aufgabe: 8 m Stoffband kosten 12,00 €. Wie viel kosten 5 m?

Länge	Preis	Rechenschritt
8 m	12,00 €	Start
1 m	1,50 €	$:8$
5 m	7,50 €	$\cdot 5$

$\mathrm{12,00}:8=\mathrm{1,50}$

$\mathrm{1,50}\cdot 5=\mathrm{7,50}$

Antwort: 5 m Stoffband kosten 7,50 €.

Beispiel 4: Fahrstrecke

Aufgabe: Ein Fahrzeug fährt bei gleichbleibender Geschwindigkeit in 3 Stunden 240 km. Wie weit fährt es in 5 Stunden?

Zeit	Strecke
3 h	240 km
$\downarrow :3$	$\downarrow :3$
1 h	80 km
$\downarrow \cdot 5$	$\downarrow \cdot 5$
5 h	400 km

$240:3=80$

$80\cdot 5=400$

Antwort: In 5 Stunden fährt das Fahrzeug 400 km.

Dynamische Zahlengerade: Strecke wächst gleichmäßig

Klicke und verfolge die Strecke Stunde für Stunde.

$0\stackrel{+80}{\to }80\stackrel{+80}{\to }160\stackrel{+80}{\to }240\stackrel{+80}{\to }320\stackrel{+80}{\to }400$

Stunden	0	1	2	3	4	5
Kilometer	0	80	160	240	320	400

Die Zahlengerade zeigt: Jede weitere Stunde kommen 80 km hinzu. Das passt zur proportionalen Zuordnung.

Beispiel 5: Eintrittskarten

Aufgabe: 5 Eintrittskarten kosten 40 €. Wie viel kosten 7 Karten?

$40:5=8$

$8\cdot 7=56$

Karten	Preis
5	40 €
1	8 €
7	56 €

Antwort: 7 Eintrittskarten kosten 56 €.

So liest Du Sachaufgaben richtig

Markiere in einer Sachaufgabe immer:

1. Größe 1: Was wird gezählt oder gemessen?
2. Größe 2: Welcher Wert gehört dazu?
3. Startpaar: Welche zwei Werte gehören sicher zusammen?
4. Gesuchte Menge: Auf welche Menge sollst Du kommen?
5. Einheit: Welcher Wert gehört zu genau 1?

Beispiel:

„4 Müsliriegel kosten 3,20 €. Was kosten 9 Müsliriegel?“

Größe 1: Anzahl Müsliriegel

Größe 2: Preis in Euro

Startpaar: $4⟷\mathrm{3,20}$

Einheit: $1⟷\mathrm{3,20}:4=\mathrm{0,80}$

Gesucht: $9⟷\mathrm{0,80}\cdot 9=\mathrm{7,20}$

Dreisatz als allgemeines Rechenschema

Wenn $a$ Einheiten den Wert $b$ haben und Du den Wert für $c$ Einheiten suchst, dann gilt:

$a⟷b$

$1⟷\frac{b}{a}$

$c⟷c\cdot \frac{b}{a}$

Also:

$x=c\cdot \frac{b}{a}$

Auf G-Niveau musst Du diese Formel nicht auswendig lernen. Wichtiger ist, dass Du den Weg auf 1 und dann auf die gesuchte Menge sicher beherrschst.

Warum funktioniert der Dreisatz?

Bei einer proportionalen Zuordnung bleibt der Wert pro Einheit gleich.

Beispiel:

$\frac{\mathrm{6,80}}{4}=\mathrm{1,70}$

Der Quotient 1,70 ist der Preis für eine Flasche. Deshalb kannst Du jede andere Flaschenzahl mit 1,70 multiplizieren.

$\text{Preis}=\text{Anzahl}\cdot \mathrm{1,70}$

Das Waagenbild erinnert Dich an eine wichtige Regel: Wenn Du auf der einen Seite durch eine Zahl teilst oder mit einer Zahl multiplizierst, führst Du im Dreisatz denselben Rechenschritt für den zugehörigen Wert aus.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Fehler	Warum problematisch?	Besser
Nur eine Spalte verändern	Die zusammengehörenden Werte passen danach nicht mehr.	In beiden Spalten mit demselben Faktor rechnen.
Nicht zuerst auf 1 rechnen	Der Rechenweg wird unübersichtlich.	Erst Einheit bestimmen, dann Zielmenge.
Einheiten vergessen	5 € und 5 kg bedeuten etwas völlig Verschiedenes.	Einheiten in jeder Zeile notieren.
Kommafehler bei Geld	Aus 1,50 € kann fälschlich 15 € werden.	Ergebnis mit Euro und Cent prüfen.
Dreisatz bei nicht proportionaler Situation	Grundgebühren oder Rabatte können die Proportionalität zerstören.	Vorher Verdopplungstest oder Einheitspreis prüfen.

Überschlag als Sicherheitscheck

Bei 4 Flaschen für 6,80 € kosten 8 Flaschen genau doppelt so viel:

$\mathrm{6,80}\cdot 2=\mathrm{13,60}$

7 Flaschen müssen also weniger als 13,60 €, aber mehr als 6,80 € kosten. Das Ergebnis 11,90 € liegt in diesem Bereich.

Medien zum Verstehen

Ein Erklärvideo kann den Ablauf nochmals sichtbar machen.

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Dieses Video zeigt den Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen mit Tabelle und Rechenschritten.

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Nutze Videos aktiv: Stoppe vor dem Ergebnis und rechne den nächsten Schritt selbst.

Interaktive Proportionalität

Die folgende GeoGebra-Aktivität lässt Dich Werte verändern und proportionale Zusammenhänge untersuchen:

Eine weitere passende Übung arbeitet mit einer Tanksituation:

Mini-Training mit sichtbaren Rechenwegen

Löse erst selbst und klappe danach die Lösung auf.

Aufgabe A

4 Brötchen kosten 3,20 €. Was kosten 6 Brötchen?

Lösung anzeigen

$\mathrm{3,20}:4=\mathrm{0,80}$

$\mathrm{0,80}\cdot 6=\mathrm{4,80}$

6 Brötchen kosten 4,80 €.

Aufgabe B

7 Trinkpäckchen kosten 5,60 €. Was kosten 3 Trinkpäckchen?

Lösung anzeigen

$\mathrm{5,60}:7=\mathrm{0,80}$

$\mathrm{0,80}\cdot 3=\mathrm{2,40}$

3 Trinkpäckchen kosten 2,40 €.

Aufgabe C

5 kg Kartoffeln kosten 6,00 €. Was kosten 8 kg?

Lösung anzeigen

$\mathrm{6,00}:5=\mathrm{1,20}$

$\mathrm{1,20}\cdot 8=\mathrm{9,60}$

8 kg Kartoffeln kosten 9,60 €.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist beim einfachen proportionalen Dreisatz der typische Zwischenwert? (Der Wert für genau eine Einheit) (!Der Wert für genau hundert Einheiten) (!Immer die Hälfte des Startwertes) (!Immer der größte Wert der Aufgabe)

4 Flaschen kosten 6,80 €. Was kostet eine Flasche? (1,70 €) (!2,80 €) (!3,40 €) (!10,80 €)

Eine Flasche kostet 1,70 €. Was kosten 7 Flaschen? (11,90 €) (!8,70 €) (!10,20 €) (!12,70 €)

Woran erkennst Du eine proportionale Zuordnung? (Beide Größen ändern sich mit demselben Faktor) (!Eine Größe bleibt immer gleich) (!Es gibt immer eine Grundgebühr) (!Das Ergebnis ist immer eine ganze Zahl)

3 kg Äpfel kosten 7,50 €. Was kostet 1 kg? (2,50 €) (!1,50 €) (!3,50 €) (!4,50 €)

6 Hefte kosten 9,00 €. Was kosten 10 Hefte? (15,00 €) (!12,00 €) (!16,00 €) (!19,00 €)

Welche Reihenfolge ist beim einfachen Dreisatz richtig? (Gegeben auf 1 gesucht) (!Gesucht auf 100 gegeben) (!Einheit gesucht gegeben) (!Malnehmen ohne Einheitsschritt)

Warum rechnest Du in beiden Spalten mit demselben Faktor? (Damit die Zuordnung proportional bleibt) (!Damit alle Zahlen gerade werden) (!Damit keine Einheit nötig ist) (!Damit immer eine Null entsteht)

5 Karten kosten 40 €. Was kostet eine Karte? (8 €) (!5 €) (!35 €) (!45 €)

Wann ist der einfache proportionale Dreisatz ungeeignet? (Bei einer festen Grundgebühr zusätzlich zum Stückpreis) (!Bei einem festen Preis pro Stück) (!Bei einem festen Preis pro Kilogramm) (!Bei gleichbleibender Geschwindigkeit)

Memory

Dreisatz	Rechenweg über eine Einheit
proportional	gleicher Faktor auf beiden Größen
Einheitsschritt	auf genau eins rechnen
Zielmenge	gesuchte Anzahl oder Menge
Wertetabelle	zusammengehörende Werte übersichtlich ordnen
Überschlag	Ergebnis auf Plausibilität prüfen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Startpaar	gegebene zusammengehörende Werte
Einheitsschritt	auf genau eine Einheit zurückrechnen
Zielschritt	von der Einheit zur gesuchten Menge rechnen
Proportionalität	beide Größen verändern sich mit demselben Faktor
Probe	Ergebnis mit Überschlag oder Rückrechnung prüfen

...

Kreuzworträtsel

Dreisatz	Wie heißt das Rechenverfahren über die Einheit?
Einheit	Worauf rechnest Du im mittleren Schritt?
Tabelle	Womit ordnest Du zwei zusammengehörende Größen übersichtlich?
proportional	Wie heißt ein Zusammenhang mit gleichbleibendem Verhältnis?
Quotient	Wie heißt das Ergebnis einer Division?
Sachaufgabe	Wie heißt eine Aufgabe mit einer beschriebenen Alltagssituation?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim einfachen Dreisatz prüfst Du zuerst, ob eine Zuordnung vorliegt.

Im ersten Rechenschritt notierst Du die zusammengehörenden Werte.

Danach rechnest Du auf genau Einheit zurück.

Dazu teilst Du beide zugehörigen Werte durch denselben .

Vom Einheitswert rechnest Du anschließend auf die Menge.

Dazu multiplizierst Du beide Seiten mit derselben .

Bei Geldbeträgen achtest Du besonders auf das .

In einer Wertetabelle stehen zusammengehörende Größen in derselben .

Mit einem Überschlag prüfst Du, ob das Ergebnis ist.

Eine feste Grundgebühr kann eine direkte verhindern.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Einkaufsliste: Suche drei Produkte mit einfachem Stückpreis und formuliere zu jedem Produkt eine Dreisatzfrage.
2. Pfeildiagramm: Gestalte ein großes Pfeildiagramm mit „gegeben → auf 1 → gesucht“ und ergänze ein eigenes Zahlenbeispiel.
3. Fehlerdetektiv: Erfinde einen falschen Dreisatz, markiere den Fehler und erkläre, wie er verbessert werden muss.
4. Fotomathematik: Fotografiere mit Erlaubnis eine neutrale Einkaufssituation ohne erkennbare Personen und schreibe eine passende proportionale Sachaufgabe dazu.

Standard

1. Preisvergleich: Vergleiche zwei Packungsgrößen eines Produkts, berechne jeweils den Preis pro Einheit und erkläre Deinen Rechenweg.
2. Erklärkarte: Erstelle eine Lernkarte mit Tabelle, Pfeilen und mindestens drei <math>-Rechnungen zu einem vollständigen Dreisatz.
3. Interview: Frage eine erwachsene Person, wo sie Dreisatz im Alltag nutzt, und ordne das Beispiel als proportional oder nicht proportional ein.
4. Mini-Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du eine Dreisatzaufgabe Schritt für Schritt erklärst und jeden Rechenpfeil sichtbar machst.

Schwer

1. Aufgabenwerkstatt: Erstelle vier eigene Sachaufgaben mit verschiedenen Größen wie Stückzahl, Kilogramm, Meter und Zeit und liefere jeweils eine Musterlösung.
2. Proportional oder nicht: Sammle sechs Alltagssituationen und begründe bei jeder, ob ein proportionaler Dreisatz erlaubt ist.
3. Datenexperiment: Erzeuge zu einem festen Stückpreis eine Wertetabelle, zeichne die Werte als Punkte und beschreibe, wie sich der Graph verändert, wenn der Stückpreis steigt.
4. Lernspiel: Entwirf ein Brett- oder Kartenspiel, bei dem Mitspielende nur weiterziehen dürfen, wenn sie den Einheitsschritt richtig bestimmen.

Lernkontrolle

1. Transferaufgabe Einkauf: 8 gleiche Trinkflaschen kosten zusammen 14,40 €. Berechne den Preis für 5 Flaschen und erkläre, warum Dein Rechenweg proportional ist.
2. Fehleranalyse Dreisatz: Eine Person rechnet bei „6 Hefte kosten 9 €“ zuerst $9:3$, weil 3 eine kleinere Zahl ist. Erkläre den Denkfehler und zeige einen korrekten Weg zur Einheit.
3. Modellentscheidung: Entscheide bei drei selbst gewählten Alltagssituationen, ob ein proportionaler Dreisatz passt. Begründe jede Entscheidung mit dem Verdopplungs- oder Einheitstest.
4. Darstellungswechsel: Erfinde zu einer Wertetabelle eine passende Sachgeschichte und stelle denselben Zusammenhang zusätzlich als Pfeildiagramm dar.
5. Plausibilitätsprüfung: Eine Rechnung ergibt für 9 gleiche Artikel einen niedrigeren Gesamtpreis als für 4 Artikel, obwohl es keinen Rabatt gibt. Erkläre, warum das nicht stimmen kann, und nenne eine passende Prüfmethode.
6. Rückwärtsdenken: Erfinde eine Dreisatzaufgabe mit dem Endergebnis 18 € und zeige mindestens zwei unterschiedliche Startpaare, die zu diesem Ergebnis führen können.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu M6 G - Einfacher Dreisatz ist wichtig, dass Du:

1. eine proportionale Alltagssituation erkennst und von einer nicht proportionalen Situation unterscheiden kannst,
2. zwei zusammengehörende Größen mit ihren Einheiten richtig notierst,
3. den Weg gegeben → auf 1 → gesucht sicher anwendest,
4. in beiden Spalten mit demselben Faktor rechnest,
5. Geldbeträge und Dezimalzahlen korrekt behandelst,
6. Deine Rechnung in einer Tabelle oder mit Pfeilen verständlich darstellst,
7. eine Antwort mit Einheit formulierst,
8. Dein Ergebnis durch Überschlag, Rückrechnung oder Vergleich auf Plausibilität prüfst,
9. einen eigenen einfachen proportionalen Sachverhalt erklären und modellieren kannst.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel erklärt den Dreisatz als Verfahren für Proportionalaufgaben und zeigt ebenfalls den Weg über die Einheit.

Medien- und Lizenzhinweise

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Verknüpfte Lernbereiche

M6 G - Einfacher Dreisatz Dreisatz Proportionalität Wertetabelle Verhältnis Division Multiplikation Dezimalzahl Sachaufgabe Überschlagsrechnung