M6 G - Teilbarkeitsregeln sicher anwenden

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du bei natürlichen Zahlen schnell und sicher erkennst, ob sie durch $2$, $3$, $5$ oder $10$ teilbar sind. Du musst dafür meistens keine lange Division ausführen. Stattdessen untersuchst Du gezielt die Endziffer oder die Quersumme.

Das ist besonders nützlich beim Kopfrechnen, beim Erkennen von Teilern und Vielfachen und beim Kürzen von Brüchen. Dabei gilt immer die Grundidee:

$a$ ist durch $b$ teilbar, wenn bei $a:b$ kein Rest bleibt.

Beispiel:

$24:3=8$

Also ist $24$ durch $3$ teilbar.

Dagegen gilt:

$25:3=8\text{ Rest }1$

Also ist $25$ nicht durch $3$ teilbar.

Auf einem Zahlenstrahl kannst Du Vielfache als regelmäßige Sprünge sehen: Bei Sprüngen der Länge $2$ landest Du auf $0,2,4,6,8,\dots$; bei Sprüngen der Länge $5$ auf $0,5,10,15,\dots$.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du die folgenden Kompetenzen sicher anwenden:

Kompetenz	Das kannst Du danach
Teilbarkeit erkennen	Du entscheidest bei natürlichen Zahlen, ob sie durch $2$, $3$, $5$ oder $10$ teilbar sind.
Regeln begründen	Du erklärst, warum Endziffer oder Quersumme genügen.
Zahlen untersuchen	Du prüfst eine Zahl mit mehreren Teilbarkeitsregeln.
Brüche kürzen	Du findest einfache gemeinsame Teiler und kürzt Zähler und Nenner mit derselben Zahl.
Ergebnisse prüfen	Du kontrollierst Deine Entscheidung mit einer Division ohne Rest.

Teilbarkeit verstehen

Eine natürliche Zahl $a$ ist durch eine natürliche Zahl $b\ne 0$ teilbar, wenn es eine natürliche Zahl $k$ gibt mit

$a=b\cdot k$.

Zum Beispiel gilt:

$42=3\cdot 14$

und deshalb ist $42$ durch $3$ teilbar.

Das Symbol $\mid$ bedeutet „teilt“. Man kann also schreiben:

$3\mid 42$.

Für „teilt nicht“ schreibt man $\nmid$, zum Beispiel:

$5\nmid 42$.

Teiler und Vielfache sichtbar machen

In einer Einmaleins-Tafel erkennst Du viele Vielfache auf einen Blick. Jede Zahl in der Zweierreihe ist durch $2$ teilbar, jede Zahl in der Dreierreihe durch $3$ und jede Zahl in der Fünferreihe durch $5$.

Dynamischer Zahlendetektiv: Im folgenden GeoGebra-Material werden Vielfache auf einem Zahlenstrahl markiert. Verändere die Zahlen und beobachte, wann eine Zahl genau auf einem Vielfachen liegt.

Die vier Teilbarkeitsregeln

Teiler	Regel	Schnelltest	Beispiel
$2$	Die letzte Ziffer ist $0,2,4,6$ oder $8$.	Endziffer prüfen	$438$ endet auf $8$, also $2\mid 438$.
$3$	Die Quersumme ist durch $3$ teilbar.	Ziffern addieren	$417$: $4+1+7=12$, also $3\mid 417$.
$5$	Die letzte Ziffer ist $0$ oder $5$.	Endziffer prüfen	$735$ endet auf $5$, also $5\mid 735$.
$10$	Die letzte Ziffer ist $0$.	Endziffer prüfen	$1280$ endet auf $0$, also $10\mid 1280$.

Regel für die Teilbarkeit durch 2

Eine Zahl ist genau dann durch $2$ teilbar, wenn ihre Einerziffer gerade ist.

$0,2,4,6,8$

Zahl	Endziffer	Entscheidung
$126$	$6$	$2\mid 126$
$350$	$0$	$2\mid 350$
$713$	$3$	$2\nmid 713$

Warum genügt die Einerstelle? Schreibe zum Beispiel

$126=120+6$.

Der Zehneranteil $120$ ist bereits durch $2$ teilbar. Entscheidend bleibt nur die Einerziffer $6$.

Regel für die Teilbarkeit durch 3

Bei der Dreierregel bildest Du die Quersumme. Das bedeutet: Du addierst alle Ziffern.

Für $2346$ gilt:

$2+3+4+6=15$.

Da $15:3=5$ gilt, ist auch $2346$ durch $3$ teilbar.

Visueller Rechenweg:

$2346\to 2+3+4+6\to 15\to 15:3=5\to 3\mid 2346$

Gegenbeispiel:

$2347\to 2+3+4+7=16\to 3\nmid 16\to 3\nmid 2347$.

Interaktive Quersummen-Animation:

Regel für die Teilbarkeit durch 5

Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer $0$ oder $5$ ist.

$\dots 0\text{oder}\dots 5$

Beispiele:

$145=5\cdot 29$

$230=5\cdot 46$

$232$ endet auf $2$, also ist $232$ nicht durch $5$ teilbar.

Regel für die Teilbarkeit durch 10

Eine Zahl ist durch $10$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer $0$ ist.

$\dots 0$

Beispiele:

$90=10\cdot 9$

$1230=10\cdot 123$

$1235$ endet nicht auf $0$, also $10\nmid 1235$.

Jede Zahl, die durch $10$ teilbar ist, ist automatisch auch durch $2$ und durch $5$ teilbar. Denn eine Endziffer $0$ erfüllt gleichzeitig die Zweier- und die Fünferregel.

Interaktive Endziffer-Erkundung:

Stellenwertmodell: Warum Endziffern so wichtig sind

Unser Dezimalsystem arbeitet mit Zehnerpotenzen. Eine Zahl wie $2340$ lässt sich zerlegen als

$2340=2\cdot 1000+3\cdot 100+4\cdot 10+0\cdot 1$.

Tausender	Hunderter	Zehner	Einer
$2$	$3$	$4$	$0$
$2\cdot 1000$	$3\cdot 100$	$4\cdot 10$	$0\cdot 1$

Bei den Regeln für $2$, $5$ und $10$ reicht die Einerstelle, weil alle vollen Zehner bereits durch $2$, $5$ und $10$ teilbar sind.

Interaktives Stellenwertmodell:

Zahlentafel: Muster entdecken

Markiere gedanklich die Vielfachen. Die Symbole zeigen Dir, wie sich Muster überlagern.

Zahl	durch $2$	durch $3$	durch $5$	durch $10$
$12$	✓	✓	–	–
$15$	–	✓	✓	–
$20$	✓	–	✓	✓
$30$	✓	✓	✓	✓
$45$	–	✓	✓	–
$60$	✓	✓	✓	✓

Du kannst an der Tabelle zwei wichtige Zusammenhänge erkennen:

$10\mid n\Rightarrow 2\mid n$

und

$10\mid n\Rightarrow 5\mid n$.

Außerdem kann eine Zahl mehrere Teilbarkeitsregeln gleichzeitig erfüllen, zum Beispiel

$30:2=15,30:3=10,30:5=6,30:10=3$.

Zahlendetektiv: Eine sichere Strategie

Gehe bei jeder Zahl in einer festen Reihenfolge vor. So übersiehst Du keine Regel.

Schritt	Frage	Beispiel mit $1230$
A	Ist die Endziffer gerade?	Ja, $0$. Also durch $2$ teilbar.
B	Ist die Quersumme durch $3$ teilbar?	$1+2+3+0=6$. Also durch $3$ teilbar.
C	Endet die Zahl auf $0$ oder $5$?	Ja, auf $0$. Also durch $5$ teilbar.
D	Endet die Zahl auf $0$?	Ja. Also durch $10$ teilbar.

Ergebnis:

$1230$ ist durch $2$, $3$, $5$ und $10$ teilbar.

Video: Teilbarkeitsregeln wiederholen

Das folgende Lernvideo erklärt Teilbarkeitsregeln und zeigt Beispiele. Stoppe das Video nach jeder Regel und prüfe selbst eine Zahl.

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Teilbarkeitsregeln beim Kürzen von Brüchen

Beim Bruch steht oben der Zähler und unten der Nenner:

$\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}$.

Du darfst einen Bruch kürzen, wenn Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl größer als $1$ teilbar sind.

Allgemein:

$\frac{a}{b}=\frac{a:k}{b:k}$

für einen gemeinsamen Teiler $k$ von $a$ und $b$.

Beispiel 1: Kürzen mit 5

Betrachte

$\frac{25}{60}$.

Zähler und Nenner sind durch $5$ teilbar, weil $25$ auf $5$ und $60$ auf $0$ endet.

$\frac{25}{60}=\frac{25:5}{60:5}=\frac{5}{12}$.

Beispiel 2: Schrittweise mit 2 und 3 kürzen

Betrachte

$\frac{36}{90}$.

Beide Zahlen sind gerade:

$\frac{36}{90}=\frac{36:2}{90:2}=\frac{18}{45}$.

Nun sind die Quersummen

$1+8=9$

und

$4+5=9$.

Beide Zahlen sind also durch $3$ teilbar:

$\frac{18}{45}=\frac{18:3}{45:3}=\frac{6}{15}$.

Noch einmal gilt die Dreierregel:

$\frac{6}{15}=\frac{6:3}{15:3}=\frac{2}{5}$.

Damit ist

$\frac{36}{90}=\frac{2}{5}$.

Bruchkreise machen Anteile sichtbar. Beim Kürzen werden Zähler und Nenner verändert, der dargestellte Anteil und damit der Wert des Bruches bleibt aber gleich.

Bewegliche Bruchdarstellung und Kürzübung:

Video: Brüche kürzen und erweitern

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Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung

Prüfe die Zahl $3450$:

$3450$

$\Downarrow$

Endziffer $0$

$\Downarrow$

$2\mid 3450,5\mid 3450,10\mid 3450$

und zusätzlich

$3+4+5+0=12$

$\Downarrow$

$3\mid 12$

$\Downarrow$

$3450\text{ ist durch }2,3,5\text{ und }10\text{ teilbar.}$

Fehlerdetektiv

Behauptung	Richtig oder falsch?	Korrektur
„Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn die letzte Ziffer durch $3$ teilbar ist.“	Falsch	Für $3$ musst Du die Quersumme prüfen.
„Eine Zahl mit Endziffer $5$ ist durch $10$ teilbar.“	Falsch	Für $10$ muss die letzte Ziffer $0$ sein.
„Jede Zahl, die durch $10$ teilbar ist, ist auch durch $5$ teilbar.“	Richtig	Endziffer $0$ erfüllt die Fünferregel.
„Beim Kürzen darf ich nur den Zähler teilen.“	Falsch	Zähler und Nenner müssen durch dieselbe Zahl geteilt werden.

Medienlabor und Zahlendetektive

Die folgenden digitalen Werkzeuge passen direkt zum Thema und lassen Dich Muster selbst verändern und überprüfen:

Medium	Lernidee	Was Du aktiv veränderst
GeoGebra: Teiler und Vielfache	Dynamische Zahlengerade	Zahl und Teiler
GeoGebra: Teilbarkeit durch $2$, $5$ und $10$	Endziffer-Regeln	Zahl per Schieberegler
GeoGebra: Teilbarkeit durch $3$	Quersummen und Stellenwerte	Zahl und Zerlegung
GeoGebra: Stellenwerttabelle	Interaktives Stellenwertmodell	Ziffern und Stellenwerte
GeoGebra: Brüche kürzen	Bewegliche Bruchdarstellung	Zähler, Nenner und Kürzungszahl

Für dieses arithmetische Thema stehen Zahlengeraden, Stellenwertmodelle, Bruchdarstellungen und animierte Rechenwege im Mittelpunkt, weil sie die Teilbarkeitsregeln direkt sichtbar machen.

Merkkarte

Wenn Du auf Teilbarkeit durch ... prüfst	dann schaust Du auf ...
$2$	die Endziffer: $0,2,4,6,8$
$3$	die Quersumme
$5$	die Endziffer: $0$ oder $5$
$10$	die Endziffer: $0$

Kurzform:

$2\to \text{gerade Endziffer}$

$3\to \text{Quersumme}$

$5\to 0\text{ oder }5$

$10\to 0$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann ist eine natürliche Zahl durch 2 teilbar? (Wenn ihre letzte Ziffer gerade ist) (!Wenn ihre Quersumme genau 2 ist) (!Wenn sie mit der Ziffer 5 endet) (!Wenn sie mindestens zwei Stellen hat)

Warum ist 438 durch 2 teilbar? (Weil die letzte Ziffer 8 gerade ist) (!Weil die Quersumme 15 ist) (!Weil die Zahl mit 3 endet) (!Weil 438 eine dreistellige Zahl ist)

Warum ist 417 durch 3 teilbar? (Weil die Quersumme 12 durch 3 teilbar ist) (!Weil die letzte Ziffer 7 ist) (!Weil die Zahl ungerade ist) (!Weil die Zahl mit 41 beginnt)

Woran erkennst Du sicher die Teilbarkeit durch 5? (Die letzte Ziffer ist 0 oder 5) (!Die letzte Ziffer ist gerade) (!Die Quersumme ist gerade) (!Die Zahl hat mindestens fünf Stellen)

Woran erkennst Du sicher die Teilbarkeit durch 10? (Die letzte Ziffer ist 0) (!Die letzte Ziffer ist 5) (!Die Quersumme ist 10) (!Die erste Ziffer ist 1)

Welche Zahl ist durch 2 und durch 3 teilbar? (246) (!245) (!248) (!250)

Mit welcher Zahl kannst Du den Bruch 25 durch 60 direkt kürzen? (5) (!2) (!3) (!10)

Wie groß ist die Quersumme von 2046? (12) (!10) (!14) (!18)

Was gilt immer für eine Zahl, die durch 10 teilbar ist? (Sie ist auch durch 2 und durch 5 teilbar) (!Sie ist immer durch 3 teilbar) (!Sie endet immer auf 5) (!Ihre Quersumme ist immer 10)

Durch welche der vier Regeln ist 1230 teilbar? (Durch 2, 3, 5 und 10) (!Nur durch 2 und 5) (!Nur durch 3 und 10) (!Nur durch 5 und 10)

Memory

Gerade Endziffer	Zweierregel
Teilbare Quersumme	Dreierregel
Null oder Fünf am Ende	Fünferregel
Null am Ende	Zehnerregel
Division ohne Rest	Teilbarkeit
Gemeinsamer Teiler	Bruchkürzung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Gerade Endziffer	Zweierregel
Quersumme als Prüfschritt	Dreierregel
Null oder Fünf als Endziffer	Fünferregel
Null als Endziffer	Zehnerregel
Gleicher Teiler oben und unten	Bruch kürzen

Kreuzworträtsel

Teiler	Wie heißt eine Zahl, durch die ohne Rest geteilt werden kann?
Quersumme	Wie heißt die Summe aller Ziffern einer Zahl?
Endziffer	Welche Ziffer prüfst Du bei den Regeln für zwei, fünf und zehn?
Vielfaches	Wie heißt eine Zahl, die durch eine andere Zahl ohne Rest teilbar ist?
Kuerzen	Wie heißt das Vereinfachen eines Bruches durch gemeinsames Teilen?
Restfrei	Wie nennt man eine Division, bei der kein Rest übrig bleibt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer ist.

Bei der Teilbarkeit durch $3$ prüfst Du die .

Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $0$ oder endet.

Eine Zahl ist durch $10$ teilbar, wenn ihre Endziffer ist.

Die Quersumme von $417$ ist .

Bei einer Division, die genau aufgeht, bleibt kein .

Eine Zahl, die eine andere Zahl ohne Rest teilt, heißt .

Beim Kürzen eines Bruches teilst Du Zähler und Nenner durch dieselbe .

Der Bruch $\frac{25}{60}$ lässt sich mit kürzen.

Jede durch $10$ teilbare Zahl ist auch durch $2$ und teilbar.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlendetektiv: Untersuche die Zahlen $24,35,42,70,93,120$ mit den vier Regeln. Erstelle eine Tabelle mit Häkchen und begründe jede Entscheidung mit Endziffer oder Quersumme.
2. Zahlentafel: Zeichne eine Zahlentafel von $1$ bis $50$. Markiere Vielfache von $2$, $3$, $5$ und $10$ mit vier unterschiedlichen Symbolen.
3. Quersummen-Staffel: Erfinde zehn dreistellige Zahlen. Berechne jeweils die Quersumme und entscheide, welche Zahlen durch $3$ teilbar sind.
4. Kürz-Karten: Gestalte sechs Karten mit einfachen Brüchen, die sich mit $2$, $3$ oder $5$ kürzen lassen. Schreibe die Lösung auf die Rückseite.

Standard

1. Regel-Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du die vier Teilbarkeitsregeln an je einem eigenen Beispiel erklärst und mit einer Probe kontrollierst.
2. Stellenwertmodell: Lege oder zeichne die Zahl $2430$ als Tausender, Hunderter, Zehner und Einer. Erkläre, warum die Endziffer sofort Informationen über die Teilbarkeit durch $2$, $5$ und $10$ liefert.
3. Kürz-Labor: Kürze $\frac{18}{30}$, $\frac{25}{60}$, $\frac{36}{90}$ und $\frac{45}{75}$. Notiere zu jedem Kürzungsschritt die verwendete Teilbarkeitsregel.
4. Mathe-Interview: Befrage zwei Personen, welche Teilbarkeitsregeln sie kennen. Prüfe ihre Aussagen mit Beispielen und fasse zusammen, welche Merkhilfen besonders verständlich waren.

Schwer

1. Zahlenrätsel: Finde alle zweistelligen Zahlen, die gleichzeitig durch $2$, $3$ und $5$ teilbar sind. Beschreibe Dein Suchverfahren.
2. Regelbegründung: Erkläre mit der Zerlegung $10a+b$, warum bei der Teilbarkeit durch $2$, $5$ und $10$ nur die Endziffer wichtig ist.
3. Unbekannte Zahl: Eine dreistellige Zahl endet auf $0$ und hat die Quersumme $12$. Erfinde fünf passende Zahlen und begründe, durch welche der vier Zahlen sie teilbar sind.
4. Zahlendetektiv-Spiel: Entwickle ein Spiel für zwei Personen. Eine Person nennt eine Zahl, die andere muss innerhalb von zehn Sekunden alle passenden Regeln nennen und begründen. Formuliere faire Spielregeln und ein Punktesystem.

Lernkontrolle

1. Zahlen vergleichen: Mara sagt: „Wenn eine Zahl durch $5$ teilbar ist, ist sie auch durch $10$ teilbar.“ Entscheide, ob das immer stimmt. Begründe mit einem Gegenbeispiel oder einer allgemeinen Erklärung.
2. Fehler finden: Leon prüft $321$ auf Teilbarkeit durch $3$ und betrachtet nur die Endziffer. Erkläre seinen Denkfehler und führe die richtige Prüfung durch.
3. Mehrfachprüfung: Untersuche $4590$ auf Teilbarkeit durch $2$, $3$, $5$ und $10$. Formuliere eine möglichst kurze, aber vollständige Begründung.
4. Kürzentscheidung: Entscheide bei $\frac{42}{105}$, welche der bekannten Regeln Dir einen gemeinsamen Teiler zeigt. Kürze schrittweise und erkläre jeden Schritt.
5. Warum Endziffer?: Zerlege $7236$ in volle Zehner und Einer. Nutze die Zerlegung, um zu erklären, warum die Zweierregel funktioniert.
6. Zahl konstruieren: Erfinde eine vierstellige Zahl, die durch $3$ und $5$, aber nicht durch $2$ und nicht durch $10$ teilbar ist. Begründe, warum Deine Zahl alle Bedingungen erfüllt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Regeln aufsagen, sondern sie sicher anwenden und begründen kannst.

1. Du erkennst Teilbarkeit durch $2$, $3$, $5$ und $10$ an geeigneten Merkmalen.
2. Du bildest Quersummen fehlerfrei.
3. Du kannst eine Zahl mit mehreren Regeln gleichzeitig untersuchen.
4. Du begründest Deine Entscheidung mit Endziffer, Quersumme oder einer Probe durch Division.
5. Du unterscheidest zwischen Teiler und Vielfaches.
6. Du nutzt Teilbarkeitsregeln zum Kürzen einfacher Brüche.
7. Du teilst beim Kürzen Zähler und Nenner immer durch denselben gemeinsamen Teiler.
8. Du erkennst typische Fehlvorstellungen und kannst sie korrigieren.

OERs zum Thema

Weitere frei zugängliche Lernumgebungen:

1. GeoGebra: Teilbarkeit verstehen und anwenden
2. Serlo: Brüche kürzen und erweitern
3. GeoGebra: Geprüfte Übung zum Brüche kürzen

Medien- und Lizenzhinweise

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Datei	Lizenzstatus	Lernfunktion
Number-line.svg	CC0	Zahlengerade und Vielfachenmuster
Multiplication table to scale.svg	CC BY-SA 4.0	Einmaleins, Vielfache und Teiler
Base ten blocks (transparent).svg	CC0	Dezimalsystem und Stellenwertmodell
Fraction Circles Shaded.png	CC0	Bruchteile und visuelle Bruchvorstellung

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Verknüpfte Lernbereiche

Teilbarkeit Natürliche Zahlen Teiler Vielfaches Quersumme Division Stellenwertsystem Bruch Bruchrechnung Kürzen