M6 E - Statistische Fragestellungen selbst entwickeln

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

Statistik beginnt nicht mit einer Rechnung, sondern mit einer guten Frage. In diesem aiMOOC entwickelst Du selbst eine statistische Fragestellung, planst eine geeignete Datenerhebung, entscheidest Dich bewusst für Merkmale und Darstellungen und deutest Deine Ergebnisse mithilfe passender Kennwerte.

Im E-Niveau arbeitest Du zunehmend selbstständig. Du sollst nicht nur Daten sammeln, sondern auch begründen können, warum Deine Erhebung zu Deiner Frage passt, warum eine bestimmte Darstellung sinnvoll ist und wie sicher Deine Aussagen durch die erhobenen Daten gestützt werden.

Leitidee dieses aiMOOCs:

Schritt	Deine Aufgabe	Mathematische Leitfrage
Frage entwickeln	Eine untersuchbare statistische Frage formulieren	Welche Antworten können unterschiedlich ausfallen?
Erhebung planen	Grundgesamtheit, Stichprobe und Erhebungsinstrument festlegen	Von wem oder was brauche ich Daten?
Merkmal festlegen	Messbare oder eindeutig zuordenbare Daten bestimmen	Was genau wird erhoben?
Daten ordnen	Urliste, Strichliste und Häufigkeitstabelle erstellen	Wie werden viele Einzelwerte übersichtlich?
Auswerten	Häufigkeiten und Kennwerte bestimmen	Was ist typisch, klein, groß oder häufig?
Darstellen	Ein geeignetes Diagramm auswählen und erstellen	Welche Darstellung beantwortet meine Frage am besten?
Interpretieren	Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten	Was darf ich aus meinen Daten schließen?
Prüfen	Grenzen, mögliche Verzerrungen und irreführende Darstellungen erkennen	Wie zuverlässig ist meine Aussage?

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du eine statistische Untersuchung weitgehend selbstständig planen und durchführen. Du kannst insbesondere:

1. Statistische Fragestellungen so formulieren, dass unterschiedliche Antworten möglich und Daten zur Beantwortung nötig sind.
2. Merkmale und Merkmalsausprägungen passend zur Fragestellung festlegen.
3. eine geeignete Stichprobe und ein passendes Erhebungsinstrument auswählen.
4. Daten datensparsam, möglichst anonym und systematisch erheben.
5. Urliste, Strichliste und Häufigkeitstabelle erstellen.
6. absolute und relative Häufigkeiten bestimmen.
7. Minimum, Maximum und arithmetisches Mittel berechnen und im Kontext deuten.
8. Balken-, Säulen-, Kreis- und Streifendiagramme passend einsetzen.
9. eine Tabellenkalkulation zur Auswertung und Diagrammerstellung verwenden.
10. statistische Darstellungen auf Eignung und mögliche Irreführung prüfen.

Von der Idee zur statistischen Fragestellung

Eine Frage ist dann statistisch, wenn Du zur Beantwortung Daten von mehreren Beobachtungen brauchst und mit unterschiedlichen Ergebnissen rechnest.

Frage	Statistisch?	Begründung
Wie lange brauche ich heute zur Schule?	eher nein	Es geht nur um einen einzelnen Wert.
Wie lange dauert der Schulweg der Lernenden unserer Klasse?	ja	Viele Personen können unterschiedliche Zeiten angeben.
Hat unsere Schule heute geöffnet?	nein	Die Frage hat im Normalfall eine eindeutige Ja-Nein-Antwort ohne statistische Auswertung.
Welches Verkehrsmittel wird in unserer Klasse am häufigsten für den Schulweg genutzt?	ja	Viele Antworten werden gesammelt und als Häufigkeiten verglichen.
Wie stark unterscheiden sich die Schulwegzeiten in unserer Klasse?	ja	Mehrere Messwerte müssen verglichen und ausgewertet werden.

Unsere Modellfrage

Für den gesamten Lernweg verwenden wir als Beispiel:

Wie lange dauert der morgendliche Schulweg der Lernenden unserer Klasse typischerweise, und wie stark unterscheiden sich die Schulwegzeiten?

Diese Frage ist sinnvoll, weil die Antworten nicht alle gleich sein werden. Sie führt zu Zahlenwerten, die geordnet, dargestellt und mit Kennwerten beschrieben werden können.

Das zentrale Merkmal lautet:

Schulwegdauer in Minuten

Die Einheit muss immer mitgedacht werden:

$x_i\in \{\text{Zeitangaben in Minuten}\}$

Wichtig: Für diese Untersuchung werden keine Namen, Adressen, GPS-Daten oder genauen Wohnorte benötigt. Es genügt eine anonyme Zeitangabe. Damit wird nur erhoben, was zur Beantwortung der mathematischen Fragestellung erforderlich ist.

Gute statistische Fragen selbst prüfen

Nutze vor einer Erhebung diese Planungshilfe:

Prüffrage	Ja	Noch verbessern
Können verschiedene Personen oder Beobachtungen unterschiedliche Antworten liefern?	☐	☐
Brauche ich mehrere Datenwerte, um die Frage zu beantworten?	☐	☐
Ist klar, welche Gruppe untersucht werden soll?	☐	☐
Ist klar, welches Merkmal erhoben wird?	☐	☐
Ist die Frage neutral formuliert?	☐	☐
Kann das Merkmal sinnvoll gemessen oder eindeutig angegeben werden?	☐	☐
Werden nur Daten erhoben, die für die Fragestellung nötig sind?	☐	☐

Eine Frage wie „Findest Du nicht auch, dass der Schulweg zu lang ist?“ ist ungeeignet, weil sie die Antwort bereits beeinflusst. Besser ist: „Wie viele Minuten dauert Dein Schulweg am Morgen?“

Eine Datenerhebung selbstständig planen

Eine gute Datenerhebung lässt sich als Planungskette darstellen:

Fragestellung	→	Grundgesamtheit	→	Stichprobe	→	Merkmal	→	Erhebungsinstrument	→	Daten
Was will ich wissen?	→	Über wen möchte ich etwas aussagen?	→	Wen untersuche ich tatsächlich?	→	Was messe oder frage ich?	→	Wie erfasse ich die Werte?	→	Welche Werte liegen anschließend vor?

Grundgesamtheit und Stichprobe

Die Grundgesamtheit ist die gesamte Gruppe, über die Du eine Aussage machen möchtest. Die Stichprobe ist die Gruppe, von der Du tatsächlich Daten erhebst.

Bei unserer Modellfrage ist eine sinnvolle Festlegung:

G=alle Lernenden der eigenen Klasse

Wenn alle Lernenden der Klasse teilnehmen, wird die gesamte Klasse untersucht. Fehlen mehrere Personen, liegt nur eine Teilmenge vor.

Eine Aussage muss zur untersuchten Gruppe passen. Aus den Daten einer einzigen Klasse darfst Du zum Beispiel nicht automatisch auf alle Sechstklässlerinnen und Sechstklässler Deutschlands schließen.

Merkmale und Merkmalsausprägungen

Ein Merkmal beschreibt, was untersucht wird. Eine Merkmalsausprägung ist ein konkreter Wert oder eine konkrete Kategorie.

Merkmal	Art	mögliche Ausprägungen	passende Darstellung
Schulwegdauer	quantitativ	$8\text{min}$, $12\text{min}$, $25\text{min}$	Säulendiagramm, Punktdiagramm, geordnete Liste
Verkehrsmittel	qualitativ	zu Fuß, Fahrrad, Bus, Bahn	Balken-, Säulen-, Kreis- oder Streifendiagramm
Zahl der Geschwister	quantitativ diskret	$0,1,2,3,\dots$	Säulendiagramm
Lieblingsobst	qualitativ	Apfel, Banane, Birne, anderes	Balken-, Säulen-, Kreis- oder Streifendiagramm

E-Niveau-Frage: Passt jedes Merkmal zu jeder Darstellung? Nein. Die Wahl hängt davon ab, ob Du Kategorien, einzelne Zahlenwerte, Anteile oder Veränderungen darstellen möchtest.

Erhebungsinstrument auswählen

Instrument	geeignet, wenn ...	mögliche Fehlerquelle
anonymer digitaler Fragebogen	viele Personen schnell denselben Fragetext erhalten sollen	Tippfehler, Mehrfachteilnahme oder unklare Eingaben
Papierfragebogen	ohne Endgerät gearbeitet werden soll	Übertragungsfehler beim späteren Eingeben
direkte Messung	Zeit, Länge oder Anzahl objektiv beobachtet werden kann	Messfehler oder unterschiedliche Messbedingungen
Beobachtungsbogen	sichtbare Ereignisse gezählt werden sollen	unterschiedliche Zuordnung durch Beobachtende
vorhandener Datensatz	eine Sekundärquelle ausgewertet werden soll	Daten wurden möglicherweise für eine andere Fragestellung erhoben

Digitaler Fragebogen – datensparsame Vorlage

Übertrage die folgende Vorlage in das von Deiner Schule freigegebene Formularsystem. Erhebe für die Modellfrage keine Namen, E-Mail-Adressen, Wohnadressen oder Standortdaten.

Feld	Fragetext	Antwortformat	Zweck
A	Wie viele Minuten dauert Dein morgendlicher Schulweg meistens?	ganze Zahl in Minuten	Hauptmerkmal
B	War der heute angegebene Wert für Dich ungefähr typisch?	ja / nein	auffällige Sonderfälle erkennen
C	Möchtest Du Deine Angabe in die anonyme Klassenauswertung einbeziehen?	ja / nein	Teilnahme transparent machen

Eingabeprüfung:

$0<x\le 120$

Ein Wert wie $900$ Minuten wäre bei dieser Fragestellung ein Hinweis darauf, dass eine Eingabe geprüft werden sollte. Ein auffälliger Wert darf aber nicht einfach gelöscht werden. Zuerst muss geklärt werden, ob er falsch oder nur ungewöhnlich ist.

Digitale Planungshilfe: Erhebung freigeben oder überarbeiten?

Klicke hier und prüfe Deinen Erhebungsplan.

Entscheidung	Bedingung
Freigeben	Fragestellung, Gruppe, Merkmal, Einheit und Erhebungsinstrument sind eindeutig.
Überarbeiten	Eine Frage beeinflusst die Antwort oder ist mehrdeutig.
Überarbeiten	Es werden Daten erhoben, die für die Fragestellung nicht nötig sind.
Überarbeiten	Verschiedene Personen würden dieselbe Frage wahrscheinlich unterschiedlich verstehen.
Freigeben	Alle Antworten können nach denselben Regeln erfasst werden.

Daten erfassen: Urliste, Strichliste und Häufigkeitstabelle

Nach der Erhebung liegen zunächst Einzelwerte vor. Diese ungeordneten Daten heißen Urliste.

Für eine Übung verwenden wir einen synthetischen Datensatz mit 24 Schulwegzeiten. Er enthält keine Daten realer Personen.

Messung;Schulwegdauer_min
01;8
02;12
03;15
04;10
05;20
06;18
07;12
08;25
09;14
10;16
11;10
12;9
13;30
14;11
15;13
16;17
17;12
18;22
19;14
20;8
21;19
22;15
23;13
24;24

Diesen Datensatz kannst Du direkt in eine Tabellenkalkulation kopieren oder als CSV-Struktur nachbauen.

Von der Urliste zur geordneten Liste

Die Werte werden der Größe nach sortiert:

$8,8,9,10,10,11,12,12,12,13,13,14,14,15,15,16,17,18,19,20,22,24,25,30$

Eine geordnete Liste hilft Dir sofort beim Ablesen von Minimum und Maximum.

$x_{min}=8$

$x_{max}=30$

Die Differenz beträgt:

$x_{max}-x_{min}=30-8=22$

Diese Differenz beschreibt, wie weit kleinster und größter Wert auseinanderliegen.

Dynamische Zahlengerade und Lage der Daten

Mit dem folgenden GeoGebra-Material kannst Du Datenpunkte bewegen und beobachten, wie sich typische Kennwerte verändern. Besonders hilfreich ist die Darstellung auf einer gemeinsamen Zahlenachse.

Arbeitsauftrag: Verschiebe einen Datenpunkt weit nach rechts. Beobachte, welche Kennwerte sich stark und welche sich wenig verändern. Formuliere anschließend einen Satz zur Wirkung eines ungewöhnlich großen Wertes.

Häufigkeiten

Die absolute Häufigkeit $H_i$ gibt an, wie oft eine Ausprägung vorkommt.

Die relative Häufigkeit $h_i$ beschreibt den Anteil an allen $n$ Beobachtungen:

$h_i=\frac{H_i}{n}$

Als Prozentwert:

$p_i=h_i\cdot 100\mathrm{\%}$

Beispiel: Der Wert $12$ Minuten kommt dreimal vor.

$H_{12}=3$

Bei $n=24$ gilt:

$h_{12}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}=\mathrm{0,125}$

und damit:

$p_{12}=\mathrm{0,125}\cdot 100\mathrm{\%}=\mathrm{12,5}\mathrm{\%}$

Bewegliche Bruch- und Prozentdarstellung

Relative Häufigkeiten sind Brüche von einem Ganzen. Mit einem beweglichen Prozentstreifen kannst Du den Zusammenhang zwischen Bruch, Dezimalzahl und Prozentanteil sichtbar machen.

Vergleiche:

$\frac{3}{24}=\frac{1}{8}=\mathrm{0,125}=\mathrm{12,5}\mathrm{\%}$

Gruppierte Häufigkeitstabelle zum Übungsdatensatz

Zeitgruppe in Minuten	absolute Häufigkeit $H_i$	relative Häufigkeit $h_i$	Anteil
$0\text{ bis }9$	$3$	$\frac{3}{24}$	$\mathrm{12,5}\mathrm{\%}$
$10\text{ bis }14$	$10$	$\frac{10}{24}$	$\approx \mathrm{41,7}\mathrm{\%}$
$15\text{ bis }19$	$6$	$\frac{6}{24}$	$25\mathrm{\%}$
$20\text{ bis }24$	$3$	$\frac{3}{24}$	$\mathrm{12,5}\mathrm{\%}$
$25\text{ bis }30$	$2$	$\frac{2}{24}$	$\approx \mathrm{8,3}\mathrm{\%}$
Summe	$24$	$1$	$100\mathrm{\%}$

Die Summenkontrolle ist wichtig:

$\sum H_i=n$

und

$\sum h_i=1$

beziehungsweise

$\sum p_i=100\mathrm{\%}$

Kennwerte berechnen und interpretieren

Kennwerte verdichten viele Daten zu wenigen Zahlen. Eine einzelne Kennzahl ersetzt aber niemals den Blick auf den gesamten Datensatz.

Minimum und Maximum

$min(x)=8\text{min}$

$max(x)=30\text{min}$

Sachlich formuliert:

Im Übungsdatensatz beträgt die kleinste Schulwegdauer 8 Minuten und die größte 30 Minuten.

Die Spannweite zwischen beiden Randwerten beträgt:

$30\text{min}-8\text{min}=22\text{min}$

Das zeigt: Die beobachteten Schulwegzeiten liegen nicht eng beieinander.

Arithmetisches Mittel

Für $n$ Werte $x_1,x_2,\dots ,x_n$ gilt:

$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$

Beim Übungsdatensatz beträgt die Summe aller Zeiten:

$\sum _{i=1}^{24}{x}_i=367\text{min}$

Damit:

$\overline{x}=\frac{367}{24}\text{min}\approx \mathrm{15,3}\text{min}$

Eine sinnvolle Interpretation lautet:

Die Schulwegdauer beträgt im Übungsdatensatz im arithmetischen Mittel etwa 15,3 Minuten.

Nicht sinnvoll wäre: „Jede Person braucht 15,3 Minuten.“ Der Mittelwert beschreibt die Daten insgesamt und muss nicht als Einzelwert tatsächlich vorkommen.

Visueller Schritt-für-Schritt-Rechenweg

Mittelwert-Rechenweg einblenden

Schritt	Rechnung	Bedeutung
Datenzahl bestimmen	$n=24$	Es liegen 24 Messwerte vor.
Werte addieren	$\sum x_i=367$	Alle Schulwegzeiten werden zusammengezählt.
Durch Datenzahl teilen	$\overline{x}=\frac{367}{24}$	Die Gesamtsumme wird gleichmäßig auf 24 Beobachtungen verteilt.
sinnvoll runden	$\overline{x}\approx \mathrm{15,3}$	Eine Nachkommastelle reicht für die Interpretation.
mit Einheit angeben	$\overline{x}\approx \mathrm{15,3}\text{min}$	Eine Zeitangabe braucht die Einheit Minuten.

Optionaler Vergleich: Median

Wenn Du den Median bereits kennst, kannst Du ihn als zusätzlichen Lagewert verwenden. Bei einer geraden Anzahl von Daten liegen zwei Werte in der Mitte. Im geordneten Übungsdatensatz sind dies der 12. und 13. Wert:

$14,14$

Daher:

$\mathrm{Median}=\frac{14+14}{2}=14$

Der Median und das arithmetische Mittel beantworten nicht genau dieselbe Frage. Das folgende GeoGebra-Material hilft Dir beim Vergleichen:

Video: Kennwerte verstehen

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YouTube

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Arbeitsauftrag: Stoppe nach jedem neu eingeführten Kennwert. Notiere jeweils Berechnung, Bedeutung und eine mögliche Fehlinterpretation.

Geeignete Darstellungen auswählen

Ein Diagramm ist kein Schmuck. Es ist ein mathematisches Werkzeug, das eine Fragestellung beantworten soll.

Entscheidungshilfe für Diagrammtypen

Ziel	geeignete Darstellung	Warum?
Häufigkeiten verschiedener Kategorien vergleichen	Balken- oder Säulendiagramm	Längen lassen sich gut vergleichen.
Anteile eines Ganzen zeigen	Kreis- oder Streifendiagramm	Das Ganze entspricht $100\mathrm{\%}$.
geordnete Zahlenwerte mit Häufigkeiten zeigen	Säulendiagramm oder Punktdiagramm	Lage und Häufigkeit bleiben erkennbar.
Entwicklung über die Zeit darstellen	Liniendiagramm	Veränderungen zwischen Zeitpunkten werden sichtbar.
sehr viele Messwerte in Klassen zusammenfassen	gruppierte Häufigkeitsdarstellung	Einzelwerte werden zu sinnvollen Intervallen gebündelt.

Ein Kreisdiagramm eignet sich besonders für Anteile eines Ganzen. Für den Anteil einer Kategorie mit relativer Häufigkeit $h_i$ kann der zugehörige Winkel berechnet werden:

${\alpha }_i=h_i\cdot 360^{\circ }$

Beispiel für $25\mathrm{\%}$:

$\alpha =\mathrm{0,25}\cdot 360^{\circ }=90^{\circ }$

Interaktives Kreisdiagramm

Verändere Anteile und beobachte, wie sich die Sektorwinkel verändern. Prüfe dabei immer:

$\sum {\alpha }_i=360^{\circ }$

Interaktives Säulendiagramm

Arbeitsauftrag: Verändere einzelne absolute Häufigkeiten. Beschreibe, welche Säule sich ändert und warum sich dabei nicht automatisch die anderen Säulenhöhen ändern.

Diagramme können irreführen

Ein korrektes Diagramm braucht eine sinnvolle Skala, klare Achsenbeschriftungen, Einheiten und eine Darstellung, die zur Aussage passt.

Prüfe bei jedem Diagramm:

Prüfpunkt	Kontrollfrage
Achsen	Sind beide Achsen eindeutig beschriftet?
Einheit	Ist klar, ob Minuten, Anzahl oder Prozent dargestellt werden?
Skala	Sind gleiche Abstände auch gleich große Zahlenunterschiede?
Nullpunkt	Wird durch einen abgeschnittenen Achsenbeginn ein Unterschied größer dargestellt, als er ist?
Auswahl	Passt der Diagrammtyp überhaupt zur Fragestellung?
Quelle	Ist erkennbar, woher die Daten stammen?
Stichprobe	Passt die untersuchte Gruppe zur formulierten Aussage?

Ein Balken, der doppelt so lang aussieht, sollte bei einer linearen Skala auch einen doppelt so großen Wert repräsentieren.

Arbeiten mit Tabellenkalkulation

Eine Tabellenkalkulation kann Daten sortieren, Häufigkeiten bestimmen, Kennwerte berechnen und Diagramme erzeugen. Sie nimmt Dir Rechenarbeit ab, aber nicht die Entscheidung, welche Rechnung oder Darstellung sinnvoll ist.

Sinnvoller Tabellenaufbau

A	B	C
Messung	Schulwegdauer in min	Prüfung
1	8	gültig
2	12	gültig
3	15	gültig
…	…	…

Für den Übungsdatensatz können typische Tabellenkalkulationsbefehle verwendet werden. Die genaue Schreibweise kann je nach Programm und Spracheinstellung leicht abweichen.

Ziel	typische Funktion	mathematische Bedeutung
kleinster Wert	MIN	$x_{min}$
größter Wert	MAX	$x_{max}$
Mittelwert	MITTELWERT	$\overline{x}=\frac{\sum x_i}{n}$
Anzahl numerischer Werte	ANZAHL	$n$
bestimmter Wert wird gezählt	ZÄHLENWENN	absolute Häufigkeit $H_i$

Video: Diagramme mit LibreOffice Calc erstellen

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Arbeitsauftrag: Erstelle aus dem Übungsdatensatz zunächst eine Tabelle. Erzeuge anschließend ein Diagramm und beantworte drei Fragen: Ist die Achse sinnvoll skaliert? Ist die Einheit erkennbar? Beantwortet die Grafik unsere statistische Frage?

Tabellenkalkulation als Kontrollwerkzeug

Rechne einen Kennwert zuerst selbst und überprüfe ihn anschließend digital.

Beispiel:

${\overline{x}}_{\text{Handrechnung}}\approx \mathrm{15,3}\text{min}$

und

${\overline{x}}_{\text{Tabellenkalkulation}}\approx \mathrm{15,3}\text{min}$

Stimmen beide Ergebnisse nicht überein, suche systematisch nach der Ursache:

1. Datenbereich: Wurden alle 24 Werte erfasst?
2. Datentyp: Wurde eine Zahl versehentlich als Text gespeichert?
3. Formel: Bezieht sich die Funktion auf die richtigen Zellen?
4. Übertragung: Wurde ein Wert falsch abgeschrieben?
5. Rundung: Werden nur unterschiedlich viele Nachkommastellen angezeigt?

Ein vollständiger statistischer Untersuchungsplan

Die folgende Vorlage kannst Du für eigene Projekte kopieren.

Planungspunkt	Dein Eintrag
Statistische Fragestellung	__________________________________________
Grundgesamtheit	__________________________________________
Stichprobe	__________________________________________
Merkmal	__________________________________________
Einheit oder Kategorien	__________________________________________
Erhebungsinstrument	__________________________________________
Zeitraum	__________________________________________
Regeln für gültige Werte	__________________________________________
Datenschutz: Was wird bewusst nicht erhoben?	__________________________________________
geplante Häufigkeitstabelle	__________________________________________
geeigneter Kennwert	__________________________________________
geplante Darstellung	__________________________________________
mögliche Fehlerquelle	__________________________________________
geplante Aussageform	__________________________________________

Entscheidungsbaum: Welches Merkmal? Welche Darstellung?

Interaktive Planungshilfe öffnen

Wenn ...	dann prüfe ...	mögliche Darstellung
Deine Antworten Kategorien sind	absolute oder relative Häufigkeiten	Balken-, Säulen-, Kreis- oder Streifendiagramm
Deine Antworten Zahlenwerte sind	Minimum, Maximum, Mittelwert und Häufigkeiten	Säulen- oder Punktdarstellung
Du Anteile eines Ganzen zeigen willst	ob die Anteile zusammen $100\mathrm{\%}$ ergeben	Kreis- oder Streifendiagramm
Du Gruppen vergleichen willst	ob dieselbe Skala verwendet wird	mehrere Balken- oder Säulendiagramme
Du auffällige Werte entdeckst	ob Mess- oder Eingabefehler vorliegen	geordnete Liste plus Diagramm

Daten interpretieren

Eine gute Interpretation besteht aus mehr als „Der Mittelwert ist 15,3“.

Nutze die Struktur:

Teil	Beispiel
Datenbezug	Im synthetischen Datensatz mit 24 Schulwegzeiten ...
Kennwert	... beträgt das arithmetische Mittel etwa $\mathrm{15,3}\text{min}$.
Streuung	Die Werte reichen von $8$ bis $30$ Minuten.
Häufigkeit	Die größte der gebildeten Zeitgruppen ist $10$ bis $14$ Minuten.
Deutung	Viele Werte liegen unterhalb von 20 Minuten, gleichzeitig gibt es deutlich längere Schulwege.
Grenze	Die Daten beschreiben nur den verwendeten Datensatz und dürfen nicht ohne weitere Untersuchung auf andere Klassen übertragen werden.

Behauptungen prüfen

Behauptung A: „Alle brauchen ungefähr 15 Minuten.“

Diese Aussage ist nicht durch das arithmetische Mittel allein gerechtfertigt. Die Werte reichen von $8$ bis $30$ Minuten.

Behauptung B: „Im Mittel dauert der Schulweg etwa 15 Minuten.“

Für den Übungsdatensatz ist diese Aussage durch

$\overline{x}\approx \mathrm{15,3}\text{min}$

gestützt.

Behauptung C: „Sechstklässler in Deutschland brauchen im Mittel etwa 15 Minuten zur Schule.“

Diese Aussage ist mit unserem Klassendatensatz nicht begründbar, weil Grundgesamtheit und Stichprobe dafür nicht passend gewählt wurden.

Sekundärdaten: Mit offenen Datensätzen arbeiten

Nicht jede statistische Frage muss mit einer eigenen Umfrage beginnen. Du kannst auch veröffentlichte Datensätze verwenden.

Eine umfangreiche öffentliche Datenquelle ist GENESIS-Online des Statistischen Bundesamtes. Dort können Tabellen konfiguriert und unter anderem als CSV-Dateien für die Weiterverarbeitung exportiert werden.

GENESIS-Online: Open-Data-Weboberfläche des Statistischen Bundesamtes

Für Klasse 6 gilt: Wähle kleine, verständliche Tabellen und notiere immer Quelle, Bezugsjahr, Einheit und betrachtete Gruppe.

Eine gute Quellenangabe enthält mindestens:

Bestandteil	Beispiel
Datenquelle	Statistisches Bundesamt
Datensatz oder Tabelle	genaue Tabellenbezeichnung
Bezugszeit	Jahr oder Schuljahr
Einheit	Personen, Prozent, Kilometer usw.
Abrufdatum	Datum Deiner Auswertung

Medienkompetenz und verantwortungsvoller Umgang mit Daten

Statistik und Medienbildung gehören zusammen. Schon die Entscheidung, welche Daten gesammelt, wie sie dargestellt und welche Aussage daraus formuliert wird, beeinflusst die Wirkung einer Statistik.

Für eine schulische Erhebung gilt daher:

1. Datenminimierung: Erhebe nur Angaben, die Du für die Fragestellung wirklich brauchst.
2. Anonymisierung: Vermeide Namen und andere unnötige Identifikationsmerkmale.
3. Transparenz: Erkläre, wofür die Daten verwendet werden.
4. Freiwilligkeit: Beachte die Regeln Deiner Schule für Befragungen und digitale Werkzeuge.
5. Datenqualität: Prüfe unplausible Werte, statt sie unbemerkt zu verändern.
6. Quellenkritik: Bei fremden Datensätzen müssen Quelle, Zeitpunkt und untersuchte Gruppe geprüft werden.
7. Lizenz: Verwende Bilder und Materialien nur entsprechend ihrer Nutzungsbedingungen.

Die in diesem aiMOOC verwendeten Wikimedia-Commons-Dateien besitzen auf ihren Dateiseiten ausgewiesene freie Lizenzen oder Public-Domain-Status. YouTube-Videos werden über den vorgesehenen Player eingebettet und nicht kopiert. Bei externen Diensten gelten zusätzlich die schulischen Datenschutz- und Freigaberegeln.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Woran erkennst Du eine statistische Fragestellung? (Sie benötigt mehrere Daten und lässt unterschiedliche Antworten erwarten.) (!Sie kann immer mit Ja oder Nein ohne Datenerhebung beantwortet werden.) (!Sie enthält grundsätzlich eine Rechenaufgabe.) (!Sie darf nur Zahlen als Antwort zulassen.)

Was ist bei der Modellfrage das zentrale Merkmal? (Schulwegdauer in Minuten) (!Name der befragten Person) (!Wohnadresse der befragten Person) (!Klassenraum der befragten Person)

Was beschreibt die absolute Häufigkeit? (Wie oft eine Merkmalsausprägung vorkommt) (!Wie groß der Mittelwert ist) (!Wie weit Minimum und Maximum auseinanderliegen) (!Wie viele Diagramme erstellt wurden)

Wie berechnet man eine relative Häufigkeit? (Absolute Häufigkeit durch Gesamtzahl teilen) (!Gesamtzahl durch absolute Häufigkeit teilen) (!Maximum und Minimum addieren) (!Alle Werte mit hundert multiplizieren)

Welche Kennzahl erhält man durch Addieren aller Werte und anschließendes Teilen durch ihre Anzahl? (Arithmetisches Mittel) (!Maximum) (!Minimum) (!Absolute Häufigkeit)

Welche Darstellung eignet sich besonders zum Vergleichen von Häufigkeiten verschiedener Kategorien? (Balken- oder Säulendiagramm) (!Ein unbeschriftetes Bild) (!Eine zufällige Farbliste) (!Eine Landkarte ohne Datenbezug)

Wann ist ein Kreisdiagramm besonders sinnvoll? (Wenn Anteile eines Ganzen dargestellt werden) (!Wenn genaue Wohnadressen dargestellt werden) (!Wenn nur ein einzelner Messwert vorliegt) (!Wenn keine Kategorien vorhanden sind)

Warum sollte eine Achsenskalierung geprüft werden? (Weil eine ungeeignete Skala Unterschiede irreführend wirken lassen kann) (!Weil jede Achse immer bei hundert beginnen muss) (!Weil Diagramme keine Einheiten brauchen) (!Weil nur Kreisdiagramme Skalen besitzen)

Welche Angabe wird für die Schulwegfrage nicht benötigt? (Genaue Wohnadresse) (!Schulwegdauer) (!Einheit Minuten) (!Anzahl der gültigen Antworten)

Welche Aussage ist bei einer Klassenerhebung zulässig? (Die Ergebnisse beschreiben zunächst die untersuchte Klasse.) (!Die Ergebnisse gelten automatisch für alle Kinder in Deutschland.) (!Jeder Einzelwert entspricht dem Mittelwert.) (!Ein Diagramm beweist immer eine Ursache.)

Memory

Statistische Fragestellung	benötigt Daten mit möglichen unterschiedlichen Antworten
Merkmal	untersuchte Eigenschaft
Urliste	zunächst erfasste Einzelwerte
Absolute Häufigkeit	Anzahl des Auftretens einer Ausprägung
Relative Häufigkeit	Anteil an allen Beobachtungen
Arithmetisches Mittel	Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl
Stichprobe	tatsächlich untersuchte Gruppe

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Statistische Fragestellung	verlangt mehrere Beobachtungen
Merkmal	Schulwegdauer
Erhebungsinstrument	anonymer Fragebogen
Häufigkeitstabelle	fasst wiederkehrende Werte zusammen
Arithmetisches Mittel	beschreibt einen durchschnittlichen Wert
Diagramm	visualisiert Daten

Kreuzworträtsel

Merkmal	Wie heißt die untersuchte Eigenschaft?
Urliste	Wie heißt die zunächst ungeordnete Sammlung erhobener Werte?
Mittelwert	Welche Kennzahl entsteht durch Teilen der Summe durch die Anzahl?
Häufigkeit	Welcher Begriff beschreibt, wie oft etwas vorkommt?
Diagramm	Wie heißt eine grafische Darstellung von Daten?
Stichprobe	Wie heißt die tatsächlich untersuchte Teilgruppe?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine statistische Untersuchung beginnt mit einer .

Die untersuchte Eigenschaft heißt .

Die tatsächlich untersuchte Gruppe nennt man .

Die zunächst gesammelten Einzelwerte bilden eine .

Die Anzahl des Auftretens eines Wertes heißt absolute .

Der Anteil an allen Beobachtungen heißt .

Das arithmetische Mittel erhält man durch Teilen der Summe aller Werte durch ihre .

Eine grafische Darstellung der Daten heißt .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Statistische Frage entwickeln: Formuliere drei Fragen aus Deinem Schulalltag. Entscheide jeweils begründet, ob es sich um eine statistische Fragestellung handelt.
2. Merkmale erkennen: Notiere zu fünf möglichen Untersuchungen jeweils Merkmal, Einheit oder Kategorien und zwei mögliche Merkmalsausprägungen.
3. Datensatz ordnen: Sortiere den synthetischen Schulwegdatensatz und markiere Minimum, Maximum und alle mehrfach vorkommenden Werte.
4. Diagramm vergleichen: Stelle dieselben Häufigkeiten einmal als Säulen- und einmal als Streifendiagramm dar. Beschreibe, welche Information jeweils besonders schnell erkennbar ist.

Standard

1. Fragebogen entwerfen: Erstelle einen anonymen digitalen oder papierbasierten Fragebogen zu einer selbst gewählten statistischen Frage. Begründe, warum keine unnötigen personenbezogenen Angaben erhoben werden.
2. Datenerhebung durchführen: Erhebe in Deiner Lerngruppe mindestens ein unkritisches Merkmal, zum Beispiel Anzahl gelesener Seiten an einem Tag, Schulwegdauer oder Zahl der mitgebrachten Stifte. Dokumentiere die Erhebungsregeln.
3. Tabellenkalkulation nutzen: Übertrage Deine Daten in eine Tabellenkalkulation, bestimme Minimum, Maximum und Mittelwert und erstelle ein geeignetes Diagramm.
4. Darstellung begründen: Erstelle zwei verschiedene Diagramme aus demselben Datensatz und entscheide anhand Deiner Fragestellung, welche Darstellung hilfreicher ist.

Schwer

1. Stichproben vergleichen: Teile einen vorhandenen Datensatz in zwei sinnvolle Gruppen. Berechne für beide Gruppen dieselben Kennwerte und untersuche, ob sich Deine Interpretation verändert.
2. Irreführendes Diagramm untersuchen: Erzeuge aus denselben Daten zwei Diagramme mit unterschiedlicher Achsenskalierung. Erkläre präzise, wodurch eine Darstellung stärker oder schwächer wirken kann.
3. Sekundärdaten analysieren: Wähle eine kleine Tabelle aus einer seriösen offenen Datenquelle. Formuliere dazu eine eigene statistische Frage, wähle passende Daten aus und dokumentiere Quelle, Bezugsjahr und Einheit.
4. Statistikprojekt präsentieren: Plane und dokumentiere eine vollständige Untersuchung mit Fragestellung, Stichprobe, Merkmal, Erhebungsinstrument, Datentabelle, Kennwerten, Diagramm, Interpretation, Grenzen und Verbesserungsvorschlägen.

Lernkontrolle

1. Untersuchungsplan beurteilen: Eine Gruppe möchte wissen, wie lange Jugendliche in Deutschland täglich lesen, befragt aber nur sechs befreundete Kinder aus derselben Klasse. Analysiere, welche Aussagen damit möglich sind und welche nicht. Entwickle einen besseren Plan.
2. Merkmalswahl begründen: Zur Frage „Wie kommen die Lernenden unserer Klasse zur Schule?“ stehen die Merkmale Verkehrsmittel, Schulwegdauer und Lieblingsfach zur Auswahl. Entscheide, welche Merkmale zur Frage passen, und begründe Deine Entscheidung.
3. Darstellungswechsel: Du erhältst eine Häufigkeitstabelle mit vier Verkehrsmitteln. Entwirf ein Säulendiagramm und ein Kreis- oder Streifendiagramm. Vergleiche, welche Aussage in welcher Darstellung leichter erkennbar ist.
4. Kennwerte deuten: Zwei Gruppen haben denselben Mittelwert der Schulwegdauer, aber deutlich verschiedene Minima und Maxima. Erkläre, warum der Mittelwert allein die Gruppen nicht vollständig beschreibt.
5. Datenqualität prüfen: In einer Liste von Schulwegzeiten steht zwischen Werten von 5 bis 35 Minuten einmal der Wert 350. Entwickle mindestens zwei mögliche Erklärungen und beschreibe, wie Du vor einer Auswertung vorgehen würdest.
6. Aussagen bewerten: Eine Person behauptet nach einer Klassenumfrage: „Die meisten Kinder in unserer Stadt brauchen 15 Minuten zur Schule.“ Prüfe die Aussage anhand von Stichprobe, Kennwert und Grundgesamtheit.
7. Diagramm kritisch prüfen: Ein Säulendiagramm beginnt auf der Hochachse bei 90 statt bei 0. Erkläre an einem selbst gewählten Zahlenbeispiel, wie dadurch Unterschiede optisch übertrieben werden können.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse angibst, sondern Entscheidungen begründest.

1. Fragestellung: Du formulierst eine klare statistische Fragestellung.
2. Erhebungsplan: Du benennst Grundgesamtheit, Stichprobe, Merkmal, Einheit oder Kategorien und Erhebungsinstrument.
3. Datenschutz: Du erhebst nur notwendige Daten und erklärst Deinen datensparsamen Umgang.
4. Datentabelle: Du dokumentierst die erhobenen oder bereitgestellten Werte nachvollziehbar.
5. Häufigkeiten: Du kannst absolute und relative Häufigkeiten korrekt bestimmen.
6. Kennwerte: Du berechnest Minimum, Maximum und arithmetisches Mittel und deutest sie im Sachzusammenhang.
7. Darstellung: Du wählst ein zur Fragestellung passendes Diagramm und beschriftest es vollständig.
8. Tabellenkalkulation: Du kannst digitale Werkzeuge zum Prüfen, Auswerten und Darstellen der Daten einsetzen.
9. Interpretation: Du formulierst Aussagen, die wirklich durch Deine Daten gestützt werden.
10. Kritik: Du benennst mindestens eine Grenze oder mögliche Verzerrung Deiner Untersuchung.
11. Dokumentation: Bei fremden Daten gibst Du Quelle, Bezugszeit und Einheit an.

OERs zum Thema

Freie und offene Lern- und Datenquellen:

1. Wikipedia: Statistische Erhebung
2. Wikipedia: Beschreibende Statistik
3. Wikimedia Commons: Online Survey Icon, CC0
4. Wikimedia Commons: Simple bar chart, Public Domain
5. Wikimedia Commons: Pie-chart, CC0
6. Wikimedia Commons: LibreOffice Calc mit Diagramm, CC BY-SA 4.0
7. Statistisches Bundesamt: GENESIS-Online
8. GeoGebra: Wie können Daten dargestellt werden?
9. GeoGebra: Der Median
10. GeoGebra: Ein Kreisdiagramm zeichnen

Quellen und Medienhinweise

Die inhaltliche Orientierung entspricht der Leitidee „Daten und Zufall“ für Mathematik in den Klassen 5/6 im Bildungsplan Baden-Württemberg. Für das E-Niveau werden dort unter anderem das selbstständige Planen einer Datenerhebung zu einer statistischen Fragestellung, absolute und relative Häufigkeiten, Kennwerte, grafische Darstellungen, Tabellenkalkulation sowie das kritische Beurteilen statistischer Darstellungen genannt.

1. Bildungsplan Baden-Württemberg: Mathematik 5/6, Leitidee Daten und Zufall
2. Destatis: Open Data GENESIS-Online
3. Commons-Lizenzseite zum Umfrage-Symbol
4. Commons-Lizenzseite zum Balkendiagramm
5. Commons-Lizenzseite zum Kreisdiagramm
6. Commons-Lizenzseite zum LibreOffice-Calc-Bild
7. Commons-Lizenzseite zum Histogramm
8. GeoGebra: dynamisches Punktdiagramm mit Kennwerten
9. GeoGebra: Prozentstreifen
10. GeoGebra: dynamisches Säulendiagramm

Verknüpfte Lernbereiche

Statistik Statistische Fragestellung Datenerhebung Merkmal Stichprobe Urliste Häufigkeit Relative Häufigkeit Arithmetisches Mittel Diagramm Tabellenkalkulation Datenkompetenz