M6 E - Mit rationalen Zahlen rechnen

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, anspruchsvollere Rechnungen mit positiven und negativen rationalen Zahlen sicher durchzuführen. Du rechnest mit Brüchen, Dezimalzahlen und gemischten Darstellungen, nutzt Zahlengeraden, Vorzeichenmodelle, Stellenwerttafeln und bewegliche Bruchdarstellungen und begründest die Rechenregeln nicht nur sprachlich, sondern auch anschaulich und symbolisch.

Eine rationale Zahl lässt sich als Quotient zweier ganzer Zahlen schreiben:

$\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}\mid a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0\}.$

Beispiele:

Zahl	Bruchdarstellung	Dezimaldarstellung	Vorzeichen
$\frac{3}{4}$	$\frac{3}{4}$	$\mathrm{0,75}$	positiv
$-\frac{5}{8}$	$-\frac{5}{8}$	$-\mathrm{0,625}$	negativ
$-\mathrm{1,2}$	$-\frac{6}{5}$	$-\mathrm{1,2}$	negativ
$0$	$\frac{0}{1}$	$\mathrm{0,0}$	weder positiv noch negativ

Zahlengerade mit negativen und positiven Zahlen

Eine Zahl weiter rechts auf der Zahlengeraden ist größer. Deshalb gilt zum Beispiel

$-3<-1<0<\frac{1}{2}<\mathrm{1,4.}$

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand von $0$:

$|-\mathrm{4,2}|=\mathrm{4,2}\text{und}|-\frac{3}{5}|=\frac{3}{5}.$

Deine Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Rationale Zahlen in Bruch- und Dezimaldarstellung vergleichen, ordnen und ineinander umwandeln.
2. Addition und Subtraktion positiver und negativer rationaler Zahlen sicher ausführen und an der Zahlengerade erklären.
3. Multiplikation und Division rationaler Zahlen mit Vorzeichenregeln begründen.
4. Brüche mit verschiedenen Nennern addieren und subtrahieren sowie Brüche multiplizieren und dividieren.
5. Dezimalzahlen stellengerecht addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.
6. gemischte Rechnungen mit Brüchen, Dezimalzahlen, Vorzeichen und Klammern strukturiert lösen.
7. Ergebnisse durch Überschlag, Betrag, Vorzeichen und eine Gegenrechnung überprüfen.

Rechtssichere und interaktive Medien

Die eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons und sind dort mit ihrer jeweiligen freien Lizenz oder als gemeinfrei dokumentiert. Beim Anklicken einer Datei gelangst Du zur Dateibeschreibungsseite mit Urheber- und Lizenzangaben. Die interaktiven GeoGebra-Materialien und YouTube-Videos werden als externe Lernmedien eingebettet; für eine Weiterverwendung außerhalb dieses MOOCs gelten die Bedingungen des jeweiligen Anbieters.

Medium	Lernzweck	Herkunft / Lizenzhinweis
	Bruchteile beweglich und bildlich denken	Wikimedia Commons, Yomomo, CC0
	Negative Zahlen als Temperaturen deuten	Wikimedia Commons, Mrmw, CC0
	Vorzeichen bei der Multiplikation an Zahlengeraden verstehen	Wikimedia Commons, TealComet, CC BY-SA 4.0
	Bruchmultiplikation als Flächenmodell sehen	Wikimedia Commons, Mabit1, CC BY-SA 4.0
	Brüche und Dezimalzahlen als gleichwertige Darstellungen vergleichen	Wikimedia Commons, freie Lizenz auf der Dateiseite

Rationale Zahlen verstehen

Zahl, Vorzeichen und Rechenzeichen unterscheiden

Das Minuszeichen kann zwei Rollen haben.

Schreibweise	Bedeutung	Beispiel
$-$ als Vorzeichen	Die Zahl ist negativ.	$-4$
$-$ als Rechenzeichen	Es wird subtrahiert.	$7-4$

Bei

$5-(-2)$

steht das erste Minus für die Subtraktion, das zweite Minus gehört zum Vorzeichen der Zahl $-2$.

Merksatz in Symbolen:

$a-(-b)=a+b.$

Dynamische Zahlengerade

Bewege die Markierungen und beobachte, wie sich positive und negative Zahlen, ganze Zahlen und Dezimalzahlen auf der Zahlengeraden verhalten:

Mit dieser dynamischen Zahlengeraden kannst Du Start- und Endwerte verändern, Schritte sichtbar machen und Addition beziehungsweise Subtraktion als Bewegung untersuchen.

Für negative Brüche eignet sich diese bewegliche Zahlengerade:

Prüfe zum Beispiel, ob die Reihenfolge stimmt:

$-\frac{5}{4}<-1<-\frac{2}{3}<0<\frac{3}{5}.$

Gegenzahl und Betrag

Zu jeder Zahl $a$ gehört die Gegenzahl $-a$.

$a+(-a)=0.$

Beispiele:

Zahl	Gegenzahl	Betrag
$\mathrm{4,7}$	$-\mathrm{4,7}$	$\mathrm{4,7}$
$-\frac{7}{9}$	$\frac{7}{9}$	$\frac{7}{9}$
$-\mathrm{0,03}$	$\mathrm{0,03}$	$\mathrm{0,03}$

Der Betrag ignoriert das Vorzeichen, weil er einen Abstand beschreibt:

$|a|\ge 0.$

Temperaturen als Vorzeichenmodell

Thermometer als Modell für positive und negative Zahlen

Eine Temperaturänderung lässt sich wie eine Bewegung auf der Zahlengeraden lesen. Steigt die Temperatur von $-6^{\circ }\mathrm{C}$ um $9^{\circ }\mathrm{C}$, rechnest Du

$-6+9=3.$

Sinkt sie von $4^{\circ }\mathrm{C}$ um $7^{\circ }\mathrm{C}$, gilt

$4-7=-3.$

Brüche und Dezimalzahlen als Darstellungen derselben Zahl

Bruchdarstellung

Ein Bruch $\frac{a}{b}$ besteht aus Zähler $a$ und Nenner $b$. Der Nenner darf niemals $0$ sein:

$b\ne 0.$

Gleichwertige Brüche entstehen durch Erweitern oder Kürzen:

$\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{6}{10}.$

Bruchkreis als anschauliche Bruchdarstellung

Eine negative rationale Zahl kann beispielsweise so geschrieben werden:

$-\frac{3}{4}=\frac{-3}{4}=\frac{3}{-4}.$

Üblicherweise schreibt man das Minuszeichen vor den gesamten Bruch: $-\frac{3}{4}$.

Bewegliche Bruchdarstellung

Verändere Zähler und Nenner mit den Schiebereglern und vergleiche die entstehenden Bruchbalken:

Achte besonders auf gleichwertige Darstellungen wie $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{50}{100}$.

Dezimaldarstellung und Stellenwert

Eine endliche Dezimalzahl kann als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner geschrieben werden:

$\mathrm{0,7}=\frac{7}{10},\mathrm{0,35}=\frac{35}{100}=\frac{7}{20},-\mathrm{1,25}=-\frac{125}{100}=-\frac{5}{4}.$

Beziehungen zwischen Bruch- und Dezimaldarstellungen

Die Stellenwerte hinter dem Komma sind

Einer	,	Zehntel	Hundertstel	Tausendstel
$4$	,	$3$	$7$	$5$

Damit gilt $\mathrm{4,375}=4+\frac{3}{10}+\frac{7}{100}+\frac{5}{1000}$.

Interaktives Stellenwertmodell

Gib verschiedene positive und negative Dezimalzahlen ein und beobachte, welche Ziffer welchen Stellenwert besitzt:

Versuche zum Beispiel $-\mathrm{12,408}$. Dabei steht die $4$ für vier Zehntel, die $0$ für null Hundertstel und die $8$ für acht Tausendstel.

Addition rationaler Zahlen

Anschauliche Regel auf der Zahlengeraden

Beim Addieren kannst Du den zweiten Summanden als Bewegung auffassen:

1. Ist der zweite Summand positiv, gehst Du nach rechts.
2. Ist der zweite Summand negativ, gehst Du nach links.

Beispiel: $-2+5=3$.

Zweites Beispiel: $3+(-7)=-4$.

Die Bewegung kannst Du animiert untersuchen:

Vorzeichenmodell mit Guthaben und Schulden

Eine positive Einheit kann als Guthaben, eine negative Einheit als Schuld gedacht werden. Ein positives und ein negatives Plättchen bilden zusammen ein Nullpaar: $(+1)+(-1)=0$.

Interaktives Plättchenmodell:

Beispiel: $(+5)+(-3)=+2$.

Additionsregeln symbolisch

Gleiche Vorzeichen: Beträge addieren, gemeinsames Vorzeichen behalten.

$(+a)+(+b)=+(a+b)$

$(-a)+(-b)=-(a+b)\text{für }a,b\ge 0.$

Beispiel: $-\mathrm{3,7}+(-\mathrm{2,4})=-(\mathrm{3,7}+\mathrm{2,4})=-\mathrm{6,1}$.

Verschiedene Vorzeichen: Beträge subtrahieren; das Vorzeichen kommt von der Zahl mit dem größeren Betrag.

$-\mathrm{7,4}+\mathrm{2,1}=-(\mathrm{7,4}-\mathrm{2,1})=-\mathrm{5,3}$.

Dagegen: $-\mathrm{2,1}+\mathrm{7,4}=\mathrm{7,4}-\mathrm{2,1}=\mathrm{5,3}$.

Brüche addieren

Brüche müssen zum Addieren gleichnamig sein.

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}.$

Besser ist oft ein möglichst kleiner gemeinsamer Nenner.

Beispiel: $\frac{3}{4}+(-\frac{5}{6})=\frac{9}{12}-\frac{10}{12}=-\frac{1}{12}$.

Schritt	Rechnung	Idee
1	$\frac{3}{4}+(-\frac{5}{6})$	unterschiedliche Nenner erkennen
2	$\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$	ersten Bruch erweitern
3	$-\frac{5}{6}=-\frac{10}{12}$	zweiten Bruch erweitern
4	$\frac{9}{12}-\frac{10}{12}$	Zähler verrechnen
5	$-\frac{1}{12}$	Ergebnis

Dezimalzahlen addieren

Beim schriftlichen oder stellenweisen Addieren stehen die Kommas untereinander.

$-\mathrm{3,75}+\mathrm{5,20}=\mathrm{1,45.}$

Video: Rationale Zahlen addieren

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Subtraktion rationaler Zahlen

Die wichtigste Umformung

Subtrahieren bedeutet: Addiere die Gegenzahl.

$a-b=a+(-b).$

Deshalb gilt insbesondere $a-(-b)=a+b$.

Beispiel: $-\mathrm{2,6}-(-\mathrm{4,1})=-\mathrm{2,6}+\mathrm{4,1}=\mathrm{1,5}$.

Noch ein Beispiel mit Brüchen: $-\frac{7}{10}-\frac{3}{5}=-\frac{7}{10}-\frac{6}{10}=-\frac{13}{10}=-\mathrm{1,3}$.

Animierter Rechenweg

Aufgabe: $-\mathrm{1,5}-(-\frac{3}{4})$

Schritt 1 – Minus vor negativer Zahl umformen: $-\mathrm{1,5}-(-\frac{3}{4})=-\mathrm{1,5}+\frac{3}{4}.$ Schritt 2 – gleiche Darstellung wählen: $-\mathrm{1,5}=-\frac{3}{2}=-\frac{6}{4}.$ Schritt 3 – addieren: $-\frac{6}{4}+\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}.$ Ergebnis: $-\frac{3}{4}=-\mathrm{0,75.}$

Video: Rationale Zahlen subtrahieren

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Multiplikation rationaler Zahlen

Vorzeichenregel

Erster Faktor	Zweiter Faktor	Produkt
$+$	$+$	$+$
$+$	$-$	$-$
$-$	$+$	$-$
$-$	$-$	$+$

$(+)\cdot (+)=(+),(+)\cdot (-)=(-),(-)\cdot (+)=(-),(-)\cdot (-)=(+).$

Multiplikation positiver und negativer Zahlen an der Zahlengeraden

Warum ergibt Minus mal Minus Plus?

$3\cdot (-2)=-6,2\cdot (-2)=-4,1\cdot (-2)=-2,0\cdot (-2)=0.$

Wird der erste Faktor jeweils um $1$ kleiner, steigt das Ergebnis jeweils um $2$. Daher geht die Folge weiter mit $(-1)\cdot (-2)=2$ und $(-2)\cdot (-2)=4$.

Brüche multiplizieren

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$

Beispiel: $(-\frac{6}{7})\cdot \frac{14}{15}=-\frac{6\cdot 14}{7\cdot 15}=-\frac{4}{5}$.

Flächenmodell einer Bruchmultiplikation

Gemischte Darstellung multiplizieren

$(-\mathrm{2,4})\cdot (-\frac{5}{6})$.

$-\mathrm{2,4}=-\frac{24}{10}=-\frac{12}{5}$.

$(-\frac{12}{5})\cdot (-\frac{5}{6})=+\frac{12}{6}=2.$

Video: Rationale Zahlen multiplizieren

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Division rationaler Zahlen

Vorzeichenregel der Division

$(+):(+)=+,(+):(-)=-,(-):(+)=-,(-):(-)=+.$

Beispiele: $-12:3=-4$ und $-12:(-3)=4$.

Durch einen Bruch dividieren

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c},c\ne 0,b\ne 0,d\ne 0.$

Beispiel: $(-\frac{7}{9}):\frac{14}{15}=(-\frac{7}{9})\cdot \frac{15}{14}=-\frac{5}{6}$.

Dezimalzahlen dividieren

$-\mathrm{4,8}:\mathrm{0,6}=-48:6=-8.$

$\frac{-\mathrm{4,8}}{\mathrm{0,6}}=\frac{-\mathrm{4,8}\cdot 10}{\mathrm{0,6}\cdot 10}=\frac{-48}{6}.$

Video: Rationale Zahlen dividieren

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Rechnen mit Brüchen und Dezimalzahlen gemeinsam

Entscheide zuerst über eine günstige Darstellung

Beispiel: $-\mathrm{1,25}+\frac{3}{4}$.

Weg A – alles als Dezimalzahl: $\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$ und damit $-\mathrm{1,25}+\mathrm{0,75}=-\mathrm{0,50}$.

Weg B – alles als Bruch: $-\mathrm{1,25}=-\frac{5}{4}$ und damit $-\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$.

Beide Darstellungen zeigen dieselbe Zahl: $-\frac{1}{2}=-\mathrm{0,5}$.

Entscheidungshilfe

Situation	Oft günstige Darstellung	Grund
Viele Zehntel, Hundertstel oder Tausendstel	Dezimaldarstellung	Stellenwerte lassen sich direkt verrechnen.
Nenner wie $2,4,5,8,10,20,25$	je nach Aufgabe Bruch oder Dezimalzahl	Umwandlung ist meist einfach.
Nenner wie $3,6,7,9,11$	häufig Bruchdarstellung	Dezimaldarstellung kann periodisch werden.
Division durch einen Bruch	Bruchdarstellung	Kehrwertregel ist direkt anwendbar.
Vergleich mit Geld oder Messwerten	häufig Dezimaldarstellung	Alltagsschreibweise ist oft dezimal.

Klammern und Rechenreihenfolge

Reihenfolge

1. Klammern zuerst.
2. Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion.
3. Rechenarten gleicher Rangstufe von links nach rechts.

Klammer → Punktrechnung → Strichrechnung.

Anspruchsvolles Beispiel 1

$-\frac{3}{4}-(-\mathrm{1,2})+\frac{5}{8}.$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

$-\frac{3}{4}+\mathrm{1,2}+\frac{5}{8}.$ $\mathrm{1,2}=\frac{6}{5}.$ $-\frac{30}{40}+\frac{48}{40}+\frac{25}{40}=\frac{43}{40}=\mathrm{1,075.}$

Anspruchsvolles Beispiel 2

$(-\frac{3}{5}+\mathrm{1,4}):(-\mathrm{0,2}).$

Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

$-\frac{3}{5}=-\mathrm{0,6}$, also $-\mathrm{0,6}+\mathrm{1,4}=\mathrm{0,8}$ und $\mathrm{0,8}:(-\mathrm{0,2})=-4$.

Anspruchsvolles Beispiel 3

$-\mathrm{1,5}+\frac{3}{4}\cdot (-\frac{8}{3})$.

$\frac{3}{4}\cdot (-\frac{8}{3})=-2$, also $-\mathrm{1,5}+(-2)=-\mathrm{3,5}$.

Fehler vermeiden und Ergebnisse prüfen

Typische Fehler

Fehler	Falsch	Richtig	Begründung
Nenner beim Addieren einfach addiert	$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{2}{5}$	$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$	Erst gleichnamig machen.
Minus vor Klammer übersehen	$4-(-3)=1$	$4-(-3)=7$	Subtraktion einer negativen Zahl wird zur Addition.
Vorzeichenregel falsch	$(-2)\cdot (-5)=-10$	$(-2)\cdot (-5)=10$	Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Produkt.
Kehrwert des falschen Bruchs genommen	$\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{5}$	$\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{4}$	Nur der Divisor wird umgedreht.

Drei schnelle Prüfstrategien

1. Vorzeichencheck: Bei $(-\mathrm{3,2})\cdot \mathrm{4,5}$ muss das Ergebnis negativ sein.

2. Überschlag: $-\mathrm{3,2}\cdot \mathrm{4,5}\approx -3\cdot 5=-15$. Das exakte Ergebnis $-\mathrm{14,4}$ passt.

3. Gegenrechnung: Wenn $-\mathrm{4,8}:\mathrm{0,6}=-8$, dann muss $-8\cdot \mathrm{0,6}=-\mathrm{4,8}$ gelten.

Kompakter Regelüberblick

Rechenart	Regel	Beispiel
Addition, gleiche Vorzeichen	Beträge addieren, Vorzeichen behalten	$-\mathrm{2,3}+(-\mathrm{1,7})=-4$
Addition, verschiedene Vorzeichen	Beträge subtrahieren, Vorzeichen des größeren Betrags	$-5+2=-3$
Subtraktion	Gegenzahl addieren	$4-(-3)=4+3=7$
Multiplikation	gleiches Vorzeichen $\to +$, verschiedenes $\to -$	$(-2)\cdot (-6)=12$
Division	gleiche Vorzeichenregel wie bei Multiplikation	$-15:3=-5$
Brüche addieren	gleichnamig machen	$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
Brüche multiplizieren	Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner	$\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{2}{5}$
Durch Bruch dividieren	mit Kehrwert multiplizieren	$\frac{2}{3}:\frac{4}{5}=\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{4}=\frac{5}{6}$

Erklärvideos

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Beschreibung passt zu einer rationalen Zahl? (Sie kann als Bruch aus zwei ganzen Zahlen mit Nenner ungleich null dargestellt werden) (!Sie muss immer eine natürliche Zahl sein) (!Sie darf niemals negativ sein) (!Sie besitzt immer genau eine Nachkommastelle)

Wie viel ist -3,2 + 5,7? (2,5) (!-2,5) (!8,9) (!-8,9)

Wie viel ist 4,1 - -2,3? (6,4) (!1,8) (!-6,4) (!-1,8)

Wie viel ist -2,5 mal -4? (10) (!-10) (!6,5) (!-6,5)

Wie viel ist -3 Viertel geteilt durch 1 Halb? (-3 Halbe) (!3 Halbe) (!-3 Achtel) (!3 Achtel)

Wie viel ist -1,2 plus 3 Fünftel? (-0,6) (!-1,8) (!0,6) (!1,8)

Welche Vorzeichenregel gilt bei einer Multiplikation zweier negativer Zahlen? (Das Ergebnis ist positiv) (!Das Ergebnis ist negativ) (!Das Ergebnis ist immer null) (!Das Vorzeichen kann nicht bestimmt werden)

Was geschieht beim Dividieren durch einen von null verschiedenen Bruch? (Man multipliziert mit seinem Kehrwert) (!Man addiert seinen Kehrwert) (!Man vertauscht nur die Zähler) (!Man lässt den Divisor unverändert und addiert)

Wie groß ist der Betrag von -7 Achtel? (7 Achtel) (!-7 Achtel) (!8 Siebtel) (!-8 Siebtel)

Wie viel ist die Klammer -3 Fünftel plus 1,4 geteilt durch -0,2? (-4) (!4) (!-1) (!1)

Memory

Betrag	Abstand einer Zahl von null
Gegenzahl	Zahl mit gleichem Betrag und entgegengesetztem Vorzeichen
Kehrwert	Zähler und Nenner werden vertauscht
gleichnamige Brüche	Brüche mit demselben Nenner
Nullpaar	eine positive und eine negative Einheit zusammen
rational	als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellbar
Stellenwert	Wert einer Ziffer aufgrund ihrer Position
Punktrechnung	Multiplikation und Division

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Addition der Gegenzahl	Subtraktion
positives Ergebnis	gleiche Vorzeichen bei Multiplikation
negatives Ergebnis	verschiedene Vorzeichen bei Multiplikation
gleichnamig machen	Brüche addieren
mit dem Kehrwert multiplizieren	durch einen Bruch dividieren
Kommas untereinander	Dezimalzahlen addieren

Kreuzworträtsel

Betrag	Wie heißt der Abstand einer Zahl von null?
Kehrwert	Wie heißt der Bruch, der durch Vertauschen von Zähler und Nenner entsteht?
Nenner	Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?
Zähler	Wie heißt die Zahl über dem Bruchstrich?
Vorzeichen	Wie heißt das Plus- oder Minuszeichen vor einer Zahl?
Zahlengerade	Wie heißt die Linie, auf der Zahlen der Größe nach angeordnet werden?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine rationale Zahl kann als aus zwei ganzen Zahlen dargestellt werden.

Der Nenner eines Bruchs darf niemals sein.

Der Abstand einer Zahl von null heißt .

Beim Subtrahieren einer Zahl wird ihre addiert.

Zwei Brüche müssen für die Addition zuerst gemacht werden.

Beim Multiplizieren zweier negativer Zahlen ist das Ergebnis .

Beim Multiplizieren von Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen ist das Ergebnis .

Beim Dividieren durch einen Bruch multipliziert man mit seinem .

Bei Dezimalzahlen beschreibt die Position einer Ziffer ihren .

In einem gemischten Term wird die vor Punkt- und Strichrechnung bearbeitet.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlengerade gestalten: Zeichne eine Zahlengerade von $-5$ bis $5$ und markiere mindestens acht rationale Zahlen, darunter ganze Zahlen, Brüche und Dezimalzahlen. Begründe zwei Größenvergleiche.
2. Temperaturtagebuch: Erfinde einen Tagesverlauf mit mindestens sechs Temperaturen zwischen $-10^{\circ }\mathrm{C}$ und $10^{\circ }\mathrm{C}$. Berechne jede Temperaturänderung mit rationalen Zahlen.
3. Vorzeichenkarten: Gestalte Karten mit positiven und negativen Zahlen. Ziehe jeweils zwei Karten und erkläre für Addition und Multiplikation, wie Du das Vorzeichen des Ergebnisses bestimmst.
4. Bruch und Dezimalzahl: Erstelle ein Mini-Poster mit zehn Paaren gleichwertiger Bruch- und Dezimaldarstellungen, zum Beispiel $\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$.

Standard

1. Fehlerdetektiv: Erfinde fünf typische Fehler beim Rechnen mit negativen Brüchen oder Dezimalzahlen. Schreibe jeweils die falsche Rechnung, die Korrektur und eine Begründung.
2. Erklärvideo rationale Zahlen: Produziere ein 60- bis 120-sekündiges Erklärvideo, in dem Du eine Rechnung mit mindestens einer negativen Zahl, einem Bruch und einer Dezimalzahl Schritt für Schritt erklärst.
3. Interaktive Zahlengerade untersuchen: Nutze eine dynamische Zahlengerade und dokumentiere mit Screenshots oder Skizzen drei Beispiele, bei denen die Addition einer negativen Zahl als Bewegung nach links sichtbar wird.
4. Rechenweg vergleichen: Löse drei gemischte Aufgaben jeweils einmal vollständig in Bruchdarstellung und einmal möglichst weit in Dezimaldarstellung. Entscheide begründet, welcher Weg effizienter war.

Schwer

1. Rechenregeln begründen: Erkläre mit einem selbst entwickelten Muster, warum das Produkt zweier negativer Zahlen positiv ist. Verwende mindestens fünf aufeinanderfolgende Rechnungen.
2. Sachproblem entwickeln: Erfinde eine realistische Aufgabe zu Kontoständen, Höhen, Temperaturen oder Messwerten, in der mindestens vier Rechenschritte mit positiven und negativen rationalen Zahlen vorkommen. Formuliere auch eine vollständige Musterlösung.
3. Mathematisches Interview: Interviewe eine Mitschülerin, einen Mitschüler oder eine erwachsene Person zur Frage, welche Vorzeichenfehler beim Rechnen leicht passieren. Werte die Antworten aus und formuliere drei wirksame Merksätze.
4. Digitales Lernobjekt: Erstelle in GeoGebra oder einem vergleichbaren Werkzeug eine eigene dynamische Darstellung für eine Rechnung mit rationalen Zahlen. Mindestens zwei Werte sollen veränderbar sein und das Ergebnis soll automatisch angezeigt werden.

Lernkontrolle

1. Strategie wählen: Berechne $-\frac{7}{8}+\mathrm{1,375}-\frac{1}{4}$ auf zwei verschiedenen Wegen. Vergleiche die Wege und begründe, welcher weniger fehleranfällig ist.
2. Vorzeichen erklären: Ohne vollständig auszurechnen: Bestimme das Vorzeichen von $(-\frac{3}{7})\cdot (-\mathrm{2,4}):(-\frac{5}{6})$. Begründe jeden Vorzeichenwechsel.
3. Fehleranalyse: Jemand behauptet $\frac{2}{3}-(-\frac{5}{6})=\frac{2-5}{3+6}$. Erkläre mindestens zwei Denkfehler und entwickle einen korrekten Lösungsweg.
4. Transfer Temperatur: Morgens zeigt ein Thermometer $-\mathrm{4,}{5}^{\circ }\mathrm{C}$. Bis Mittag steigt die Temperatur um $\mathrm{7,2}{5}^{\circ }\mathrm{C}$, danach sinkt sie um $3{\frac{1}{2}}^{\circ }\mathrm{C}$. Bestimme die Endtemperatur und stelle die Änderungen auf einer Zahlengeraden dar.
5. Darstellungswechsel: Finde zu $-\mathrm{0,875}$ einen vollständig gekürzten Bruch. Erkläre anschließend, warum beide Schreibweisen dieselbe rationale Zahl darstellen.
6. Aufgabe rückwärts: Erfinde zwei verschiedene Rechnungen mit mindestens drei rationalen Zahlen, deren Ergebnis $-2$ ist. Eine Rechnung soll nur Brüche, die andere Brüche und Dezimalzahlen enthalten.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können, dass Du

1. rationale Zahlen in Bruch- und Dezimaldarstellung sicher erkennst und ineinander umwandelst.
2. positive und negative rationale Zahlen auf einer Zahlengeraden ordnest und Beträge bestimmst.
3. Addition und Subtraktion mit Vorzeichen korrekt ausführst und die Regel $a-b=a+(-b)$ erklären kannst.
4. Multiplikation und Division mit positiven und negativen Zahlen sicher beherrschst.
5. Brüche gleichnamig machst, kürzt, erweiterst, multiplizierst und durch Verwendung des Kehrwerts dividierst.
6. Dezimalzahlen stellengerecht verrechnest.
7. bei gemischten Aufgaben zwischen Bruch- und Dezimaldarstellung sinnvoll wechselst.
8. Klammern sowie Punkt-vor-Strich korrekt beachtest.
9. einen Lösungsweg nachvollziehbar mit mathematischen Symbolen, Zwischenschritten und einer Probe dokumentierst.
10. Fehler in fremden Rechenwegen erkennst, erklärst und korrigierst.

Verknüpfte Lernbereiche

Rationale Zahlen Negative Zahlen Zahlengerade Betrag Bruchrechnung Dezimalzahl Addition Subtraktion Multiplikation Division Rechenregeln Vorzeichen Kehrwert