M6 G - Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen sicher unterscheidest. Dabei reicht es nicht, eine Zahl nur anzuschauen: Du begründest Deine Entscheidung mit ihren Teilern, mit Faktorzerlegungen, mit Punktefeldern und mit dem Sieb des Eratosthenes.

Wir arbeiten vor allem mit kleinen natürlichen Zahlen, damit Du jeden Rechenschritt selbst überprüfen kannst.

Teiler → Anzahl der Teiler → Einordnung der Zahl

Grundidee:

Zahlart	Kennzeichen	Beispiel	Begründung
Primzahl	genau zwei positive Teiler	$7$	$T(7)=\{1;7\}$
zusammengesetzte Zahl	mehr als zwei positive Teiler	$12$	$T(12)=\{1;2;3;4;6;12\}$
Sonderfall	nicht genau zwei und nicht mehr als zwei positive Teiler	$1$	$T(1)=\{1\}$

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Teiler einer Zahl bestimmen und mit $a\mid b$ ausdrücken, dass $a$ ein Teiler von $b$ ist.
2. Primzahlen daran erkennen, dass sie genau zwei positive Teiler besitzen.
3. zusammengesetzte Zahlen durch mindestens einen zusätzlichen Teiler begründen.
4. die Sonderrolle der Zahlen $0$ und $1$ erklären.
5. mit Punktefeldern Faktorpaare sichtbar machen.
6. das Sieb des Eratosthenes bis $100$ anwenden.
7. eine Aussage wie „$37$ ist prim“ oder „$45$ ist zusammengesetzt“ mit Teilern begründen.

Teiler als Grundlage

Was bedeutet „Teiler“?

Eine natürliche Zahl $a$ ist ein Teiler einer natürlichen Zahl $b$, wenn die Division ohne Rest aufgeht.

a | b ⇔ b:a ergibt eine natürliche Zahl ohne Rest

Beispiel:

$3\mid 12$, denn

$12:3=4$

und gleichzeitig

$3\cdot 4=12$.

Dagegen gilt

$5\nmid 12$,

denn

$12:5=2\text{ Rest }2$.

Teilermengen systematisch finden

Die Menge aller positiven Teiler einer Zahl $n$ schreiben wir als $T(n)$.

Für $12$ kannst Du Faktorpaare suchen:

$1\cdot 12=12$

$2\cdot 6=12$

$3\cdot 4=12$

Damit erhältst Du

$T(12)=\{1;2;3;4;6;12\}$.

Teilerbeziehungen der Zahl 12

Freies Medium von Wikimedia Commons: „Divisors 12.svg“, Klaus Röder, unter anderem CC BY-SA 3.0. Die Dateibeschreibungsseite auf Wikimedia Commons enthält die vollständigen Lizenzangaben.

Teilerpaare als Rechenweg

Ein besonders übersichtlicher Rechenweg ist die Suche nach Faktor- beziehungsweise Teilerpaaren.

Zahl	Faktorpaare	Teilermenge	Einordnung
$7$	$1\cdot 7$	$\{1;7\}$	Primzahl
$10$	$1\cdot 10,2\cdot 5$	$\{1;2;5;10\}$	zusammengesetzt
$13$	$1\cdot 13$	$\{1;13\}$	Primzahl
$18$	$1\cdot 18,2\cdot 9,3\cdot 6$	$\{1;2;3;6;9;18\}$	zusammengesetzt

Merke: Um zu zeigen, dass eine Zahl zusammengesetzt ist, genügt bereits ein einziger zusätzlicher Teiler außer $1$ und der Zahl selbst.

Beispiel:

$21=3\cdot 7$

Also ist $3$ ein Teiler von $21$. Damit besitzt $21$ mehr als zwei Teiler und ist zusammengesetzt.

Primzahlen

Definition

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als $1$, die genau zwei positive Teiler hat:

$1$ und die Zahl selbst.

Für eine Primzahl $p$ gilt also:

$T(p)=\{1;p\}$

Beispiele:

$T(2)=\{1;2\}$

$T(3)=\{1;3\}$

$T(5)=\{1;5\}$

$T(11)=\{1;11\}$

$T(17)=\{1;17\}$

Die kleinste Primzahl

Die kleinste Primzahl ist

$2$.

Sie ist zugleich die einzige gerade Primzahl.

Warum?

Jede gerade Zahl größer als $2$ ist durch $2$ teilbar. Eine gerade Zahl $n>2$ besitzt damit mindestens die Teiler

$1,2,n$

und ist deshalb zusammengesetzt.

Video: Was ist eine Primzahl?

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Beobachtungsauftrag: Notiere während des Videos je ein Beispiel für eine Primzahl und eine zusammengesetzte Zahl. Schreibe zu beiden Zahlen die passende Teilermenge auf.

Zusammengesetzte Zahlen

Definition

Eine natürliche Zahl größer als $1$ heißt zusammengesetzt, wenn sie mehr als zwei positive Teiler besitzt.

Du kannst eine zusammengesetzte Zahl auch als Produkt von zwei natürlichen Zahlen größer als $1$ schreiben.

Beispiele:

$4=2\cdot 2$

$6=2\cdot 3$

$8=2\cdot 4$

$9=3\cdot 3$

$15=3\cdot 5$

$25=5\cdot 5$

Schon eine solche Produktdarstellung beweist, dass die Zahl zusammengesetzt ist.

Prim oder zusammengesetzt? Ein direkter Vergleich

Zahl	Teilermenge	Anzahl positiver Teiler	Einordnung
$5$	$T(5)=\{1;5\}$	$2$	Primzahl
$8$	$T(8)=\{1;2;4;8\}$	$4$	zusammengesetzt
$11$	$T(11)=\{1;11\}$	$2$	Primzahl
$15$	$T(15)=\{1;3;5;15\}$	$4$	zusammengesetzt
$23$	$T(23)=\{1;23\}$	$2$	Primzahl
$24$	$T(24)=\{1;2;3;4;6;8;12;24\}$	$8$	zusammengesetzt

Punktefelder: Teiler sehen

Punktefelder machen Faktoren sichtbar. Kannst Du eine Anzahl von Punkten zu einem Rechteck mit mehr als einer Reihe und mehr als einer Spalte anordnen, dann hast Du ein nichttriviales Faktor­paar gefunden.

Punktefelder für Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen

Freies Medium von Wikimedia Commons: „Primes-vs-composites.svg“ von David Eppstein, CC0. Die Grafik zeigt, dass sich zusammengesetzte Zahlen als echte Rechtecke aus Punkten anordnen lassen.

Punktefeld für 7

Bei $7$ Punkten gelingt nur

$1\cdot 7$.

Es gibt kein Rechteck mit mindestens zwei Reihen und mindestens zwei Spalten.

$7=1\cdot 7$

Deshalb gilt:

$T(7)=\{1;7\}$

und $7$ ist prim.

Punktefeld für 12

Bei $12$ Punkten gibt es mehrere rechteckige Anordnungen:

$12=1\cdot 12$

$12=2\cdot 6$

$12=3\cdot 4$

Die zusätzlichen Rechtecke verraten zusätzliche Teiler:

$T(12)=\{1;2;3;4;6;12\}$.

Also ist $12$ zusammengesetzt.

Mini-Punktefelder zum Nachbauen

Lege Plättchen, Münzen oder Papierpunkte.

Anzahl Punkte	Mögliche rechteckige Anordnung	Folgerung
$5$	$1\cdot 5$	prim
$6$	$1\cdot 6,2\cdot 3$	zusammengesetzt
$7$	$1\cdot 7$	prim
$8$	$1\cdot 8,2\cdot 4$	zusammengesetzt
$9$	$1\cdot 9,3\cdot 3$	zusammengesetzt
$11$	$1\cdot 11$	prim

Die Sonderfälle 0 und 1

Warum ist 1 keine Primzahl?

Die Zahl $1$ besitzt nur einen positiven Teiler:

$T(1)=\{1\}$.

Eine Primzahl braucht aber genau zwei verschiedene positive Teiler.

Deshalb ist

1 weder prim noch zusammengesetzt.

Was ist mit 0?

Auch $0$ ist weder Primzahl noch zusammengesetzte Zahl.

Denn jede positive natürliche Zahl $a$ erfüllt

$a\cdot 0=0$.

Damit besitzt $0$ nicht genau zwei positive Teiler. In diesem aiMOOC untersuchen wir für die Einteilung „prim oder zusammengesetzt“ deshalb vor allem natürliche Zahlen größer als $1$.

Primzahltafel bis 100

Primzahlen bis 100

Freies Medium von Wikimedia Commons: „Prime numbers (up to 100).svg“ von Michaelversatile, CC BY 3.0.

Die Primzahlen bis $100$ sind:

$\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97\}$

Zahlentafel zum Mitdenken

Legende: fett = Primzahl, normal = zusammengesetzt, kursiv = Sonderfall.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

Das Sieb des Eratosthenes

Mit dem Sieb des Eratosthenes findest Du systematisch alle Primzahlen in einem Zahlenbereich.

Animiertes Sieb des Eratosthenes

Freies Medium von Wikimedia Commons: „Animation Sieb des Eratosthenes Überarbeitet.gif“, Bearbeitung von Faultier11 nach SKopp, CC BY-SA 4.0.

Schritt für Schritt bis 100

Schritt	Handlung	Mathematische Idee
1	Streiche die $1$.	$1$ hat nur einen positiven Teiler und ist keine Primzahl.
2	Markiere die $2$. Streiche alle größeren Vielfachen von $2$.	$4,6,8,10,\dots$ sind durch $2$ teilbar und daher zusammengesetzt.
3	Markiere die $3$. Streiche alle noch nicht gestrichenen größeren Vielfachen von $3$.	$9,15,21,27,\dots$ besitzen den zusätzlichen Teiler $3$.
4	Die nächste freie Zahl ist $5$. Markiere sie und streiche ihre größeren Vielfachen.	Zum Beispiel $25=5\cdot 5$ und $35=5\cdot 7$.
5	Die nächste freie Zahl ist $7$. Markiere sie und streiche ihre größeren Vielfachen.	Zum Beispiel $49=7\cdot 7$ und $77=7\cdot 11$.
6	Lies die nicht gestrichenen Zahlen ab.	Sie besitzen im betrachteten Bereich keinen zusätzlichen Teiler und sind Primzahlen.

Warum funktioniert das Sieb?

Sobald eine Zahl als echtes Vielfaches einer kleineren Zahl erkannt wird, besitzt sie einen zusätzlichen Teiler.

Beispiel:

$35=5\cdot 7$

Damit sind

$1,5,7,35$

Teiler von $35$. Also ist $35$ zusammengesetzt und darf ausgesiebt werden.

Eine Zahl, die nach dem systematischen Streichen der Vielfachen übrig bleibt, besitzt keinen solchen zusätzlichen Faktor und ist prim.

Animierter Rechenweg: Warum wird 49 gestrichen?

$49$

$\Downarrow$

$49=7\cdot 7$

$\Downarrow$

$7\mid 49$

$\Downarrow$

$T(49)=\{1;7;49\}$

$\Downarrow$

$49\text{ ist zusammengesetzt}$

Video: Primzahlen mit dem Sieb finden

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Arbeitsauftrag zum Video: Halte nach jedem Siebschritt das Video kurz an und erkläre laut, warum mindestens eine gerade gestrichene Zahl zusammengesetzt sein muss.

Visueller Entscheidungsweg

Wenn Du eine Zahl untersuchen sollst, kannst Du so vorgehen:

Frage	Ja	Nein
Ist die Zahl kleiner oder gleich $1$?	Sonderfall: nicht prim und nicht zusammengesetzt	weiter
Findest Du außer $1$ und der Zahl selbst einen weiteren Teiler?	zusammengesetzt	weiterprüfen
Hast Du alle möglichen Faktorpaare für die kleine Zahl geprüft und keinen zusätzlichen Teiler gefunden?	Primzahl	weiterprüfen

Beispiele:

$27=3\cdot 9$

also

$27\text{ zusammengesetzt}$.

Für $19$ erhältst Du nur

$1\cdot 19$.

Daher

$T(19)=\{1;19\}$

und

$19\text{ prim}$.

Zahlengerade: Wo liegen die Primzahlen?

Auf einer Zahlengerade bis $30$ liegen Primzahlen nicht in einem gleichmäßigen Abstand.

$1-\mathrm{𝟐}-\mathrm{𝟑}-4-\mathrm{𝟓}-6-\mathrm{𝟕}-8-9-10-\mathrm{𝟏𝟏}-12-\mathrm{𝟏𝟑}-14-15-16-\mathrm{𝟏𝟕}-18-\mathrm{𝟏𝟗}-20-21-22-\mathrm{𝟐𝟑}-24-25-26-27-28-\mathrm{𝟐𝟗}-30$

Entdeckungsauftrag: Vergleiche die Abstände zwischen benachbarten Primzahlen. Finde mindestens drei verschiedene Abstände.

Interaktive Zahlengeraden-Sortierung

Ordne die Begriffe der richtigen Position auf der Zahlengeraden zu.	Beschreibung
Primzahlpunkt	Eine Position, deren Zahl genau zwei positive Teiler hat
Zusammengesetztenpunkt	Eine Position, deren Zahl mehr als zwei positive Teiler hat
Sonderpunkt	Die Position der Eins
Gerade Primzahl	Die besondere Position der einzigen geraden Primzahl
Primzahllücke	Ein Abstand zwischen zwei benachbarten Primzahlen

Muster entdecken

Primzahlen erscheinen in Zahlenrastern nicht regelmäßig. Trotzdem können interessante Muster sichtbar werden.

Ulam-Spirale mit Primzahlen und Teileranzahlen

Forscherfrage: Welche Linien oder Häufungen fallen Dir auf? Eine sichtbare Häufung ist noch kein Beweis für eine mathematische Regel. Formuliere deshalb zuerst nur eine Beobachtung.

Typische Fehler vermeiden

Häufiger Fehler	Korrektur	Begründung
„Alle ungeraden Zahlen sind prim.“	Falsch.	$9=3\cdot 3$ und $15=3\cdot 5$ sind ungerade und trotzdem zusammengesetzt.
„Die $1$ ist prim.“	Falsch.	$T(1)=\{1\}$; es gibt nur einen positiven Teiler.
„Die $2$ ist zusammengesetzt, weil sie gerade ist.“	Falsch.	$T(2)=\{1;2\}$; genau zwei positive Teiler.
„Wenn eine Zahl groß ist, ist sie bestimmt zusammengesetzt.“	Falsch.	Zum Beispiel ist $97$ eine Primzahl.
„Zum Beweisen von zusammengesetzt muss ich alle Teiler finden.“	Nicht nötig.	Ein zusätzlicher Teiler genügt, zum Beispiel $7\mid 91$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Aussage beschreibt eine Primzahl richtig? (Eine Primzahl hat genau zwei positive Teiler) (!Eine Primzahl hat genau einen positiven Teiler) (!Eine Primzahl ist immer gerade) (!Eine Primzahl hat immer mindestens vier positive Teiler)

Warum ist die Zahl 1 keine Primzahl? (Sie hat nur einen positiven Teiler) (!Sie ist ungerade) (!Sie ist kleiner als 10) (!Sie kann nicht addiert werden)

Welche Besonderheit besitzt die Zahl 2? (Sie ist die einzige gerade Primzahl) (!Sie ist die einzige ungerade Primzahl) (!Sie besitzt vier positive Teiler) (!Sie ist weder prim noch zusammengesetzt)

Welche Zahl ist zusammengesetzt? (15) (!13) (!17) (!19)

Welche Rechnung beweist sofort, dass 21 zusammengesetzt ist? (21 gleich 3 mal 7) (!21 plus 1 gleich 22) (!21 minus 1 gleich 20) (!21 ist größer als 10)

Welche Teilermenge gehört zur Zahl 13? (1 und 13) (!1 und 3 und 13) (!1 und 2 und 13) (!1 und 5 und 13)

Was geschieht beim Sieb des Eratosthenes nach dem Markieren der 2? (Die größeren Vielfachen von 2 werden gestrichen) (!Alle ungeraden Zahlen werden gestrichen) (!Nur die Zahl 2 wird gestrichen) (!Alle Zahlen größer als 2 werden gestrichen)

Warum ist 49 keine Primzahl? (49 ist 7 mal 7) (!49 ist ungerade) (!49 ist größer als 10) (!49 endet nicht auf 0)

Welche Zahl ist eine Primzahl? (97) (!91) (!87) (!95)

Was zeigt ein echtes rechteckiges Punktefeld mit mindestens zwei Reihen und zwei Spalten? (Die Zahl besitzt ein zusätzliches Faktorpaar und ist zusammengesetzt) (!Die Zahl muss eine Primzahl sein) (!Die Zahl muss ungerade sein) (!Die Zahl hat genau einen Teiler)

Memory

Primzahl	genau zwei positive Teiler
zusammengesetzte Zahl	mehr als zwei positive Teiler
Sonderfall Eins	weder prim noch zusammengesetzt
Teiler	Division ohne Rest
Punktefeld	macht Faktorpaare sichtbar
Siebverfahren	streicht Vielfache systematisch
gerade Ausnahme	einzige gerade Primzahl

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Primzahl	genau zwei positive Teiler
Zusammengesetzt	mehr als zwei positive Teiler
Sonderfall	weder prim noch zusammengesetzt
Teilerprobe	Teilbarkeit ohne Rest untersuchen
Siebverfahren	Vielfache schrittweise entfernen

Interaktive Sortierung: Begründungen prüfen

Ordne die passende Begründung zu.	Aussage
Faktorbeweis	Ein Produkt mit zwei Faktoren größer als eins zeigt eine zusammengesetzte Zahl.
Teilerbeweis	Ein zusätzlicher positiver Teiler genügt zum Nachweis einer zusammengesetzten Zahl.
Primzahlbeweis	Für eine kleine Zahl werden alle möglichen Teiler geprüft und nur eins und die Zahl selbst gefunden.
Siebbeweis	Ein gestrichenes echtes Vielfaches besitzt einen zusätzlichen Teiler.
Sonderfallbeweis	Die Eins besitzt nur einen positiven Teiler.

Kreuzworträtsel

Primzahl	Wie heißt eine Zahl größer als eins mit genau zwei positiven Teilern?
Teiler	Wie heißt eine Zahl, durch die ohne Rest geteilt werden kann?
Punktefeld	Wie heißt eine Anordnung von Punkten, mit der Faktorpaare sichtbar werden?
Eratosthenes	Nach welchem Mathematiker ist das bekannte Primzahlsieb benannt?
Vielfaches	Wie heißt eine Zahl, die durch Multiplizieren mit einer natürlichen Zahl entsteht?
Zusammengesetzt	Wie heißt eine Zahl größer als eins mit mehr als zwei positiven Teilern?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Primzahl besitzt genau positive Teiler.

Die beiden Teiler einer Primzahl sind die Zahl eins und .

Eine natürliche Zahl größer als eins mit zusätzlichen Teilern heißt .

Die Zahl eins ist .

Die einzige gerade Primzahl ist die Zahl .

Beim Sieb des Eratosthenes werden die echten gefundener Primzahlen gestrichen.

Die Rechnung $21=3\cdot 7$ zeigt, dass 21 einen zusätzlichen besitzt.

Ein rechteckiges Punktefeld kann ein sichtbar machen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Teilerkarten: Schreibe die Zahlen $2$ bis $20$ auf Karten. Notiere auf der Rückseite jeweils die Teilermenge und sortiere die Karten in „prim“, „zusammengesetzt“ und „Sonderfall“.
2. Punktefeld-Werkstatt: Lege für $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ und $10$ Punktefelder. Fotografiere oder zeichne die verschiedenen Rechtecke und leite daraus die Faktorpaare ab.
3. Primzahl-Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von $1$ bis $30$. Markiere Primzahlen, zusammengesetzte Zahlen und die $1$ verschieden und schreibe zu drei Markierungen eine Teilerbegründung.
4. Fehlerdetektiv: Erfinde drei falsche Aussagen über Primzahlen, zum Beispiel „Alle ungeraden Zahlen sind prim“. Widerlege jede Aussage mit einem passenden Gegenbeispiel.

Standard

1. Sieb-Poster: Erstelle eine Zahlentafel bis $100$ und dokumentiere jeden Siebschritt mit einer eigenen Farbe oder einem Symbol. Schreibe neben jeden Schritt eine Begründung mit Teilbarkeit.
2. Erklärvideo: Produziere ein Video von höchstens drei Minuten, in dem Du den Unterschied zwischen Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen an zwei Punktefeldern und zwei Teilermengen erklärst.
3. Sortierspiel: Entwickle ein Kartenspiel mit mindestens 24 Zahlenkarten. Eine Karte darf nur dann abgelegt werden, wenn die Einordnung „prim“ oder „zusammengesetzt“ mit einem Teiler oder einer vollständigen kleinen Teilermenge begründet wird.
4. Teilerdetektiv: Untersuche zehn selbst gewählte Zahlen zwischen $20$ und $80$. Dokumentiere nicht nur das Ergebnis, sondern jeweils den kürzesten Beweis, der zur Einordnung genügt.

Schwer

1. Primzahlmuster erforschen: Untersuche die Primzahlen bis $100$ auf der Zahlengerade. Formuliere drei Beobachtungen zu Abständen oder Endziffern und prüfe jede Beobachtung auf Gegenbeispiele.
2. Verfahren vergleichen: Vergleiche das Sieb des Eratosthenes mit der direkten Teilerprobe für alle Zahlen bis $50$. Beschreibe, bei welcher Aufgabe welches Verfahren übersichtlicher ist, und begründe Deine Entscheidung.
3. Digitale Primzahltafel: Gestalte eine klickbare oder animierte Primzahltafel, in der beim Auswählen einer Zahl ihre Teilermenge oder ein passendes Punktefeld erscheint. Achte darauf, die $1$ als Sonderfall darzustellen.
4. Mini-Ausstellung: Plane eine kleine Ausstellung mit mindestens vier Stationen zu Teilern, Punktefeldern, Primzahltafel und Sieb des Eratosthenes. Jede Station muss eine Mitmachaufgabe und eine überprüfbare Lösung enthalten.

Lernkontrolle

1. Begründung statt Raten: Eine Schülerin behauptet: „$51$ ist prim, weil die Zahl ungerade ist.“ Prüfe die Aussage, finde einen passenden Teiler und formuliere eine vollständige Gegenbegründung.
2. Zahlen vergleichen: Vergleiche $29$ und $30$. Erkläre mit Teilermengen oder Faktorpausen, warum die beiden Nachbarzahlen unterschiedlichen Zahlarten angehören.
3. Sieb verstehen: Beim Sieben wird $77$ gestrichen. Erkläre ohne die vollständige Teilermenge aufzuschreiben, warum das Streichen mathematisch gerechtfertigt ist.
4. Vom Bild zur Rechnung: Ein Punktefeld besteht aus drei Reihen mit neun Punkten. Bestimme die dargestellte Zahl und erkläre, welche Aussage Du allein aus dieser Anordnung über „prim oder zusammengesetzt“ treffen kannst.
5. Aussage prüfen: Prüfe die Aussage „Jede Zahl, die nicht durch $2$ teilbar ist, ist eine Primzahl“. Finde zwei Gegenbeispiele und zeige jeweils einen zusätzlichen Teiler.
6. Entscheidungsregel: Formuliere eine kurze Entscheidungshilfe für eine jüngere Schülerin oder einen jüngeren Schüler. Deine Regel muss erklären, wie Teilermengen, Faktorpaare und der Sonderfall $1$ zusammenhängen.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. eine Teilermenge kleiner natürlicher Zahlen korrekt bestimmen kannst.
2. bei einer Primzahl erklären kannst, warum genau zwei positive Teiler vorhanden sind.
3. bei einer zusammengesetzten Zahl mindestens einen zusätzlichen Teiler oder ein nichttriviales Faktorpaar angeben kannst.
4. die Zahlen $0$ und $1$ nicht fälschlich als Primzahlen einordnest.
5. weißt, dass $2$ die einzige gerade Primzahl ist.
6. Punktefelder in Faktorpaare übersetzen kannst.
7. das Sieb des Eratosthenes in einem vorgegebenen Zahlenraum korrekt durchführst.
8. eine mathematische Behauptung mit Rechnung, Teilbarkeit oder Gegenbeispiel begründen kannst.

OERs zum Thema

Wikipedia: Primzahl

Wikipedia: Zusammengesetzte Zahl

Wikipedia: Sieb des Eratosthenes

Freie Medien und Quellenhinweise

Die verwendeten Wikimedia-Commons-Dateien wurden wegen ihres direkten fachlichen Nutzens ausgewählt. Die jeweils vollständigen Urheber- und Lizenzangaben stehen auf den zugehörigen Dateibeschreibungsseiten.

1. Primes-vs-composites.svg – Punktefelder für Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen, CC0.
2. Prime numbers (up to 100).svg – Primzahltafel bis 100, CC BY 3.0.
3. Animation Sieb des Eratosthenes Überarbeitet.gif – animiertes Sieb, CC BY-SA 4.0.
4. Divisors 12.svg – Teilerbeziehungen von 12, unter anderem CC BY-SA 3.0.
5. Ulam spiral with prime numbers and divisor-based dot sizes.png – Visualisierung von Primzahlen und Teileranzahlen.

Verknüpfte Lernbereiche

M6 G - Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen Natürliche Zahlen Teiler Vielfache Teilbarkeit Primzahl Zusammengesetzte Zahl Sieb des Eratosthenes Primfaktorzerlegung Größter gemeinsamer Teiler Kleinstes gemeinsames Vielfaches