M6 G - Maßstäbliche Darstellungen verstehen

M6 G - Maßstäbliche Darstellungen verstehen

Zielgruppe: Klasse 6, G-Niveau

Lernziel: Du verstehst, dass maßstäbliche Darstellungen Längen verkleinert oder vergrößert wiedergeben. Du kannst bei einfachen Maßstäben aus einer Länge in einer Zeichnung die passende Originallänge bestimmen.

Das brauchst Du: Lineal oder Geodreieck, Papier, Bleistift und bei einigen Aufgaben einen Taschenrechner.

Einleitung

Eine echte Straße ist zu lang für ein Blatt Papier. Ein Haus passt nicht in ein Heft. Ein Auto ist zu groß für eine Vitrine. Deshalb werden viele Dinge maßstäblich dargestellt.

Ein Maßstab beschreibt das Verhältnis zwischen einer Länge in einer Darstellung und der entsprechenden Länge im Original.

$\text{Maßstab}=\frac{\text{Länge in der Darstellung}}{\text{Originallänge}}$

Bei einer Verkleinerung wie $1:100$ bedeutet das:

$1\text{ cm in der Zeichnung}⟷100\text{ cm im Original}$

Da $100\text{ cm}=1\text{ m}$ gilt auch:

$1\text{ cm in der Zeichnung}⟷1\text{ m im Original}$

Eine Maßstabsleiste zeigt eine reale Entfernung grafisch. Sie ist besonders praktisch bei Karten, weil Du Entfernungen direkt vergleichen kannst.

Wo begegnen Dir Maßstäbe?

Darstellung	Typische Idee	Beispiel
Landkarte	große Entfernungen werden verkleinert	$1:100000$
Grundriss	Räume und Gebäude werden verkleinert	$1:100$
Modellauto	ein echtes Fahrzeug wird als kleines Modell gebaut	$1:18$
Detailzeichnung	sehr kleine Dinge können vergrößert werden	$5:1$

Auf dem Bild siehst Du Modellautos in unterschiedlichen Maßstäben. Obwohl alle Modelle Autos darstellen, sind sie verschieden groß. Der Maßstab entscheidet, wie stark verkleinert wurde.

Verkleinern und Vergrößern

Verkleinerung:

$1:n$

Dabei ist die Darstellung kleiner als das Original.

Beispiel:

$1:50$

$1\text{ cm}⟷50\text{ cm}$

Vergrößerung:

$n:1$

Dabei ist die Darstellung größer als das Original.

Beispiel:

$5:1$

$5\text{ cm in der Zeichnung}⟷1\text{ cm im Original}$

Maßstab	Art	Bedeutung
$1:10$	Verkleinerung	$1\text{ cm}\leftrightarrow 10\text{ cm}$
$1:100$	Verkleinerung	$1\text{ cm}\leftrightarrow 100\text{ cm}$
$1:1000$	Verkleinerung	$1\text{ cm}\leftrightarrow 1000\text{ cm}$
$2:1$	Vergrößerung	$2\text{ cm}\leftrightarrow 1\text{ cm}$

Der Maßstab als Bruch

Du kannst eine Verkleinerung auch als Bruch lesen.

$1:100=\frac{1}{100}$

Das bedeutet: Eine Länge in der Zeichnung ist nur der hundertste Teil der entsprechenden Originallänge.

$1:10=\frac{1}{10}$

$1:100=\frac{1}{100}$

$1:1000=\frac{1}{1000}$

Je größer die Zahl hinter dem Doppelpunkt wird, desto stärker wird bei $1:n$ verkleinert.

Dynamische Zahlengerade: Maßstabszahlen ordnen

Ordne auf der Zahlengeraden zum Beispiel die Zahlen $10$, $50$, $100$ und $1000$. Überlege danach: Bei welchem Maßstab $1:n$ wird das Original am stärksten verkleinert?

Merke: Bei $1:n$ bedeutet eine größere Maßstabszahl $n$ eine stärkere Verkleinerung.

Längeneinheiten sicher verwenden

Bevor Du mit einem Maßstab rechnest, müssen die zusammengehörenden Längen in derselben Einheit betrachtet werden.

$1\text{ m}=100\text{ cm}$

$1\text{ km}=1000\text{ m}$

$1\text{ km}=100000\text{ cm}$

km	m	cm	mm
$1$	$1000$	$100000$	$1000000$

Beispiele:

$3\text{ m}=300\text{ cm}$

$450\text{ cm}=\mathrm{4,5}\text{ m}$

$2\text{ km}=2000\text{ m}=200000\text{ cm}$

Interaktives Stellenwertmodell für Längen

Mit dem folgenden Material kannst Du das Umrechnen von Längeneinheiten üben. Das ist wichtig, weil Maßstabsaufgaben nur dann zuverlässig funktionieren, wenn die Einheiten zusammenpassen.

Originallängen bei Verkleinerungen berechnen

Für eine Verkleinerung im Maßstab $1:n$ gilt:

$\text{Originallänge}=\text{Zeichnungslänge}\cdot n$

Das ist die wichtigste Regel dieses aiMOOCs.

Visueller Rechenweg in drei Schritten

Schritt	Frage	Beispiel bei $1:100$ und $4\text{ cm}$
1. Maßstab lesen	Wie viel Original gehört zu $1\text{ cm}$?	$1\text{ cm}\leftrightarrow 100\text{ cm}$
2. Multiplizieren	Wie lang ist das Original?	$4\text{ cm}\cdot 100=400\text{ cm}$
3. Sinnvoll umrechnen	Welche Einheit passt besser?	$400\text{ cm}=4\text{ m}$

Ergebnis:

$4\text{ cm im Plan}\leftrightarrow 4\text{ m im Original}$

Beispiel 1: Grundriss

Ein Zimmer ist in einem Grundriss im Maßstab $1:100$ gezeichnet. Eine Wand ist im Plan $5\text{ cm}$ lang.

Schritt 1:

$1\text{ cm}\leftrightarrow 100\text{ cm}$

Schritt 2:

$5\text{ cm}\cdot 100=500\text{ cm}$

Schritt 3:

$500\text{ cm}=5\text{ m}$

Antwort: Die Wand ist im Original $5\text{ m}$ lang.

Beispiel 2: Modellauto

Ein Modellauto hat den Maßstab $1:20$. Das Modell ist $22\text{ cm}$ lang.

$22\text{ cm}\cdot 20=440\text{ cm}$

$440\text{ cm}=\mathrm{4,4}\text{ m}$

Antwort: Das echte Auto wäre $\mathrm{4,4}\text{ m}$ lang.

Beispiel 3: Karte

Eine Karte hat den Maßstab $1:100000$. Zwei Orte liegen auf der Karte $3\text{ cm}$ auseinander.

$3\text{ cm}\cdot 100000=300000\text{ cm}$

Nun wird umgerechnet:

$300000\text{ cm}=3000\text{ m}=3\text{ km}$

Antwort: Die Entfernung beträgt im Original $3\text{ km}$.

Beispiel 4: Ein kleinerer Maßstab

Ein Plan ist im Maßstab $1:25$ gezeichnet. Eine Strecke ist im Plan $8\text{ cm}$ lang.

$8\text{ cm}\cdot 25=200\text{ cm}$

$200\text{ cm}=2\text{ m}$

Antwort: Die Originallänge beträgt $2\text{ m}$.

Originallängen bei Vergrößerungen berechnen

Auch Vergrößerungen können maßstäblich sein.

Bei $5:1$ ist die Darstellung fünfmal so groß wie das Original.

Für $n:1$ gilt:

$\text{Originallänge}=\frac{\text{Zeichnungslänge}}{n}$

Beispiel:

Eine Zeichnung ist im Maßstab $4:1$ erstellt. Eine gezeichnete Strecke ist $12\text{ cm}$ lang.

$12\text{ cm}:4=3\text{ cm}$

Antwort: Im Original ist die Strecke $3\text{ cm}$ lang.

Animation: Was passiert beim Vergrößern?

Die Animation zeigt, wie sich die sichtbare Größe einer Darstellung ändern kann. Für mathematische Maßstabsaufgaben ist wichtig: Wenn ein Bild auf einem Bildschirm gezoomt oder beim Drucken anders groß ausgegeben wird, darfst Du eine gedruckte Zahlenangabe wie $1:100$ nicht ungeprüft mit einem Lineal verwenden. Eine mitvergrößerte oder mitverkleinerte Maßstabsleiste bleibt dagegen als grafischer Vergleich hilfreich.

Die Maßstabsleiste

Eine Maßstabsleiste ist eine gezeichnete Skala. Sie verbindet eine Länge in der Darstellung direkt mit einer echten Entfernung.

Beispielidee:

──────── (2 km)

Wenn die ganze Leiste $2\text{ km}$ bedeutet, dann bedeutet ihre Hälfte:

$2\text{ km}:2=1\text{ km}$

Maßstabsleisten sind besonders nützlich auf Karten, Plänen und digitalen Darstellungen.

Mit einem Maßstabslineal arbeiten

Ein Maßstabslineal besitzt verschiedene Teilungen für häufig verwendete Maßstäbe.

Du kannst damit Strecken in technischen Zeichnungen oder Plänen leichter ablesen. Für Klasse 6 reicht aber zunächst die Grundidee:

$\text{Zeichnungslänge}\cdot \text{Maßstabszahl}=\text{Originallänge}$

Interaktive dynamische Geometrie

Mit der folgenden GeoGebra-Aktivität kannst Du erkunden, was ein Maßstab bedeutet und wie Maßstabsangaben interpretiert werden.

Achte besonders darauf, dass dieselbe Aussage in verschiedenen Einheiten stimmen kann:

$1\text{ cm}\leftrightarrow 50\text{ cm}$

und

$1\text{ m}\leftrightarrow 50\text{ m}$

beschreiben beide denselben Maßstab $1:50$.

Interaktiver Maßstabsrechner

Hier kannst Du fehlende Längen und Maßstäbe ausprobieren:

Arbeite zuerst ohne Hilfsmittel. Nutze das interaktive Material anschließend zum Kontrollieren.

Video: Maßstab auf Karten verstehen

Das folgende Video von Lehrerschmidt erklärt das Rechnen mit Kartenmaßstäben.

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Notiere beim Anschauen drei Dinge:

1. Was bedeutet die Schreibweise $1:n$?
2. Warum müssen Einheiten zusammenpassen?
3. Wie gelangst Du von einer Kartenlänge zur Originallänge?

Video: Im Maßstab zeichnen und rechnen

Das folgende Video von Lehrer Schindler zeigt, wie Zeichnen und Rechnen mit Maßstäben zusammenhängen.

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Typische Fehler vermeiden

Fehler	Warum problematisch?	Besser so
$4\text{ cm}\cdot 100=400\text{ m}$	Die Einheit wurde ohne Umrechnung geändert.	Erst $400\text{ cm}$, dann $4\text{ m}$.
Bei $1:50$ wird durch $50$ geteilt, obwohl die Originallänge gesucht ist.	Das würde die Strecke noch kleiner machen.	Bei einer Verkleinerung $1:n$: Zeichnungslänge mit $n$ multiplizieren.
Meter und Zentimeter werden direkt verglichen.	Unterschiedliche Einheiten führen zu falschen Ergebnissen.	Zuerst in dieselbe Einheit umrechnen.
Eine Bildschirmzeichnung wird mit dem Lineal gemessen, obwohl sie gezoomt wurde.	Die Größe auf dem Bildschirm kann verändert sein.	Maßstabsleiste oder verlässliche Originalmaße nutzen.

Merksätze

Situation	Rechenregel
Verkleinerung $1:n$, Originallänge gesucht	$O=B\cdot n$
Verkleinerung $1:n$, Bildlänge gesucht	$B=\frac{O}{n}$
Vergrößerung $n:1$, Originallänge gesucht	$O=\frac{B}{n}$

Dabei steht:

$O=\text{Originallänge}$

B=Länge in Bild, Karte, Plan oder Modell

Mini-Training mit visuellen Rechenwegen

Aufgabe A: Maßstab $1:10$, Zeichnungslänge $7\text{ cm}$

$7\text{ cm}\stackrel{\cdot 10}{\to }70\text{ cm}$

Lösung: $70\text{ cm}$

Aufgabe B: Maßstab $1:50$, Zeichnungslänge $6\text{ cm}$

$6\text{ cm}\stackrel{\cdot 50}{\to }300\text{ cm}\stackrel{:100}{\to }3\text{ m}$

Lösung: $3\text{ m}$

Aufgabe C: Maßstab $1:1000$, Zeichnungslänge $2\text{ cm}$

$2\text{ cm}\stackrel{\cdot 1000}{\to }2000\text{ cm}\stackrel{:100}{\to }20\text{ m}$

Lösung: $20\text{ m}$

Aufgabe D: Maßstab $3:1$, Zeichnungslänge $15\text{ cm}$

$15\text{ cm}\stackrel{:3}{\to }5\text{ cm}$

Lösung: $5\text{ cm}$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet der Maßstab 1:100? (1 cm in der Zeichnung entspricht 100 cm im Original) (!100 cm in der Zeichnung entsprechen 1 cm im Original) (!1 cm in der Zeichnung entspricht 100 m im Original) (!Die Zeichnung und das Original sind gleich groß)

Welche Rechnung passt, wenn bei einem Maßstab 1:n die Originallänge gesucht ist? (Zeichnungslänge mal n) (!Zeichnungslänge geteilt durch n) (!Zeichnungslänge plus n) (!Zeichnungslänge minus n)

Eine Strecke ist im Maßstab 1:50 gezeichnet und 4 cm lang. Wie lang ist sie im Original? (200 cm) (!54 cm) (!50 cm) (!2 cm)

Auf einer Karte im Maßstab 1:100000 beträgt eine Strecke 3 cm. Wie groß ist die reale Entfernung? (3 km) (!300 km) (!30 m) (!100 km)

Warum sollten zusammengehörende Längen vor einer Maßstabsrechnung in passenden Einheiten betrachtet werden? (Damit die Größen richtig miteinander verglichen und gerechnet werden können) (!Damit jede Aufgabe eine Dezimalzahl erhält) (!Damit der Maßstab größer wird) (!Damit man nicht mehr multiplizieren muss)

Ein Modellauto im Maßstab 1:20 ist 18 cm lang. Welche Originallänge ergibt sich zuerst in Zentimetern? (360 cm) (!38 cm) (!90 cm) (!180 cm)

Eine Zeichnung im Maßstab 4:1 zeigt eine Strecke mit 12 cm. Wie lang ist das Original? (3 cm) (!48 cm) (!16 cm) (!8 cm)

Welchen Vorteil hat eine Maßstabsleiste auf einer Karte? (Sie zeigt reale Entfernungen grafisch) (!Sie macht jede Karte automatisch größer) (!Sie ersetzt alle Ortsnamen) (!Sie zeigt nur die Himmelsrichtung)

Welche Darstellung ist bei demselben Original größer? (Die Darstellung im Maßstab 1:10) (!Die Darstellung im Maßstab 1:100) (!Die Darstellung im Maßstab 1:1000) (!Alle Darstellungen sind immer gleich groß)

Eine Zeichnung im Maßstab 1:25 zeigt eine Strecke von 6 cm. Wie lang ist die Strecke im Original? (150 cm) (!31 cm) (!25 cm) (!6 cm)

Memory

Maßstab	Verhältnis von Darstellung zu Original
Maßstabszahl	Zahl hinter dem Doppelpunkt bei einer Verkleinerung
Verkleinerung	Darstellung ist kleiner als das Original
Vergrößerung	Darstellung ist größer als das Original
Grundriss	Plan eines Raumes oder Gebäudes von oben
Landkarte	verkleinerte Darstellung eines Gebietes
Modellauto	verkleinertes dreidimensionales Fahrzeugmodell
Maßstabsleiste	grafische Skala für reale Entfernungen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Grundriss	Wohnung von oben
Landkarte	Gebiet verkleinert
Modellauto	Fahrzeug verkleinert
Mikroskopzeichnung	kleines Objekt vergrößert
Maßstabsleiste	Entfernung grafisch ablesen

Kreuzworträtsel

Maßstab	Wie heißt das Verhältnis zwischen einer Länge in einer Darstellung und der passenden Länge im Original?
Original	Wie heißt der wirkliche Gegenstand oder die wirkliche Strecke, auf die sich eine Darstellung bezieht?
Grundriss	Wie heißt ein Plan eines Raumes oder Gebäudes von oben?
Landkarte	Welche Darstellung zeigt ein Gebiet stark verkleinert?
Modellauto	Wie heißt ein kleines dreidimensionales Fahrzeugmodell?
Vergrößerung	Wie heißt eine Darstellung, die größer als das Original ist?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Maßstab beschreibt das zwischen einer Länge in der Darstellung und der passenden Originallänge.

Bei einem Maßstab von 1 zu 100 ist die Darstellung als das Original.

Bei 1 zu 100 entspricht ein Zentimeter in der Zeichnung Zentimetern im Original.

Bevor Du mit verschiedenen Längeneinheiten rechnest, solltest Du sie passend .

Wenn bei einer Verkleinerung 1 zu n die Originallänge gesucht ist, musst Du mit der Maßstabszahl .

Ein Plan einer Wohnung von oben heißt .

Bei einem Maßstab von 5 zu 1 handelt es sich um eine .

Eine grafische Skala für echte Entfernungen auf einer Karte heißt .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Maßstab im Alltag: Suche zu Hause oder in der Schule drei Dinge, auf denen ein Maßstab vorkommt. Notiere jeweils, ob es sich um eine Verkleinerung oder Vergrößerung handelt.
2. Modellauto untersuchen: Miss ein Modellauto. Lies den Maßstab ab und berechne aus einer einfachen Modelllänge die passende Originallänge.
3. Maßstabsleiste zeichnen: Zeichne eine einfache Maßstabsleiste für eine Karte, bei der 1 cm einer echten Strecke von 1 km entspricht.
4. Fehlerdetektiv Maßstab: Erfinde eine falsche Maßstabsrechnung und erkläre anschließend, an welcher Stelle der Fehler steckt.

Standard

1. Klassenzimmer im Grundriss: Miss Länge und Breite des Klassenzimmers und zeichne einen einfachen Grundriss im Maßstab 1:100.
2. Schulweg als Karte: Skizziere einen Teil Deines Schulwegs. Lege eine einfache Maßstabsleiste fest und erkläre, welche realen Entfernungen sie darstellt.
3. Maßstab fotografieren: Fotografiere mit Erlaubnis eine Landkarte, einen Bauplan oder ein Modell mit sichtbarer Maßstabsangabe. Erkläre die Angabe mit einer Beispielrechnung.
4. Maßstäbe vergleichen: Zeichne dieselbe Strecke einmal im Maßstab 1:10 und einmal im Maßstab 1:50. Beschreibe mit einem Satz und einer Rechnung, warum die Zeichnungen unterschiedlich lang sind.

Schwer

1. Zimmer planen: Entwirf einen maßstäblichen Grundriss eines erfundenen Zimmers. Berechne für mindestens fünf gezeichnete Strecken die passenden Originallängen.
2. Kartenvergleich: Vergleiche zwei Karten desselben Gebietes mit unterschiedlichen Maßstäben. Untersuche, welche Karte mehr Details zeigt und erkläre den Zusammenhang mit den Maßstabszahlen.
3. Interview zum Maßstab: Befrage eine Person aus Architektur, Handwerk, Modellbau, Technik oder Geografie dazu, wofür Maßstäbe im Beruf gebraucht werden. Fasse die Antworten mit einem eigenen Rechenbeispiel zusammen.
4. Erklärvideo Maßstab: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du an einem Grundriss, einer Karte oder einem Modell zeigst, wie man aus einer Zeichnungslänge eine Originallänge bestimmt.

Lernkontrolle

1. Passenden Maßstab auswählen: Ein Klassenzimmer ist 8 m lang und 6 m breit. Entscheide zwischen den Maßstäben 1:10, 1:50 und 1:100 für eine Zeichnung auf einem normalen Blatt. Begründe Deine Entscheidung mit Rechnungen.
2. Zwei Grundrisse vergleichen: Derselbe Raum wird einmal im Maßstab 1:50 und einmal im Maßstab 1:100 dargestellt. Erkläre, wie sich die gezeichneten Seitenlängen unterscheiden und warum.
3. Rechenfehler erklären: Jemand rechnet bei 1:100 und 7 cm Zeichnungslänge: $7\cdot 100=700\text{ m}$. Beschreibe den Fehler und verbessere den Rechenweg vollständig.
4. Modell prüfen: Ein Modellauto im Maßstab 1:25 ist 16 cm lang. Eine Person behauptet, das echte Auto sei 40 m lang. Prüfe die Aussage und erläutere Deinen Rechenweg.
5. Digitale Karte beurteilen: Eine Karte wird auf dem Bildschirm stark vergrößert. Erkläre, warum eine feste Angabe wie 1:50 000 beim Nachmessen am Bildschirm problematisch sein kann und warum eine mitvergrößerte Maßstabsleiste hilfreich ist.
6. Transfer Grundriss: Plane für einen kleinen Raum eine maßstäbliche Zeichnung. Erkläre, welche Informationen Du brauchst, welche Einheit Du verwendest und wie Du aus einer gemessenen Planstrecke wieder zur Originallänge gelangst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du zeigen kannst:

1. Du erklärst in eigenen Worten, was ein Maßstab beschreibt.
2. Du unterscheidest Verkleinerungen wie $1:100$ von Vergrößerungen wie $5:1$.
3. Du deutest einen Maßstab $1:n$ als Zuordnung von Zeichnungslänge und Originallänge.
4. Du rechnest einfache Längeneinheiten sicher um.
5. Du berechnest bei einer Verkleinerung die Originallänge mit $O=B\cdot n$.
6. Du berechnest bei einer einfachen Vergrößerung die Originallänge mit $O=\frac{B}{n}$.
7. Du nutzt Karten, Grundrisse, Modelle und Maßstabsleisten als mathematische Darstellungen.
8. Du erklärst Deinen Rechenweg nachvollziehbar mit Einheit und Antwortsatz.
9. Du erkennst typische Fehler bei Maßstabsrechnungen und kannst sie korrigieren.

OERs zum Thema

Weitere frei zugängliche Lernmöglichkeiten sind die interaktiven GeoGebra-Materialien zum Maßstab und zu Längeneinheiten.

Medien- und Lizenzhinweise

Die eingebundenen Bilder und Animationen stammen aus Wikimedia Commons. Dort sind Urheberangaben und freie Lizenzen auf den jeweiligen Dateiseiten dokumentiert. Die Medien werden hier direkt über ihre Commons-Dateinamen eingebunden.

1. Maßstabsleiste.png
2. Scale ruler.jpg
3. ScaleCarComparison.jpg
4. Floor plan.png
5. Tesla model s toy car.jpg
6. Karte Baden-Wuerttemberg physisch.png
7. Zoom.gif
8. Graphical scale.gif

Die YouTube-Videos werden als externe Einbettungen genutzt. Die beiden ausgewählten Videos stammen von Lehrerschmidt beziehungsweise Lehrer Schindler und nicht von Sofatutor.

Verknüpfte Lernbereiche

Maßstäbliche Darstellungen Maßstab Verhältnis Längeneinheiten Länge Grundriss Landkarte Maßstabsleiste Modellbau Geometrie Proportionalität