M6 M - Proportionale Zusammenhänge darstellen

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du, proportionale Zusammenhänge sicher zu erkennen, zu beschreiben und in verschiedene Darstellungen zu übertragen. Du arbeitest dabei besonders mit Situationen aus dem Alltag, Wertetabellen, Pfeildiagrammen, Koordinatensystemen und Graphen.

Das wichtigste Ziel lautet:

Du kannst denselben proportionalen Zusammenhang verbal, tabellarisch und grafisch darstellen und sicher zwischen diesen Darstellungen wechseln.

Außerdem lernst Du, einzelne Werte und Punkte zu deuten. Ein Punkt im Koordinatensystem ist nämlich nicht nur ein Zeichen auf dem Papier: Er beschreibt ein konkretes Wertepaar aus einer Situation.

Proportionalität bedeutet, dass zwei Größen immer im gleichen Verhältnis zueinander stehen. Mathematisch kann ein proportionaler Zusammenhang mit

$y=k\cdot x$

beschrieben werden. Dabei ist $k$ der Proportionalitätsfaktor.

Die Grafik zeigt mehrere proportionale Zusammenhänge der Form $y=kx$. Alle Geraden gehen durch den Ursprung. Je größer der positive Faktor $k$ ist, desto steiler verläuft die Gerade.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Proportionalität erkennen: entscheiden und begründen, ob ein Zusammenhang proportional ist.
2. Proportionalitätsfaktor: den Faktor $k$ aus einem Wertepaar oder einer Tabelle bestimmen.
3. Wertetabelle: proportionale Werte berechnen und sinnvoll in einer Tabelle ordnen.
4. Pfeildiagramm: gleiche Rechenschritte auf beide Größen übertragen.
5. Koordinatensystem: Wertepaare als Punkte $(x\mid y)$ eintragen.
6. Graph einer proportionalen Zuordnung: erkennen, dass ein proportionaler Graph eine Gerade durch den Ursprung ist.
7. Darstellungswechsel: verbal, tabellarisch, symbolisch und grafisch zwischen Darstellungen wechseln.
8. Interpretation von Punkten: erklären, was ein einzelner Punkt im Sachzusammenhang bedeutet.

Was ist ein proportionaler Zusammenhang?

Stell Dir vor, Äpfel kosten $\mathrm{2,50}\text{€}$ pro Kilogramm. Dann gilt:

Masse der Äpfel $x$ in kg	Preis $y$ in €	Rechnung
$1$	$\mathrm{2,50}$	$1\cdot \mathrm{2,50}=\mathrm{2,50}$
$2$	$\mathrm{5,00}$	$2\cdot \mathrm{2,50}=\mathrm{5,00}$
$3$	$\mathrm{7,50}$	$3\cdot \mathrm{2,50}=\mathrm{7,50}$
$4$	$\mathrm{10,00}$	$4\cdot \mathrm{2,50}=\mathrm{10,00}$

Für jedes Wertepaar gilt:

$\frac{y}{x}=\mathrm{2,50}$

Der Quotient bleibt also gleich. Deshalb ist der Zusammenhang proportional.

Merksatz:

$y=k\cdot x$

mit

$k=\frac{y}{x}$

Eine Supermarktwaage passt gut zu proportionalen Zusammenhängen: Bei gleichbleibendem Kilopreis steigt der Gesamtpreis im gleichen Verhältnis wie die Masse.

Der Proportionalitätsfaktor

Der Faktor $k$ sagt Dir, wie viel zu einer Einheit von $x$ gehört.

Beim Apfelbeispiel bedeutet

$k=\mathrm{2,50}\frac{\text{€}}{\mathrm{k}\mathrm{g}}$,

dass ein Kilogramm Äpfel $\mathrm{2,50}\text{€}$ kostet.

Aus dem Wertepaar $(4\mid 10)$ erhältst Du:

$k=\frac{10}{4}=\mathrm{2,5}$

und damit wieder:

$y=\mathrm{2,5}x$

Proportional oder nur „je mehr, desto mehr“?

Die Aussage „je mehr, desto mehr“ reicht nicht aus.

Beispiel:

Anzahl Fahrten	Preis in €
1	3
5	12

Hier wird die Anzahl größer und der Preis ebenfalls. Trotzdem ist der Zusammenhang nicht proportional, denn:

$\frac{3}{1}=3$

aber

$\frac{12}{5}=\mathrm{2,4}$

Die Quotienten sind verschieden.

Prüfe deshalb immer mindestens eine der folgenden Eigenschaften:

1. Gleicher Faktor: Wird $x$ mit einer Zahl multipliziert, muss auch $y$ mit derselben Zahl multipliziert werden.
2. Konstanter Quotient: $\frac{y}{x}=k$ muss bei allen Wertepaaren gleich sein.
3. Graph: Die Punkte müssen auf einer Geraden durch den Ursprung liegen.

Die verbale Darstellung

Ein proportionaler Zusammenhang kann mit Worten beschrieben werden.

Beispiel:

„Ein Heft kostet 1,80 €. Der Gesamtpreis ist proportional zur Anzahl der Hefte.“

Daraus liest Du zwei Größen ab:

Größe	Bedeutung	Variable
Anzahl der Hefte	unabhängige Größe	$x$
Gesamtpreis	zugeordnete Größe	$y$

Der Preis pro Heft ist der Proportionalitätsfaktor:

$k=\mathrm{1,80}$

Also gilt:

$y=\mathrm{1,80}x$

Sprachliche Signale richtig deuten

Typische Formulierungen sind:

Formulierung	Mathematische Bedeutung
„pro Stück“	Wert für $x=1$
„pro Kilogramm“	Preis oder andere Größe für $1\mathrm{k}\mathrm{g}$
„je Meter“	Wert für $1\mathrm{m}$
„doppelte Menge, doppelter Preis“	beide Größen werden mit $2$ multipliziert
„halbe Menge, halber Preis“	beide Größen werden durch $2$ geteilt

Achtung: Ein Grundpreis, eine Startgebühr oder eine andere feste Zusatzkostenangabe führt normalerweise dazu, dass der Zusammenhang nicht proportional ist.

Beispiel:

$y=2x+3$

Hier kostet jede Einheit zwar $2\text{€}$, aber zusätzlich fallen $3\text{€}$ Startkosten an. Für $x=0$ ist dann

$y=3$

und nicht $0$. Der Graph geht also nicht durch den Ursprung.

Darstellung mit einer Wertetabelle

Eine Wertetabelle zeigt zusammengehörige Werte übersichtlich.

Beispiel: Ein Getränk kostet $\mathrm{1,50}\text{€}$ pro Flasche.

Anzahl $x$	0	1	2	3	4	6	10
Preis $y$ in €	0	1,50	3,00	4,50	6,00	9,00	15,00

Die Rechenregel lautet:

$y=\mathrm{1,5}x$

Visueller Rechenweg in der Tabelle

Von $2$ Flaschen zu $6$ Flaschen wird mit $3$ multipliziert:

	Ausgangswert	Rechenpfeil	Zielwert
Anzahl	$2$	$\stackrel{\cdot 3}{\to }$	$6$
Preis	$3$	$\stackrel{\cdot 3}{\to }$	$9$

Bei einer proportionalen Zuordnung muss auf beiden Zeilen derselbe Faktor wirken.

Von $6$ Flaschen zu $1$ Flasche:

	Ausgangswert	Rechenpfeil	Zielwert
Anzahl	$6$	$\stackrel{:6}{\to }$	$1$
Preis	$9$	$\stackrel{:6}{\to }$	$\mathrm{1,5}$

Aufklappbarer Rechenweg: von 8 Stück auf 14 Stück

Gegeben: $8$ Müsliriegel kosten $12\text{€}$.

Rechenweg einblenden

Zuerst auf $1$ Stück:

$12\text{€}:8=\mathrm{1,50}\text{€}$

Dann auf $14$ Stück:

$\mathrm{1,50}\text{€}\cdot 14=21\text{€}$

Damit gilt:

$14\text{Müsliriegel}\widehat{=}21\text{€}$

Pfeildiagramme

Ein Pfeildiagramm macht sichtbar, welcher Rechenschritt auf beide Größen angewendet wird.

Beispiel:

$3$ Kinokarten kosten $24\text{€}$.

Größe	Start	Schritt 1	Einheit	Schritt 2	Ziel
Karten	$3$	$\stackrel{:3}{\to }$	$1$	$\stackrel{\cdot 5}{\to }$	$5$
Preis	$24\text{€}$	$\stackrel{:3}{\to }$	$8\text{€}$	$\stackrel{\cdot 5}{\to }$	$40\text{€}$

Der Weg über $1$ heißt häufig Zweisatz oder ist Teil eines Dreisatzes.

Dynamische Faktor-Zahlengerade

Betrachte zwei Zahlengeraden gleichzeitig. Der gleiche Faktor muss auf beiden Seiten wirken.

Faktor	$x$-Werte	$y$-Werte bei $y=4x$
Start	$012345$	$048121620$
$\cdot 2$	$2\stackrel{\cdot 2}{\to }4$	$8\stackrel{\cdot 2}{\to }16$
$:4$	$4\stackrel{:4}{\to }1$	$16\stackrel{:4}{\to }4$

Beobachtung: Auf beiden Zahlengeraden wird immer dieselbe Multiplikation oder Division durchgeführt.

Die grafische Darstellung

Zu jedem Wertepaar $(x\mid y)$ gehört ein Punkt im Koordinatensystem.

Nehmen wir wieder:

$y=\mathrm{1,5}x$

Dann entstehen zum Beispiel die Punkte:

$(0\mid 0)$, $(1\mid \mathrm{1,5})$, $(2\mid 3)$, $(4\mid 6)$, $(6\mid 9)$.

So trägst Du einen Punkt $(4\mid 6)$ ein:

1. Gehe auf der waagerechten $x$-Achse zu $x=4$.
2. Gehe von dort senkrecht bis zur Höhe $y=6$.
3. Markiere den Punkt $P(4\mid 6)$.

Warum geht der Graph durch den Ursprung?

Für jeden proportionalen Zusammenhang gilt:

$y=kx$

Setzt Du $x=0$, erhältst Du:

$y=k\cdot 0=0$

Deshalb gehört immer der Punkt

$(0\mid 0)$

zum Graphen.

Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist daher eine Gerade durch den Ursprung.

Dynamischer Graph: Verändere den Proportionalitätsfaktor

Bewege im folgenden GeoGebra-Material den Regler für $k$. Beobachte dabei die Gleichung

$y=kx$

und die Steilheit der Geraden.

Beantworte beim Experimentieren:

1. Was passiert mit der Geraden, wenn $k$ größer wird?
2. Was bleibt immer gleich?
3. Wo liegt der Graph für $k=0$?
4. Welchen Wert hat $y$ für $x=5$, wenn $k=3$ ist?

Punkte im Graphen richtig interpretieren

Ein Punkt $P(3\mid \mathrm{7,50})$ hat in einer Sachsituation eine konkrete Bedeutung.

Wenn $x$ die Masse von Äpfeln in Kilogramm und $y$ den Preis in Euro beschreibt, bedeutet

$P(3\mid \mathrm{7,50})$:

3 kg Äpfel kosten 7,50 €.

Die Koordinaten darfst Du deshalb nicht vertauschen.

$P(3\mid \mathrm{7,50})\ne P(\mathrm{7,50}\mid 3)$

Punkt-Detektiv

Gegeben ist die Zuordnung

$y=\mathrm{2,4}x$

mit $x$ = Anzahl der Hefte und $y$ = Preis in Euro.

Punkt	Bedeutung	Liegt auf dem Graphen?
$A(1\mid \mathrm{2,4})$	1 Heft kostet 2,40 €	ja
$B(5\mid 12)$	5 Hefte kosten 12 €	ja
$C(4\mid 10)$	4 Hefte kosten 10 €	nein

Prüfung für $C$:

$\mathrm{2,4}\cdot 4=\mathrm{9,6}$

Der korrekte Punkt wäre also

$(4\mid \mathrm{9,6})$.

Sicher zwischen Darstellungen wechseln

Ein proportionaler Zusammenhang kann in mehreren Formen erscheinen.

Darstellung	Beispiel	Was musst Du erkennen?
verbal	„1 kg kostet 3 €.“	Einheitspreis $k=3$
Gleichung	$y=3x$	Multiplikation mit $3$
Tabelle	$1\mapsto 3,2\mapsto 6,4\mapsto 12$	gleicher Quotient
Punkte	$(1\mid 3),(2\mid 6),(4\mid 12)$	zusammengehörige Wertepaare
Graph	Gerade durch $(0\mid 0)$	Ursprung und konstante Steigung

Darstellungswechsel Schritt für Schritt

Ausgangssatz:

„Ein Meter Stoff kostet 7 €.“

1. Verbal → Gleichung

$k=7$

$y=7x$

2. Gleichung → Tabelle

$x$ in m	0	1	2	3	5
$y$ in €	0	7	14	21	35

3. Tabelle → Punkte

$(0\mid 0),(1\mid 7),(2\mid 14),(3\mid 21),(5\mid 35)$

4. Punkte → Graph

Trage die Punkte ein und verbinde sie zu einer Geraden durch den Ursprung.

5. Graph → verbale Deutung

Der Punkt $(5\mid 35)$ bedeutet:

5 m Stoff kosten 35 €.

Interaktiver Darstellungswechsel mit GeoGebra

Dieses Material ermöglicht Dir, Zahlen zu verändern und zu beobachten, wie sich Tabelle, Rechnung und Graph gegenseitig beeinflussen.

Zusätzlich kannst Du mit einem für Schulstufe 5–6 geprüften Material üben, proportionale Zusammenhänge im Koordinatensystem zu erkennen und zu deuten:

Eine vollständige Beispielaufgabe

Situation: Für $4$ Eintrittskarten bezahlt eine Gruppe $30\text{€}$. Es gibt keine Grundgebühr und jede Karte kostet gleich viel.

Schritt 1: Einheit bestimmen

$30\text{€}:4=\mathrm{7,50}\text{€}$

Also:

$k=\mathrm{7,50}$

Schritt 2: Gleichung aufstellen

$y=\mathrm{7,5}x$

Schritt 3: Tabelle erstellen

Karten $x$	0	1	2	4	6	8
Preis $y$ in €	0	7,50	15,00	30,00	45,00	60,00

Schritt 4: Pfeildiagramm

	Ausgang	Rechenschritt	Einheit	Rechenschritt	Ziel
Karten	$4$	$\stackrel{:4}{\to }$	$1$	$\stackrel{\cdot 6}{\to }$	$6$
Preis	$30$	$\stackrel{:4}{\to }$	$\mathrm{7,5}$	$\stackrel{\cdot 6}{\to }$	$45$

Schritt 5: Punkte bestimmen

$(0\mid 0),(1\mid \mathrm{7,5}),(2\mid 15),(4\mid 30),(6\mid 45),(8\mid 60)$

Schritt 6: Punkt deuten

$P(6\mid 45)$ bedeutet:

6 Eintrittskarten kosten 45 €.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Typischer Fehler	Warum falsch?	Besser
Nur „je mehr, desto mehr“ prüfen	Das beweist keine Proportionalität.	Quotienten oder gleiche Faktoren prüfen.
Unterschiedliche Faktoren auf beide Größen anwenden	Proportionalität verlangt denselben Faktor.	Rechenpfeile parallel notieren.
Achsen vertauschen	Dann verändert sich die Bedeutung eines Punktes.	Vorher festlegen: $x$ = Ausgangsgröße, $y$ = zugeordnete Größe.
Ursprung vergessen	Eine proportionale Gerade muss durch $(0\mid 0)$ gehen.	Den Nullpunkt zuerst prüfen.
Startgebühr übersehen	Mit Startwert $b\ne 0$ gilt nicht $y=kx$.	Für $x=0$ prüfen, ob auch $y=0$ gilt.
Punkt nur ablesen, aber nicht deuten	Mathematik bleibt ohne Sachbezug unvollständig.	Beide Koordinaten mit Einheit in einem Satz erklären.

Schnellcheck: Ist die Zuordnung proportional?

Nutze diese Prüfkette:

$\text{Situation}\to \text{Wertepaare}\to \frac{y}{x}\to \text{Graph}$

Prüffrage	Ja	Nein
Ist $\frac{y}{x}$ für alle Wertepaare gleich?	weiter	nicht proportional
Führt Multiplikation von $x$ mit $r$ zu Multiplikation von $y$ mit demselben $r$?	weiter	nicht proportional
Liegen die Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung?	proportional	nicht proportional

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Gleichung beschreibt einen proportionalen Zusammenhang mit dem Proportionalitätsfaktor 4? ($y=4x$) (!$y=x+4$) (!$y=4+x$) (!$y=\frac{4}{x}$)

Was muss bei einer proportionalen Zuordnung für den Quotienten aus zugeordnetem Wert und Ausgangswert gelten? (Er ist konstant.) (!Er wird immer größer.) (!Er ist immer null.) (!Er wechselt regelmäßig sein Vorzeichen.)

Welche Eigenschaft hat der Graph einer proportionalen Zuordnung? (Er ist eine Gerade durch den Ursprung.) (!Er ist immer eine waagerechte Gerade.) (!Er ist eine beliebige Kurve.) (!Er schneidet die y-Achse immer oberhalb des Ursprungs.)

3 Hefte kosten 6 Euro. Wie viel kosten 5 Hefte bei proportionaler Zuordnung? (10 Euro) (!8 Euro) (!9 Euro) (!12 Euro)

Was bedeutet der Punkt mit x gleich 4 und y gleich 12 in einem Preisdiagramm, wenn x die Anzahl und y den Preis in Euro beschreibt? (4 Stück kosten 12 Euro.) (!12 Stück kosten 4 Euro.) (!Ein Stück kostet 12 Euro.) (!Der Preis beträgt immer 4 Euro.)

Welche Aussage reicht allein noch nicht aus, um Proportionalität zu beweisen? (Je mehr, desto mehr.) (!Der Quotient ist konstant.) (!Beide Größen werden mit demselben Faktor vervielfacht.) (!Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.)

Ein Kilogramm Reis kostet 3 Euro. Welcher Proportionalitätsfaktor gehört zur Zuordnung Masse in Kilogramm zu Preis in Euro? (3) (!1) (!0) (!6)

Welche Wertetabelle passt zu der Gleichung y gleich 2 mal x? (x 1 2 3 und y 2 4 6) (!x 1 2 3 und y 3 4 5) (!x 1 2 3 und y 2 3 4) (!x 1 2 3 und y 1 4 9)

Was passiert bei einer proportionalen Zuordnung mit y, wenn x verdreifacht wird? (y wird ebenfalls verdreifacht.) (!y wird halbiert.) (!y bleibt gleich.) (!y wird um 3 erhöht.)

Woran erkennst Du bei einer Rechnung besonders schnell den Proportionalitätsfaktor? (Am Wert, der zu einer Einheit der Ausgangsgröße gehört.) (!Am größten x Wert.) (!Am letzten Tabellenfeld.) (!An der Anzahl der Punkte im Graphen.)

Memory

Proportionalitätsfaktor	Wert pro Einheit
Wertetabelle	geordnete Wertepaare
Ursprungsgerade	Graph der direkten Proportionalität
Koordinatenpaar	Punktbeschreibung
Quotientengleichheit	konstantes Verhältnis
Pfeildiagramm	gleicher Rechenfaktor
x-Achse	Ausgangsgröße
y-Achse	zugeordnete Größe

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
verbale Darstellung	Beschreibung mit Worten
Wertetabelle	Darstellung zusammengehöriger Zahlenwerte
Pfeildiagramm	Darstellung gleicher Rechenschritte
Koordinatenpunkt	grafische Darstellung eines Wertepaars
Ursprungsgerade	Graph eines proportionalen Zusammenhangs
Proportionalitätsfaktor	konstanter Quotient aus y und x

Interaktiver Darstellungswechsel

Ausgangsdarstellung	Passende Folgedarstellung
1 kg kostet 4 €	$y=4x$
$y=4x$	Wertepaare wie $(1\mid 4)$ und $(3\mid 12)$
$(2\mid 8)$	2 Einheiten kosten 8 €
Tabelle mit 1→4, 2→8, 5→20	Gerade durch den Ursprung
Gerade durch $(0\mid 0)$ und $(1\mid 4)$	Proportionalitätsfaktor 4

Kreuzworträtsel

Ursprung	Durch welchen besonderen Punkt verläuft der Graph jeder direkten Proportionalität?
Quotient	Welche Rechenart liefert y geteilt durch x?
Wertetabelle	Welche Darstellung ordnet zusammengehörige Zahlenwerte übersichtlich?
Koordinatensystem	Wo werden Wertepaare als Punkte dargestellt?
Faktor	Wie heißt die konstante Malzahl bei y gleich k mal x kurz?
Gerade	Welche Form hat der Graph einer proportionalen Zuordnung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einem proportionalen Zusammenhang bleibt der Quotient aus zugeordnetem Wert und Ausgangswert .

Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung kann als $y=k\cdot x$ geschrieben werden, wobei $k$ der ist.

Wird die Ausgangsgröße verdoppelt, wird auch die zugeordnete Größe .

Eine übersichtliche Darstellung zusammengehöriger Zahlenwerte heißt .

In einem Pfeildiagramm wird auf beide Größen derselbe angewendet.

Ein Wertepaar wird im Koordinatensystem als dargestellt.

Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine .

Diese Gerade verläuft immer durch den .

Der Punkt $(3\mid 12)$ beschreibt zwei zusammengehörige .

Ist bei $x=0$ der Wert $y$ nicht null, ist die Zuordnung im Allgemeinen nicht .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Preistabelle erstellen: Wähle ein Produkt mit einem festen Stückpreis. Erstelle für 1 bis 10 Stück eine Wertetabelle und notiere die Gleichung $y=kx$.
2. Pfeildiagramm gestalten: Stelle für einen selbst gewählten proportionalen Zusammenhang zwei Rechenwege mit Multiplikations- und Divisionspfeilen dar.
3. Punkte lesen: Zeichne ein Koordinatensystem, markiere fünf Punkte einer proportionalen Zuordnung und formuliere zu jedem Punkt einen Satz mit Einheiten.
4. Proportionalität fotografieren: Suche im Alltag ein Beispiel, bei dem ein Preis pro Kilogramm, Liter, Meter oder Stück angegeben ist. Fotografiere nur Gegenstände oder Beschilderungen ohne erkennbare Personen und erkläre den Zusammenhang.

Standard

1. Darstellungswechsel-Plakat: Stelle denselben proportionalen Zusammenhang verbal, als Gleichung, als Wertetabelle, als Pfeildiagramm und als Graph dar.
2. Fehlerdetektiv: Erfinde drei falsche Wertetabellen, in denen jeweils genau ein Wert die Proportionalität verletzt. Tausche mit einer Partnerperson und finde die Fehler.
3. Graphen vergleichen: Zeichne die Graphen $y=2x$, $y=3x$ und $y=5x$ in dasselbe Koordinatensystem und beschreibe den Einfluss von $k$.
4. Interview zum Einheitspreis: Befrage eine Person aus Deinem Umfeld, wann sie im Alltag mit Preisen pro Kilogramm, Liter, Stunde oder Stück rechnet. Übertrage ein Beispiel in eine Wertetabelle.

Schwer

1. Nicht proportional begründen: Untersuche eine Situation mit Grundgebühr, zum Beispiel $y=2x+5$. Erkläre mit Tabelle, Graph und Quotienten, warum sie nicht proportional ist.
2. Datenexperiment: Miss für einen gleichmäßigen Vorgang mehrere Werte, zum Beispiel Füllmenge bei ungefähr konstantem Wasserfluss. Prüfe, ob die Messwerte näherungsweise proportional sind, und diskutiere Messfehler.
3. Erklärvideo produzieren: Erstelle ein kurzes eigenes Erklärvideo, in dem Du von einer Alltagssituation über Tabelle und Gleichung zum Graphen wechselst und einen Punkt im Sachzusammenhang deutest.
4. Proportionalitäts-Challenge: Entwickle eine Aufgabe, bei der Lernende aus einem einzigen Wertepaar den Faktor bestimmen, drei neue Werte berechnen, einen Graphen zeichnen und zwei Punkte interpretieren müssen.

Lernkontrolle

1. Darstellungen verknüpfen: Gegeben ist der Satz „3 kg Orangen kosten 7,20 €“. Entwickle daraus Gleichung, Wertetabelle, Pfeildiagramm und mindestens vier Punkte für einen Graphen. Erkläre, wie Du zwischen den Darstellungen gewechselt hast.
2. Graph beurteilen: Eine Gerade verläuft durch die Punkte $(2\mid 5)$ und $(6\mid 15)$. Prüfe rechnerisch, ob diese Informationen zu einem proportionalen Zusammenhang passen. Erkläre zusätzlich, welche Information zum Ursprung wichtig ist.
3. Fehler analysieren: Eine Schülerin sagt: „Der Zusammenhang ist proportional, weil beide Werte größer werden.“ Formuliere eine Gegenargumentation und konstruiere ein Beispiel, das ihre Aussage widerlegt.
4. Punkt interpretieren: In einem Diagramm beschreibt $x$ die Zeit in Stunden und $y$ die Strecke in Kilometern. Deute $P(3\mid 18)$, bestimme den Proportionalitätsfaktor und erkläre, was dieser in der Situation bedeutet.
5. Modell vergleichen: Vergleiche $y=4x$ mit $y=4x+3$. Zeige an Tabelle und Graph, weshalb nur eines der beiden Modelle proportional ist.
6. Transferaufgabe: Ein Rezept verwendet für 4 Personen 300 g Reis. Entwickle eine proportionale Zuordnung für verschiedene Personenzahlen und erkläre, unter welcher Annahme dieses Modell sinnvoll ist.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. einen proportionalen Zusammenhang aus einer Sachsituation erkennst und begründest,
2. den Proportionalitätsfaktor $k$ bestimmen und mit Einheit deuten kannst,
3. Werte mit $y=kx$ berechnen kannst,
4. Wertetabellen vollständig und korrekt anlegst,
5. gleiche Rechenfaktoren in Pfeildiagrammen verwendest,
6. Wertepaare als Punkte $(x\mid y)$ einträgst,
7. eine Ursprungsgerade als Kennzeichen proportionaler Zusammenhänge erkennst,
8. einzelne Punkte eines Graphen im Sachzusammenhang mit Einheiten interpretierst,
9. sicher zwischen verbaler, tabellarischer, symbolischer und grafischer Darstellung wechselst,
10. nicht proportionale Beispiele begründet von proportionalen Beispielen unterscheiden kannst.

OERs zum Thema

Weitere freie und interaktive Lernmedien

1. Wikimedia Commons: Die eingebundenen Grafiken und Fotos stammen aus Wikimedia Commons und sind auf ihren Dateiseiten mit freien Lizenzen oder als gemeinfrei gekennzeichnet.
2. GeoGebra: Die eingebetteten Aktivitäten erlauben das Verändern von Parametern und das direkte Beobachten von Wertetabellen, Punkten und Graphen.
3. YouTube: Das eingebettete Lernvideo behandelt Proportionalität auf dem Niveau der 6. Klasse.

Verknüpfte Lernbereiche

Proportionale Zusammenhänge Zuordnung Wertetabelle Proportionalitätsfaktor Pfeildiagramm Koordinatensystem Ursprung Graph Dreisatz Verhältnis Lineare Funktion