Quelltext der Seite M6 M - Brüche und Dezimalzahlen sicher ineinander umwandeln

{{T}}
{{BR}}
= M6 M - Brüche und Dezimalzahlen sicher ineinander umwandeln =

{{BR}}
= Einleitung =

In diesem aiMOOC lernst Du, '''positive Brüche und Dezimalzahlen sicher ineinander umzuwandeln'''. Das Ziel ist nicht, einzelne Regeln auswendig aufzusagen, sondern die Darstellungen miteinander zu verbinden: als Bruch, als Dezimalzahl, im Stellenwertsystem, auf der Zahlengeraden, als Flächenmodell und als Ergebnis einer Division.

Du arbeitest auf '''M-Niveau in Klasse 6'''. Deshalb geht es nicht nur um einfache Beispiele wie <math>\frac{3}{10}=0{,}3</math>, sondern auch um weniger unmittelbare Umwandlungen wie

<math>\frac{7}{16}=0{,}4375</math>,

<math>\frac{13}{32}=0{,}40625</math>,

<math>\frac{7}{12}=0{,}58\overline{3}</math>

und

<math>\frac{8}{11}=0{,}\overline{72}</math>.

Du lernst außerdem, abbrechende Dezimalzahlen wieder als vollständig gekürzte Brüche zu schreiben, zum Beispiel

<math>0{,}40625=\frac{40625}{100000}=\frac{13}{32}</math>.

[[Datei:Fraction3 4.svg|420px|rahmenlos|center]]

'''Grundidee:''' Ein positiver Bruch <math>\frac{a}{b}</math> bedeutet immer auch die Division <math>a:b</math>. Eine Dezimalzahl ist eine andere Schreibweise für denselben Zahlenwert.

{{BR}}
== Lernziele ==

Nach diesem aiMOOC kannst Du Brüche mit Hilfe von Zehnerbrüchen, schriftlicher Division und geeigneten Erweiterungen in Dezimalzahlen umwandeln. Du erkennst, ob eine Dezimaldarstellung abbricht oder periodisch wird. Du kannst abbrechende Dezimalzahlen in vollständig gekürzte Brüche zurückverwandeln und Deine Ergebnisse durch Zahlengerade, Stellenwerttafel oder Probe überprüfen.

{| class="wikitable"
! Das kannst Du am Ende
! Beispiel
|-
| Zehnerbruch erkennen
| <math>\frac{37}{100}=0{,}37</math>
|-
| Bruch geschickt erweitern
| <math>\frac{3}{8}=\frac{375}{1000}=0{,}375</math>
|-
| Bruch durch Division umwandeln
| <math>\frac{7}{16}=7:16=0{,}4375</math>
|-
| periodische Dezimalzahl erkennen
| <math>\frac{5}{6}=0{,}8\overline{3}</math>
|-
| Dezimalzahl als Bruch schreiben
| <math>0{,}42=\frac{42}{100}=\frac{21}{50}</math>
|-
| Ergebnis kontrollieren
| <math>\frac{21}{50}=21:50=0{,}42</math>
|}

{{BR}}
= Grundvorstellungen: Ein Wert – mehrere Darstellungen =

{{BR}}
== Bruchdarstellung ==

Ein Bruch <math>\frac{a}{b}</math> beschreibt einen Anteil oder einen Quotienten. Der '''Zähler''' <math>a</math> sagt, wie viele gleich große Teile betrachtet werden. Der '''Nenner''' <math>b</math> sagt, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt ist.

[[Datei:Gemeiner Bruch.svg|420px|rahmenlos|center]]

Für <math>\frac{3}{4}</math> gilt:

<math>\frac{3}{4}=3:4</math>.

Derselbe Wert kann als Flächenanteil, Punkt auf der Zahlengeraden oder Dezimalzahl dargestellt werden.

[[Datei:PieChartFractionFourths.svg|380px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Fracciones.gif|320px|rahmenlos|center]]

Die Animation zeigt verschiedene Viertelanteile. Achte darauf: Die Form der Teilstücke darf sich ändern, der Zahlenwert eines Bruchs hängt aber davon ab, '''welcher Anteil des Ganzen''' gemeint ist.

{{BR}}
== Zehnerbrüche und Dezimalzahlen ==

Brüche mit Nenner <math>10</math>, <math>100</math>, <math>1000</math> und allgemein <math>10^n</math> heißen '''Zehnerbrüche''' oder Dezimalbrüche.

{| class="wikitable"
! Zehnerbruch
! Dezimalzahl
! Stellenwert
|-
| <math>\frac{1}{10}</math>
| <math>0{,}1</math>
| ein Zehntel
|-
| <math>\frac{1}{100}</math>
| <math>0{,}01</math>
| ein Hundertstel
|-
| <math>\frac{1}{1000}</math>
| <math>0{,}001</math>
| ein Tausendstel
|-
| <math>\frac{37}{100}</math>
| <math>0{,}37</math>
| drei Zehntel und sieben Hundertstel
|-
| <math>\frac{40625}{100000}</math>
| <math>0{,}40625</math>
| fünf Nachkommastellen
|}

[[Datei:100 grid.svg|430px|rahmenlos|center]]

Das Hunderterfeld ist besonders nützlich für Hundertstel: <math>37</math> von <math>100</math> Kästchen entsprechen <math>\frac{37}{100}=0{,}37</math>.

{{BR}}
== Stellenwertsystem sichtbar machen ==

Die Position einer Ziffer entscheidet über ihren Wert. In <math>2{,}375</math> steht die <math>3</math> für drei Zehntel, die <math>7</math> für sieben Hundertstel und die <math>5</math> für fünf Tausendstel.

{| class="wikitable"
! Hunderter
! Zehner
! Einer
! ,
! Zehntel
! Hundertstel
! Tausendstel
! Zehntausendstel
|-
| 0
| 0
| 2
| ,
| 3
| 7
| 5
| 0
|}

<math>2{,}375=2+\frac{3}{10}+\frac{7}{100}+\frac{5}{1000}</math>.

[[Datei:Values of digits in the Decimal numeral system.svg|600px|rahmenlos|center]]

[[Datei:Base ten blocks (transparent).svg|600px|rahmenlos|center]]

Die Stellenwertblöcke zeigen das Bündelungsprinzip des Zehnersystems. Wenn ein großer Würfel als Ganzes festgelegt wird, können Fläche, Stab und kleiner Würfel entsprechend für Zehntel, Hundertstel und Tausendstel stehen. Entscheidend ist immer, '''welche Einheit als Ganzes vereinbart wurde'''.

{{BR}}
== Interaktives Stellenwertlabor ==

Verändere in der Stellenwerttafel die Ziffern und beschreibe laut, welche Stelle sich ändert.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/zgutptw6 </iframe>

Nutze anschließend ein dynamisches Stellenwertmodell mit Zehnerblöcken. Zerlege und bündele Einheiten und überlege, wie sich das Modell auf Zehntel, Hundertstel und Tausendstel übertragen lässt.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/RhjKaUgB </iframe>

{{BR}}
= Methode 1: Bruch durch Erweitern zum Zehnerbruch machen =

Wenn der Nenner durch Erweitern zu <math>10</math>, <math>100</math>, <math>1000</math> oder einer anderen Zehnerpotenz werden kann, ist diese Methode oft am schnellsten.

{{BR}}
== Beispiel: <math>\frac{3}{8}</math> ==

Gesucht ist eine Zehnerpotenz, die durch <math>8</math> teilbar ist. <math>1000</math> funktioniert, denn

<math>8\cdot125=1000</math>.

Also:

<math>\frac{3}{8}=\frac{3\cdot125}{8\cdot125}=\frac{375}{1000}=0{,}375</math>.

{| class="wikitable"
! Schritt
! Rechnung
! Bedeutung
|-
| 1
| <math>\frac{3}{8}</math>
| Ausgangsbruch
|-
| 2
| <math>\frac{3\cdot125}{8\cdot125}</math>
| Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren
|-
| 3
| <math>\frac{375}{1000}</math>
| Zehnerbruch
|-
| 4
| <math>0{,}375</math>
| Dezimalschreibweise
|}

{{BR}}
== Weitere Beispiele ==

<math>\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=0{,}35</math>

<math>\frac{11}{25}=\frac{44}{100}=0{,}44</math>

<math>\frac{23}{125}=\frac{184}{1000}=0{,}184</math>

<math>\frac{19}{80}=\frac{2375}{10000}=0{,}2375</math>

<math>\frac{13}{32}=\frac{40625}{100000}=0{,}40625</math>

'''M-Niveau-Tipp:''' Du musst nicht immer die kleinste mögliche Zehnerpotenz sofort sehen. Wichtig ist, dass Du korrekt erweiterst. Bei <math>\frac{13}{32}</math> kann die schriftliche Division sogar übersichtlicher sein als das direkte Erweitern.

{{BR}}
== Bewegliche Bruchdarstellung ==

Verändere Zähler und Nenner und beobachte, wie sich Bruchbild und Zahlenwert verändern.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/p7yyknk4 </iframe>

[[Datei:Bennett fraction bars complete deck.svg|650px|rahmenlos|center]]

Bruchstreifen helfen Dir, Gleichwertigkeit zu sehen: Ein gleich langer Streifen kann mit verschiedenen Brüchen beschrieben werden. Genau diese Gleichwertigkeit nutzt Du beim Erweitern.

{{BR}}
= Methode 2: Jeden Bruch als Division verstehen =

Die allgemeinste Methode lautet:

<math>\frac{a}{b}=a:b</math>.

Du kannst deshalb jeden positiven Bruch durch Division in eine Dezimaldarstellung umwandeln.

{{BR}}
== Schriftliche Division am Beispiel <math>\frac{7}{16}</math> ==

Wir berechnen

<math>7:16</math>.

Da <math>7<16</math>, beginnt das Ergebnis mit <math>0{,}</math>. Dann hängen wir schrittweise Nullen an.

{| class="wikitable"
! Schritt
! Teilrechnung
! Ergebnisziffer
! Rest
|-
| 1
| <math>70:16=4</math>, denn <math>4\cdot16=64</math>
| <math>4</math>
| <math>70-64=6</math>
|-
| 2
| <math>60:16=3</math>, denn <math>3\cdot16=48</math>
| <math>3</math>
| <math>60-48=12</math>
|-
| 3
| <math>120:16=7</math>, denn <math>7\cdot16=112</math>
| <math>7</math>
| <math>120-112=8</math>
|-
| 4
| <math>80:16=5</math>, denn <math>5\cdot16=80</math>
| <math>5</math>
| <math>0</math>
|}

Damit gilt:

<math>\frac{7}{16}=7:16=0{,}4375</math>.

Sobald der Rest <math>0</math> ist, '''bricht die Dezimaldarstellung ab'''.

[[Datei:DivisionAL.gif|430px|rahmenlos|center]]

Die Animation veranschaulicht den Ablauf einer schriftlichen Division Schritt für Schritt. Übertrage das Prinzip auf die Division von Zähler durch Nenner.

{{#ev:youtube|   https://www.youtube.com/watch?v=bsoj1DaAL6A   |500|center}}

{{BR}}
== Noch ein abbrechendes Beispiel: <math>\frac{13}{32}</math> ==

<math>13:32=0{,}40625</math>.

Kontrolle durch Rückumwandlung:

<math>0{,}40625=\frac{40625}{100000}</math>

und nach vollständigem Kürzen

<math>\frac{40625}{100000}=\frac{13}{32}</math>.

{{BR}}
== Periodische Dezimalzahlen durch schriftliche Division ==

Nicht jede Division endet mit Rest <math>0</math>. Manche Reste tauchen erneut auf. Dann wiederholt sich auch die Folge der Dezimalstellen.

Betrachte

<math>\frac{7}{12}=7:12</math>.

{| class="wikitable"
! Schritt
! Teilrechnung
! Ergebnisziffer
! Rest
|-
| 1
| <math>70:12=5</math>
| <math>5</math>
| <math>10</math>
|-
| 2
| <math>100:12=8</math>
| <math>8</math>
| <math>4</math>
|-
| 3
| <math>40:12=3</math>
| <math>3</math>
| <math>4</math>
|-
| 4
| wieder <math>40:12=3</math>
| wieder <math>3</math>
| wieder <math>4</math>
|}

Der Rest <math>4</math> wiederholt sich. Daher wiederholt sich auch die Ziffer <math>3</math>:

<math>\frac{7}{12}=0{,}58333\ldots=0{,}58\overline{3}</math>.

Weitere Beispiele:

<math>\frac{5}{6}=0{,}8\overline{3}</math>

<math>\frac{11}{15}=0{,}7\overline{3}</math>

<math>\frac{13}{30}=0{,}4\overline{3}</math>

<math>\frac{8}{11}=0{,}\overline{72}</math>

<math>\frac{17}{24}=0{,}708\overline{3}</math>.

{{#ev:youtube|   https://www.youtube.com/watch?v=jimlv04pCPg   |500|center}}

{{BR}}
== Abbrechend oder periodisch? Der Rest entscheidet ==

Bei einer Division durch <math>b</math> sind nur die Reste <math>0,1,2,\ldots,b-1</math> möglich.

Wenn irgendwann der Rest <math>0</math> entsteht, endet die Dezimalzahl.

Wenn ein Rest erneut auftaucht, wiederholt sich ab diesem Punkt der Rechenweg. Dann entsteht eine periodische Dezimalzahl.

{| class="wikitable"
! Bruch
! Division
! Restverhalten
! Dezimaldarstellung
|-
| <math>\frac{3}{8}</math>
| <math>3:8</math>
| endet bei Rest <math>0</math>
| <math>0{,}375</math>
|-
| <math>\frac{7}{16}</math>
| <math>7:16</math>
| endet bei Rest <math>0</math>
| <math>0{,}4375</math>
|-
| <math>\frac{2}{3}</math>
| <math>2:3</math>
| Rest <math>2</math> wiederholt sich
| <math>0{,}\overline{6}</math>
|-
| <math>\frac{8}{11}</math>
| <math>8:11</math>
| Restfolge wiederholt sich
| <math>0{,}\overline{72}</math>
|}

[[Datei:LongDivisionAnimated.gif|300px|rahmenlos|center]]

Die Animation zeigt das wiederholte Prinzip von Teilen, Multiplizieren, Subtrahieren und Weiterführen. Für Deine Aufgaben verwendest Du die in der Schule übliche Schreibweise der schriftlichen Division.

{{BR}}
= Schnelltest mit dem Nenner =

Wenn ein Bruch vollständig gekürzt ist, kannst Du am Nenner oft schon erkennen, ob die Dezimaldarstellung abbricht.

'''Regel:''' Enthält der vollständig gekürzte Nenner nur die Primfaktoren <math>2</math> und <math>5</math>, dann ist die Dezimaldarstellung abbrechend.

{| class="wikitable"
! Nenner
! Primfaktorzerlegung
! Folgerung
! Beispiel
|-
| <math>8</math>
| <math>2^3</math>
| abbrechend
| <math>\frac{3}{8}=0{,}375</math>
|-
| <math>20</math>
| <math>2^2\cdot5</math>
| abbrechend
| <math>\frac{7}{20}=0{,}35</math>
|-
| <math>40</math>
| <math>2^3\cdot5</math>
| abbrechend
| <math>\frac{11}{40}=0{,}275</math>
|-
| <math>12</math>
| <math>2^2\cdot3</math>
| periodisch
| <math>\frac{7}{12}=0{,}58\overline{3}</math>
|-
| <math>15</math>
| <math>3\cdot5</math>
| periodisch
| <math>\frac{11}{15}=0{,}7\overline{3}</math>
|-
| <math>11</math>
| <math>11</math>
| periodisch
| <math>\frac{8}{11}=0{,}\overline{72}</math>
|}

'''Wichtig:''' Prüfe diese Regel erst nach dem vollständigen Kürzen. Zum Beispiel

<math>\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=0{,}4</math>.

Der ursprüngliche Nenner <math>15</math> enthält zwar den Faktor <math>3</math>, aber nach dem Kürzen bleibt nur <math>5</math> übrig.

{{BR}}
= Zahlengerade: Bruch und Dezimalzahl liegen am selben Punkt =

Wenn zwei Schreibweisen denselben Wert haben, markieren sie auf der Zahlengeraden dieselbe Stelle.

{| class="wikitable"
! Bruch
! Dezimalzahl
! Lage zwischen 0 und 1
|-
| <math>\frac{1}{4}</math>
| <math>0{,}25</math>
| erstes Viertel
|-
| <math>\frac{1}{2}</math>
| <math>0{,}5</math>
| Mitte
|-
| <math>\frac{3}{4}</math>
| <math>0{,}75</math>
| drittes Viertel
|-
| <math>\frac{7}{8}</math>
| <math>0{,}875</math>
| zwischen <math>0{,}8</math> und <math>0{,}9</math>
|}

[[Datei:Number-line.svg|700px|rahmenlos|center]]

{{BR}}
== Dynamische Zahlengerade ==

Verschiebe die Punkte und vergleiche Brüche mit ihren Dezimaldarstellungen. Suche besonders nach Zahlen, die nicht sofort als Zehnerbruch erkennbar sind.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/Wn6gYc78 </iframe>

Arbeitsauftrag: Stelle nacheinander <math>\frac{3}{8}</math>, <math>\frac{7}{16}</math>, <math>\frac{11}{20}</math> und <math>\frac{7}{12}</math> dar. Entscheide, welche Darstellung sich exakt als abbrechende Dezimalzahl markieren lässt und bei welcher eine periodische Schreibweise entsteht.

{{BR}}
= Abbrechende Dezimalzahlen in gekürzte Brüche umwandeln =

Diese Richtung ist besonders zuverlässig, weil jede abbrechende Dezimalzahl als Zehnerbruch geschrieben werden kann.

{{BR}}
== Grundverfahren ==

Bei <math>n</math> Nachkommastellen verwendest Du zunächst den Nenner <math>10^n</math>.

{| class="wikitable"
! Dezimalzahl
! Anzahl Nachkommastellen
! Zehnerbruch
! vollständig gekürzt
|-
| <math>0{,}6</math>
| 1
| <math>\frac{6}{10}</math>
| <math>\frac{3}{5}</math>
|-
| <math>0{,}42</math>
| 2
| <math>\frac{42}{100}</math>
| <math>\frac{21}{50}</math>
|-
| <math>0{,}375</math>
| 3
| <math>\frac{375}{1000}</math>
| <math>\frac{3}{8}</math>
|-
| <math>0{,}184</math>
| 3
| <math>\frac{184}{1000}</math>
| <math>\frac{23}{125}</math>
|-
| <math>0{,}40625</math>
| 5
| <math>\frac{40625}{100000}</math>
| <math>\frac{13}{32}</math>
|}

{{BR}}
== Beispiel mit Zahl größer als 1: <math>2{,}375</math> ==

Komma entfernen und durch die passende Zehnerpotenz teilen:

<math>2{,}375=\frac{2375}{1000}</math>.

Kürzen:

<math>\frac{2375}{1000}=\frac{475}{200}=\frac{95}{40}=\frac{19}{8}</math>.

Als gemischte Zahl:

<math>\frac{19}{8}=2\frac{3}{8}</math>.

Probe:

<math>19:8=2{,}375</math>.

{{BR}}
== Beispiel <math>1{,}275</math> ==

<math>1{,}275=\frac{1275}{1000}</math>.

Beide Zahlen sind durch <math>25</math> teilbar:

<math>\frac{1275}{1000}=\frac{51}{40}</math>.

Damit ist der gekürzte Bruch

<math>{\frac{51}{40}}</math>.

{{#ev:youtube|   https://www.youtube.com/watch?v=9x21-I_JEsk   |500|center}}

{{BR}}
== Interaktive Rückumwandlung ==

Wandle die angezeigten Dezimalzahlen in Brüche um und kürze so weit wie möglich.

<iframe> https://www.geogebra.org/m/useccyzp </iframe>

{{BR}}
= Periodische Dezimalzahlen verstehen =

Eine periodische Dezimalzahl besitzt eine Ziffer oder Zifferngruppe, die sich unendlich oft wiederholt.

<math>0{,}6666\ldots=0{,}\overline{6}</math>

<math>0{,}272727\ldots=0{,}\overline{27}</math>

<math>0{,}583333\ldots=0{,}58\overline{3}</math>.

Die Ziffern vor der eigentlichen Periode können zunächst einmalig auftreten. Bei <math>0{,}58\overline{3}</math> ist <math>58</math> der nichtperiodische Anfang und <math>3</math> die Periode.

{{#ev:youtube|   https://www.youtube.com/watch?v=cIRS03SNvvo   |500|center}}

{{BR}}
== Warum <math>\frac{1}{3}</math> nicht als endliche Dezimalzahl geschrieben werden kann ==

Wenn <math>\frac{1}{3}</math> eine abbrechende Dezimalzahl wäre, müsste sich der Nenner <math>3</math> durch Erweitern in eine Zehnerpotenz verwandeln lassen. Zehnerpotenzen besitzen aber nur die Primfaktoren <math>2</math> und <math>5</math>. Der Faktor <math>3</math> kann deshalb nicht verschwinden.

Die schriftliche Division bestätigt das:

<math>1:3=0{,}3333\ldots=0{,}\overline{3}</math>.

{{BR}}
= Visuelle Entscheidungshilfe =

{| class="wikitable"
! Ausgangslage
! Sinnvoller Weg
! Beispiel
|-
| Nenner ist schon <math>10</math>, <math>100</math>, <math>1000</math>
| direkt als Dezimalzahl schreiben
| <math>\frac{47}{100}=0{,}47</math>
|-
| Nenner lässt sich leicht zur Zehnerpotenz erweitern
| erweitern
| <math>\frac{9}{25}=\frac{36}{100}=0{,}36</math>
|-
| Erweiterungsfaktor ist unübersichtlich
| schriftlich dividieren
| <math>\frac{13}{32}=13:32=0{,}40625</math>
|-
| Rest wiederholt sich
| Periode kennzeichnen
| <math>\frac{7}{12}=0{,}58\overline{3}</math>
|-
| Dezimalzahl bricht ab
| Zehnerbruch bilden und kürzen
| <math>0{,}275=\frac{275}{1000}=\frac{11}{40}</math>
|}

{{BR}}
= Fehlerwerkstatt =

{{BR}}
== Fehler 1: Nur den Nenner verändern ==

Falsch wäre:

<math>\frac{3}{8}=\frac{3}{1000}</math>.

Beim Erweitern müssen Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden:

<math>\frac{3}{8}=\frac{3\cdot125}{8\cdot125}=\frac{375}{1000}</math>.

{{BR}}
== Fehler 2: Nachkommastellen falsch zählen ==

<math>0{,}40625</math> hat fünf Nachkommastellen. Deshalb lautet der erste Bruch

<math>\frac{40625}{100000}</math>

und nicht <math>\frac{40625}{10000}</math>.

{{BR}}
== Fehler 3: Nicht vollständig kürzen ==

<math>0{,}42=\frac{42}{100}</math> ist richtig, aber noch nicht vollständig gekürzt.

<math>\frac{42}{100}=\frac{21}{50}</math>.

{{BR}}
== Fehler 4: Periode zu früh setzen ==

<math>\frac{7}{12}=0{,}58\overline{3}</math>.

Nur die <math>3</math> wiederholt sich. Daher wäre <math>0{,}\overline{583}</math> falsch.

{{BR}}
== Fehler 5: Eine gerundete Dezimalzahl mit dem exakten Wert verwechseln ==

<math>\frac{2}{3}=0{,}\overline{6}</math> ist exakt.

<math>0{,}67</math> ist nur eine Näherung auf zwei Nachkommastellen:

<math>\frac{2}{3}\approx0{,}67</math>.

Das Zeichen <math>=</math> darf hier nicht verwendet werden.

{{BR}}
= Medien-Lernstation: Schritt für Schritt =

{{BR}}
== Station A: Bruchbild ==

[[Datei:PieChartFraction threeFourths oneFourth.svg|450px|rahmenlos|center]]

Ordne dem Bild die Werte <math>\frac{1}{4}</math>, <math>\frac{3}{4}</math>, <math>0{,}25</math> und <math>0{,}75</math> zu.

{{BR}}
== Station B: Stellenwert und Tausendstel ==

[[Datei:Base Ten Block.png|380px|rahmenlos|center]]

Lege gedanklich fest: Der größte Würfel ist <math>1</math>. Beschreibe, wie eine Fläche, ein Stab und ein kleiner Würfel als Zehntel, Hundertstel und Tausendstel interpretiert werden können.

{{BR}}
== Station C: Division als Ablauf ==

[[Datei:DivisionAN.gif|500px|rahmenlos|center]]

Notiere zu jedem Animationsschritt das passende Fachwort: teilen, multiplizieren, subtrahieren, nächste Stelle herunternehmen beziehungsweise Null ergänzen.

{{BR}}
== Station D: Quotienten vergleichen ==

[[Datei:Division chart.svg|560px|rahmenlos|center]]

Wähle im Diagramm mehrere Quotienten zwischen <math>0</math> und <math>1</math>. Schreibe sie als Bruch und Dezimalzahl auf.

{{BR}}
== Station E: Interaktive Umwandlung ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/hknhybrd </iframe>

Prüfe Deine Vermutung immer zuerst selbst und nutze die Rückmeldung anschließend zur Kontrolle.

{{BR}}
= Merksätze =

{| class="wikitable"
! Merksatz
! Kurzform
|-
| Ein Bruch ist eine Division.
| <math>\frac{a}{b}=a:b</math>
|-
| Ein Zehnerbruch lässt sich direkt als Dezimalzahl schreiben.
| <math>\frac{37}{100}=0{,}37</math>
|-
| Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.
| <math>\frac{3}{8}=\frac{375}{1000}</math>
|-
| Rest <math>0</math> bedeutet: Die Dezimaldarstellung bricht ab.
| <math>\frac{7}{16}=0{,}4375</math>
|-
| Ein wiederkehrender Rest erzeugt eine Periode.
| <math>\frac{7}{12}=0{,}58\overline{3}</math>
|-
| Eine abbrechende Dezimalzahl wird zuerst zum Zehnerbruch.
| <math>0{,}275=\frac{275}{1000}</math>
|-
| Danach wird vollständig gekürzt.
| <math>\frac{275}{1000}=\frac{11}{40}</math>
|}

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Welche Dezimalzahl entspricht dem Bruch 3/8?'''
(0,375)
(!0,38)
(!0,625)
(!0,308)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche vollständig gekürzte Bruchzahl entspricht 0,42?'''
(21/50)
(!42/50)
(!42/10)
(!4/2)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Dezimalzahl entspricht dem Bruch 7/16?'''
(0,4375)
(!0,716)
(!0,475)
(!0,4316)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Woran erkennst Du bei der schriftlichen Division eine abbrechende Dezimalzahl?'''
(Der Rest wird null)
(!Der Nenner wird null)
(!Die erste Dezimalstelle ist null)
(!Der Zähler ist gerade)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Dezimaldarstellung gehört zu 7/12?'''
(0,58333...)
(!0,571212...)
(!0,71212...)
(!0,58)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher Bruch ergibt die abbrechende Dezimalzahl 0,275?'''
(11/40)
(!27/50)
(!11/25)
(!3/20)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Aussage über einen vollständig gekürzten Bruch mit Nenner 40 ist richtig?'''
(Seine Dezimaldarstellung bricht ab)
(!Seine Dezimaldarstellung ist immer periodisch)
(!Er kann nicht als Dezimalzahl geschrieben werden)
(!Sein Zähler muss durch 40 teilbar sein)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Zahl ist gleich 13/32?'''
(0,40625)
(!0,4132)
(!0,3125)
(!0,4032)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welcher erste Bruch gehört zu 0,184?'''
(184/1000)
(!184/100)
(!18/4)
(!184/10)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist bei 0,58333... die Periode?'''
(3)
(!58)
(!583)
(!83)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Zehnerbruch || Nenner ist eine Zehnerpotenz
|-
| schriftliche Division || Zähler durch Nenner teilen
|-
| Rest null || abbrechende Dezimalzahl
|-
| wiederkehrender Rest || periodische Dezimalzahl
|-
| drei Achtel || 0,375
|-
| sieben Sechzehntel || 0,4375
|-
| Kürzen || Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilen
|-
| fünf Nachkommastellen || Nenner 100000
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable" 
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Umwandlung
|-
| '''0,4375'''
| 7/16
|-
| '''0,375'''
| 3/8
|-
| '''0,275'''
| 11/40
|-
| '''0,184'''
| 23/125
|-
| '''0,40625'''
| 13/32
|-
| '''0,58333...'''
| 7/12

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Zähler || Wie heißt die Zahl oberhalb des Bruchstrichs?
|-
| Nenner || Wie heißt die Zahl unterhalb des Bruchstrichs?
|-
| Periode || Wie heißt der sich wiederholende Teil einer unendlichen Dezimalzahl?
|-
| Zehntel || Wie heißt die erste Stelle nach dem Komma?
|-
| Kürzen || Wie heißt das Teilen von Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl?
|-
| Division || Welche Rechenart steckt in jedem Bruch?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=M6+M+Brüche+und+Dezimalzahlen+sicher+ineinander+umwandeln </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Ein Bruch beschreibt auch eine { Division }. Ein Bruch mit dem Nenner 10, 100 oder 1000 ist ein { Zehnerbruch }. Bei der Umwandlung von 3/8 kann man den Nenner auf { 1000 } erweitern. Die Dezimalzahl zu 7/16 lautet { 0,4375 }. Wenn bei der schriftlichen Division der Rest null wird, ist die Dezimaldarstellung { abbrechend }. Wenn sich ein Rest wiederholt, entsteht eine { Periode }. Die Dezimalzahl 0,42 schreibt man zunächst als 42/100 und kürzt zu { 21/50 }. Bei 0,40625 benötigt der erste Zehnerbruch den Nenner { 100000 }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Bruchbild gestalten]]: Zeichne vier verschiedene Bilder für <math>\frac{3}{4}</math>. Schreibe unter jedes Bild auch <math>0{,}75</math> und erkläre in einem Satz, warum der Zahlenwert gleich bleibt.
# [[Zahlengerade erstellen]]: Zeichne eine Zahlengerade von <math>0</math> bis <math>1</math> und markiere <math>\frac{1}{4}</math>, <math>\frac{1}{2}</math>, <math>\frac{3}{4}</math>, <math>0{,}2</math>, <math>0{,}6</math> und <math>0{,}9</math>.
# [[Stellenwertkarte]]: Erstelle eine Stellenwerttafel für <math>2{,}375</math> und zerlege die Zahl in Einer, Zehntel, Hundertstel und Tausendstel.
# [[Zehnerbruch-Sammlung]]: Finde zehn Brüche, die sich durch einfaches Erweitern in einen Zehnerbruch umwandeln lassen, und notiere jeweils die passende Dezimalzahl.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Schriftliche Division erklären]]: Erstelle eine Schritt-für-Schritt-Erklärung für <math>\frac{7}{16}</math>. Jeder Schritt soll eine Rechnung und eine kurze Begründung enthalten.
# [[Fehlerdetektiv]]: Erfinde drei typische Fehler beim Umwandeln einer Dezimalzahl in einen Bruch. Gib zu jedem Fehler eine falsche Rechnung und die korrigierte Lösung an.
# [[Abbrechend oder periodisch]]: Untersuche die Brüche <math>\frac{7}{20}</math>, <math>\frac{5}{12}</math>, <math>\frac{13}{25}</math>, <math>\frac{8}{15}</math>, <math>\frac{11}{32}</math> und <math>\frac{7}{11}</math>. Begründe Deine Entscheidung jeweils über Nenner oder Division.
# [[Erklärvideo planen]]: Entwirf ein Storyboard für ein zweiminütiges Erklärvideo zum Weg „Dezimalzahl → Zehnerbruch → gekürzter Bruch“. Verwende mindestens zwei Beispiele mit drei oder mehr Nachkommastellen.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Restmuster erforschen]]: Untersuche mit schriftlicher Division die Brüche <math>\frac{1}{7}</math>, <math>\frac{2}{7}</math> und <math>\frac{3}{7}</math>. Vergleiche die Perioden und formuliere eine Vermutung.
# [[Nenner-Test begründen]]: Erkläre mit eigenen Worten, warum ein vollständig gekürzter Nenner, der nur aus den Primfaktoren <math>2</math> und <math>5</math> besteht, zu einer abbrechenden Dezimalzahl führt.
# [[Darstellungswechsel-Projekt]]: Wähle fünf Zahlen zwischen <math>0</math> und <math>2</math> und stelle jede Zahl als Bruch, Dezimalzahl, Punkt auf der Zahlengeraden und Flächen- oder Stellenwertmodell dar.
# [[Mathe-Interview]]: Befrage drei Personen dazu, wie sie <math>\frac{13}{32}</math> in eine Dezimalzahl umwandeln würden. Vergleiche die Strategien Erweitern, Taschenrechner und schriftliche Division und bewerte, welche Strategie mathematisch am transparentesten ist.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Strategiewahl]]: Entscheide für <math>\frac{23}{125}</math>, <math>\frac{13}{32}</math> und <math>\frac{7}{12}</math>, ob Erweitern oder schriftliche Division besonders sinnvoll ist. Begründe Deine Wahl und führe die Umwandlung aus.
# [[Zusammenhang von Nenner und Dezimaldarstellung]]: Vergleiche <math>\frac{3}{20}</math>, <math>\frac{3}{24}</math> und <math>\frac{3}{25}</math>. Kürze zuerst, entscheide dann über abbrechend oder periodisch und erkläre den Zusammenhang.
# [[Fehleranalyse]]: Eine Schülerin schreibt <math>0{,}40625=\frac{40625}{10000}</math>. Erkläre den Denkfehler, korrigiere ihn und kürze vollständig.
# [[Transfer über die Zahlengerade]]: Ordne <math>\frac{7}{16}</math>, <math>0{,}4</math>, <math>\frac{1}{2}</math> und <math>0{,}45</math> der Größe nach. Verwende mindestens zwei verschiedene Darstellungen zur Begründung.
# [[Periodenbegründung]]: Führe die schriftliche Division für <math>\frac{8}{11}</math> so weit aus, bis Du sicher begründen kannst, warum die Periode <math>72</math> entsteht.
# [[Umkehrprobe]]: Wandle <math>1{,}275</math> in einen vollständig gekürzten Bruch um und anschließend durch Division wieder zurück. Erkläre, warum die beiden Rechenwege eine gute Probe füreinander sind.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen gelungenen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du Darstellungen wechseln und Deine Entscheidung begründen kannst.

# [[Bruch zu Dezimalzahl]]: Mindestens ein Bruch wird durch Erweitern und mindestens ein anderer durch schriftliche Division korrekt umgewandelt.
# [[Abbrechende Dezimalzahl]]: Du wandelst eine Dezimalzahl mit mindestens drei Nachkommastellen in einen vollständig gekürzten Bruch um.
# [[Periodische Dezimalzahl]]: Du erkennst eine Periode und schreibst sie korrekt mit Periodenstrich oder eindeutiger Punktfolge.
# [[Begründung]]: Du erklärst an mindestens einem vollständig gekürzten Nenner, warum die Dezimaldarstellung abbricht oder periodisch wird.
# [[Visualisierung]]: Du nutzt Zahlengerade, Stellenwerttafel, Bruchstreifen oder Flächenmodell fachlich passend.
# [[Kontrolle]]: Du führst mindestens eine Rückumwandlung als Probe durch und unterscheidest exakte Werte von gerundeten Näherungen.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dezimalbruch </iframe>

{{#ev:youtube|   https://www.youtube.com/watch?v=1cnEAMiJ5bk   |500|center}}

{{BR}}
== Weitere interaktive OER ==

<iframe> https://www.geogebra.org/m/gpqs7xue </iframe>

Das GeoGebra-Material bündelt Bruchverständnis, Dezimalverständnis, Bruchstreifen, Zahlenstrahl-Lupen und Darstellungswechsel. Nutze es besonders zum selbstständigen Erkunden.

{{BR}}
= Verknüpfte Lernbereiche =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Brüche und Dezimalzahlen]]'''
# [[Bruchrechnung]]
# [[Dezimalzahlen]]
# [[Zehnerbruch]]
# [[Schriftliche Division]]
# [[Zahlengerade]]
# [[Stellenwertsystem]]
# [[Periodische Dezimalzahl]]
# [[Kürzen und Erweitern]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Klasse 6]]
[[Kategorie:Klasse 5-6]]
[[Kategorie:Bruchrechnung]]
[[Kategorie:Dezimalzahlen]]
[[Kategorie:Rationale Zahlen]]
[[Kategorie:M-Niveau]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
[[Kategorie:AI_MOOC]] [[Kategorie:GPT aiMOOC]]
{{MT}}