Quelltext der Seite Bekannte Lösungsstrategien anwenden - EKM

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= Einleitung =

'''Bekannte Lösungsstrategien anwenden - EKM''' ist ein aiMOOC zum mathematischen [[Problemlösen]], zum bewussten Einsatz von [[Heuristik|heuristischen Strategien]] und zur reflektierten Bearbeitung von Aufgaben im Sinne eines '''Erweiterten Kompetenznachweises Mathematik''' ([[EKM]]). In einer EKM-Aufgabe reicht es nicht, nur ein Ergebnis zu nennen. Du sollst zeigen, wie Du ein Problem verstehst, welche [[Lösungsstrategie]] Du auswählst, wie Du Deine Lösung darstellst, überprüfst und begründest.

Im Mittelpunkt steht die Frage: '''Wie finde ich einen sinnvollen Weg, wenn ich nicht sofort weiß, wie eine Aufgabe zu lösen ist?''' Genau dann helfen bekannte [[Lösungsstrategie|Lösungsstrategien]]: eine [[Skizze]] anfertigen, eine [[Tabelle]] nutzen, systematisch probieren, rückwärts arbeiten, ein Muster erkennen, eine Aufgabe vereinfachen, eine Gleichung aufstellen oder mehrere Darstellungsformen miteinander verbinden.

[[Datei:Problem-Solving.svg|500px|rahmenlos|center]]

Dieser aiMOOC richtet sich besonders an Lernende der [[Sekundarstufe I]], kann aber auch in der [[Grundschule]], in der [[Berufsbildung]] und in der [[Lehrkräftebildung]] eingesetzt werden. Du lernst, mathematische Probleme nicht nur zu lösen, sondern Deinen Weg verständlich zu machen. Das ist wichtig, weil Mathematik nicht allein aus Rechnen besteht, sondern aus [[Denken]], [[Argumentieren]], [[Darstellen]], [[Modellieren]] und [[Kommunikation]].

{{#ev:youtube|   https://www.youtube.com/watch?v=U-jHPXR6kCs   |500|center}}

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= Was bedeutet EKM? =

'''EKM''' steht in diesem Lernkurs für '''Erweiterter Kompetenznachweis Mathematik'''. Ein erweiterter Kompetenznachweis prüft nicht nur, ob Du ein richtiges Ergebnis findest. Er achtet besonders darauf, ob Du mathematische Kompetenzen sichtbar machen kannst. Dazu gehören:

# [[Problemlösen]]: Du erkennst, was gesucht ist, und entwickelst einen Lösungsweg.
# [[Modellieren]]: Du übersetzt eine Alltagssituation in mathematische Sprache.
# [[Darstellen]]: Du nutzt [[Skizze|Skizzen]], [[Tabelle|Tabellen]], [[Diagramm|Diagramme]], [[Term|Terme]] oder [[Gleichung|Gleichungen]].
# [[Argumentieren]]: Du erklärst, warum Dein Weg sinnvoll ist.
# [[Kommunikation]]: Du beschreibst Deine Gedanken so, dass andere sie nachvollziehen können.
# [[Reflexion]]: Du prüfst, ob Dein Ergebnis zur Aufgabe passt.

Ein EKM ist daher besonders geeignet, um zu zeigen, wie Du mathematisch denkst. Dabei dürfen unterschiedliche Wege zum Ziel führen. Entscheidend ist, dass Dein Weg zur Aufgabe passt, nachvollziehbar ist und überprüft wird.

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= Mathematisches Problemlösen =

Ein [[Problem]] in der Mathematik ist mehr als eine Routineaufgabe. Bei einer [[Routineaufgabe]] kennst Du das passende Verfahren meist sofort. Bei einer Problemaufgabe liegt zwischen Ausgangssituation und Ziel eine gedankliche Hürde. Du musst entscheiden, welche Strategie helfen könnte.

'''Beispiel für eine Routineaufgabe:''' Berechne 48 : 6. Du kennst das Verfahren und kannst direkt rechnen.

'''Beispiel für eine Problemaufgabe:''' In einer Klasse geben sich alle Kinder genau einmal die Hand. Insgesamt werden 190 Händedrücke gezählt. Wie viele Kinder sind in der Klasse? Hier musst Du erst eine Strategie finden: Du könntest eine Tabelle anlegen, ein Muster suchen oder eine Gleichung aufstellen.

[[Datei:8puzzle example.svg|500px|rahmenlos|center]]

Problemlösen ist ein Prozess. Du probierst, prüfst, verwirfst und verbesserst. Fehler sind dabei keine Niederlage, sondern Hinweise. Sie zeigen Dir, welche Annahmen nicht passen und welcher Weg genauer untersucht werden sollte.

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== Die vier Phasen nach George Pólya ==

Der Mathematiker [[George Pólya]] beschrieb einen bis heute wichtigen Zugang zum [[Problemlösen]]. Seine vier Phasen helfen Dir, auch schwierige Aufgaben strukturiert zu bearbeiten.

# [[Aufgabenverständnis|Das Problem verstehen]]: Lies genau. Markiere wichtige Informationen. Kläre, was gegeben und was gesucht ist.
# [[Planung|Einen Plan entwickeln]]: Wähle eine passende Strategie. Überlege, ob eine Skizze, Tabelle, Gleichung, Vereinfachung oder Rückwärtsrechnung hilft.
# [[Durchführung|Den Plan ausführen]]: Arbeite sorgfältig. Notiere Zwischenschritte. Bleibe flexibel, wenn der Plan nicht funktioniert.
# [[Überprüfung|Zurückblicken und prüfen]]: Kontrolliere Ergebnis und Rechenweg. Frage Dich, ob das Ergebnis sinnvoll ist und ob es einen eleganteren Weg gibt.

Diese Phasen verlaufen nicht immer streng nacheinander. Manchmal musst Du nach dem Prüfen zurück zur Planung gehen. Manchmal zeigt eine Skizze, dass Du die Aufgabe anders verstehen musst. Gutes Problemlösen ist daher ein Kreislauf aus Verstehen, Planen, Ausführen und Reflektieren.

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== Warum bekannte Lösungsstrategien wichtig sind ==

Bekannte [[Lösungsstrategie|Lösungsstrategien]] sind Werkzeuge für Dein Denken. Wie bei einem Werkzeugkasten entscheidest Du je nach Aufgabe, welches Werkzeug geeignet ist. Eine [[Skizze]] hilft oft bei geometrischen oder räumlichen Problemen. Eine [[Tabelle]] hilft, wenn mehrere Fälle oder Zahlenwerte geordnet werden müssen. Systematisches Probieren hilft, wenn Du Möglichkeiten untersuchen möchtest. Eine [[Gleichung]] hilft, wenn Zusammenhänge zwischen unbekannten und bekannten Größen beschrieben werden können.

Eine Strategie ist nicht automatisch richtig, nur weil sie bekannt ist. Du musst prüfen, ob sie zur Situation passt. Genau darin liegt die Kompetenz: Du wählst bewusst, begründest Deine Wahl und passt Deinen Weg an, wenn Du neue Einsichten gewinnst.

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= Strategien im Überblick =

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== Strategie 1: Aufgabe genau verstehen ==

Bevor Du rechnest, musst Du die Aufgabe verstehen. Viele Fehler entstehen, weil Lernende zu früh losrechnen. Stelle Dir vor dem ersten Rechenschritt folgende Fragen:

# [[Gegeben]]: Welche Informationen stehen in der Aufgabe?
# [[Gesucht]]: Wonach wird gefragt?
# [[Bedingung]]: Welche Einschränkungen oder Regeln gelten?
# [[Darstellung]]: Kann ich die Situation zeichnen, ordnen oder in eigene Worte fassen?
# [[Schätzung]]: Welche Größenordnung könnte das Ergebnis haben?

Diese Strategie ist die Grundlage aller weiteren Strategien. Wer die Aufgabe nicht genau versteht, kann zwar rechnen, aber leicht am Ziel vorbeirechnen.

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== Strategie 2: Eine Skizze anfertigen ==

Eine [[Skizze]] übersetzt Text in ein Bild. Sie muss nicht künstlerisch sein. Sie soll mathematische Beziehungen sichtbar machen. Besonders hilfreich ist sie bei [[Geometrie]], [[Sachaufgabe|Sachaufgaben]], Wegen, Flächen, Körpern, Netzen, Abständen und Anordnungen.

[[Datei:Geo prob diagram.svg|500px|rahmenlos|center]]

'''Beispiel:''' Ein rechteckiger Garten ist doppelt so lang wie breit. Der Umfang beträgt 48 m. Wie lang und wie breit ist der Garten? Eine Skizze mit zwei kurzen und zwei doppelt so langen Seiten zeigt schnell, dass sechs gleiche Breitenstücke zusammen 48 m ergeben.

Eine gute Skizze enthält Beschriftungen. Trage bekannte Größen ein und markiere die gesuchte Größe. Wenn Du etwas vermutest, kennzeichne es als Vermutung und überprüfe es später.

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== Strategie 3: Eine Tabelle anlegen ==

Eine [[Tabelle]] ordnet Informationen. Sie hilft, Muster zu erkennen und Fälle systematisch zu prüfen. Tabellen sind besonders nützlich bei [[Kombinatorik]], [[Zuordnung]], [[Proportionalität]], [[Zahlenfolge|Zahlenfolgen]] und Sachaufgaben mit mehreren Bedingungen.

'''Beispiel:''' Ein Fahrradverleih verlangt eine Grundgebühr von 4 Euro und zusätzlich 3 Euro pro Stunde. Mit einer Tabelle kannst Du die Gesamtkosten für 1, 2, 3 oder mehr Stunden darstellen und daraus eine Regel entwickeln.

{| class="wikitable"
! Stunden
! Rechnung
! Kosten
|-
| 1
| 4 + 3
| 7 Euro
|-
| 2
| 4 + 6
| 10 Euro
|-
| 3
| 4 + 9
| 13 Euro
|-
| 4
| 4 + 12
| 16 Euro
|}

Aus der Tabelle erkennst Du: Die Kosten steigen pro Stunde um 3 Euro. Daraus kann ein [[Term]] entstehen: Kosten = 4 + 3 · Stunden.

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== Strategie 4: Systematisch probieren ==

[[Versuch und Irrtum|Probieren]] ist keine schlechte Strategie, wenn es systematisch geschieht. Systematisches Probieren bedeutet, dass Du Deine Versuche geordnet notierst, auswertest und zielgerichtet verbesserst.

'''Unsicheres Probieren''' wäre: Du rätst mehrere Zahlen, ohne aufzuschreiben, warum Du sie wählst.

'''Systematisches Probieren''' wäre: Du beginnst mit einer sinnvollen Zahl, prüfst die Bedingung, notierst das Ergebnis und entscheidest, ob die nächste Zahl größer oder kleiner sein muss.

{{#ev:youtube|   https://www.youtube.com/watch?v=ld0kqQvjHnQ   |500|center}}

'''Beispiel:''' Zwei Zahlen haben die Summe 28. Ihr Produkt soll möglichst groß sein. Mit einer Tabelle kannst Du systematisch Paare prüfen: 1 und 27, 2 und 26, 3 und 25 und so weiter. Du erkennst ein Muster: Das Produkt wächst, bis die Zahlen möglichst nahe beieinanderliegen.

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== Strategie 5: Rückwärts arbeiten ==

Beim [[Rückwärtsarbeiten]] beginnst Du beim Ziel und gehst Schritt für Schritt zurück zum Anfang. Diese Strategie hilft besonders bei Aufgaben mit mehreren Veränderungen, bei Rätseln und bei Gleichungen.

'''Beispiel:''' Eine Zahl wird verdoppelt, dann werden 5 addiert. Das Ergebnis ist 23. Welche Zahl war es? Rückwärts gehst Du vom Ergebnis aus: 23 - 5 = 18, dann 18 : 2 = 9. Die gesuchte Zahl ist 9.

Rückwärtsarbeiten verlangt, dass Du Rechenschritte umkehrst. Aus Addition wird Subtraktion, aus Multiplikation wird Division, aus Quadrieren kann Wurzelziehen werden, wenn der Zahlenbereich passt.

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== Strategie 6: Ein Muster erkennen ==

Ein [[Muster]] ist eine Regelmäßigkeit. Muster können in Zahlen, Formen, Tabellen, Figuren oder Situationen auftreten. Wenn Du ein Muster erkennst, kannst Du Vorhersagen machen und allgemeine Regeln formulieren.

'''Beispiel:''' Aus Streichhölzern werden Quadrate in einer Reihe gelegt. Ein Quadrat braucht 4 Hölzer, zwei Quadrate brauchen 7 Hölzer, drei Quadrate brauchen 10 Hölzer. Das Muster lautet: Jedes weitere Quadrat braucht 3 zusätzliche Hölzer. Daraus entsteht eine Regel.

Muster dürfen nicht nur geraten werden. Du musst prüfen, ob sie zur Struktur der Aufgabe passen. Eine Regel aus drei Beispielen kann plausibel sein, muss aber begründet werden.

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== Strategie 7: Vereinfachen und Spezialfälle betrachten ==

Manchmal ist eine Aufgabe zu groß oder zu unübersichtlich. Dann hilft [[Vereinfachung]]. Du bearbeitest zuerst einen kleineren Fall und überträgst die Erkenntnis auf die größere Aufgabe.

'''Beispiel:''' Statt sofort zu berechnen, wie viele Diagonalen ein Zwölfeck hat, untersuchst Du Dreieck, Viereck, Fünfeck und Sechseck. Du erkennst: Von jedem Eckpunkt aus gibt es Verbindungen zu allen anderen Punkten außer zu sich selbst und zu den zwei Nachbarpunkten. So entsteht eine allgemeine Strategie.

Vereinfachen heißt nicht, die Aufgabe falsch zu machen. Es bedeutet, ein leichteres Modell zu nutzen, um eine Struktur zu entdecken.

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== Strategie 8: Eine Gleichung aufstellen ==

Eine [[Gleichung]] ist sinnvoll, wenn eine unbekannte Größe mit bekannten Größen verbunden ist. Dazu musst Du die Situation in mathematische Sprache übersetzen.

'''Beispiel:''' Ein Kinobesuch kostet für zwei Erwachsene und drei Kinder zusammen 51 Euro. Ein Erwachsenenticket kostet 12 Euro. Wie viel kostet ein Kinderticket? Du kannst schreiben: 2 · 12 + 3 · x = 51. Dann folgt 24 + 3x = 51, also 3x = 27 und x = 9.

Eine Gleichung ist besonders stark, wenn Du Bedingungen knapp und eindeutig darstellen möchtest. Trotzdem bleibt wichtig: Prüfe am Ende, ob die Lösung zur Sachsituation passt.

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== Strategie 9: Darstellungen wechseln ==

Mathematische Informationen können verschieden dargestellt werden: als [[Text]], [[Bild]], [[Tabelle]], [[Diagramm]], [[Term]], [[Gleichung]] oder mündliche Erklärung. Ein Wechsel der Darstellung kann ein Problem deutlich erleichtern.

[[Datei:Geometric symmetry problem example.svg|500px|rahmenlos|center]]

Wenn eine Textaufgabe unklar wirkt, hilft vielleicht eine Skizze. Wenn eine Zahlenfolge schwer zu verstehen ist, hilft eine Tabelle. Wenn eine Tabelle viele Werte enthält, hilft vielleicht ein Term. Wer zwischen Darstellungen wechseln kann, zeigt eine wichtige mathematische Kompetenz.

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== Strategie 10: Lösung prüfen und begründen ==

Eine Lösung ist erst dann überzeugend, wenn sie geprüft wurde. Prüfen bedeutet mehr als nur noch einmal rechnen. Du fragst:

# [[Plausibilität]]: Passt die Größenordnung?
# [[Bedingung]]: Erfüllt das Ergebnis alle Bedingungen?
# [[Einheit]]: Stimmen Einheiten wie Meter, Euro oder Minuten?
# [[Rechenweg]]: Sind die Schritte logisch?
# [[Alternative]]: Gibt es einen zweiten Weg zur Kontrolle?

In einem EKM ist die Begründung besonders wichtig. Schreibe nicht nur, was Du gerechnet hast, sondern warum Dein Vorgehen passt.

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= Beispielaufgaben mit Lösungsstrategien =

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== Beispiel 1: Händedruck-Aufgabe ==

'''Aufgabe:''' In einer Gruppe gibt jede Person jeder anderen Person genau einmal die Hand. Es gibt 28 Händedrücke. Wie viele Personen sind in der Gruppe?

'''Strategie:''' Tabelle anlegen und Muster erkennen.

{| class="wikitable"
! Personen
! Neue Händedrücke durch die letzte Person
! Gesamtzahl
|-
| 2
| 1
| 1
|-
| 3
| 2
| 3
|-
| 4
| 3
| 6
|-
| 5
| 4
| 10
|-
| 6
| 5
| 15
|-
| 7
| 6
| 21
|-
| 8
| 7
| 28
|}

'''Lösung:''' Es sind 8 Personen. Die Tabelle zeigt, dass bei jeder neuen Person so viele neue Händedrücke dazukommen, wie bereits Personen in der Gruppe sind.

{{BR}}
== Beispiel 2: Zahlenrätsel ==

'''Aufgabe:''' Ich denke mir eine Zahl. Ich verdreifache sie, addiere 4 und erhalte 31. Welche Zahl habe ich mir gedacht?

'''Strategie:''' Rückwärts arbeiten oder Gleichung aufstellen.

'''Rückwärts:''' 31 - 4 = 27. Danach 27 : 3 = 9.

'''Gleichung:''' 3x + 4 = 31. Also 3x = 27 und x = 9.

'''Lösung:''' Die gedachte Zahl ist 9. Die Probe lautet: 3 · 9 + 4 = 31.

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== Beispiel 3: Kombinatorik ordnen ==

'''Aufgabe:''' Du hast drei T-Shirts und zwei Hosen. Wie viele verschiedene Outfits kannst Du bilden?

'''Strategie:''' Skizze, Baumdiagramm oder Tabelle.

{| class="wikitable"
! T-Shirt
! Hose 1
! Hose 2
|-
| T-Shirt A
| Outfit A1
| Outfit A2
|-
| T-Shirt B
| Outfit B1
| Outfit B2
|-
| T-Shirt C
| Outfit C1
| Outfit C2
|}

'''Lösung:''' Es gibt 6 Outfits. Die Tabelle zeigt 3 · 2 Möglichkeiten.

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== Beispiel 4: Geometrisches Problem vereinfachen ==

'''Aufgabe:''' Wie viele Diagonalen hat ein Achteck?

'''Strategie:''' Spezialfälle betrachten und eine Regel entwickeln.

Von einem Eckpunkt eines Achtecks kannst Du zu 7 anderen Punkten Linien ziehen. Zwei davon sind Seiten des Achtecks und zählen nicht als Diagonalen. Also gehen von einem Punkt 5 Diagonalen aus. Bei 8 Punkten wären das 8 · 5 Linien. Jede Diagonale wird dabei doppelt gezählt. Deshalb rechnest Du 8 · 5 : 2 = 20.

'''Lösung:''' Ein Achteck hat 20 Diagonalen.

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= Typische Fehler und wie Du sie vermeidest =

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== Zu früh rechnen ==

Viele Lernende beginnen sofort mit Zahlen, ohne die Aufgabe zu verstehen. Das wirkt schnell, führt aber oft zu falschen Wegen. Nimm Dir am Anfang Zeit für [[Aufgabenanalyse]], Markierungen und eine kurze Zusammenfassung in eigenen Worten.

{{BR}}
== Unsystematisch probieren ==

Probieren ist nur dann hilfreich, wenn Du Deine Versuche ordnest. Schreibe auf, was Du ausprobierst und warum Du den nächsten Versuch veränderst. Eine Tabelle macht Deine Gedanken sichtbar.

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== Ergebnis ohne Prüfung abgeben ==

Ein Ergebnis kann rechnerisch entstehen und trotzdem nicht zur Aufgabe passen. Prüfe Einheiten, Bedingungen und Plausibilität. Ein negativer Preis, eine halbe Person oder eine Fläche ohne Einheit zeigen, dass noch etwas nicht stimmt.

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== Lösungsweg nicht erklären ==

In einem EKM zählt nicht nur das Ergebnis. Der Lösungsweg zeigt Deine Kompetenz. Schreibe vollständige Sätze, nutze passende Fachbegriffe und erkläre, warum Deine Strategie geeignet ist.

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= Strategieauswahl: Welche Strategie passt wann? =

{| class="wikitable"
! Aufgabensituation
! Passende Strategie
! Warum sie hilft
|-
| Viele Informationen im Text
| [[Aufgabe verstehen]], markieren, umformulieren
| Du erkennst Gegebenes und Gesuchtes.
|-
| Räumliche oder geometrische Situation
| [[Skizze]] zeichnen
| Beziehungen werden sichtbar.
|-
| Mehrere Fälle oder Möglichkeiten
| [[Tabelle]] oder [[Baumdiagramm]]
| Du arbeitest vollständig und geordnet.
|-
| Ergebnis ist bekannt, Anfang gesucht
| [[Rückwärtsarbeiten]]
| Du kehrst die Rechenschritte um.
|-
| Wiederholende Struktur
| [[Muster]] erkennen
| Du findest eine Regel.
|-
| Unbekannte Größe mit Bedingungen
| [[Gleichung]] aufstellen
| Du beschreibst die Situation mathematisch.
|-
| Aufgabe wirkt zu groß
| [[Vereinfachung]] und Spezialfälle
| Du entdeckst die Grundstruktur.
|-
| Unsicherheit beim Ergebnis
| [[Probe]] und [[Plausibilitätsprüfung]]
| Du sicherst die Lösung ab.
|}

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= Sprache im EKM =

Gute mathematische Kommunikation braucht klare Formulierungen. Diese Satzanfänge können Dir helfen:

# [[Aufgabenverständnis]]: '''Gegeben ist ... Gesucht ist ...'''
# [[Strategiewahl]]: '''Ich wähle diese Strategie, weil ...'''
# [[Darstellung]]: '''Die Tabelle zeigt ...'''
# [[Begründung]]: '''Daraus folgt ...'''
# [[Prüfung]]: '''Die Lösung passt, denn ...'''
# [[Reflexion]]: '''Ein anderer möglicher Weg wäre ...'''

Achte darauf, dass Deine Erklärung zur Rechnung passt. Eine schöne Rechnung ohne Erklärung ist in einem EKM nicht genug. Eine gute Erklärung ohne korrekte mathematische Prüfung ist ebenfalls nicht ausreichend. Beides gehört zusammen.

{{BR}}
= Mini-Strategiekarten =

{{BR}}
== Strategiekarte: Skizze ==

'''Nutze eine Skizze, wenn''' eine Situation räumlich, geometrisch oder schwer vorstellbar ist.

'''Achte darauf,''' dass Du bekannte Größen einträgst und die gesuchte Größe markierst.

'''Prüfe,''' ob Deine Skizze die Aufgabe vereinfacht oder ob sie falsche Annahmen enthält.

{{BR}}
== Strategiekarte: Tabelle ==

'''Nutze eine Tabelle, wenn''' Du mehrere Fälle, Werte oder Möglichkeiten ordnen möchtest.

'''Achte darauf,''' dass jede Spalte eine klare Bedeutung hat.

'''Prüfe,''' ob alle Fälle vollständig und ohne doppelte Zählung enthalten sind.

{{BR}}
== Strategiekarte: Rückwärtsarbeiten ==

'''Nutze Rückwärtsarbeiten, wenn''' das Ergebnis bekannt ist und der Anfang gesucht wird.

'''Achte darauf,''' jeden Schritt richtig umzukehren.

'''Prüfe,''' indem Du mit Deiner gefundenen Anfangszahl wieder vorwärts rechnest.

{{BR}}
== Strategiekarte: Muster erkennen ==

'''Nutze Mustererkennung, wenn''' sich Zahlen, Figuren oder Schritte regelmäßig verändern.

'''Achte darauf,''' genügend Beispiele zu untersuchen.

'''Prüfe,''' ob Deine Regel auch für weitere Fälle gilt.

{{BR}}
== Strategiekarte: Gleichung ==

'''Nutze eine Gleichung, wenn''' eine unbekannte Größe durch Bedingungen beschrieben wird.

'''Achte darauf,''' die Variable klar zu benennen.

'''Prüfe,''' indem Du die gefundene Zahl in die ursprüngliche Situation einsetzt.

{{BR}}
= Interaktive Aufgaben =

{{BR}}
== Quiz: Teste Dein Wissen ==

{{MC}}

'''Was ist bei einer EKM-Aufgabe besonders wichtig?'''
(Den Lösungsweg verständlich darstellen und begründen)
(!Nur das Endergebnis ohne Erklärung notieren)
(!Möglichst schnell ohne Kontrolle rechnen)
(!Alle Zahlen aus der Aufgabe addieren)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Strategie passt besonders gut zu einer geometrischen Sachaufgabe?'''
(Eine Skizze anfertigen)
(!Die Aufgabe sofort auswendig lösen)
(!Alle Wörter alphabetisch ordnen)
(!Nur das Ergebnis schätzen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was bedeutet systematisches Probieren?'''
(Versuche geordnet durchführen und auswerten)
(!Zufällig Zahlen raten)
(!Die erste Idee immer behalten)
(!Ohne Notizen rechnen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Frage gehört zur Phase Problem verstehen?'''
(Was ist gegeben und was ist gesucht)
(!Wie kann ich möglichst viele Rechenzeichen verwenden)
(!Wie schreibe ich das Ergebnis besonders groß)
(!Welche Farbe hat mein Heft)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Wann ist Rückwärtsarbeiten besonders hilfreich?'''
(Wenn das Ergebnis bekannt ist und der Anfang gesucht wird)
(!Wenn alle Angaben fehlen)
(!Wenn keine Rechenschritte vorkommen)
(!Wenn die Lösung schon im Titel steht)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Darstellung hilft oft beim Ordnen mehrerer Fälle?'''
(Eine Tabelle)
(!Ein Zufallswort)
(!Ein Gedicht ohne Zahlen)
(!Ein unbeschriftetes Bild)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was ist eine Probe?'''
(Eine Überprüfung, ob Ergebnis und Bedingungen zusammenpassen)
(!Eine neue Aufgabe ohne Zusammenhang)
(!Ein Rechenschritt, der immer weggelassen wird)
(!Eine beliebige Schätzung ohne Kontrolle)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Warum betrachtet man manchmal einen einfacheren Spezialfall?'''
(Um die Struktur einer schwierigen Aufgabe zu erkennen)
(!Um die eigentliche Aufgabe zu vergessen)
(!Um keine Begründung schreiben zu müssen)
(!Um alle Zahlen zu vermeiden)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Welche Strategie passt, wenn eine unbekannte Zahl durch Bedingungen beschrieben wird?'''
(Eine Gleichung aufstellen)
(!Die Einheit weglassen)
(!Den Text abschreiben)
(!Das Ergebnis raten und nicht prüfen)

{{E}}
<br>

{{MC}}

'''Was gehört zu einer guten mathematischen Reflexion?'''
(Überprüfen, ob der Lösungsweg sinnvoll und übertragbar ist)
(!Nach dem ersten Rechenschritt aufhören)
(!Keine Fehler suchen)
(!Die Aufgabe ohne Begründung abgeben)

{{E}}
<br>

{{BR}}
== Memory ==

<div class="memo-quiz">
{|
|-
| Skizze || Räumliche Beziehungen sichtbar machen
|-
| Tabelle || Fälle geordnet untersuchen
|-
| Rückwärtsarbeiten || Vom Ergebnis zum Anfang gehen
|-
| Muster || Regelmäßigkeit erkennen
|-
| Gleichung || Unbekannte mathematisch beschreiben
|-
| Probe || Ergebnis an den Bedingungen prüfen
|-
| Vereinfachung || Schwierige Aufgabe durch Spezialfall erschließen
|-
| Begründung || Lösungsweg nachvollziehbar erklären
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== Drag and Drop ==

<div class="lueckentext-quiz">

{| class="wikitable" 
! Ordne die richtigen Begriffe zu.
! Thema
|-
| '''Skizze'''
| Geometrische Situation veranschaulichen
|-
| '''Tabelle'''
| Mehrere Fälle übersichtlich ordnen
|-
| '''Rückwärtsarbeiten'''
| Vom bekannten Ziel zum Anfang gehen
|-
| '''Gleichung'''
| Unbekannte Größe mit Bedingungen beschreiben
|-
| '''Probe'''
| Ergebnis und Lösungsweg kontrollieren

|}
{{E}}

<br>
<br />

{{BR}}
== Kreuzworträtsel ==

<div class="kreuzwort-quiz">
{|
|-
| Verstehen || Welche erste Phase hilft, Gegebenes und Gesuchtes zu klären?
|-
| Skizze || Welche Darstellung hilft besonders bei geometrischen Aufgaben?
|-
| Tabelle || Welche Darstellung ordnet Fälle in Zeilen und Spalten?
|-
| Muster || Was suchst Du bei regelmäßigen Veränderungen?
|-
| Heuristik || Wie nennt man eine hilfreiche Suchstrategie beim Problemlösen?
|-
| Probe || Wie heißt die Kontrolle einer gefundenen Lösung?
|}
{{E}}
<br>

{{BR}}
== LearningApps ==

<iframe> https://learningapps.org/index.php?s=Bekannte+Loesungsstrategien+anwenden+EKM </iframe>

{{BR}}
== Lückentext ==

<quiz display=simple>
{'''Vervollständige den Text.'''<br>
|type="{}"}
Beim mathematischen Problemlösen beginnst Du damit, die { Aufgabe } genau zu verstehen. Eine hilfreiche Darstellung für geometrische Situationen ist die { Skizze }. Wenn Du mehrere Fälle ordnen möchtest, eignet sich oft eine { Tabelle }. Beim { Rückwärtsarbeiten } gehst Du vom bekannten Ergebnis zum Anfang zurück. Eine { Gleichung } beschreibt eine unbekannte Größe mit mathematischen Bedingungen. Durch eine { Probe } überprüfst Du, ob Deine Lösung zur Aufgabe passt. In einem EKM ist nicht nur das Ergebnis wichtig, sondern auch die { Begründung } des Lösungswegs. Wer verschiedene Darstellungen nutzt, kann mathematische Zusammenhänge besser { erkennen }.
</quiz>

<br>

{{BR}}
= Offene Aufgaben =

{{BR}}
=== Leicht ===

# [[Strategiekarte]]: Erstelle eine kleine Strategiekarte zu einer Lösungsstrategie Deiner Wahl. Notiere, wann die Strategie hilft, worauf man achten muss und wie man das Ergebnis prüft.
# [[Skizze]]: Suche eine Sachaufgabe aus Deinem Mathematikbuch und zeichne eine Skizze dazu. Beschrifte alle wichtigen Angaben und markiere die gesuchte Größe.
# [[Tabelle]]: Erfinde eine Aufgabe, bei der eine Tabelle beim Lösen hilft. Erstelle die Tabelle und erkläre in drei Sätzen, welches Muster sichtbar wird.
# [[Probe]]: Nimm eine bereits gelöste Aufgabe und schreibe eine ausführliche Probe. Erkläre, warum das Ergebnis sinnvoll ist oder wo Du unsicher bist.

{{BR}}
=== Standard ===

# [[Lösungsweg]]: Bearbeite eine Problemaufgabe auf zwei verschiedenen Wegen. Vergleiche beide Wege nach Verständlichkeit, Aufwand und Sicherheit.
# [[Systematisches Probieren]]: Entwickle ein Zahlenrätsel, das durch systematisches Probieren gelöst werden kann. Gib eine geordnete Lösungstabelle an.
# [[Mathematische Kommunikation]]: Erkläre einer Partnerin oder einem Partner Deinen Lösungsweg mündlich. Lass Dir Rückfragen stellen und verbessere danach Deine schriftliche Erklärung.
# [[Darstellungswechsel]]: Wandle eine Textaufgabe zuerst in eine Skizze, dann in eine Tabelle und schließlich in eine Gleichung um. Beschreibe, welche Darstellung Dir am meisten geholfen hat.

{{BR}}
=== Schwer ===

# [[Problemaufgabe]]: Entwickle eine komplexe EKM-Aufgabe aus dem Alltag, zum Beispiel zu Fahrtkosten, Flächenplanung, Einkauf, Sportturnier oder Energieverbrauch. Formuliere Erwartungshorizont und Bewertungskriterien.
# [[Strategievergleich]]: Untersuche eine schwierige Aufgabe mit mindestens drei Strategien. Begründe, welche Strategie am effektivsten war und warum.
# [[Fehleranalyse]]: Erfinde einen falschen Lösungsweg zu einer Aufgabe und analysiere genau, an welcher Stelle der Fehler entsteht. Formuliere eine Lernhilfe, die diesen Fehler vermeiden hilft.
# [[Transfer]]: Übertrage eine bekannte Strategie aus der Mathematik auf ein Problem in einem anderen Fach, zum Beispiel [[Physik]], [[Geographie]], [[Wirtschaft]] oder [[Informatik]]. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Grenzen.

{{:Offene Aufgabe - MOOC erstellen}}

{{BR}}
= Lernkontrolle =

# [[Strategieauswahl]]: Du erhältst eine unbekannte Sachaufgabe mit mehreren Bedingungen. Wähle eine geeignete Lösungsstrategie aus und begründe, warum diese Strategie besser passt als zwei andere mögliche Strategien.
# [[Darstellungswechsel]]: Löse eine Aufgabe zuerst mit einer Tabelle und danach mit einer Gleichung. Vergleiche, welche Informationen in welcher Darstellung deutlicher werden.
# [[Fehleranalyse]]: Analysiere einen vorgegebenen fehlerhaften Lösungsweg. Beschreibe den Denkfehler, korrigiere ihn und formuliere einen Tipp, der den Fehler künftig vermeiden kann.
# [[Transferleistung]]: Entwickle aus einer einfachen Routineaufgabe eine anspruchsvollere Problemaufgabe. Erkläre, welche zusätzliche Hürde entsteht und welche Strategie beim Lösen hilft.
# [[Begründung]]: Schreibe zu einer richtigen Lösung eine vollständige mathematische Begründung. Achte darauf, dass jede Aussage aus der Aufgabe, aus einer Rechnung oder aus einer logischen Folgerung hervorgeht.
# [[Reflexion]]: Vergleiche zwei verschiedene Lösungswege zu derselben Aufgabe. Beurteile, welcher Weg für Lernende Deiner Klasse verständlicher ist und welcher Weg sich besser verallgemeinern lässt.
# [[EKM-Bewertung]]: Entwirf ein kleines Bewertungsraster für eine EKM-Aufgabe. Berücksichtige Aufgabenverständnis, Strategieauswahl, Darstellung, Rechnung, Begründung und Prüfung.

<br>
<br>

{{BR}}
= Lernnachweis =

Für einen überzeugenden Lernnachweis zu '''Bekannte Lösungsstrategien anwenden - EKM''' solltest Du zeigen, dass Du mathematische Probleme strukturiert bearbeiten kannst. Wichtig sind:

# [[Aufgabenverständnis]]: Du kannst Gegebenes, Gesuchtes und Bedingungen klar benennen.
# [[Strategieauswahl]]: Du wählst eine passende Strategie und begründest Deine Wahl.
# [[Darstellung]]: Du nutzt geeignete Darstellungen wie Skizze, Tabelle, Diagramm, Term oder Gleichung.
# [[Lösungsweg]]: Du rechnest nachvollziehbar und dokumentierst Zwischenschritte.
# [[Begründung]]: Du erklärst, warum Deine Schritte mathematisch sinnvoll sind.
# [[Probe]]: Du überprüfst Ergebnis, Einheit, Bedingungen und Plausibilität.
# [[Reflexion]]: Du kannst Deinen Weg bewerten, verbessern und mit anderen Wegen vergleichen.
# [[Transfer]]: Du kannst eine bekannte Strategie auf neue Aufgaben übertragen.

Ein möglicher Lernnachweis ist ein Portfolio mit drei selbst bearbeiteten Problemaufgaben. Zu jeder Aufgabe gehören Aufgabenanalyse, Strategiewahl, Lösung, Probe und Reflexion. Ergänzend kannst Du eine kurze mündliche Präsentation halten, in der Du Deinen besten Lösungsweg erklärst.

<br>
<br>

{{BR}}
= OERs zum Thema =

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Probleml%C3%B6sen </iframe>

<iframe> https://de.m.wikipedia.org/wiki/Heuristik </iframe>

<br>

{{BR}}
= Links =

{| align=center
{{:D-Tab}}
'''[[Bekannte Lösungsstrategien anwenden - EKM]]'''
# [[Problemlösen]]
# [[Heuristik]]
# [[George Pólya]]
# [[Lösungsstrategie]]
# [[Mathematik]]
# [[Mathematikdidaktik]]
# [[Sachaufgabe]]
# [[Skizze]]
# [[Tabelle]]
# [[Gleichung]]
# [[Rückwärtsarbeiten]]
# [[Systematisches Probieren]]
# [[Mustererkennung]]
# [[Modellieren]]
# [[Argumentieren]]
# [[Darstellen]]
# [[Reflexion]]
# [[Kompetenzorientierter Unterricht]]
|}

[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Mathematikdidaktik]]
[[Kategorie:Problemlösen]]
[[Kategorie:Heuristik]]
[[Kategorie:EKM]]
[[Kategorie:Kompetenzorientierter Unterricht]]
[[Kategorie:Sekundarstufe I]]
[[Kategorie:Klasse 5-6]]
[[Kategorie:Klasse 7-8]]
[[Kategorie:Schule]]

{{BR}}
= aiMOOC-Projekte =
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