Zusammenhang zwischen Binomialverteilung und Normalverteilung

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 9-10, G-Niveau

Zusammenhang zwischen Binomialverteilung und Normalverteilung

Fach: Mathematik Klassenstufe: 10–13 Lernbereich: Stochastik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einleitung

Die Binomialverteilung zählt Treffer bei gleichartigen, unabhängigen Versuchen. Die Normalverteilung ist eine stetige Glockenkurve. Bei großem $n$ kann die Normalverteilung die Binomialverteilung oft gut annähern. Das nennt man Normal-Approximation.

Der Zusammenhang

Für $X\sim B(n;p)$ gilt:

$\mu =n\cdot p$

$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$

Die passende Normalverteilung hat denselben Erwartungswert und dieselbe Standardabweichung:

$X\approx N(\mu ;{\sigma }^2)$

Eine häufige Schulregel lautet:

$n\cdot p\cdot (1-p)\ge 9$

Dann ist die Näherung meist brauchbar. Die theoretische Grundlage ist der Satz von Moivre-Laplace.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Die Grafik zeigt: Mit wachsendem Stichprobenumfang nähert sich die Form einer Glockenkurve.

Diskret und stetig

Die Binomialverteilung ist diskret. Sie besitzt einzelne Balken. Die Normalverteilung ist stetig. Wahrscheinlichkeiten sind dort Flächen unter einer Kurve.

Darum nutzt man die Stetigkeitskorrektur. Für ein Intervall gilt näherungsweise:

$P(a\le X\le b)\approx P(a-\mathrm{0,5}\le Y\le b+\mathrm{0,5})$

Datei:Binomial Distribution.svg

Mini-Beispiel

Bei $n=100$ und $p=\mathrm{0,5}$ gilt:

$\mu =50$ und $\sigma =5$.

Für $P(45\le X\le 55)$ rechnet man mit der Normalverteilung von $\mathrm{44,5}$ bis $\mathrm{55,5}$. Das Ergebnis ist ungefähr $\mathrm{0,729}$.

Weitere Medien

Datei:De moivre-laplace.gif

Beobachte, wie sich die Binomialverteilung bei größerem $n$ verändert.

Datei:Planche de Galton.jpg

Ein Galtonbrett macht die Entstehung einer Glockenform sichtbar.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Die Fläche unter der Glockenkurve steht für Wahrscheinlichkeit.

Video

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Fortfahren Ausblenden

Aufgaben zum Video

1. Kernaussage: Formuliere nach dem Anschauen in zwei Sätzen, wie Binomialverteilung und Normalverteilung zusammenhängen.
2. Parameter: Notiere aus dem Video die Bedeutung von $n$, $p$, $\mu$ und $\sigma$.
3. Rechenweg: Halte das Video bei einem Beispiel an und schreibe den Rechenweg mit eigenen Worten auf.
4. Näherungsbedingung: Notiere, welche Bedingung im Video für die Näherung genannt wird, und vergleiche sie mit $np(1-p)\ge 9$.
5. Stetigkeitskorrektur: Prüfe, ob im Video Grenzen um $\mathrm{0,5}$ verschoben werden. Erkläre den Grund.
6. Transfer: Ändere im Beispiel aus dem Video den Wert von $n$ oder $p$. Vermute, ob die Näherung besser oder schlechter wird.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt eine Binomialverteilung? (Die Anzahl der Treffer in einer festen Zahl gleichartiger Versuche) (!Eine beliebige stetige Messgröße) (!Nur negative Zahlen) (!Eine Gerade im Koordinatensystem)

Welche Form hat die Dichte einer Normalverteilung? (Eine Glockenkurve) (!Eine Treppe) (!Ein Kreis) (!Eine Gerade)

Wie lautet der Erwartungswert einer Binomialverteilung? (n mal p) (!n plus p) (!n geteilt durch p) (!p minus n)

Wie berechnet man die Standardabweichung der Binomialverteilung? (Wurzel aus n mal p mal 1 minus p) (!n mal p) (!n plus p) (!Wurzel aus n plus p)

Welche Regel spricht für eine brauchbare Normal-Approximation? (n mal p mal 1 minus p ist mindestens 9) (!n ist kleiner als p) (!p ist größer als 1) (!n ist gleich 1)

Was übernehmen wir bei der Normal-Approximation? (Erwartungswert und Standardabweichung) (!Nur die Farbe der Grafik) (!Nur die Zahl der Balken) (!Nur den kleinsten Wert)

Warum verwendet man eine Stetigkeitskorrektur? (Weil eine diskrete Verteilung durch eine stetige Verteilung angenähert wird) (!Weil Wahrscheinlichkeiten größer als 1 sein sollen) (!Weil der Erwartungswert verschwinden soll) (!Weil keine Standardabweichung gebraucht wird)

Welche Grenzen nutzt man näherungsweise für 10 bis 20 Treffer? (Von 9,5 bis 20,5) (!Von 10,5 bis 19,5) (!Von 9 bis 21) (!Von 10 bis 20 ohne Änderung)

Was geschieht häufig bei wachsendem n? (Die Binomialverteilung ähnelt stärker einer Glockenkurve) (!Die Wahrscheinlichkeit p wird automatisch null) (!Alle Ergebnisse werden gleich wahrscheinlich) (!Die Standardabweichung wird immer null)

Wie groß ist die Standardabweichung bei n gleich 100 und p gleich 0,5? (5) (!10) (!25) (!50)

Memory

Binomialverteilung	Diskrete Trefferzahl
Normalverteilung	Stetige Glockenkurve
Erwartungswert	n mal p
Standardabweichung	Wurzel aus n mal p mal 1 minus p
Näherungsregel	Produkt mindestens neun
Stetigkeitskorrektur	Grenze um null Komma fünf verschieben

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Bernoulli-Kette	Ausgangsmodell mit gleichartigen unabhängigen Versuchen
Erwartungswert	Mittelpunkt bei n mal p
Standardabweichung	Maß für die Streuung
Normal-Approximation	Ersatz der Balken durch eine Glockenkurve
Stetigkeitskorrektur	Anpassung einer Grenze um null Komma fünf

Kreuzworträtsel

Trefferzahl	Was zählt eine binomialverteilte Zufallsvariable?
Glockenkurve	Welche typische Form besitzt die Normalverteilung?
Mittelwert	Welches Wort wird oft für den Erwartungswert verwendet?
Streuung	Was beschreibt die Standardabweichung?
Korrektur	Was ergänzt man beim Wechsel von diskret zu stetig?
Laplace	Welcher Mathematiker steht im Namen des Näherungssatzes?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Binomialverteilung beschreibt eine Trefferzahl.

Die Normalverteilung ist eine Verteilung.

Der Erwartungswert der Binomialverteilung lautet .

Die Standardabweichung enthält eine .

Eine häufige Näherungsregel fordert einen Wert von mindestens .

Beide Verteilungen erhalten bei der Näherung denselben .

Die Anpassung der Intervallgrenzen heißt .

Die Grenzen werden dabei um verschoben.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Binomialverteilung, Normalverteilung und Näherung.
2. Grafikbeschreibung: Beschreibe die Balken und die Glockenkurve in einer der Abbildungen.
3. Video-Notizen: Schreibe fünf wichtige Aussagen aus dem Video auf.
4. Galtonbrett: Erkläre in einfachen Worten, warum sich viele Kugeln in der Mitte sammeln.

Standard

1. Rechenbeispiel: Berechne für $n=80$ und $p=\mathrm{0,4}$ den Erwartungswert und die Standardabweichung.
2. Näherung prüfen: Prüfe für drei selbst gewählte Wertepaare, ob $np(1-p)\ge 9$ gilt.
3. Vergleich: Berechne eine Wahrscheinlichkeit einmal binomial und einmal mit der Normal-Approximation. Vergleiche die Ergebnisse.
4. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zur Stetigkeitskorrektur.

Schwer

1. Fehleranalyse: Untersuche, wie stark sich ein Ergebnis mit und ohne Stetigkeitskorrektur unterscheidet.
2. Parameterstudie: Verändere $n$ und $p$ systematisch und dokumentiere die Qualität der Näherung.
3. Standardisierung: Leite die Umformung $z=(x-\mu )/\sigma$ an einem Beispiel her und erkläre ihren Zweck.
4. Simulation: Programmiere oder erstelle mit einer Tabellenkalkulation eine Simulation, die Binomialverteilung und Normalverteilung gemeinsam zeigt.

Lernkontrolle

1. Modellwahl: Entscheide für ein neues Zufallsexperiment, ob eine Binomialverteilung passt und ob eine Normal-Approximation sinnvoll ist. Begründe beide Entscheidungen.
2. Grenzfall: Erkläre, warum die Näherung bei $n=100$ und $p=\mathrm{0,01}$ problematisch ist.
3. Kontinuität: Zeige an einem selbst gewählten Intervall, wie die Stetigkeitskorrektur aus Balken eine passende Fläche macht.
4. Vergleich der Verteilungen: Erkläre, warum gleicher Erwartungswert und gleiche Standardabweichung allein keine vollkommen gleiche Verteilung bedeuten.
5. Anwendung: Entwickle eine Alltagssituation mit mindestens 100 Versuchen und erkläre, wie die Normal-Approximation dort Rechenarbeit spart.
6. Beurteilung: Vergleiche zwei verschiedene Faustregeln für die Normal-Approximation und diskutiere, warum strengere Regeln oft genauere Ergebnisse liefern.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. den Unterschied zwischen diskret und stetig erklären,
2. $\mu$ und $\sigma$ korrekt berechnen,
3. die Näherungsbedingung prüfen,
4. eine Stetigkeitskorrektur richtig anwenden,
5. Wahrscheinlichkeiten standardisieren und mit der Normalverteilung bestimmen,
6. die Genauigkeit einer Näherung begründet beurteilen.

Links

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