Volumen von Rotationskörpern

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Volumen von Rotationskörpern

Fach: Mathematik Klasse: Klasse 11-13 Thema: Integralrechnung und Rotationskörper

Einleitung

Ein Rotationskörper entsteht, wenn eine Fläche um eine Gerade gedreht wird. Diese Gerade heißt Rotationsachse. Mit einem bestimmten Integral kannst Du das Volumen des Körpers berechnen.

Datei:Solid of revolution anim with arrows.gif

Lernziele

Du kannst erklären, wie ein Rotationskörper entsteht. Du kannst die Volumenformel anwenden, eine Skizze lesen und Ergebnisse prüfen.

Lernvideo

Das folgende Video zeigt die Grundidee und die Berechnung eines Rotationsvolumens.

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Grundidee

Beim Drehen des Graphen von $f$ um die x-Achse entstehen sehr dünne Kreisscheiben. Ihr Radius ist $f(x)$.

Datei:Disc integration.svg

Die Fläche einer Scheibe ist:

$A(x)=\pi \cdot (f(x){)}^2$

Alle dünnen Scheiben zusammen ergeben das Volumen:

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}(f(x){)}^2\mathrm{d}x$

Datei:Approx generating fx disk method.svg

Merke: Erst wird die Funktion quadriert. Danach wird integriert. Zum Schluss wird mit $\pi$ multipliziert.

Einfaches Beispiel

Die Funktion $f(x)=x$ wird im Intervall $[0;2]$ um die x-Achse gedreht.

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^2\mathrm{d}x$

$V=\pi {\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=\frac{8\pi }{3}\approx \mathrm{8,38}$

Das Ergebnis wird in Kubikeinheiten angegeben.

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Körper mit einem Loch

Liegt die Fläche zwischen einer äußeren Radiusfunktion $R(x)$ und einer inneren Radiusfunktion $r(x)$, entstehen Kreisringe.

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}(R(x{)}^2-r(x{)}^2)\mathrm{d}x$

Datei:Approx generating fxs washer method.svg

Rotation um die y-Achse

Du kannst die Funktion nach $x$ auflösen und mit Kreisscheiben arbeiten. Eine weitere Möglichkeit ist die Zylinderschalenmethode:

$V=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}x\cdot f(x)\mathrm{d}x$

Datei:Shell integration.svg

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Beispiele für Rotationskörper

Zylinder, Kegel, Kugel und Torus sind Rotationskörper.

Datei:Simple Torus.svg

Aufgaben zum Video

1. Videobeobachtung: Notiere, welche Fläche im Video gedreht wird und um welche Achse sie rotiert.
2. Formeldeutung: Erkläre die Bedeutung von $\pi$, $f(x{)}^2$, $a$, $b$ und $\mathrm{d}x$.
3. Scheibenmodell: Zeichne drei dünne Kreisscheiben, aus denen der Körper aufgebaut wird.
4. Rechenweg: Schreibe ein Beispiel aus dem Video vollständig und übersichtlich ab.
5. Erklärung: Begründe mit eigenen Worten, warum die Funktion vor dem Integrieren quadriert wird.
6. Transfer: Berechne das Volumen für $f(x)=2x$ im Intervall $[0;1]$.
7. Fehlerprüfung: Nenne zwei typische Fehler, die bei der Rechnung auftreten können.
8. Zusammenfassung: Fasse den Inhalt des Videos in höchstens fünf Sätzen zusammen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie entsteht ein Rotationskörper? (Durch das Drehen einer Fläche um eine Achse) (!Durch das Verschieben einer Geraden) (!Durch das Spiegeln eines Punktes) (!Durch das Addieren zweier Winkel)

Welche Formel gilt bei der Rotation von f um die x-Achse? (pi mal Integral von a bis b über f von x zum Quadrat) (!pi mal Integral von a bis b über f von x) (!zwei pi mal f von a) (!Integral von a bis b über x)

Warum wird die Funktion quadriert? (Weil die Querschnittsfläche eine Kreisfläche ist) (!Weil das Intervall verdoppelt wird) (!Weil pi quadriert werden muss) (!Weil jede Funktion positiv sein muss)

In welcher Einheit wird ein Volumen angegeben? (In Kubikeinheiten) (!In Längeneinheiten) (!In Quadratgraden) (!In Winkeleinheiten)

Welches Volumen entsteht bei f von x gleich x auf dem Intervall null bis zwei? (Acht pi durch drei) (!Vier pi) (!Zwei pi durch drei) (!Acht durch drei)

Was wird bei einem Körper mit Loch voneinander abgezogen? (Inneres Radiusquadrat vom äußeren Radiusquadrat) (!Äußere Grenze von der inneren Grenze) (!Funktion von der Ableitung) (!Volumen von der Oberfläche)

Was beschreibt f von x bei der Rotation um die x-Achse? (Den Radius der Kreisscheibe) (!Die Länge des Intervalls) (!Die Anzahl der Scheiben) (!Den Winkel der Drehung)

Was geben die Integralgrenzen a und b an? (Den betrachteten Abschnitt auf der Achse) (!Den größten und kleinsten Winkel) (!Die Anzahl der Rotationen) (!Die Einheit des Volumens)

Welcher Faktor steht bei der Zylinderschalenmethode vor dem Integral? (Zwei pi) (!Ein halb) (!Pi zum Quadrat) (!Drei pi)

Wie kannst Du ein Ergebnis sinnvoll prüfen? (Durch Vergleich mit Form und Größe des Körpers) (!Durch Weglassen der Einheit) (!Durch Vertauschen aller Rechenzeichen) (!Durch Abrunden vor dem Integrieren)

Memory

Rotationsachse	Gerade, um die gedreht wird
Radiusfunktion	Abstand zur Achse
Querschnitt	Kreisscheibe
Integrand	Pi mal Radiusquadrat
Integralgrenzen	Start und Ende des Abschnitts
Kreisring	Äußere minus innere Kreisfläche

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Radiusfunktion	Abstand des Graphen von der Rotationsachse
Kreisfläche	Pi mal Radius zum Quadrat
Volumenintegral	Summe vieler dünner Querschnitte
Hohlkörper	Rotationskörper mit innerem Radius
Zylinderschale	Dünne Hülle bei der Rotation um die y-Achse

Kreuzworträtsel

Rotationsachse	Wie heißt die Gerade, um die eine Fläche gedreht wird?
Integral	Welches Rechenwerkzeug addiert unendlich viele dünne Scheiben?
Radius	Welchen Abstand beschreibt die Funktion bei der Rotation um die x-Achse?
Kreisscheibe	Welche Form hat ein dünner Querschnitt ohne Loch?
Kreisring	Welche Form hat ein dünner Querschnitt mit Loch?
Kubikeinheit	In welcher Art von Einheit wird ein Volumen angegeben?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine ebene Fläche wird um eine gedreht. Bei der Rotation um die x-Achse beschreibt die Funktion den der Kreisscheibe. Die Kreisfläche enthält das Quadrat der . Das Volumen wird mit einem bestimmten berechnet. Bei einem Hohlkörper werden zwei Radiusquadrate . Das Ergebnis steht in .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Rotationsskizze: Zeichne eine einfache Funktion und skizziere den Körper, der bei der Drehung um die x-Achse entsteht.
2. Formelkarte: Gestalte eine kleine Lernkarte mit der Volumenformel und einer Erklärung aller Zeichen.
3. Körpersuche: Fotografiere oder zeichne vier Rotationskörper aus Deinem Alltag.
4. Videonotizen: Erstelle eine übersichtliche Seite mit den drei wichtigsten Aussagen des Lernvideos.

Standard

1. Kegelvergleich: Berechne das Volumen eines Kegels mit einem Integral und prüfe es mit der bekannten Kegelformel.
2. GeoGebra: Erstelle ein digitales Modell eines Rotationskörpers und verändere die Funktion.
3. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Rechnung, markiere den Fehler und verbessere den Rechenweg.
4. Funktionsvergleich: Vergleiche die Rotationsvolumina von $f(x)=x$ und $g(x)=x^2$ im Intervall $[0;1]$.

Schwer

1. Hohlkörper: Wähle zwei Funktionen und berechne das Volumen des Körpers zwischen ihnen.
2. Zylinderschalenmethode: Löse ein Beispiel zur Rotation um die y-Achse mit zwei verschiedenen Methoden.
3. Modellierung: Vermesse eine Vase, beschreibe ihren Rand durch eine passende Funktion und schätze ihr Innenvolumen.
4. Gabriels Horn: Recherchiere, wie ein Rotationskörper ein endliches Volumen und zugleich eine unendliche Oberfläche besitzen kann.

Lernkontrolle

1. Skalierung: Eine Radiusfunktion wird verdoppelt. Erkläre ohne vollständige Rechnung, wie sich das Volumen verändert.
2. Modellwahl: Entscheide bei einer gegebenen Skizze, ob die Scheibenmethode, die Kreisringmethode oder die Zylinderschalenmethode geeignet ist. Begründe Deine Wahl.
3. Fehlerdiagnose: In einer Lösung wurde $f(x)$ nicht quadriert. Erkläre geometrisch, warum das Ergebnis falsch sein muss.
4. Funktionsentwurf: Entwickle eine Funktion, deren Rotationskörper ungefähr die Form einer Flasche hat. Begründe Deine Wahl.
5. Plausibilitätsprüfung: Vergleiche zwei Rotationskörper und entscheide vor der Rechnung, welcher das größere Volumen besitzt. Prüfe anschließend Deine Vermutung.
6. Anwendung: Plane einen rotationssymmetrischen Behälter mit vorgegebenem Fassungsvermögen und beschreibe Deinen mathematischen Lösungsweg.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. eine passende Skizze mit Rotationsachse erstellen,
2. die richtige Volumenformel auswählen,
3. Funktion und Integralgrenzen korrekt einsetzen,
4. das bestimmte Integral richtig berechnen,
5. die Einheit als Kubikeinheit angeben,
6. das Ergebnis auf Plausibilität prüfen,
7. Deinen Rechenweg verständlich erklären.

Links

Volumen von Rotationskörpern Rotationskörper Integralrechnung Bestimmtes Integral Rotationsachse Scheibenmethode Kreisringmethode Zylinderschalenmethode Volumen Kegel Kugel Torus