Volumen und Oberfläche von Pyramide und Kegel
Volumen und Oberfläche von Pyramide und Kegel
Volumen und Oberfläche von Pyramide und Kegel
Einleitung
Eine Pyramide und ein Kegel sind Spitzkörper. Beide haben eine Grundfläche, eine Mantelfläche und eine Spitze. Das Volumen beschreibt den Rauminhalt. Die Oberfläche beschreibt die gesamte Außenfläche.
Du lernst die Formeln, rechnest einfache Beispiele und nutzt den Satz des Pythagoras.
Lernziele
Nach dem Kurs kannst Du Volumen und Oberfläche von Pyramiden und Kegeln berechnen, passende Einheiten nutzen und Ergebnisse erklären.
Pyramide
Eine Pyramide hat ein Vieleck als Grundfläche. Ihre Seitenflächen sind Dreiecke.
| Größe | Formel |
|---|---|
| Volumen | V = 1/3 · G · h |
| Oberfläche | O = G + M |
| Quadratische Grundfläche | G = a² |
| Mantel einer geraden quadratischen Pyramide | M = 2 · a · hs |
Dabei ist G die Grundfläche, M die Mantelfläche, h die senkrechte Körperhöhe und hs die Höhe eines Seitendreiecks.
Beispiel: a = 6 cm und h = 10 cm. Dann gilt G = 36 cm² und V = 1/3 · 36 · 10 = 120 cm³.
Kegel
Ein gerader Kegel hat einen Kreis als Grundfläche. Die schräge Strecke von der Spitze zum Kreisrand heißt Mantellinie m.
| Größe | Formel |
|---|---|
| Grundfläche | G = π · r² |
| Volumen | V = 1/3 · π · r² · h |
| Mantelfläche | M = π · r · m |
| Oberfläche | O = π · r² + π · r · m |
| Mantellinie | m = √(r² + h²) |
Beispiel: r = 3 cm, h = 4 cm und m = 5 cm. Dann gilt V = 12π cm³ ≈ 37,7 cm³ und O = 24π cm² ≈ 75,4 cm².
Warum steht in beiden Volumenformeln ein Drittel?
Eine Pyramide hat ein Drittel des Volumens eines passenden Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe. Ein Kegel hat ein Drittel des Volumens eines passenden Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe.
Einheiten
Für Oberflächen nutzt Du Quadrateinheiten wie cm². Für Volumen nutzt Du Kubikeinheiten wie cm³. Rechne alle Längen vor dem Einsetzen in dieselbe Einheit um.
Video: Planet Schule
Film, Erklärungen und Übungen bei Planet Schule
Aufgaben zum Video
- Vorwissen: Nenne vor dem Start zwei Gegenstände mit Pyramidenform und zwei Gegenstände mit Kegelform.
- Formeln: Notiere beim Schauen die vier Formeln für Volumen und Oberfläche.
- Pyramide: Pausiere beim ersten Beispiel. Markiere Grundfläche, Körperhöhe und Seitenhöhe in einer Skizze.
- Kegel: Zeichne das rechtwinklige Dreieck aus Radius, Höhe und Mantellinie.
- Skalierung: Erkläre nach dem Video, warum sich das Kegelvolumen vervierfacht, wenn nur der Radius verdoppelt wird.
- Filtertüte: Rechne das Beispiel r = 5 cm und m = 12 cm nach. Bestimme zuerst h und dann die Mantelfläche.
- Rückblick: Schreibe einen Satz zum Unterschied zwischen Volumen und Oberfläche.
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Wie lautet die Volumenformel einer Pyramide? (V = ein Drittel mal G mal h) (!V = G plus h) (!V = G mal h) (!V = zwei mal G mal h)
Wie berechnet man die Oberfläche einer Pyramide? (O = G plus M) (!O = G mal M) (!O = G minus M) (!O = ein Drittel mal G mal M)
Welche Form hat die Grundfläche eines Kegels? (Einen Kreis) (!Ein Dreieck) (!Ein Rechteck) (!Ein Trapez)
Wie lautet die Mantelfläche eines Kegels? (M = Pi mal r mal m) (!M = Pi mal r mal h) (!M = zwei mal Pi mal r) (!M = r mal h)
Wie berechnet man die Mantellinie eines geraden Kegels? (m ist die Wurzel aus r Quadrat plus h Quadrat) (!m ist r plus h) (!m ist r mal h) (!m ist die Wurzel aus r plus h)
Welche Einheit passt zu einem Volumen? (Kubikzentimeter) (!Zentimeter) (!Quadratzentimeter) (!Grad)
Welche Einheit passt zu einer Oberfläche? (Quadratmeter) (!Meter) (!Kubikmeter) (!Liter pro Meter)
Was geschieht mit dem Kegelvolumen, wenn der Radius verdoppelt und die Höhe nicht verändert wird? (Es vervierfacht sich) (!Es verdoppelt sich) (!Es verdreifacht sich) (!Es bleibt gleich)
Wie groß ist die Grundfläche einer quadratischen Pyramide mit Grundkante a? (G = a Quadrat) (!G = vier mal a) (!G = zwei mal a) (!G = a hoch drei)
Wie groß ist das Volumen eines Spitzkörpers im Vergleich zum passenden Prisma oder Zylinder? (Ein Drittel) (!Die Hälfte) (!Das Doppelte) (!Das Dreifache)
Memory
| Pyramide | Vieleck als Grundfläche |
| Kegel | Kreis als Grundfläche |
| Volumen | Rauminhalt |
| Oberfläche | gesamte Außenhaut |
| Grundfläche | Formelzeichen G |
| Mantelfläche | Formelzeichen M |
| Körperhöhe | senkrechter Abstand |
| Mantellinie | schräge Strecke am Kegel |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Bedeutung |
|---|---|
| Volumen der Pyramide | Ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe |
| Oberfläche der Pyramide | Grundfläche plus Mantelfläche |
| Volumen des Kegels | Ein Drittel mal Pi mal Radiusquadrat mal Höhe |
| Mantelfläche des Kegels | Pi mal Radius mal Mantellinie |
| Mantellinie des Kegels | Wurzel aus Radiusquadrat plus Höhenquadrat |
Kreuzworträtsel
| Pyramide | Welcher Körper hat eine vieleckige Grundfläche und dreieckige Seitenflächen? |
| Kegel | Welcher Körper hat eine kreisförmige Grundfläche und eine Spitze? |
| Volumen | Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers? |
| Oberfläche | Wie heißt die gesamte äußere Fläche eines Körpers? |
| Mantellinie | Wie heißt die schräge Strecke von der Kegelspitze zum Kreisrand? |
| Grundfläche | Welche Fläche liegt einem Spitzkörper unten zugrunde? |
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Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Formelkarte: Gestalte eine Karte mit allen Formeln und einer kleinen Skizze.
- Körperjagd: Finde vier Gegenstände aus dem Alltag und ordne sie Pyramide oder Kegel zu.
- Netzmodell: Zeichne ein Netz einer quadratischen Pyramide, schneide es aus und falte es.
- Video-Notizen: Sammle fünf wichtige Wörter und zwei Beispielrechnungen aus dem Video.
Standard
- Pyramidenmodell: Wähle eigene Maße und berechne Volumen und Oberfläche einer quadratischen Pyramide.
- Kegelbecher: Miss Radius, Höhe und Mantellinie eines kegelförmigen Gegenstands und prüfe die Formeln.
- Erklärplakat: Erkläre mit Bildern den Unterschied zwischen Oberfläche und Volumen.
- Fehlerdetektiv: Erfinde eine falsche Rechnung, markiere den Fehler und schreibe die richtige Lösung daneben.
Schwer
- Skalierung: Untersuche, wie sich Volumen und Oberfläche ändern, wenn alle Längen verdoppelt werden.
- Optimierung: Wähle für zwei Kegel verschiedene Radien und dasselbe Volumen. Berechne die Höhen und vergleiche die Oberflächen.
- Experiment: Zeige mit Sand oder Wasser, warum ein Kegel ein Drittel des passenden Zylindervolumens hat.
- Lernvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit Skizze, Formel, Beispiel und Einheiten.
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Lernkontrolle
- Turmdach: Ein Dach hat die Form einer quadratischen Pyramide. Erkläre, welche Maße für das Raumvolumen und welche zusätzlichen Maße für die Dachfläche gebraucht werden.
- Verpackungsvergleich: Entwirf eine pyramidenförmige und eine kegelförmige Verpackung mit demselben Volumen. Berechne und vergleiche den Materialbedarf.
- Formelumstellung: Stelle die Volumenformel einer Pyramide nach h und die Volumenformel eines Kegels nach r um. Erkläre jeden Schritt.
- Maßstabsänderung: Ein Modell wird im Maßstab 3 zu 1 vergrößert. Leite die Faktoren für Oberfläche und Volumen her.
- Plausibilitätsprüfung: Eine Person erhält für eine Oberfläche cm³. Erkläre den Fehler und verbessere die Einheit.
- Modellwahl: Entscheide bei einer Eistüte, einem Zeltdach und einem Sandhaufen, welches geometrische Modell sinnvoll ist und wo das Modell Grenzen hat.
Lernnachweis
Für einen Lernnachweis solltest Du:
- die Teile von Pyramide und Kegel benennen,
- Volumen und Oberfläche sicher unterscheiden,
- die passenden Formeln auswählen und umstellen,
- den Satz des Pythagoras für Seitenhöhe oder Mantellinie nutzen,
- Einheiten richtig umrechnen und angeben,
- Rechenwege erklären und Ergebnisse prüfen.
OERs zum Thema
Freie Übungen von Planet Schule
Lernbereiche
- Mathematik: Körper, Flächen, Formeln und Einheiten
- Geometrie: Pyramide, Kegel, Netze und räumliches Denken
- Algebra: Formeln einsetzen und umstellen
- Anwendungsaufgaben: Modelle aus Alltag, Technik und Architektur
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