Vierfeldertafel - Bedingte Wahrscheinlichkeit

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Eine Vierfeldertafel ordnet Daten zu zwei Ereignissen. Jedes Ereignis hat zwei Möglichkeiten: Es tritt ein oder es tritt nicht ein. So entstehen vier innere Felder.

Mit der Vierfeldertafel kannst Du absolute Häufigkeiten, relative Häufigkeiten und bedingte Wahrscheinlichkeiten übersichtlich darstellen.

Datei:Bw 02.gif

Aufbau einer Vierfeldertafel

Für zwei Ereignisse A und B sieht die Grundform so aus:

	B	nicht B	Summe
A	A und B	A und nicht B	A
nicht A	nicht A und B	nicht A und nicht B	nicht A
Summe	B	nicht B	Gesamt

Die vier inneren Felder zeigen die gemeinsamen Fälle. Die Werte am Rand heißen Randhäufigkeiten.

Beispiel

100 Jugendliche werden befragt.

A bedeutet: Die Person treibt Vereinssport.
B bedeutet: Die Person fährt mit dem Fahrrad zur Schule.

	Fahrrad	kein Fahrrad	Summe
Vereinssport	18	22	40
kein Vereinssport	12	48	60
Summe	30	70	100

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für Vereinssport unter der Bedingung Fahrrad:

$P(A\mid B)=\frac{18}{30}=\mathrm{0,6}=60\mathrm{\%}$

Die Grundmenge besteht jetzt nur aus den 30 Jugendlichen, die mit dem Fahrrad fahren. Von ihnen treiben 18 Vereinssport.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die Schreibweise $P(A\mid B)$ bedeutet: Wie wahrscheinlich ist A, wenn B bereits bekannt ist?

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Im Zähler steht die Schnittmenge von A und B. Im Nenner steht die Bedingung B.

Merksatz: Erst auf die Bedingung einschränken, dann den passenden Anteil berechnen.

Eine Vierfeldertafel und ein Baumdiagramm können dieselben Daten auf verschiedene Weise darstellen.

Richtung beachten

$P(A\mid B)$ und $P(B\mid A)$ sind meistens verschieden.

Im Beispiel gilt:

$P(A\mid B)=\frac{18}{30}=60\mathrm{\%}$

$P(B\mid A)=\frac{18}{40}=45\mathrm{\%}$

Die Bedingung bestimmt also den Nenner.

Unabhängigkeit

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn die Bedingung die Wahrscheinlichkeit nicht verändert:

$P(A\mid B)=P(A)$

Ist das nicht der Fall, sind die Ereignisse abhängig. Ein statistischer Zusammenhang beweist aber noch keine Ursache.

Datei:Contingency table of test accuracy metrics.png

Vierfeldertafeln werden auch bei medizinischen Tests, Umfragen und Klassifikationen genutzt.

Video

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Fortfahren Ausblenden

Aufgaben zum Video

1. Vorwissen aktivieren: Erkläre vor dem Anschauen in einem Satz, was Du unter einer Bedingung verstehst.
2. Ereignisse erkennen: Notiere beim Anschauen die beiden Ereignisse aus der Beispielaufgabe.
3. Angaben sammeln: Schreibe alle gegebenen Werte auf und markiere, ob es Anzahlen oder Wahrscheinlichkeiten sind.
4. Vierfeldertafel ergänzen: Pausiere das Video und versuche, fehlende Felder selbst zu berechnen.
5. Rechenweg erklären: Notiere Zähler und Nenner der bedingten Wahrscheinlichkeit aus dem Video.
6. Bedingung deuten: Erkläre, warum im Nenner nur die Fälle der Bedingung stehen.
7. Lösung vergleichen: Vergleiche Deinen Rechenweg mit dem Lösungsweg im Video.
8. Fehler finden: Beschreibe einen möglichen Fehler, der beim Vertauschen der Bedingung entstehen kann.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wozu dient eine Vierfeldertafel? (Sie ordnet Daten zu zwei Ereignissen mit je zwei Möglichkeiten) (!Sie zeichnet den Graphen einer Funktion) (!Sie berechnet den Umfang eines Kreises) (!Sie sortiert nur ganze Zahlen)

Was steht in den vier inneren Feldern? (Die gemeinsamen Fälle der beiden Ereignisse) (!Nur die Gesamtsumme) (!Nur die Überschriften) (!Die Ergebnisse einer Gleichung)

Was bedeutet der Strich in P A unter B? (unter der Bedingung) (!ist gleich) (!ist größer als) (!ist das Gegenteil von)

Was steht im Nenner von P A unter B? (Die Wahrscheinlichkeit der Bedingung B) (!Die Wahrscheinlichkeit von A) (!Die Gesamtzahl aller Tabellen) (!Die Wahrscheinlichkeit von nicht A)

Was beschreibt A geschnitten B? (A und B treten gemeinsam ein) (!Nur A tritt ein) (!Nur B tritt ein) (!Weder A noch B wird betrachtet)

Wie heißen die Summen am Rand der Tabelle? (Randhäufigkeiten) (!Pfadregeln) (!Achsenabschnitte) (!Mittelwerte)

Welche Aussage ist richtig? (P A unter B und P B unter A können verschieden sein) (!P A unter B ist immer gleich P B unter A) (!Jede bedingte Wahrscheinlichkeit ist größer als eins) (!Die Bedingung spielt keine Rolle)

Wann sind A und B unabhängig? (Wenn P A unter B gleich P A ist) (!Wenn A und B immer gleichzeitig eintreten) (!Wenn die Gesamtsumme null ist) (!Wenn alle vier Felder gleich groß sind)

Welche Gesamtsumme haben relative Häufigkeiten? (1 oder 100 Prozent) (!2 oder 200 Prozent) (!10 oder 1000 Prozent) (!0 in jeder Tabelle)

18 von 30 Personen erfüllen A. Wie groß ist der Anteil? (60 Prozent) (!30 Prozent) (!18 Prozent) (!90 Prozent)

Memory

Vierfeldertafel	zwei Ereignisse mit je zwei Möglichkeiten
Schnittmenge	beide Ereignisse treten ein
Randhäufigkeit	Summe einer Zeile oder Spalte
Bedingung	eingeschränkte Grundmenge
Gegenereignis	Ereignis tritt nicht ein
Unabhängigkeit	Bedingung verändert die Wahrscheinlichkeit nicht

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
gemeinsame Häufigkeit	Zähler
Häufigkeit der Bedingung	Nenner
Summe einer Tabellenzeile	Randhäufigkeit
Ereignis tritt nicht ein	Gegenereignis
Wahrscheinlichkeit bleibt gleich	Unabhängigkeit

Kreuzworträtsel

Vierfeldertafel	Welche Tabelle besitzt vier innere Felder?
Schnittmenge	Wie heißt der gemeinsame Teil von A und B?
Randhäufigkeit	Wie heißt die Summe einer Zeile oder Spalte?
Bedingung	Worauf wird die Grundmenge bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit eingeschränkt?
Gegenereignis	Wie heißt das Ereignis, dass ein Ereignis nicht eintritt?
Unabhängigkeit	Wie heißt es, wenn eine Bedingung die Wahrscheinlichkeit nicht verändert?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Vierfeldertafel untersucht zwei . Jedes Ereignis besitzt zwei mögliche . Die vier inneren Felder zeigen gemeinsame . Die Summen am Rand heißen . Bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit wird die Grundmenge durch die eingeschränkt. Im Zähler steht die . Im Nenner steht die Wahrscheinlichkeit der . Sind zwei Ereignisse unabhängig, verändert die Bedingung die Wahrscheinlichkeit .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Vierfeldertafel zeichnen: Zeichne eine leere Vierfeldertafel und beschrifte sie mit A, nicht A, B und nicht B.
2. Alltagsbeispiel: Finde zwei Ja-Nein-Merkmale aus Deinem Alltag, die sich in einer Vierfeldertafel darstellen lassen.
3. Begriffe erklären: Erkläre die Wörter Schnittmenge, Bedingung und Randhäufigkeit in einfacher Sprache.
4. Video-Zusammenfassung: Fasse das Lernvideo in drei kurzen Sätzen zusammen.

Standard

1. Klassenumfrage: Befrage mindestens 20 Personen zu zwei Ja-Nein-Fragen und erstelle eine Vierfeldertafel.
2. Wahrscheinlichkeit berechnen: Berechne aus Deiner Umfrage zwei bedingte Wahrscheinlichkeiten.
3. Richtung vergleichen: Vergleiche P A unter B mit P B unter A und erkläre den Unterschied.
4. Erklärbild: Gestalte ein Lernplakat, das Zähler, Nenner und Bedingung sichtbar macht.

Schwer

1. Datensatz untersuchen: Erfinde einen Datensatz mit 200 Fällen und prüfe, ob zwei Ereignisse unabhängig wirken.
2. Fehleranalyse: Erstelle eine falsche Lösung zur bedingten Wahrscheinlichkeit und erkläre anschließend den Fehler.
3. Medientest bewerten: Untersuche eine Meldung mit Prozentangaben und prüfe, ob Grundmenge und Bedingung klar genannt werden.
4. Lernvideo erstellen: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit eigener Vierfeldertafel, Rechnung und Deutung.

Lernkontrolle

1. Transfer auf eine Umfrage: Eine Schule befragt Jugendliche zu Schulweg und Sport. Entwickle passende Ereignisse und erkläre, wie die Daten in einer Vierfeldertafel geordnet werden.
2. Grundmenge begründen: Erkläre an einem eigenen Beispiel, warum sich der Nenner bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit ändert.
3. Aussagen vergleichen: Begründe, warum die Aussagen „Von den Fahrradfahrenden treiben 60 Prozent Sport“ und „Von den Sporttreibenden fahren 60 Prozent Fahrrad“ nicht dasselbe bedeuten.
4. Unabhängigkeit prüfen: Beschreibe einen Rechenweg, mit dem Du aus einer Vierfeldertafel prüfst, ob zwei Ereignisse unabhängig sind.
5. Statistik kritisch lesen: Formuliere drei Fragen, mit denen Du eine Prozentangabe in Nachrichten auf ihre Bedingung und Grundmenge prüfen kannst.

Lernnachweis

1. eine Vierfeldertafel richtig beschriften und ergänzen,
2. absolute und relative Häufigkeiten unterscheiden,
3. Randhäufigkeiten und Schnittmengen erkennen,
4. bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen und deuten,
5. die Richtung der Bedingung beachten,
6. einfache Aussagen zur Unabhängigkeit begründen,
7. Deinen Rechenweg verständlich erklären.

Links

Vierfeldertafel - Bedingte Wahrscheinlichkeit Vierfeldertafel Bedingte Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit Ereignis Schnittmenge Randhäufigkeit Relative Häufigkeit Baumdiagramm Stochastische Unabhängigkeit