Umfang von Rechteck, Quadrat und Vielecken - aiMOOC

Einleitung

Der Umfang einer Figur ist die Länge ihrer äußeren Begrenzung. Wenn Du einmal um einen Sportplatz, ein Beet, ein Bild oder ein Zimmer herumgehst, bewegst Du Dich entlang des Umfangs. In der Geometrie beschreibt der Umfang also nicht, wie groß die Fläche innen ist, sondern wie lang der Rand außen ist.

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du den Umfang von Rechtecken, Quadraten und Vielecken berechnest. Du übst mit Formeln, Einheiten, Textaufgaben und eigenen Beispielen. Die Aufgaben passen besonders gut zur Mathematik in Klasse 5-6.

{{#ev:youtube| https://www.youtube.com/watch?v=PyvIJn7575w |500|center}}

Grundidee: Was bedeutet Umfang?

Der Umfang ist die Summe aller Seitenlängen einer geschlossenen ebenen Figur. Eine Figur ist geschlossen, wenn ihr Rand ohne Lücke einmal herumläuft. Bei einem Vieleck besteht dieser Rand aus geraden Strecken. Jede Strecke ist eine Seite des Vielecks.

Wenn ein Vieleck die Seitenlängen $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ hat, dann gilt allgemein:

$U = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$

Dabei steht $U$ für den Umfang. Das Rechenzeichen $+$ zeigt: Du addierst alle Seitenlängen.

Umfang und Flächeninhalt unterscheiden

Der Umfang und der Flächeninhalt werden oft verwechselt. Sie beschreiben aber verschiedene Eigenschaften einer Figur. Der Umfang misst den Rand. Der Flächeninhalt misst die Fläche im Inneren.

Beispiel: Ein rechteckiger Garten soll eingezäunt werden. Für den Zaun brauchst Du den Umfang. Wenn der Garten mit Rollrasen bedeckt werden soll, brauchst Du den Flächeninhalt.

Umfang: Länge des Randes, zum Beispiel in $c m$ , $m$ oder $k m$ .
Flächeninhalt: Größe der Fläche im Inneren, zum Beispiel in $c m^{2}$ , $m^{2}$ oder $k m^{2}$ .
Einheit: Beim Umfang stehen normale Längeneinheiten, beim Flächeninhalt stehen Quadrateinheiten.

Umfang eines Rechtecks

Ein Rechteck hat vier Seiten und vier rechte Winkel. Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang. Meist nennt man die längere Seite $a$ und die kürzere Seite $b$ . Da jede dieser Seiten zweimal vorkommt, kannst Du den Umfang so berechnen:

$U = a + b + a + b$

Zusammengefasst ergibt das:

$U = 2 a + 2 b$

Oder noch kürzer:

$U = 2 \cdot (a + b)$

Beispiel: Rechteck

Ein Rechteck ist $8 c m$ lang und $5 c m$ breit.

$U = 2 \cdot (a + b)$

$U = 2 \cdot (8 c m + 5 c m)$

$U = 2 \cdot 13 c m$

$U = 26 c m$

Der Umfang des Rechtecks beträgt also $26 c m$ .

Typische Fehler beim Rechteck

Ein häufiger Fehler ist, nur $a + b$ zu rechnen. Dann hast Du aber nur zwei Seiten addiert. Ein Rechteck hat vier Seiten. Deshalb müssen Länge und Breite jeweils zweimal vorkommen.

Ein weiterer Fehler ist das Vermischen von Einheiten. Wenn eine Seite in Zentimetern und eine andere in Metern angegeben ist, musst Du zuerst umrechnen.

Beispiel:

$1 m = 100 c m$

Wenn ein Rechteck $1 m$ lang und $40 c m$ breit ist, rechnest Du zuerst:

$1 m = 100 c m$

Dann:

$U = 2 \cdot (100 c m + 40 c m) = 280 c m$

Umfang eines Quadrats

Ein Quadrat ist ein besonderes Rechteck. Es hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Deshalb brauchst Du für den Umfang nur eine Seitenlänge. Wenn die Seitenlänge $a$ heißt, gilt:

$U = a + a + a + a$

Zusammengefasst:

$U = 4 \cdot a$

Beispiel: Quadrat

Ein Quadrat hat die Seitenlänge $6 c m$ .

$U = 4 \cdot a$

$U = 4 \cdot 6 c m$

$U = 24 c m$

Der Umfang des Quadrats beträgt also $24 c m$ .

Warum ist das Quadrat ein Sonderfall?

Jedes Quadrat ist ein Rechteck, weil es vier rechte Winkel hat. Es ist aber ein besonderes Rechteck, weil alle vier Seiten gleich lang sind. Deshalb kann man die Rechteckformel auch auf das Quadrat anwenden:

$U = 2 \cdot (a + a)$

$U = 2 \cdot 2 a$

$U = 4 a$

Die Formel für das Quadrat ist also eine verkürzte Form der Rechteckformel.

Umfang von Vielecken

Ein Vieleck ist eine geschlossene Figur aus geraden Seiten. Zu den Vielecken gehören zum Beispiel Dreiecke, Vierecke, Fünfecke, Sechsecke und viele weitere Figuren.

Für jedes Vieleck gilt:

$U = Summe aller Seitenlängen$

Bei einem unregelmäßigen Vieleck können die Seiten unterschiedlich lang sein. Dann musst Du jede einzelne Seite beachten.

Beispiel: Unregelmäßiges Vieleck

Ein Vieleck hat die Seitenlängen $3 c m$ , $4 c m$ , $5 c m$ , $2 c m$ und $6 c m$ .

$U = 3 c m + 4 c m + 5 c m + 2 c m + 6 c m$

$U = 20 c m$

Der Umfang beträgt $20 c m$ .

Regelmäßige Vielecke

Ein regelmäßiges Vieleck hat gleich lange Seiten und gleich große Winkel. Wenn alle Seiten gleich lang sind, kannst Du die Anzahl der Seiten mit der Seitenlänge multiplizieren.

Für ein regelmäßiges Vieleck mit $n$ Seiten und der Seitenlänge $a$ gilt:

$U = n \cdot a$

Beispiele:

Gleichseitiges Dreieck: $U = 3 \cdot a$
Quadrat: $U = 4 \cdot a$
Regelmäßiges Fünfeck: $U = 5 \cdot a$
Regelmäßiges Sechseck: $U = 6 \cdot a$

Beispiel: Regelmäßiges Sechseck

Ein regelmäßiges Sechseck hat sechs gleich lange Seiten. Jede Seite ist $7 c m$ lang.

$U = n \cdot a$

$U = 6 \cdot 7 c m$

$U = 42 c m$

Der Umfang des regelmäßigen Sechsecks beträgt $42 c m$ .

Rechenstrategien

Beim Berechnen des Umfangs hilft eine feste Reihenfolge. So vermeidest Du Fehler.

Skizze: Zeichne die Figur oder betrachte die gegebene Zeichnung genau.
Beschriftung: Schreibe alle bekannten Seitenlängen an die passende Seite.
Einheit: Prüfe, ob alle Seiten in derselben Einheit angegeben sind.
Formel: Wähle die passende Formel oder addiere alle Seiten.
Rechnung: Rechne sauber und schreibe Zwischenschritte auf.
Antwortsatz: Gib das Ergebnis mit Einheit an.

Einheiten richtig verwenden

Beim Umfang verwendest Du Längeneinheiten. Typische Einheiten sind $m m$ , $c m$ , $d m$ , $m$ und $k m$ .

Wichtige Umrechnungen:

Millimeter und Zentimeter: $10 m m = 1 c m$
Zentimeter und Meter: $100 c m = 1 m$
Meter und Kilometer: $1000 m = 1 k m$

Wenn Seitenlängen unterschiedliche Einheiten haben, rechne zuerst alle Längen in dieselbe Einheit um. Erst danach berechnest Du den Umfang.

Anwendungen im Alltag

Umfangsberechnungen kommen im Alltag häufig vor. Du brauchst sie, wenn Du wissen möchtest, wie lang etwas am Rand ist.

Zaun: Wie viel Zaun braucht man um ein rechteckiges Grundstück?
Bilderrahmen: Wie lang muss die Leiste für einen Rahmen sein?
Sportplatz: Wie lang ist eine Runde um ein Spielfeld?
Band: Wie viel Geschenkband passt um eine Schachtel?
Garten: Wie lang ist die Kante eines Beets?
Basteln: Wie viel Randmaterial braucht ein Plakat?

Vertiefung: Vom Messen zur Formel

Eine Formel ist eine kurze mathematische Schreibweise für eine allgemeine Regel. Statt jedes Mal alle Seiten einzeln aufzuschreiben, kann eine Formel die Rechnung abkürzen.

Beim Rechteck ist der Rand aus zwei Längen und zwei Breiten aufgebaut. Deshalb gilt:

$U = 2 a + 2 b$

Beim Quadrat sind alle vier Seiten gleich lang. Deshalb gilt:

$U = 4 a$

Beim regelmäßigen Vieleck sind alle Seiten gleich lang. Deshalb gilt:

$U = n \cdot a$

Diese Formeln helfen Dir, schneller und übersichtlicher zu rechnen. Trotzdem solltest Du immer verstehen, was die Formel bedeutet: Sie beschreibt die Summe der Seitenlängen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Umfang einer ebenen Figur? (Die Länge des Randes) (!Die Größe der Innenfläche) (!Die Anzahl der rechten Winkel) (!Die Farbe der Figur)

Welche Formel passt zum Umfang eines Rechtecks mit den Seiten a und b? (U gleich 2 mal Klammer a plus b) (!U gleich a mal b) (!U gleich a plus b) (!U gleich 4 mal b)

Welche Formel passt zum Umfang eines Quadrats mit der Seitenlänge a? (U gleich 4 mal a) (!U gleich a mal a) (!U gleich 2 mal a) (!U gleich a plus 4)

Ein Rechteck ist 7 cm lang und 3 cm breit. Wie groß ist sein Umfang? (20 cm) (!10 cm) (!21 cm) (!14 cm)

Ein Quadrat hat die Seitenlänge 9 cm. Wie groß ist sein Umfang? (36 cm) (!18 cm) (!27 cm) (!81 cm)

Was musst Du bei einem unregelmäßigen Vieleck tun, um den Umfang zu berechnen? (Alle Seitenlängen addieren) (!Nur die längste Seite verdoppeln) (!Die Seitenlängen multiplizieren) (!Nur die Anzahl der Ecken zählen)

Ein regelmäßiges Sechseck hat Seiten von 5 cm. Wie groß ist der Umfang? (30 cm) (!11 cm) (!25 cm) (!36 cm)

Welche Einheit passt zu einem Umfang? (Meter) (!Quadratmeter) (!Liter) (!Gramm)

Warum ist das Quadrat ein besonderer Fall des Rechtecks? (Es hat vier rechte Winkel und vier gleich lange Seiten) (!Es hat drei Seiten) (!Es hat keine Ecken) (!Es hat immer unterschiedliche Seitenlängen)

Was ist vor der Umfangsberechnung wichtig, wenn Seiten in cm und m angegeben sind? (Die Einheiten vereinheitlichen) (!Die Einheiten weglassen) (!Nur die Meterwerte verwenden) (!Die Seitenlängen durch vier teilen)

Memory

Umfang	Länge des Randes
Rechteck	Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang
Quadrat	Vier gleich lange Seiten
Vieleck	Geschlossene Figur aus geraden Seiten
Regelmäßiges Vieleck	Alle Seiten sind gleich lang
Einheit	Zentimeter oder Meter

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Rechteckumfang	Zwei Längen und zwei Breiten addieren
Quadratumfang	Vier gleiche Seiten addieren
Vieleckumfang	Alle Seitenlängen addieren
Regelmäßiges Vieleck	Seitenanzahl mal Seitenlänge rechnen
Einheitenkontrolle	Vor dem Rechnen gleiche Einheiten herstellen
Antwortsatz	Ergebnis mit passender Längeneinheit angeben

Kreuzworträtsel

Umfang	Wie nennt man die Länge des Randes einer Figur?
Rechteck	Welche Figur hat vier rechte Winkel und paarweise gleich lange Gegenseiten?
Quadrat	Welche Figur hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel?
Vieleck	Wie heißt eine geschlossene Figur aus geraden Seiten?
Formel	Wie nennt man eine kurze mathematische Schreibweise für eine Regel?
Meter	Welche Längeneinheit wird oft für größere Strecken im Alltag verwendet?

LearningApps

Lückentext

Der

einer Figur beschreibt die Länge ihres Randes. Beim

sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Deshalb kann man den Umfang mit der Formel

berechnen. Beim

sind alle vier Seiten gleich lang. Für ein Quadrat gilt deshalb die Formel

. Bei einem unregelmäßigen

addierst Du alle Seitenlängen einzeln. Ein regelmäßiges Vieleck hat gleich lange

. Wenn ein regelmäßiges Vieleck n Seiten mit der Seitenlänge a hat, gilt

. Beim Umfang verwendest Du Längeneinheiten wie Zentimeter oder

. Bevor Du rechnest, müssen alle Seitenlängen in derselben

angegeben sein.

Offene Aufgaben

Leicht

Umfang messen: Miss den Umfang Deines Mathematikhefts mit einem Lineal. Notiere die Länge, die Breite, die Rechnung und einen Antwortsatz.
Rechteck im Klassenraum: Suche im Klassenraum drei rechteckige Gegenstände. Bestimme jeweils den Umfang und vergleiche die Ergebnisse.
Quadrat zeichnen: Zeichne drei Quadrate mit unterschiedlichen Seitenlängen. Berechne zu jedem Quadrat den Umfang.
Einheiten üben: Erstelle fünf eigene Aufgaben, bei denen Längen von Zentimeter in Meter oder von Meter in Zentimeter umgerechnet werden müssen.

Standard

Vieleck untersuchen: Zeichne ein unregelmäßiges Vieleck mit mindestens fünf Seiten. Miss alle Seiten und berechne den Umfang.
Textaufgabe entwickeln: Schreibe eine eigene Sachaufgabe zum Zaun um ein rechteckiges Grundstück. Löse die Aufgabe mit Formel und Antwortsatz.
Formeln erklären: Erkläre in eigenen Worten, warum beim Rechteck die Formel $U = 2 \cdot (a + b)$ gilt.
Fehler finden: Erfinde eine falsche Schülerlösung zur Umfangsberechnung und erkläre anschließend, wo der Fehler liegt und wie man richtig rechnet.

Schwer

Zusammengesetzte Figur: Zeichne eine Figur aus mehreren Rechtecken. Bestimme den äußeren Umfang und erkläre, warum innere Linien nicht mitgezählt werden.
Vergleichsaufgabe: Finde zwei verschiedene Rechtecke mit demselben Umfang. Zeichne sie und vergleiche ihre Flächeninhalte.
Alltagsprojekt: Plane einen kleinen rechteckigen Schulgarten. Berechne, wie viel Zaunmaterial benötigt wird, wenn ein Eingang ohne Zaun frei bleibt.
Regelmäßiges Vieleck: Erstelle eine Tabelle für regelmäßige Vielecke vom Dreieck bis zum Achteck mit derselben Seitenlänge. Vergleiche die Umfänge und beschreibe das Muster.

type=create break=no preload=CHAT GPT TEXT HIER EINFÜGEN default= width=30 placeholder= Dein MOOC Titel buttonlabel=MOOC erstellen </inputbox>

Lernkontrolle

Zusammenhang erklären: Erkläre an einem Beispiel, warum Umfang und Flächeninhalt unterschiedliche Größen sind.
Strategie anwenden: Du bekommst eine zusammengesetzte Figur aus Rechtecken. Beschreibe eine Strategie, wie Du den äußeren Umfang bestimmst, ohne innere Kanten mitzuzählen.
Formel begründen: Begründe, warum die Formel $U = 4 a$ für ein Quadrat gilt und warum sie nicht für jedes Rechteck geeignet ist.
Sachproblem lösen: Ein rechteckiger Schulhof soll an drei Seiten mit einer Absperrung versehen werden. Erkläre, welche Angaben Du brauchst und wie Du vorgehen würdest.
Fehleranalyse: Eine Person berechnet den Umfang eines Rechtecks mit $a \cdot b$ . Erkläre den Denkfehler und formuliere eine hilfreiche Korrektur.
Transfer leisten: Entwickle eine Aufgabe aus Deinem Alltag, bei der man den Umfang eines Vielecks bestimmen muss. Löse sie und erkläre jeden Rechenschritt.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis erstellst Du ein kleines Portfolio zum Thema Umfang von Rechteck, Quadrat und Vielecken.

Grundwissen: Erkläre die Begriffe Umfang, Rechteck, Quadrat und Vieleck in eigenen Worten.
Rechenbeispiele: Löse je zwei Aufgaben zum Rechteck, Quadrat und Vieleck.
Skizzen: Zeichne zu jeder Aufgabe eine beschriftete Skizze.
Einheiten: Zeige mindestens eine Aufgabe mit einer notwendigen Einheitenumrechnung.
Reflexion: Schreibe auf, welche Fehler beim Umfang häufig passieren und wie Du sie vermeidest.

OERs zum Thema

Links

Umfang von Rechteck, Quadrat und Vielecken

Zusammenfassung

Der Umfang ist die Länge des Randes einer Figur. Beim Rechteck addierst Du zwei Längen und zwei Breiten oder nutzt $U = 2 \cdot (a + b)$ . Beim Quadrat sind alle Seiten gleich lang, deshalb gilt $U = 4 \cdot a$ . Beim Vieleck addierst Du alle Seitenlängen. Bei einem regelmäßigen Vieleck kannst Du die Anzahl der Seiten mit der Seitenlänge multiplizieren: $U = n \cdot a$ . Achte immer auf passende Einheiten und schreibe einen vollständigen Antwortsatz.

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.