Tangente - Steigung und Gleichung

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Tangente - Steigung und Gleichung

Fach: Mathematik | Klassenstufe: 9–13

Einleitung

Eine Tangente ist eine Gerade an einem Funktionsgraphen. Im Berührpunkt hat sie dieselbe Steigung wie der Graph. Du lernst, wie Du die Steigung bestimmst und die Geradengleichung der Tangente aufstellst.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Steigung einer Geraden

Die Steigung zeigt, wie stark eine Gerade steigt oder fällt:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Bei $m>0$ steigt die Gerade. Bei $m<0$ fällt sie. Bei $m=0$ ist sie waagerecht.

Datei:Line equation qtl8.svg

Steigung in Prozent und als Winkel

Eine Steigung von 100 Prozent bedeutet: 1 Meter Höhe bei 1 Meter waagerechter Strecke. Das sind 45 Grad, nicht 90 Grad.

$p=100\cdot m$

$m=\tan (\alpha )$

Achtung: Tangens und Tangente sind verschiedene Begriffe. Der Tangens verbindet Steigung und Winkel. Die Tangente ist eine Gerade an einem Graphen.

Video: 100 Prozent Steigung und Tangens

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Aufgaben zum Video

1. Steigungsdreieck: Zeichne ein Dreieck für 100 Prozent Steigung und beschrifte waagerechte Strecke und Höhe.
2. Steigungswinkel: Erkläre in einem Satz, warum 100 Prozent Steigung 45 Grad entsprechen.
3. Vergleich: Ordne 50 Prozent, 100 Prozent und 200 Prozent von flach nach steil.
4. Tangens: Berechne mit dem Taschenrechner den Winkel zu 12 Prozent Steigung.
5. Alltag: Finde ein Beispiel für eine Steigungsangabe und erkläre ihre Bedeutung.

Tangente an einen Funktionsgraphen

Die Tangente im Punkt $P(x_0|f(x_0))$ hat die Steigung

$m=f^{\prime }(x_0)$.

Ihre Gleichung lautet:

$t(x)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$

Oder in der Form $t(x)=mx+b$ mit

$b=f(x_0)-m\cdot x_0$.

Datei:Tangent as Secant Limit.svg

Kurzes Beispiel

Gegeben ist $f(x)=x^2$ und $x_0=1$.

$f(1)=1$, $f^{\prime }(x)=2x$ und $m=f^{\prime }(1)=2$.

Damit gilt:

$t(x)=2(x-1)+1=2x-1$

Datei:Differentiation of sine.gif

Merksatz

Punkt einsetzen, Ableitung bilden, Steigung berechnen und Tangentengleichung aufstellen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt die Tangente an einem Funktionsgraphen? (Eine Gerade mit derselben Steigung wie der Graph im Berührpunkt) (!Eine Gerade durch zwei beliebige Punkte) (!Eine waagerechte Linie) (!Eine senkrechte Linie)

Womit berechnest Du die Tangentensteigung an der Stelle x0? (Mit der Ableitung an der Stelle x0) (!Mit dem Funktionswert an der Stelle null) (!Mit dem y-Achsenabschnitt) (!Mit dem Flächeninhalt)

Welche Daten brauchst Du für eine Tangentengleichung? (Berührpunkt und Steigung) (!Nur den y-Achsenabschnitt) (!Nur zwei Winkel) (!Nur eine Nullstelle)

Welche Form hat eine Geradengleichung? (y gleich m mal x plus b) (!y gleich x hoch drei) (!y gleich m geteilt durch b) (!y gleich x mal x)

Was bedeutet eine positive Steigung? (Die Gerade steigt von links nach rechts) (!Die Gerade fällt von links nach rechts) (!Die Gerade ist senkrecht) (!Die Gerade ist ein Kreis)

Welche Steigung gehört zu 100 Prozent? (Die Steigung eins) (!Die Steigung null) (!Die Steigung zehn) (!Die Steigung hundert)

Welcher Winkel gehört zu 100 Prozent Steigung? (45 Grad) (!90 Grad) (!100 Grad) (!180 Grad)

Was ist eine Sekante? (Eine Gerade durch zwei Punkte eines Graphen) (!Eine Gerade mit der Steigung null) (!Eine Gerade ohne Schnittpunkt) (!Eine Kreislinie)

Wie lautet die Tangente an f gleich x Quadrat bei x0 gleich eins? (y gleich zwei x minus eins) (!y gleich x plus eins) (!y gleich zwei x plus eins) (!y gleich x Quadrat minus eins)

Was verbindet der Tangens im rechtwinkligen Dreieck? (Steigung und Winkel) (!Fläche und Umfang) (!Radius und Durchmesser) (!Masse und Zeit)

Memory

Tangente	Gerade mit lokaler Graphensteigung
Ableitung	Steigung an einer Stelle
Berührpunkt	Punkt auf Graph und Tangente
Steigungsdreieck	Verhältnis von Höhe zu Breite
y-Achsenabschnitt	Wert b
Tangens	Verbindung von Winkel und Steigung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Tangente	Gerade am Graphen
Ableitung	lokale Steigung
Sekante	Gerade durch zwei Graphenpunkte
Steigungsdreieck	Änderung der Höhe durch Änderung der Breite
Berührpunkt	gemeinsamer Punkt von Graph und Tangente

Kreuzworträtsel

Tangente	Welche Gerade hat im Berührpunkt dieselbe Steigung wie der Graph?
Ableitung	Was liefert die lokale Steigung einer Funktion?
Berührpunkt	Wie heißt der gemeinsame Punkt von Graph und Tangente?
Steigung	Welche Größe beschreibt das Steigen oder Fallen?
Sekante	Welche Gerade geht durch zwei Punkte eines Graphen?
Tangens	Welche Funktion verbindet Winkel und Steigung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine hat im Berührpunkt dieselbe Steigung wie der Graph. Die lokale Steigung liefert die . Für die Stelle x0 gilt m gleich . Eine Gerade hat die Form y gleich m mal x plus . Die Steigung eines Steigungsdreiecks ist Delta y geteilt durch . Eine Steigung von 100 Prozent entspricht der Steigung . Der zugehörige Winkel beträgt . Eine Gerade durch zwei Graphenpunkte heißt .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Steigung erkennen: Zeichne je eine steigende, fallende und waagerechte Gerade.
2. Steigungsdreieck zeichnen: Markiere an einer Geraden ein Steigungsdreieck und bestimme m.
3. Video erklären: Schreibe zwei Sätze zur Bedeutung von 100 Prozent Steigung.
4. Begriffe ordnen: Erstelle eine kleine Begriffskarte zu Tangente, Tangens und Steigung.

Standard

1. Geradengleichung: Bestimme die Gleichung einer Geraden durch zwei selbst gewählte Punkte.
2. Tangente berechnen: Bestimme die Tangente an $f(x)=x^2$ bei $x_0=2$.
3. Prozent und Winkel: Erstelle eine Tabelle für 10 Prozent, 50 Prozent, 100 Prozent und 200 Prozent.
4. Graph zeichnen: Zeichne eine Funktion und ihre Tangente in einem selbst gewählten Punkt.

Schwer

1. Tangentenvergleich: Vergleiche die Tangenten an $f(x)=x^3$ bei $x_0=-1$ und $x_0=1$.
2. Modellieren: Beschreibe eine Straßensteigung als Prozentwert, Winkel und Geradengleichung.
3. Digitale Mathematik: Erstelle mit einer Mathematiksoftware eine veränderliche Tangente.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video zur Formel $t(x)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

Lernkontrolle

1. Fehleranalyse: Eine Person sagt: „100 Prozent Steigung sind 90 Grad.“ Widerlege die Aussage mit einer Skizze und einer Rechnung.
2. Transfer: Eine Rampe steigt auf 8 Metern waagerechter Strecke um 1 Meter. Bestimme Steigung, Prozentwert und Winkel.
3. Zusammenhang: Erkläre, warum Ableitung und Tangentensteigung denselben Wert haben.
4. Tangentengleichung: Bestimme die Tangente an $f(x)=x^2-3x$ bei $x_0=2$ und prüfe den Berührpunkt.
5. Vergleich: Erkläre den Unterschied zwischen Sekante und Tangente mithilfe einer Zeichnung.
6. Anwendung: Entwickle eine eigene Sachaufgabe, in der eine Steigung als Prozentwert und als Tangentengleichung vorkommt.

Lernnachweis

Für den Lernnachweis solltest Du:

1. eine Steigung mit einem Steigungsdreieck bestimmen,
2. Prozentsteigung und Steigungswinkel umrechnen,
3. den Unterschied zwischen Tangens, Tangente und Sekante erklären,
4. die Tangentensteigung mit der Ableitung berechnen,
5. eine Tangentengleichung aufstellen und prüfen,
6. eine Anwendung verständlich darstellen.

Links

Tangente - Steigung und Gleichung Tangente Steigung Geradengleichung Ableitung Differentialrechnung Tangens Sekante