Stammfunktionen - Zusammenfassung fürs Mathe-Abitur

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Eine Stammfunktion macht das Ableiten rückgängig. Sie ist wichtig für Integralrechnung, Flächenberechnung und viele Aufgaben im Abitur.

Merksatz: F ist eine Stammfunktion von f, wenn gilt: $F^{\prime }(x)=f(x)$.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Das Bild zeigt mehrere Kurven mit derselben Ableitung. Sie unterscheiden sich nur durch eine Konstante.

Das Wichtigste in Kürze

Grundidee

Zu einer Funktion f gibt es meist viele Stammfunktionen:

$F(x)+C$

Dabei ist $C$ eine beliebige Konstante. Beim Ableiten verschwindet sie.

Probe: Leite Deine Stammfunktion ab. Das Ergebnis muss wieder f sein.

Rechenregeln

Funktion $f(x)$	Stammfunktion $F(x)$
$x^n$ mit $n\ne -1$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$k$	$kx+C$
$\frac{1}{x}$	$\ln |x|+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x$	$\frac{a^x}{\ln (a)}+C$
$\sin (x)$	$-\cos (x)+C$
$\cos (x)$	$\sin (x)+C$

Bei einer Summe integrierst Du jeden Summanden einzeln. Einen festen Faktor lässt Du stehen.

Beispiel:

$f(x)=3x^2-4x+5$

$F(x)=x^3-2x^2+5x+C$

Datei:Sine cosine one period.svg

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Datei:Natural logarithm integral.svg

Lineare innere Funktion

Bei $f(ax+b)$ teilst Du zusätzlich durch den inneren Faktor a.

Beispiel:

$\int \cos (3x)\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\sin (3x)+C$

Diese Regel ist die einfache Form der Substitution.

Bestimmtes Integral

Mit einer Stammfunktion berechnest Du ein bestimmtes Integral:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$

Das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Die folgende Grafik zeigt eine Funktion und eine zugehörige Stammfunktion.

Datei:Graph of the integral of the secant.png

Lernvideo

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Fortfahren Ausblenden

Aufgaben zum Video

1. Formelsammlung: Schreibe während des Videos alle genannten Stammfunktionen auf.
2. Potenzregel: Stoppe nach einem Beispiel zur Potenzregel und rechne es ohne Hilfe noch einmal.
3. Integrationskonstante: Erkläre in einem Satz, warum bei einer unbestimmten Integration immer $+C$ ergänzt wird.
4. Ableitungsprobe: Wähle zwei Ergebnisse aus dem Video und prüfe sie durch Ableiten.
5. Fehleranalyse: Notiere einen typischen Fehler aus dem Video oder erfinde selbst einen. Korrigiere ihn.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann ist F eine Stammfunktion von f? (Wenn F Strich gleich f gilt) (!Wenn F gleich f Strich gilt) (!Wenn F mal f gleich null gilt) (!Wenn F plus f gleich eins gilt)

Was ergänzt man bei einer unbestimmten Integration? (Eine Integrationskonstante) (!Eine Nullstelle) (!Einen Definitionsbereich) (!Einen Grenzwert)

Welche Stammfunktion gehört zu x hoch zwei? (Ein Drittel x hoch drei plus C) (!Zwei x plus C) (!x hoch eins plus C) (!Drei x hoch zwei plus C)

Welche Stammfunktion gehört zu e hoch x? (e hoch x plus C) (!x mal e hoch x plus C) (!ln x plus C) (!e hoch zwei x plus C)

Welche Stammfunktion gehört zu cos x? (sin x plus C) (!minus sin x plus C) (!cos x plus C) (!minus cos x plus C)

Welche Stammfunktion gehört zu sin x? (minus cos x plus C) (!cos x plus C) (!sin x plus C) (!minus sin x plus C)

Welche Stammfunktion gehört zu eins durch x? (ln Betrag von x plus C) (!eins durch x Quadrat plus C) (!e hoch x plus C) (!x mal ln x plus C)

Was passiert mit einem konstanten Faktor beim Integrieren? (Er bleibt als Faktor stehen) (!Er wird immer null) (!Er wird quadriert) (!Er wird durch x ersetzt)

Wie berechnet man ein bestimmtes Integral mit einer Stammfunktion? (Obere Einsetzung minus untere Einsetzung) (!Untere Einsetzung minus obere Einsetzung) (!Beide Einsetzungen addieren) (!Nur die obere Grenze einsetzen)

Wie prüfst Du eine gefundene Stammfunktion? (Durch Ableiten) (!Durch Quadrieren) (!Durch Kürzen) (!Durch Spiegeln)

Memory

Potenzregel	Exponent um eins erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen
Integrationskonstante	C
Ableitungsprobe	Stammfunktion ableiten
Hauptsatz	F von b minus F von a
Sinus	Minus Kosinus als Stammfunktion
Kosinus	Sinus als Stammfunktion

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Stammfunktion
Potenzfunktion	Potenzregel
Exponentialfunktion	Selbststammfunktion
Kehrwertfunktion	Logarithmusfunktion
Sinusfunktion	Negativer Kosinus
Kosinusfunktion	Positiver Sinus

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Kreuzworträtsel

Ableitung	Wie prüfst Du eine Stammfunktion?
Konstante	Was bedeutet der Buchstabe C?
Potenzregel	Welche Regel nutzt Du bei x hoch n?
Logarithmus	Welche Funktion ist eine Stammfunktion von eins durch x?
Kosinus	Welche Funktion steht mit Minuszeichen als Stammfunktion von Sinus?
Hauptsatz	Welcher Satz verbindet Stammfunktion und bestimmtes Integral?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Funktion F ist eine Stammfunktion von f, wenn ihre gleich f ist. Bei der Potenzregel wird der Exponent um erhöht. Danach teilst Du durch den . Die Zahl C heißt . Ein bestimmtes Integral berechnest Du mit . Eine gefundene Stammfunktion prüfst Du durch .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Merkkarte: Gestalte eine Karte mit vier wichtigen Stammfunktionen.
2. Ableitungsprobe: Prüfe $F(x)=x^3+2x$ durch Ableiten.
3. Fehlersuche: Erkläre den Fehler in $\int x^2\mathrm{d}x=2x+C$.
4. Video-Notiz: Fasse das Lernvideo in fünf kurzen Sätzen zusammen.

Standard

1. Polynomfunktion: Bestimme eine Stammfunktion zu $f(x)=4x^3-6x+2$.
2. Trigonometrische Funktion: Bestimme eine Stammfunktion zu $f(x)=3\cos (x)-2\sin (x)$.
3. Lineare innere Funktion: Bestimme eine Stammfunktion zu $f(x)=\cos (5x)$.
4. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zur Potenzregel.

Schwer

1. Parameter: Bestimme alle Stammfunktionen zu $f_a(x)=a{x}^2+2x$.
2. Bestimmtes Integral: Berechne $\underset{0}{\overset{2}{\int }}(3x^2-2x)\mathrm{d}x$ und deute das Ergebnis.
3. Rekonstruktion: Finde eine Funktion F mit $F^{\prime }(x)=2x-4$ und $F(1)=3$.
4. Transfer: Erfinde eine Sachaufgabe, in der aus einer Änderungsrate ein Bestand berechnet wird.

Lernkontrolle

1. Vergleich: Erkläre den Unterschied zwischen einer Stammfunktion und einem bestimmten Integral.
2. Begründung: Begründe, warum sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion nur durch eine Konstante unterscheiden.
3. Strategie: Beschreibe, wie Du bei $f(x)=6x^5+4e^x-3\cos (x)$ vorgehst.
4. Fehleranalyse: Eine Person schreibt $\int \sin (x)\mathrm{d}x=\cos (x)+C$. Erkläre und korrigiere den Fehler.
5. Anwendung: Eine Geschwindigkeit ist gegeben. Erkläre, wie eine Stammfunktion hilft, den zurückgelegten Weg zu bestimmen.
6. Abiturtransfer: Entscheide, wann eine Ableitungsprobe besonders sinnvoll ist, und begründe Deine Entscheidung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. Stammfunktionen sicher bestimmst.
2. die Potenzregel, Summenregel und Faktorregel anwendest.
3. wichtige Stammfunktionen zu $e^x$, $\frac{1}{x}$, Sinus und Kosinus kennst.
4. die Integrationskonstante richtig verwendest.
5. Ergebnisse durch Ableitungsprobe kontrollierst.
6. bestimmte Integrale mit $F(b)-F(a)$ berechnest.
7. Rechenwege klar erklärst und Fehler begründest.

Links

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