Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Skalarprodukt - Vektorgeometrie

Einleitung

Das Skalarprodukt verbindet zwei Vektoren. Das Ergebnis ist eine Zahl, also ein Skalar. Mit dem Skalarprodukt kannst Du prüfen, ob Vektoren senkrecht zueinander stehen. Du kannst damit auch den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen.

Dieser kurze aiMOOC gehört zum Fach Mathematik und eignet sich für die Klassen 10 bis 13.

Das Skalarprodukt verbindet Vektoren, Längen und Winkel.

Das Skalarprodukt berechnen

Für

$\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$

gilt:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

Du multiplizierst also passende Koordinaten und addierst die Ergebnisse.

Beispiel:

$\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})$ , $\vec{b} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 0 + (- 1) \cdot 4 = 2$

Senkrechte Vektoren

Für zwei von null verschiedene Vektoren gilt:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

Dann stehen die Vektoren senkrecht aufeinander. Man sagt auch: Sie sind orthogonal.

Das Vorzeichen des Skalarprodukts zeigt die Art des Winkels.

Positives Skalarprodukt: Der Winkel ist spitz.
Skalarprodukt null: Der Winkel beträgt 90 Grad.
Negatives Skalarprodukt: Der Winkel ist stumpf.

Winkel zwischen Vektoren

Für zwei von null verschiedene Vektoren gilt:

$\cos (φ) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

Die Länge eines Vektors berechnest Du mit:

$| \vec{a} | = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Projektion eines Vektors auf die Richtung eines anderen Vektors.

Projektion und geometrische Bedeutung

Das Skalarprodukt zeigt, wie stark ein Vektor in die Richtung eines anderen Vektors zeigt. Diese Idee heißt Projektion. Sie wird auch in der Physik, bei Computergrafik und in der linearen Algebra genutzt.

Zerlegung eines Vektors in einen parallelen und einen senkrechten Anteil.

Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Kosinussatz.

Video: Skalarprodukt - Vektorgeometrie

Sieh Dir das folgende Video aufmerksam an. Halte es bei Rechnungen an und rechne selbst weiter.

Aufgaben zum Video

Video-Notizen: Schreibe die Erklärung des Begriffs Skalarprodukt in einem eigenen Satz auf.
Rechenweg: Notiere das Beispiel aus dem Video und markiere Multiplikation und Addition.
Orthogonalität: Erkläre, wie im Video geprüft wird, ob zwei Vektoren senkrecht sind.
Winkelberechnung: Schreibe die Formel für den Winkel auf und erkläre jeden Teil der Formel.
Erklärvideo: Fasse den wichtigsten Inhalt des Videos in höchstens 60 Sekunden mündlich zusammen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist das Ergebnis eines Skalarprodukts? (Eine Zahl) (!Ein Vektor) (!Eine Gerade) (!Eine Ebene)

Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier dreidimensionaler Vektoren? (Passende Koordinaten multiplizieren und die Produkte addieren) (!Alle Koordinaten nur addieren) (!Die Vektoren zeichnen und ihre Pfeile zählen) (!Nur die erste Koordinate multiplizieren)

Welchen Wert hat das Skalarprodukt von zwei senkrechten Vektoren? (Null) (!Eins) (!Minus eins) (!Neunzig)

Was bedeutet ein positives Skalarprodukt bei zwei von null verschiedenen Vektoren? (Der eingeschlossene Winkel ist spitz) (!Der eingeschlossene Winkel ist immer null Grad) (!Die Vektoren sind senkrecht) (!Der eingeschlossene Winkel ist stumpf)

Was bedeutet ein negatives Skalarprodukt bei zwei von null verschiedenen Vektoren? (Der eingeschlossene Winkel ist stumpf) (!Der eingeschlossene Winkel ist spitz) (!Die Vektoren sind gleich lang) (!Die Vektoren sind senkrecht)

Wie lautet das Skalarprodukt von a gleich 1 2 und b gleich 3 4? (11) (!7) (!10) (!14)

Wie kann die Länge eines Vektors a mit dem Skalarprodukt berechnet werden? (Als Quadratwurzel aus a mal a) (!Als a mal null) (!Als Summe aller Vektoren) (!Als Kehrwert von a mal a)

Welche Rechenoperation steht im Zähler der Winkelformel? (Das Skalarprodukt der beiden Vektoren) (!Die Summe der beiden Vektorlängen) (!Die Differenz der beiden Vektoren) (!Nur die Länge des ersten Vektors)

Welchen Wert hat das Skalarprodukt von a gleich 1 2 3 und b gleich 2 0 minus 1? (Minus 1) (!1) (!3) (!5)

Welche Aussage zum Skalarprodukt ist richtig? (a mal b ist gleich b mal a) (!a mal b ist immer ein Vektor) (!a mal b ist immer positiv) (!a mal b ist nur in der Ebene möglich)

Memory

Skalarprodukt	Zahl als Ergebnis
Orthogonalität	Skalarprodukt ist null
Spitzer Winkel	Positives Ergebnis
Stumpfer Winkel	Negatives Ergebnis
Vektorlänge	Wurzel aus dem Produkt mit sich selbst
Projektion	Anteil in einer Richtung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Skalar	Ergebnis des Skalarprodukts
Orthogonal	Senkrecht zueinander
Positives Skalarprodukt	Spitzer Winkel
Negatives Skalarprodukt	Stumpfer Winkel
Kosinus	Verbindung zwischen Winkel und Skalarprodukt

Kreuzworträtsel

Skalar	Wie heißt eine Zahl als Ergebnis des Skalarprodukts?
Orthogonal	Wie heißen zwei Vektoren mit dem Skalarprodukt null?
Kosinus	Welche Winkelfunktion steht in der geometrischen Formel?
Betrag	Wie nennt man auch die Länge eines Vektors?
Winkel	Welche Größe kann mit dem Skalarprodukt berechnet werden?
Projektion	Wie heißt der Anteil eines Vektors in einer bestimmten Richtung?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Skalarprodukt berechnen: Berechne die Skalarprodukte von drei selbst gewählten Vektorpaaren.
Vektoren zeichnen: Zeichne zwei Vektoren mit einem spitzen und zwei Vektoren mit einem stumpfen Winkel.
Video-Merksatz: Formuliere nach dem Video drei kurze Merksätze.
Orthogonale Vektoren: Finde zu $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ einen senkrechten Vektor.

Standard

Winkel bestimmen: Berechne den Winkel zwischen $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ .
Fehler finden: Erfinde eine falsche Rechnung zum Skalarprodukt und erkläre den Fehler.
Video-Vergleich: Vergleiche die Erklärung im Hauptvideo mit einem zweiten Lernvideo auf dieser Seite.
GeoGebra: Stelle zwei Vektoren digital dar und untersuche, wie sich das Skalarprodukt beim Drehen verändert.

Schwer

Herleitung: Stelle die Winkelformel aus $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \cos (φ)$ nach $φ$ um.
Parameteraufgabe: Bestimme den Wert von $t$ , sodass $(\begin{matrix} 1 \\ t \\ 2 \end{matrix})$ und $(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix})$ orthogonal sind.
Normalenvektor: Erkläre, wie das Skalarprodukt in einer Normalenform einer Ebene verwendet wird.
Anwendung: Entwickle eine Sachaufgabe aus Physik oder Computergrafik, in der das Skalarprodukt gebraucht wird.

Lernkontrolle

Begründen statt rechnen: Entscheide nur mit dem Vorzeichen des Skalarprodukts, ob ein Winkel spitz, recht oder stumpf ist, und begründe Deine Entscheidung.
Vektor konstruieren: Konstruiere zu einem gegebenen Vektor zwei verschiedene orthogonale Vektoren und erkläre Dein Verfahren.
Darstellungen verbinden: Erkläre, wie Koordinatenformel, Winkelformel und Projektion dieselbe Idee beschreiben.
Unbekannte Koordinate: Bestimme eine fehlende Koordinate so, dass zwei Vektoren einen rechten Winkel bilden.
Transfer: Beschreibe eine reale oder digitale Situation, in der geprüft werden muss, ob zwei Richtungen senkrecht sind.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

das Skalarprodukt sicher berechnen kannst,
Orthogonalität mit einer Rechnung prüfen kannst,
das Vorzeichen des Ergebnisses deuten kannst,
Winkel zwischen Vektoren bestimmen kannst,
Deinen Rechenweg verständlich erklären kannst,
das Verfahren auf eine neue Aufgabe übertragen kannst.

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