Quadratische Funktionen und Parabelverschiebung
Quadratische Funktionen und Parabelverschiebung
Einleitung
Eine quadratische Funktion enthält ein x². Ihr Graph heißt Parabel. In diesem aiMOOC lernst Du die Normalparabel, den Scheitelpunkt und einfache Verschiebungen kennen.
Quadratische Funktionen
Die allgemeine Form lautet:
f(x) = ax² + bx + c mit a ≠ 0
Die einfachste quadratische Funktion ist die Quadratfunktion:
f(x) = x²
Ihr Graph heißt Normalparabel. Der Scheitelpunkt ist S(0|0).
Die Scheitelpunktform
Für Verschiebungen ist diese Form besonders praktisch:
f(x) = a(x − d)² + e
Der Scheitelpunkt ist S(d|e).
| Parameter | Bedeutung |
|---|---|
| d | Verschiebung nach links oder rechts |
| e | Verschiebung nach oben oder unten |
| a | Öffnung und Breite der Parabel |
Verschiebung nach oben und unten
- f(x) = x² + 3: Die Parabel geht 3 Einheiten nach oben.
- f(x) = x² − 2: Die Parabel geht 2 Einheiten nach unten.
Der Wert außerhalb der Klammer wirkt in derselben Richtung wie sein Vorzeichen.
Verschiebung nach links und rechts
- f(x) = (x − 3)²: Die Parabel geht 3 Einheiten nach rechts.
- f(x) = (x + 4)²: Die Parabel geht 4 Einheiten nach links.
Merke: In der Klammer wirkt das Vorzeichen umgekehrt.
Öffnung der Parabel
- a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
- a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.
- |a| > 1: Die Parabel wird schmaler.
- 0 < |a| < 1: Die Parabel wird breiter.
Video: Parabeln verschieben
Aufgaben zum Video
- Normalparabel: Notiere die Funktionsgleichung und den Scheitelpunkt der Normalparabel.
- Verschiebung in y-Richtung: Schreibe ein Beispiel aus dem Video für eine Verschiebung nach oben oder unten auf.
- Verschiebung in x-Richtung: Erkläre mit einem Satz, warum das Vorzeichen in der Klammer umgekehrt wirkt.
- Scheitelpunktform: Notiere eine Funktion aus dem Video und lies ihren Scheitelpunkt ab.
- Fehleranalyse: Prüfe die Aussage „(x + 3)² verschiebt die Parabel nach rechts“ und verbessere sie.
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion? (Parabel) (!Gerade) (!Kreis) (!Hyperbel)
Wie lautet die Gleichung der Normalparabel? (x²) (!x) (!2x) (!1 durch x)
Wo liegt der Scheitelpunkt der Normalparabel? (Im Ursprung) (!Bei eins null) (!Bei null eins) (!Bei eins eins)
Wohin wird die Parabel durch den Term x minus 3 in der Klammer verschoben? (3 Einheiten nach rechts) (!3 Einheiten nach links) (!3 Einheiten nach oben) (!3 Einheiten nach unten)
Wohin wird die Parabel durch den Term x plus 4 in der Klammer verschoben? (4 Einheiten nach links) (!4 Einheiten nach rechts) (!4 Einheiten nach oben) (!4 Einheiten nach unten)
Wohin wird die Parabel bei x² plus 2 verschoben? (2 Einheiten nach oben) (!2 Einheiten nach unten) (!2 Einheiten nach links) (!2 Einheiten nach rechts)
Wohin wird die Parabel bei x² minus 5 verschoben? (5 Einheiten nach unten) (!5 Einheiten nach oben) (!5 Einheiten nach links) (!5 Einheiten nach rechts)
Welchen Scheitelpunkt hat die Parabel mit d gleich 2 und e gleich 3? (Zwei drei) (!Minus zwei drei) (!Zwei minus drei) (!Minus zwei minus drei)
Wie ist eine Parabel bei a kleiner als null geöffnet? (Nach unten) (!Nach oben) (!Nach rechts) (!Nach links)
Was bestimmt der Parameter a? (Öffnung und Breite) (!Nur den Scheitelpunkt) (!Nur die Verschiebung nach rechts) (!Nur den Schnittpunkt mit der x-Achse)
Memory
| Normalparabel | f(x)=x² |
| Scheitelpunktform | a(x−d)²+e |
| Parameter d | Horizontale Verschiebung |
| Parameter e | Vertikale Verschiebung |
| Parameter a | Öffnung und Breite |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Bewegung |
|---|---|
| x² | Normalparabel |
| (x−3)² | Drei Einheiten nach rechts |
| (x+2)² | Zwei Einheiten nach links |
| x²+4 | Vier Einheiten nach oben |
| x²−1 | Eine Einheit nach unten |
Kreuzworträtsel
| Normalparabel | Wie heißt der Graph von f(x)=x²? |
| Scheitelpunkt | Wie heißt der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel? |
| Verschiebung | Wie nennt man das Bewegen eines Graphen im Koordinatensystem? |
| Koordinatensystem | Worin zeichnet man Funktionsgraphen? |
| Symmetrieachse | Wie heißt die Gerade, an der eine Parabel spiegelbildlich ist? |
| Quadratfunktion | Wie heißt die Funktion f(x)=x² auch? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Parabel erkennen: Suche im Alltag eine Form, die wie eine Parabel aussieht, und fotografiere oder zeichne sie.
- Normalparabel zeichnen: Zeichne f(x)=x² in ein Koordinatensystem.
- Scheitelpunkt markieren: Markiere bei drei vorgegebenen Parabeln jeweils den Scheitelpunkt.
- Video-Zusammenfassung: Schreibe drei einfache Sätze zum Lernvideo.
Standard
- Parabel verschieben: Zeichne f(x)=x², g(x)=(x−2)² und h(x)=x²+3 in dasselbe Koordinatensystem.
- Funktionsgleichung finden: Erfinde eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(4|−2).
- Erklärplakat: Gestalte ein Plakat zur Scheitelpunktform.
- Partnerinterview: Erklärt euch gegenseitig den Unterschied zwischen x- und y-Verschiebung.
Schwer
- Fehleranalyse: Erkläre, warum (x+5)² nach links und nicht nach rechts verschoben ist.
- Parabelvergleich: Vergleiche drei Funktionen mit verschiedenen Werten für a.
- Anwendungsaufgabe: Modelliere einen einfachen Brückenbogen mit einer quadratischen Funktion.
- Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du eine Parabel verschiebst und den Scheitelpunkt erklärst.
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Lernkontrolle
- Darstellungswechsel: Zeichne die Parabel f(x)=(x−2)²−1 und erkläre, wie Du aus der Gleichung vorgegangen bist.
- Umkehraufgabe: Eine Normalparabel hat den Scheitelpunkt S(−3|4). Stelle ihre Funktionsgleichung auf.
- Vergleich: Vergleiche f(x)=x²+2 und g(x)=(x+2)². Erkläre den Unterschied der Verschiebungen.
- Fehler finden: Eine Person behauptet, f(x)=(x−4)² habe den Scheitelpunkt S(−4|0). Begründe, warum das falsch ist.
- Transfer: Beschreibe, wie sich der Graph von f(x)=−2(x−1)²+3 aus der Normalparabel entwickelt.
Lernnachweis
Für Deinen Lernnachweis solltest Du:
- eine quadratische Funktion erkennen,
- die Normalparabel zeichnen,
- den Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform ablesen,
- Verschiebungen nach links, rechts, oben und unten erklären,
- die Wirkung des Parameters a beschreiben,
- eine passende Funktionsgleichung zu einem Scheitelpunkt aufstellen.
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