Quadratische Funktionen und Parabelverschiebung

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Eine quadratische Funktion enthält ein x². Ihr Graph heißt Parabel. In diesem aiMOOC lernst Du die Normalparabel, den Scheitelpunkt und einfache Verschiebungen kennen.

Quadratische Funktionen

Die allgemeine Form lautet:

f(x) = ax² + bx + c mit a ≠ 0

Die einfachste quadratische Funktion ist die Quadratfunktion:

f(x) = x²

Ihr Graph heißt Normalparabel. Der Scheitelpunkt ist S(0|0).

Datei:Quadratische Funktionen und Normalparabel - kolleg24 Mathematik.webm

Die Scheitelpunktform

Für Verschiebungen ist diese Form besonders praktisch:

f(x) = a(x − d)² + e

Der Scheitelpunkt ist S(d|e).

Parameter	Bedeutung
d	Verschiebung nach links oder rechts
e	Verschiebung nach oben oder unten
a	Öffnung und Breite der Parabel

Verschiebung nach oben und unten

1. f(x) = x² + 3: Die Parabel geht 3 Einheiten nach oben.
2. f(x) = x² − 2: Die Parabel geht 2 Einheiten nach unten.

Der Wert außerhalb der Klammer wirkt in derselben Richtung wie sein Vorzeichen.

Verschiebung nach links und rechts

1. f(x) = (x − 3)²: Die Parabel geht 3 Einheiten nach rechts.
2. f(x) = (x + 4)²: Die Parabel geht 4 Einheiten nach links.

Merke: In der Klammer wirkt das Vorzeichen umgekehrt.

Öffnung der Parabel

1. a > 0: Die Parabel ist nach oben geöffnet.
2. a < 0: Die Parabel ist nach unten geöffnet.
3. |a| > 1: Die Parabel wird schmaler.
4. 0 < |a| < 1: Die Parabel wird breiter.

Video: Parabeln verschieben

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Aufgaben zum Video

1. Normalparabel: Notiere die Funktionsgleichung und den Scheitelpunkt der Normalparabel.
2. Verschiebung in y-Richtung: Schreibe ein Beispiel aus dem Video für eine Verschiebung nach oben oder unten auf.
3. Verschiebung in x-Richtung: Erkläre mit einem Satz, warum das Vorzeichen in der Klammer umgekehrt wirkt.
4. Scheitelpunktform: Notiere eine Funktion aus dem Video und lies ihren Scheitelpunkt ab.
5. Fehleranalyse: Prüfe die Aussage „(x + 3)² verschiebt die Parabel nach rechts“ und verbessere sie.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion? (Parabel) (!Gerade) (!Kreis) (!Hyperbel)

Wie lautet die Gleichung der Normalparabel? (x²) (!x) (!2x) (!1 durch x)

Wo liegt der Scheitelpunkt der Normalparabel? (Im Ursprung) (!Bei eins null) (!Bei null eins) (!Bei eins eins)

Wohin wird die Parabel durch den Term x minus 3 in der Klammer verschoben? (3 Einheiten nach rechts) (!3 Einheiten nach links) (!3 Einheiten nach oben) (!3 Einheiten nach unten)

Wohin wird die Parabel durch den Term x plus 4 in der Klammer verschoben? (4 Einheiten nach links) (!4 Einheiten nach rechts) (!4 Einheiten nach oben) (!4 Einheiten nach unten)

Wohin wird die Parabel bei x² plus 2 verschoben? (2 Einheiten nach oben) (!2 Einheiten nach unten) (!2 Einheiten nach links) (!2 Einheiten nach rechts)

Wohin wird die Parabel bei x² minus 5 verschoben? (5 Einheiten nach unten) (!5 Einheiten nach oben) (!5 Einheiten nach links) (!5 Einheiten nach rechts)

Welchen Scheitelpunkt hat die Parabel mit d gleich 2 und e gleich 3? (Zwei drei) (!Minus zwei drei) (!Zwei minus drei) (!Minus zwei minus drei)

Wie ist eine Parabel bei a kleiner als null geöffnet? (Nach unten) (!Nach oben) (!Nach rechts) (!Nach links)

Was bestimmt der Parameter a? (Öffnung und Breite) (!Nur den Scheitelpunkt) (!Nur die Verschiebung nach rechts) (!Nur den Schnittpunkt mit der x-Achse)

Memory

Normalparabel	f(x)=x²
Scheitelpunktform	a(x−d)²+e
Parameter d	Horizontale Verschiebung
Parameter e	Vertikale Verschiebung
Parameter a	Öffnung und Breite

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bewegung
x²	Normalparabel
(x−3)²	Drei Einheiten nach rechts
(x+2)²	Zwei Einheiten nach links
x²+4	Vier Einheiten nach oben
x²−1	Eine Einheit nach unten

Kreuzworträtsel

Normalparabel	Wie heißt der Graph von f(x)=x²?
Scheitelpunkt	Wie heißt der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel?
Verschiebung	Wie nennt man das Bewegen eines Graphen im Koordinatensystem?
Koordinatensystem	Worin zeichnet man Funktionsgraphen?
Symmetrieachse	Wie heißt die Gerade, an der eine Parabel spiegelbildlich ist?
Quadratfunktion	Wie heißt die Funktion f(x)=x² auch?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt .

Die Gleichung der Normalparabel lautet f(x)= .

Ihr Scheitelpunkt liegt im .

In der Scheitelpunktform bestimmt d die Verschiebung in .

Der Parameter e bestimmt die Verschiebung in .

Bei f(x)=(x−3)² liegt der Scheitelpunkt drei Einheiten weiter .

Bei einem negativen Wert von a ist die Parabel nach geöffnet.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Parabel erkennen: Suche im Alltag eine Form, die wie eine Parabel aussieht, und fotografiere oder zeichne sie.
2. Normalparabel zeichnen: Zeichne f(x)=x² in ein Koordinatensystem.
3. Scheitelpunkt markieren: Markiere bei drei vorgegebenen Parabeln jeweils den Scheitelpunkt.
4. Video-Zusammenfassung: Schreibe drei einfache Sätze zum Lernvideo.

Standard

1. Parabel verschieben: Zeichne f(x)=x², g(x)=(x−2)² und h(x)=x²+3 in dasselbe Koordinatensystem.
2. Funktionsgleichung finden: Erfinde eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(4|−2).
3. Erklärplakat: Gestalte ein Plakat zur Scheitelpunktform.
4. Partnerinterview: Erklärt euch gegenseitig den Unterschied zwischen x- und y-Verschiebung.

Schwer

1. Fehleranalyse: Erkläre, warum (x+5)² nach links und nicht nach rechts verschoben ist.
2. Parabelvergleich: Vergleiche drei Funktionen mit verschiedenen Werten für a.
3. Anwendungsaufgabe: Modelliere einen einfachen Brückenbogen mit einer quadratischen Funktion.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du eine Parabel verschiebst und den Scheitelpunkt erklärst.

Lernkontrolle

1. Darstellungswechsel: Zeichne die Parabel f(x)=(x−2)²−1 und erkläre, wie Du aus der Gleichung vorgegangen bist.
2. Umkehraufgabe: Eine Normalparabel hat den Scheitelpunkt S(−3|4). Stelle ihre Funktionsgleichung auf.
3. Vergleich: Vergleiche f(x)=x²+2 und g(x)=(x+2)². Erkläre den Unterschied der Verschiebungen.
4. Fehler finden: Eine Person behauptet, f(x)=(x−4)² habe den Scheitelpunkt S(−4|0). Begründe, warum das falsch ist.
5. Transfer: Beschreibe, wie sich der Graph von f(x)=−2(x−1)²+3 aus der Normalparabel entwickelt.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. eine quadratische Funktion erkennen,
2. die Normalparabel zeichnen,
3. den Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform ablesen,
4. Verschiebungen nach links, rechts, oben und unten erklären,
5. die Wirkung des Parameters a beschreiben,
6. eine passende Funktionsgleichung zu einem Scheitelpunkt aufstellen.

Links

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