Parabelgleichung aus einer Wertetabelle aufstellen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Eine Wertetabelle zeigt zusammengehörige $x$- und $y$-Werte. Daraus kannst Du die Gleichung einer Parabel bestimmen. Du brauchst meist drei Wertepaare. Der Kurs ist für Mathematik in den Klassen 8 bis 12 gedacht.

Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du eine quadratische Funktion in der Form $f(x)=a{x}^2+bx+c$ ansetzen, Wertepaare einsetzen, ein lineares Gleichungssystem lösen und das Ergebnis mit einer Punktprobe prüfen.

Grundidee

Die allgemeine Form lautet:

$f(x)=a{x}^2+bx+c$ mit $a\ne 0$.

Jedes Wertepaar $(x|y)$ liefert eine Gleichung. Drei Wertepaare liefern drei Gleichungen für die drei unbekannten Koeffizienten $a$, $b$ und $c$.

Vorgehen in fünf Schritten

1. Allgemeine Form: Schreibe $f(x)=a{x}^2+bx+c$.
2. Wertepaar: Wähle drei verschiedene $x$-Werte aus der Tabelle.
3. Einsetzen: Setze jedes Wertepaar in die allgemeine Form ein.
4. Gleichungssystem: Löse die drei Gleichungen nach $a$, $b$ und $c$.
5. Punktprobe: Prüfe die Gleichung mit einem weiteren Tabellenwert.

Tipp: Steht $x=0$ in der Tabelle, dann gilt sofort $c=y$.

Beispiel

Gegeben ist diese Wertetabelle:

$x$	-1	0	1	2
$y$	6	1	0	3

Wir nutzen zuerst die Punkte $(-1|6)$, $(0|1)$ und $(1|0)$.

1. Für $(-1|6)$: $a-b+c=6$
2. Für $(0|1)$: $c=1$
3. Für $(1|0)$: $a+b+c=0$

Mit $c=1$ wird daraus $a-b=5$ und $a+b=-1$. Addieren ergibt $2a=4$. Also ist $a=2$ und $b=-3$.

Ergebnis: $f(x)=2x^2-3x+1$

Probe mit $x=2$: $f(2)=2\cdot 4-3\cdot 2+1=3$. Der Tabellenwert passt.

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Aufgaben zum Video

Sieh das Video zuerst ganz an. Sieh es danach noch einmal mit Stopps an.

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1. Videofrage 1: Notiere die drei Wertepaare, die im Video benutzt werden.
2. Videofrage 2: Schreibe den allgemeinen Ansatz auf.
3. Videofrage 3: Stoppe nach dem Einsetzen und notiere die drei Gleichungen.
4. Videofrage 4: Erkläre in zwei Sätzen, wie die Koeffizienten bestimmt werden.
5. Videofrage 5: Prüfe die Gleichung aus dem Video mit einem weiteren Tabellenwert.

Vertiefungsvideo

Achte besonders darauf, wie aus drei Punkten ein Gleichungssystem entsteht.

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Datei:Quadratische Funktionen und Normalparabel - kolleg24 Mathematik.webm

Schnell prüfen

Bei gleichen Abständen der $x$-Werte sind die zweiten Differenzen der $y$-Werte bei einer quadratischen Funktion konstant. Im Beispiel lauten die ersten Differenzen $-5$, $-1$, $3$. Die zweiten Differenzen sind zweimal $4$. Das passt zu einer Parabel.

Datei:Parabola features.svg

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie lautet die allgemeine Form einer quadratischen Funktion? (f von x gleich a x Quadrat plus b x plus c) (!f von x gleich m x plus c) (!f von x gleich a durch x) (!f von x gleich a x hoch drei)

Wie viele geeignete Wertepaare brauchst Du normalerweise, um a, b und c zu bestimmen? (Drei Wertepaare) (!Ein Wertepaar) (!Zwei Wertepaare) (!Fünf Wertepaare)

Was kannst Du direkt ablesen, wenn die Tabelle den Wert x gleich null enthält? (Der zugehörige y Wert ist c) (!Der zugehörige y Wert ist a) (!Der zugehörige y Wert ist b) (!Der zugehörige y Wert ist immer null)

Welche Gleichung entsteht aus dem Punkt mit x gleich zwei und y gleich drei? (4a plus 2b plus c gleich 3) (!2a plus 4b plus c gleich 3) (!4a plus 2b plus 3 gleich c) (!a plus b plus c gleich 2)

Welchen Wert hat c im Beispiel dieses Kurses? (1) (!0) (!2) (!3)

Wann ist die Parabel nach oben geöffnet? (Wenn a positiv ist) (!Wenn b positiv ist) (!Wenn c positiv ist) (!Wenn a null ist)

Was entsteht durch das Einsetzen von drei Wertepaaren? (Ein lineares Gleichungssystem) (!Eine einzige Zahl) (!Ein Kreis) (!Eine lineare Funktion)

Wie prüfst Du das berechnete Ergebnis am besten? (Einen weiteren Tabellenwert einsetzen) (!Nur den Graphen anschauen) (!Alle Vorzeichen ändern) (!Den Wert a gleich null setzen)

Warum müssen die gewählten x Werte verschieden sein? (Damit unabhängige Bedingungen entstehen) (!Damit alle y Werte gleich werden) (!Damit c verschwindet) (!Damit die Funktion linear wird)

Was gilt bei einer quadratischen Wertetabelle mit gleichen x Abständen? (Die zweiten Differenzen sind konstant) (!Die ersten Differenzen sind immer null) (!Alle y Werte sind gleich) (!Die x Werte müssen negativ sein)

Memory

Wertetabelle	Paare aus Eingabe und Funktionswert
Parabel	Graph einer quadratischen Funktion
Koeffizient	Zahl vor einem Term
Punktprobe	Kontrolle durch Einsetzen
Gleichungssystem	Mehrere Gleichungen gemeinsam lösen
Scheitelpunkt	Höchster oder tiefster Punkt

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Allgemeine Form	f von x gleich a x Quadrat plus b x plus c
Wertepaar	liefert eine Gleichung
Null als x Wert	zeigt direkt den Wert c
Gleichungssystem	bestimmt a b und c
Punktprobe	prüft das Ergebnis

Kreuzworträtsel

Parabel	Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
Koeffizient	Wie heißt eine Zahl wie a b oder c im Funktionsterm?
Wertetabelle	Wie heißt die geordnete Darstellung von x und y Werten?
Punktprobe	Wie heißt die Kontrolle durch Einsetzen eines Punktes?
Scheitelpunkt	Wie heißt der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel?
Gleichungssystem	Was entsteht aus mehreren Gleichungen mit denselben Unbekannten?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die allgemeine Form enthält die drei a b und c. Aus jedem Wertepaar entsteht eine . Drei geeignete Wertepaare liefern ein lineares . Ist x gleich null kann man c oft direkt . Nach dem Lösen setzt man die Zahlen in die allgemeine ein. Eine zusätzliche Tabellenzeile eignet sich für die . Gleiche zweite Differenzen sind ein Hinweis auf eine Funktion.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Farbcodierung: Markiere im Beispiel alle x Werte blau, alle y Werte grün und die Koeffizienten rot.
2. Videonotiz: Schreibe die fünf wichtigsten Schritte aus dem Video in eigenen Worten auf.
3. Wertetabelle zeichnen: Zeichne die Punkte des Beispiels in ein Koordinatensystem.
4. Punktprobe üben: Prüfe die Beispielgleichung zusätzlich mit x gleich minus eins.

Standard

1. Funktionsgleichung bestimmen: Bestimme die Parabelgleichung zur Tabelle mit x gleich minus eins null eins zwei und y gleich null minus zwei minus zwei null.
2. Fehleranalyse: Eine Person behauptet für diese Tabelle gelte f von x gleich x Quadrat plus x minus zwei. Prüfe die Behauptung und verbessere sie.
3. Eigene Wertetabelle: Erstelle zur Funktion $f(x)=-x^2+4x-1$ eine Tabelle mit fünf Werten.
4. Erklärplakat: Gestalte ein Plakat mit den fünf Schritten vom Wertepaar bis zur Punktprobe.

Schwer

1. Größere Abstände: Bestimme die Funktion durch die Punkte $(-2|11)$, $(0|3)$ und $(2|3)$.
2. Messwerte modellieren: Finde eine quadratische Funktion zu den Messwerten $(0|1)$, $(1|2)$, $(2|5)$ und prüfe den Wert $(3|10)$.
3. Zweite Differenz: Begründe für gleich große x Schritte mit Abstand h die Regel ${\Delta }^{2}y=2a{h}^2$.
4. Eigenes Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du aus einer selbst erstellten Wertetabelle eine Parabelgleichung bestimmst.

Lernkontrolle

1. Transferaufgabe 1: Bestimme die Gleichung zur Tabelle mit x gleich minus zwei minus eins null eins und y gleich neun vier eins null. Erkläre danach die Symmetrie des Graphen.
2. Transferaufgabe 2: In der Tabelle x gleich minus eins null eins zwei stehen die y Werte zwei eins zwei sechs. Untersuche, welcher Wert nicht zu der durch die ersten drei Punkte bestimmten Parabel passt.
3. Transferaufgabe 3: Erkläre, warum drei Punkte mit verschiedenen x Werten höchstens eine Funktion der Form $a{x}^2+bx+c$ festlegen.
4. Transferaufgabe 4: Entwickle eine kurze Regel für Tabellen, in denen x gleich null vorkommt, und begründe diese Regel.
5. Transferaufgabe 5: Vergleiche die Methode mit dem Gleichungssystem und die Methode mit zweiten Differenzen. Nenne je einen Vorteil und eine Grenze.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. den Ansatz $f(x)=a{x}^2+bx+c$ sicher verwendest,
2. aus drei Wertepaaren drei Gleichungen bildest,
3. das Gleichungssystem nachvollziehbar löst,
4. die fertige Funktion mit einer Punktprobe kontrollierst,
5. Deine Rechenschritte verständlich erklärst.

Links

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