Mit Exponentialfunktionen rechnen 1

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im Exponenten, zum Beispiel $f(x)=2^x$. Beim Rechnen helfen Dir die bekannten Potenzgesetze. In diesem kurzen aiMOOC übst Du Mal, Geteilt, Hoch und Wurzel.

Datei:Expo02.svg

Lernziele

Du kannst Exponentialterme multiplizieren, dividieren, potenzieren und als Wurzel schreiben. Du erkennst außerdem, wann eine Rechenregel nicht passt.

Lernvideo

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Aufgaben zum Video

1. Multiplikation: Schreibe die Produktregel aus dem Video auf und berechne $2^x\cdot 5^x$.
2. Division: Pausiere vor einem Ergebnis und berechne selbst $12^x:3^x$.
3. Potenzregel: Erkläre in einem Satz, warum $(3^x{)}^2=3^{2x}$ gilt.
4. Wurzel: Berechne mit der Regel aus dem Video $\sqrt{16^x}$.
5. Fehleranalyse: Prüfe die Aussage $2^x+3^x=5^x$ und begründe Deine Entscheidung.

Rechenregeln

Rechenart	Regel	Beispiel
Mal	$a^x\cdot b^x=(ab{)}^x$	$2^x\cdot 3^x=6^x$
Geteilt	$\frac{a^x}{b^x}={\left(\frac{a}{b}\right)}^x$	$\frac{12^x}{3^x}=4^x$
Hoch	$(a^x{)}^n=a^{nx}$	$(2^x{)}^3=2^{3x}$
Wurzel	$\sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}$	$\sqrt{9^x}=3^x$

Die Regeln gelten für passende positive Basen. Bei der Division darf der Nenner nicht null sein.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Gleiche Basis

Bei gleicher Basis werden beim Multiplizieren die Exponenten addiert und beim Dividieren subtrahiert:

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Beispiel: $2^x\cdot 2^3=2^{x+3}$

Wichtig: Plus und Minus

Die Regeln für Produkte gelten nicht für Summen. Deshalb ist $2^x+3^x$ im Allgemeinen nicht gleich $5^x$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist $2^x\cdot 3^x$? ($6^x$) (!$5^x$) (!$6^{2x}$) (!$2^{3x}$)

Was ist $10^x:2^x$? ($5^x$) (!$8^x$) (!$20^x$) (!$5^{2x}$)

Was ist $(4^x{)}^3$? ($4^{3x}$) (!$12^x$) (!$4^{x+3}$) (!$64^{3x}$)

Was ist $\sqrt{25^x}$? ($5^x$) (!$25^{2x}$) (!$5^{2x}$) (!$25^x$)

Was ist $3^x\cdot 3^4$? ($3^{x+4}$) (!$9^{4x}$) (!$3^{4x}$) (!$6^{x+4}$)

Was ist $7^{x+5}:7^5$? ($7^x$) (!$7^{x+10}$) (!$1^x$) (!$7^5$)

Welche Aussage ist richtig? (Bei gleicher Hochzahl dürfen die Basen im Produkt multipliziert werden) (!Bei einer Summe dürfen die Basen immer addiert werden) (!Bei einer Division werden die Basen subtrahiert) (!Beim Potenzieren werden Exponenten addiert)

Welche Rechnung nutzt die Quotientenregel? (Acht hoch x geteilt durch zwei hoch x ergibt vier hoch x) (!Acht hoch x plus zwei hoch x ergibt zehn hoch x) (!Acht hoch x wird noch einmal quadriert) (!Aus acht hoch x wird die Wurzel gezogen)

Was ist $\sqrt[3]{8^x}$? ($2^x$) (!$8^{3x}$) (!$4^x$) (!$2^{3x}$)

Warum darf man $2^x+3^x$ nicht zu $5^x$ zusammenfassen? (Die Produktregel gilt nicht für Summen) (!Die Basen sind beide positiv) (!Der Exponent ist eine Variable) (!Die Zahl fünf ist zu groß)

Memory

Basis	feste Grundzahl
Exponent	hochgestellte Variable
Produktregel	Faktoren zusammenfassen
Quotientenregel	Bruchbasen bilden
Potenzregel	Exponenten multiplizieren
Wurzelregel	Exponenten teilen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Rechenweg
Produktregel	Gleich hohe Potenzen werden multipliziert
Quotientenregel	Gleich hohe Potenzen werden dividiert
Potenzregel	Eine Potenz wird erneut potenziert
Wurzelregel	Eine Potenz steht unter einer Wurzel
Summenwarnung	Potenzregeln dürfen nicht auf Plus übertragen werden

Kreuzworträtsel

Basis	Wie heißt die feste Grundzahl einer Potenz?
Exponent	Wie heißt die hochgestellte Zahl oder Variable?
Produkt	Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
Quotient	Wie heißt das Ergebnis einer Division?
Potenz	Wie heißt ein Ausdruck wie zwei hoch x?
Wurzel	Welche Rechenart teilt den Exponenten?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable im . Beim Multiplizieren von $a^x$ und $b^x$ werden die Basen . Beim Dividieren werden die Basen zu einem zusammengefasst. Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten . Eine n-te Wurzel teilt den Exponenten durch . Bei gleicher Basis werden die Exponenten in einem Produkt . In einem Quotienten mit gleicher Basis werden sie . Für eine Summe gilt die Produktregel .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Rechenkarte: Gestalte eine kleine Karte mit den vier Regeln Mal, Geteilt, Hoch und Wurzel.
2. Video-Notizen: Schreibe zu jeder Rechenart aus dem Video ein eigenes Beispiel auf.
3. Erklärsatz: Erkläre einer anderen Person den Unterschied zwischen Basis und Exponent.
4. Fehler finden: Erfinde eine falsche Rechnung mit Exponentialtermen und verbessere sie.

Standard

1. Aufgabenblatt: Erstelle sechs Rechenaufgaben zu den vier Regeln und gib Lösungen an.
2. Lernplakat: Gestalte ein Plakat mit Regeln, Beispielen und einer Warnung vor falschem Addieren.
3. Partnerinterview: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler zu einer Regel und notiere die Erklärung.
4. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zu $(a^x{)}^n=a^{nx}$.

Schwer

1. Beweisidee: Begründe $a^x\cdot b^x=(ab{)}^x$ zuerst für natürliche Exponenten.
2. Aufgabensammlung: Entwickle Aufgaben, in denen mehrere Regeln nacheinander gebraucht werden.
3. Fehleranalyse: Untersuche drei typische Fehler beim Rechnen mit Exponentialtermen und erkläre ihre Ursache.
4. Transferprojekt: Nutze Exponentialterme in einem Beispiel zu Wachstum oder Zerfall und vereinfache den Term.

Lernkontrolle

1. Strategiewahl: Entscheide bei fünf unbekannten Termen zuerst, welche Regel passt, und begründe Deine Wahl vor dem Rechnen.
2. Vergleich: Vergleiche $2^x\cdot 3^x$ mit $2^x+3^x$ und erkläre, warum nur einer der Terme einfach zusammengefasst werden kann.
3. Fehlerdiagnose: Eine Person rechnet $(5^x{)}^2=5^{x+2}$. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
4. Darstellungswechsel: Schreibe $a^{x/3}$ als Wurzel und erkläre den Zusammenhang.
5. Transfer: Ein Bestand wird erst mit $2^x$ und zusätzlich mit $3^x$ beschrieben. Fasse das gemeinsame Wachstum zusammen und deute das Ergebnis.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. die vier Rechenregeln sicher anwenden,
2. Basis und Exponent richtig benennen,
3. Terme mit gleicher Basis vereinfachen,
4. Wurzeln als gebrochene Exponenten verstehen,
5. falsche Anwendungen bei Plus und Minus erkennen und erklären.

Links

Mit Exponentialfunktionen rechnen 1 Exponentialfunktion Potenz Potenzgesetz Exponent Exponentielles Wachstum Exponentieller Zerfall