Minimum, Maximum und Spannweite - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Minimum, Maximum und Spannweite

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du die drei wichtigen statistischen Grundbegriffe Minimum, Maximum und Spannweite kennen. Sie helfen Dir, Daten schnell zu beschreiben: Welcher Wert ist am kleinsten? Welcher Wert ist am größten? Wie weit liegen der kleinste und der größte Wert auseinander?

Diese Begriffe begegnen Dir im Alltag sehr häufig. Du kannst damit zum Beispiel Temperaturen einer Woche, Punktzahlen in einem Spiel, Körpergrößen in einer Klasse, Preise in einem Geschäft oder Zeiten beim Sport vergleichen. Besonders wichtig ist dabei, dass Du genau zwischen einem einzelnen Wert und der gesamten Datenreihe unterscheidest.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, was Minimum, Maximum und Spannweite bedeuten. Du kannst diese Werte aus einer Datenreihe bestimmen, die Spannweite mit der Subtraktion berechnen und Deine Ergebnisse in einfachen Sätzen deuten. Außerdem lernst Du, warum die Spannweite nützlich ist, aber nicht immer alles über eine Datenreihe aussagt.

Grundbegriffe

Datenreihe

Eine Datenreihe ist eine Sammlung von Zahlenwerten, die zu einer gemeinsamen Frage gehören. Eine Datenreihe kann ungeordnet oder geordnet sein. Wenn Du Minimum, Maximum und Spannweite bestimmen möchtest, ist eine geordnete Darstellung oft besonders hilfreich.

Beispiel: Fünf Kinder messen, wie viele Minuten sie für den Schulweg brauchen.

$12,8,15,10,20$

Geordnet sieht die Datenreihe so aus:

$8,10,12,15,20$

Die geordnete Darstellung macht es leichter, den kleinsten und den größten Wert zu erkennen.

Minimum

Das Minimum ist der kleinste Wert einer Datenreihe. Es zeigt Dir, welcher Wert am niedrigsten ist.

Beispiel:

$8,10,12,15,20$

Das Minimum ist:

$\text{Minimum}=8$

In Worten: Die kürzeste Schulwegzeit beträgt 8 Minuten.

Maximum

Das Maximum ist der größte Wert einer Datenreihe. Es zeigt Dir, welcher Wert am höchsten ist.

Beispiel:

$8,10,12,15,20$

Das Maximum ist:

$\text{Maximum}=20$

In Worten: Die längste Schulwegzeit beträgt 20 Minuten.

Spannweite

Die Spannweite gibt an, wie weit der größte und der kleinste Wert einer Datenreihe auseinanderliegen. Sie wird berechnet, indem Du das Minimum vom Maximum abziehst.

$\text{Spannweite}=\text{Maximum}-\text{Minimum}$

Im Beispiel gilt:

$\text{Spannweite}=20-8=12$

In Worten: Die Schulwegzeiten unterscheiden sich höchstens um 12 Minuten.

Schritt-für-Schritt-Anleitung

So bestimmst Du Minimum, Maximum und Spannweite

Gehe bei einer Aufgabe immer systematisch vor. Das verhindert typische Fehler.

1. Datenreihe: Schreibe alle Werte sauber ab.
2. Ordnen: Sortiere die Werte der Größe nach.
3. Minimum: Bestimme den kleinsten Wert.
4. Maximum: Bestimme den größten Wert.
5. Spannweite: Rechne $\text{Maximum}-\text{Minimum}$.
6. Interpretation: Erkläre Dein Ergebnis in einem Satz.

Beispiel 1: Temperaturen

Eine Klasse misst an fünf Tagen die Höchsttemperaturen:

$18^{\circ }\text{C},21^{\circ }\text{C},17^{\circ }\text{C},24^{\circ }\text{C},20^{\circ }\text{C}$

Geordnet:

$17^{\circ }\text{C},18^{\circ }\text{C},20^{\circ }\text{C},21^{\circ }\text{C},24^{\circ }\text{C}$

Minimum:

$\text{Minimum}=17^{\circ }\text{C}$

Maximum:

$\text{Maximum}=24^{\circ }\text{C}$

Spannweite:

$\text{Spannweite}=24^{\circ }\text{C}-17^{\circ }\text{C}=7^{\circ }\text{C}$

Deutung: Die Temperaturen unterscheiden sich in dieser Woche höchstens um $7^{\circ }\text{C}$.

Beispiel 2: Punktzahlen

Bei einem Lernspiel erreichen sechs Kinder folgende Punktzahlen:

$14,9,17,17,11,6$

Geordnet:

$6,9,11,14,17,17$

Das Minimum ist $6$, das Maximum ist $17$.

$\text{Spannweite}=17-6=11$

Die Spannweite beträgt also $11$ Punkte. Dass das Maximum zweimal vorkommt, ändert die Spannweite nicht. Für Minimum, Maximum und Spannweite ist nur wichtig, welcher Wert der kleinste und welcher Wert der größte ist.

Beispiel 3: Körpergrößen

Fünf Kinder sind unterschiedlich groß:

$142\text{ cm},150\text{ cm},139\text{ cm},145\text{ cm},153\text{ cm}$

Geordnet:

$139\text{ cm},142\text{ cm},145\text{ cm},150\text{ cm},153\text{ cm}$

$\text{Minimum}=139\text{ cm}$

$\text{Maximum}=153\text{ cm}$

$\text{Spannweite}=153\text{ cm}-139\text{ cm}=14\text{ cm}$

Die Spannweite beträgt $14\text{ cm}$. Das bedeutet: Zwischen dem kleinsten und dem größten gemessenen Kind liegen $14\text{ cm}$.

Bedeutung und Grenzen der Spannweite

Was die Spannweite gut zeigt

Die Spannweite zeigt Dir schnell, wie stark die Werte in einer Datenreihe auseinandergehen. Eine kleine Spannweite bedeutet, dass Minimum und Maximum nah beieinanderliegen. Eine große Spannweite bedeutet, dass Minimum und Maximum weit auseinanderliegen.

Beispiel A:

$10,11,12,12,13$

$\text{Spannweite}=13-10=3$

Beispiel B:

$4,11,12,12,25$

$\text{Spannweite}=25-4=21$

Beispiel B hat eine viel größere Spannweite. Die Werte streuen dort stärker zwischen dem kleinsten und dem größten Wert.

Warum die Spannweite allein nicht immer reicht

Die Spannweite betrachtet nur zwei Werte: das Minimum und das Maximum. Alle anderen Werte werden bei der Berechnung nicht direkt verwendet. Deshalb kann ein einzelner sehr kleiner oder sehr großer Wert die Spannweite stark verändern. Solche ungewöhnlichen Werte nennt man Ausreißer.

Beispiel:

$9,10,10,11,60$

$\text{Minimum}=9$

$\text{Maximum}=60$

$\text{Spannweite}=60-9=51$

Die Spannweite ist sehr groß, weil der Wert $60$ weit von den anderen Werten entfernt liegt. Für eine genauere Beschreibung einer Datenreihe können später auch Median, Arithmetisches Mittel und Boxplot wichtig werden.

Typische Fehler und Tipps

Häufige Fehler

1. Rechenfehler: Beim Berechnen der Spannweite wird manchmal $\text{Minimum}-\text{Maximum}$ gerechnet. Richtig ist immer $\text{Maximum}-\text{Minimum}$.
2. Vergessenes Ordnen: In einer ungeordneten Datenreihe wird das Minimum oder Maximum leicht übersehen.
3. Einheit: Bei Größen wie ${}^{\circ }\text{C}$, $\text{cm}$, $\text{m}$ oder $\text{min}$ muss die Einheit im Ergebnis stehen.
4. Ausreißer: Eine große Spannweite bedeutet nicht automatisch, dass alle Werte weit auseinanderliegen. Manchmal liegt nur ein einzelner Wert weit außen.

Merksatz

Das Minimum ist der kleinste Wert, das Maximum ist der größte Wert und die Spannweite ist der Abstand zwischen beiden.

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Spannweite} = \text{Maximum} - \text{Minimum}}}

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist das Minimum einer Datenreihe? (der kleinste Wert) (!der größte Wert) (!die Summe aller Werte) (!die Anzahl der Werte)

Was ist das Maximum einer Datenreihe? (der größte Wert) (!der kleinste Wert) (!der mittlere Wert) (!die Differenz aller Werte)

Wie berechnet man die Spannweite? (Maximum minus Minimum) (!Minimum minus Maximum) (!Maximum plus Minimum) (!Minimum mal Maximum)

Welche Spannweite hat die Datenreihe 3, 5, 9, 12? (9) (!12) (!3) (!15)

Welche Zahl ist das Minimum der Datenreihe 18, 7, 11, 22, 9? (7) (!22) (!18) (!9)

Welche Zahl ist das Maximum der Datenreihe 4, 16, 8, 12, 16? (16) (!4) (!8) (!12)

Warum ist es oft hilfreich, eine Datenreihe zu ordnen? (Man erkennt den kleinsten und größten Wert leichter) (!Man verändert dadurch die Werte) (!Man erhält automatisch den Durchschnitt) (!Man braucht dann nicht mehr zu rechnen)

Welche Einheit hat die Spannweite bei Körpergrößen in Zentimetern? (Zentimeter) (!Kilogramm) (!Grad Celsius) (!Punkte pro Minute)

Was kann ein Ausreißer bei der Spannweite bewirken? (Er kann die Spannweite stark vergrößern) (!Er macht die Spannweite immer kleiner) (!Er löscht das Minimum) (!Er verhindert das Ordnen der Datenreihe)

Welche Aussage ist richtig? (Die Spannweite nutzt nur Minimum und Maximum) (!Die Spannweite nutzt immer alle Werte gleich stark) (!Die Spannweite ist immer der größte Wert) (!Die Spannweite ist immer der kleinste Wert)

Memory

Minimum	kleinster Wert
Maximum	größter Wert
Spannweite	Abstand zwischen größtem und kleinstem Wert
Datenreihe	Sammlung zusammengehöriger Werte
Ausreißer	ungewöhnlich weit entfernter Wert
Einheit	Angabe wie cm oder min

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Minimum	kleinster Wert
Maximum	größter Wert
Spannweite	Maximum minus Minimum
Datenreihe	Sammlung von Werten
Ausreißer	ungewöhnlich weit entfernter Wert

...

Kreuzworträtsel

Minimum	Wie heißt der kleinste Wert einer Datenreihe?
Maximum	Wie heißt der größte Wert einer Datenreihe?
Spannweite	Wie heißt der Abstand zwischen Maximum und Minimum?
Datenreihe	Wie nennt man eine Sammlung zusammengehöriger Werte?
Ausreisser	Wie nennt man einen ungewöhnlich weit entfernten Wert?
Einheit	Was muss bei Größen wie Zentimetern oder Minuten oft mit angegeben werden?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine ist eine Sammlung zusammengehöriger Werte. Das ist der kleinste Wert einer Datenreihe. Das ist der größte Wert einer Datenreihe. Die berechnet man, indem man das Minimum vom Maximum abzieht. Die Formel lautet: Spannweite gleich minus Minimum. Bei Messwerten wie Körpergrößen muss man die passende angeben. Ein ungewöhnlich weit entfernter Wert heißt . Eine große Spannweite zeigt, dass der kleinste und der größte Wert weit liegen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Daten sammeln: Notiere die Temperaturen von fünf aufeinanderfolgenden Tagen und bestimme Minimum, Maximum und Spannweite.
2. Zahlen ordnen: Erstelle eine eigene Datenreihe mit acht Zahlen, ordne sie der Größe nach und markiere Minimum und Maximum.
3. Alltagsbeispiel: Suche zu Hause ein Beispiel für Daten, etwa Preise, Zeiten oder Längen, und berechne die Spannweite.
4. Merksatz: Formuliere einen eigenen Merksatz zu Minimum, Maximum und Spannweite und gestalte ihn als Lernkarte.

Standard

1. Klassendaten: Befrage zehn Mitschülerinnen und Mitschüler nach ihrer Schulwegzeit und berechne Minimum, Maximum und Spannweite.
2. Diagramm: Stelle eine Datenreihe als Säulendiagramm dar und kennzeichne den kleinsten und größten Wert farblich.
3. Fehler finden: Erfinde eine falsche Lösung zur Spannweite und erkläre anschließend genau, wo der Fehler liegt.
4. Vergleich: Vergleiche zwei Datenreihen mit gleicher Anzahl von Werten und entscheide, welche Datenreihe die größere Spannweite hat.

Schwer

1. Ausreißer untersuchen: Erstelle eine Datenreihe mit einem Ausreißer und erkläre, wie dieser die Spannweite verändert.
2. Sachaufgabe entwickeln: Schreibe eine eigene Textaufgabe zu Minimum, Maximum und Spannweite mit Lösung und Erklärung.
3. Statistische Deutung: Begründe, warum die Spannweite allein manchmal nicht ausreicht, um eine Datenreihe gut zu beschreiben.
4. Mini-Projekt: Sammle echte Daten aus Sport, Wetter oder Schule, berechne die Spannweite und präsentiere Deine Ergebnisse mit einer kurzen Deutung.

Lernkontrolle

1. Daten deuten: Zwei Klassen vergleichen ihre täglichen Lesezeiten. Klasse A hat eine Spannweite von 8 Minuten, Klasse B eine Spannweite von 35 Minuten. Erkläre, was das über die Unterschiede innerhalb der Klassen aussagen kann.
2. Ausreißer bewerten: Eine Datenreihe lautet $12,13,13,14,50$. Beschreibe, warum die Spannweite groß ist und welche Rolle der Wert $50$ spielt.
3. Entscheidung begründen: Für einen Sportwettbewerb werden Zeiten verglichen. Erkläre, warum Minimum, Maximum und Spannweite nützlich sind, aber für eine faire Gesamtbewertung noch weitere Informationen nötig sein können.
4. Fehleranalyse: Eine Schülerin berechnet bei den Werten $5,9,11,18$ die Spannweite als $5-18=-13$. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
5. Transferaufgabe: Entwickle eine Alltagssituation, in der eine kleine Spannweite erwünscht ist, und eine Situation, in der eine große Spannweite interessant sein kann.
6. Vergleich von Datenreihen: Zwei Datenreihen haben dieselbe Spannweite. Erkläre mit einem Beispiel, warum sie trotzdem sehr unterschiedlich aussehen können.

Links

Minimum, Maximum und Spannweite Minimum Maximum Spannweite Datenreihe Statistik Daten Ausreißer Boxplot Arithmetisches Mittel Median