Mathematische Probleme durch Tabellen lösen - EKM


Mathematische Probleme durch Tabellen lösen - EKM
Einleitung
Mathematische Probleme durch Tabellen lösen - EKM zeigt Dir, wie Du Sachaufgaben, Probleme, Zahlenrätsel, Muster, Zuordnungen und einfache Funktionen mit Hilfe von Tabellen übersichtlich, systematisch und überprüfbar bearbeiten kannst. Eine Tabelle hilft Dir, Informationen zu ordnen, mehrere Möglichkeiten zu vergleichen, Regelmäßigkeiten zu erkennen und eine begründete Lösung zu finden.
In diesem aiMOOC steht EKM als Lernhilfe für Erfassen - Klären - Modellieren. Du erfährst, wie Du eine Aufgabe zuerst verstehst, dann passende Spalten und Zeilen planst und schließlich mit einer Rechenregel, einer Probe und einem Antwortsatz zu einer tragfähigen Lösung kommst. Tabellen sind besonders hilfreich, wenn eine Aufgabe mehrere Werte, mehrere Bedingungen oder mehrere Möglichkeiten enthält.

Warum Tabellen beim Problemlösen helfen
Eine Tabelle ist mehr als eine geordnete Liste. Sie ist ein Werkzeug des mathematischen Modellierens. In einer Tabelle kannst Du erkennen, was bekannt ist, was gesucht wird und wie sich Werte verändern. Dadurch wird aus einem unübersichtlichen Text eine strukturierte Darstellung.
Eine gute Tabelle hilft Dir besonders bei:
- Sachaufgaben: Du übersetzt einen Text in Zahlen, Größen und Beziehungen.
- systematischem Probieren: Du testest Möglichkeiten geordnet, statt zufällig zu raten.
- Mustererkennung: Du erkennst, ob Werte immer gleich, regelmäßig oder nach einer bestimmten Regel wachsen.
- Zuordnungen: Du vergleichst zwei oder mehr Größen, etwa Preis und Anzahl.
- Funktionen: Du berechnest zu Eingabewerten passende Ausgabewerte.
- Kombinatorik: Du listest Möglichkeiten vollständig auf, ohne doppelt zu zählen.
- Daten: Du ordnest Messwerte und kannst sie später in einem Diagramm darstellen.
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Die EKM-Strategie
Die EKM-Strategie ist eine einfache Merkhilfe für das Arbeiten mit Tabellen.
E: Erfassen
Beim Erfassen liest Du die Aufgabe genau. Du markierst wichtige Informationen, Zahlen, Größen, Bedingungen und die eigentliche Frage. Achte darauf, ob Einheiten wie Euro, Meter, Minute, Kilogramm oder Liter vorkommen. Notiere auch, ob etwas pro Stück, pro Person, pro Tag oder pro Runde angegeben ist.
Beispiel: Eine Klasse möchte Hefte kaufen. Ein Heft kostet 2 Euro. Gesucht ist der Preis für verschiedene Anzahlen von Heften. Du erfasst also die Größen Anzahl der Hefte und Preis in Euro.
K: Klären
Beim Klären entscheidest Du, welche Tabelle zur Aufgabe passt. Überlege, welche Spalten nötig sind und in welcher Reihenfolge Du die Werte einträgst. Eine gute Tabelle hat klare Spaltenüberschriften und passende Einheiten.
| Anzahl der Hefte | Preis in Euro |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
| 4 | 8 |
Die Tabelle zeigt: Wenn die Anzahl der Hefte um 1 steigt, wächst der Preis immer um 2 Euro. Daraus entsteht eine Rechenregel.
M: Modellieren
Beim Modellieren nutzt Du die Tabelle, um eine mathematische Regel zu finden. Danach rechnest Du weiter, überprüfst Deine Lösung und formulierst einen Antwortsatz. Im Beispiel lautet die Regel: Preis = Anzahl · 2 Euro. Für 12 Hefte ergibt sich also 24 Euro.
Tabellenarten beim mathematischen Problemlösen
Nicht jede Tabelle erfüllt denselben Zweck. Je nach Aufgabe brauchst Du unterschiedliche Tabellenarten.
Rechentabelle
Eine Rechentabelle hilft Dir, wiederholte Rechnungen übersichtlich durchzuführen. Sie eignet sich besonders für Sachaufgaben mit mehreren möglichen Werten.
| Anzahl | Einzelpreis | Gesamtpreis |
|---|---|---|
| 1 | 3 Euro | 3 Euro |
| 2 | 3 Euro | 6 Euro |
| 3 | 3 Euro | 9 Euro |
| 4 | 3 Euro | 12 Euro |
Wertetabelle
Eine Wertetabelle ordnet jedem Eingabewert einen Ausgabewert zu. Sie wird häufig bei Funktionen verwendet. Wenn zum Beispiel die Rechenregel lautet, kannst Du verschiedene Werte für einsetzen.
| Eingabewert x | Rechenregel | Ausgabewert y |
|---|---|---|
| 0 | 2 · 0 + 1 | 1 |
| 1 | 2 · 1 + 1 | 3 |
| 2 | 2 · 2 + 1 | 5 |
| 3 | 2 · 3 + 1 | 7 |
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Entscheidungstabelle
Eine Entscheidungstabelle hilft Dir, Möglichkeiten zu vergleichen. Sie eignet sich, wenn Du herausfinden sollst, welche Möglichkeit günstiger, schneller, gerechter oder passender ist.
| Angebot | Grundpreis | Preis pro Person | Kosten bei 6 Personen |
|---|---|---|---|
| Angebot A | 10 Euro | 4 Euro | 34 Euro |
| Angebot B | 0 Euro | 6 Euro | 36 Euro |
Hier ist Angebot A bei 6 Personen günstiger. Bei anderen Personenzahlen kann sich das Ergebnis ändern. Eine Tabelle macht solche Vergleiche sichtbar.
Kombinationstabelle
Eine Kombinationstabelle hilft bei Aufgaben, in denen verschiedene Möglichkeiten kombiniert werden. Beispiel: Es gibt drei T-Shirts und zwei Hosen. Wie viele Outfits sind möglich?
| Hose blau | Hose schwarz | |
|---|---|---|
| T-Shirt rot | rot und blau | rot und schwarz |
| T-Shirt grün | grün und blau | grün und schwarz |
| T-Shirt weiß | weiß und blau | weiß und schwarz |
Es entstehen 6 Kombinationen. Die Tabelle verhindert, dass Du eine Möglichkeit vergisst oder doppelt zählst.
Schritt-für-Schritt-Anleitung
Mit diesen Schritten kannst Du viele mathematische Probleme durch Tabellen lösen.
- Aufgabe verstehen: Lies die Aufgabe langsam und kläre, was gesucht ist.
- Informationen entnehmen: Markiere Zahlen, Größen, Bedingungen und Einheiten.
- Tabelle planen: Entscheide, welche Spalten oder Zeilen gebraucht werden.
- Werte eintragen: Beginne mit einfachen Werten und arbeite geordnet weiter.
- Muster erkennen: Suche Unterschiede, Summen, Produkte, Verdopplungen oder andere Beziehungen.
- Rechenregel: Formuliere eine Regel in Worten oder als Term.
- Probe: Prüfe, ob die Regel zu den vorhandenen Angaben passt.
- Antwortsatz: Schreibe eine klare Antwort zur Frage der Aufgabe.

Beispiel 1: Eine Sachaufgabe lösen
Aufgabe: Für einen Klassenausflug kostet die Busfahrt 120 Euro. Zusätzlich kostet der Eintritt 5 Euro pro Person. Wie viel kostet der Ausflug bei 10, 15, 20 und 25 Personen?
Zuerst erkennst Du zwei Kostenarten: einen festen Betrag und einen veränderlichen Betrag. Der feste Betrag ist die Busfahrt. Der veränderliche Betrag hängt von der Personenzahl ab.
| Personen | Busfahrt | Eintritt | Gesamtkosten |
|---|---|---|---|
| 10 | 120 Euro | 50 Euro | 170 Euro |
| 15 | 120 Euro | 75 Euro | 195 Euro |
| 20 | 120 Euro | 100 Euro | 220 Euro |
| 25 | 120 Euro | 125 Euro | 245 Euro |
Die Rechenregel lautet: Gesamtkosten = 120 Euro + Personen · 5 Euro. Die Tabelle zeigt, dass jede zusätzliche Person die Gesamtkosten um 5 Euro erhöht.
Beispiel 2: Ein Zahlenrätsel lösen
Aufgabe: Zwei Zahlen ergeben zusammen 31. Die zweite Zahl ist um 7 größer als die erste Zahl. Welche Zahlen sind gesucht?
Eine Tabelle hilft Dir, systematisch zu probieren.
| Erste Zahl | Zweite Zahl | Summe | Passt |
|---|---|---|---|
| 10 | 17 | 27 | nein |
| 11 | 18 | 29 | nein |
| 12 | 19 | 31 | ja |
Die gesuchten Zahlen sind 12 und 19. Die Probe bestätigt: 12 + 19 = 31 und 19 ist um 7 größer als 12.
Beispiel 3: Ein Muster fortsetzen
Aufgabe: Ein Figurenmuster wächst. Figur 1 besteht aus 4 Plättchen. Jede weitere Figur hat 3 Plättchen mehr. Wie viele Plättchen hat Figur 8?
| Figur | Anzahl der Plättchen | Veränderung |
|---|---|---|
| 1 | 4 | Startwert |
| 2 | 7 | plus 3 |
| 3 | 10 | plus 3 |
| 4 | 13 | plus 3 |
| 5 | 16 | plus 3 |
| 8 | 25 | fortgesetzt |
Die Tabelle zeigt ein lineares Wachstum. Die Anzahl wächst immer um 3. Für Figur 8 erhältst Du 25 Plättchen.
Beispiel 4: Eine faire Entscheidung treffen
Aufgabe: Für ein Schulfest gibt es zwei Mietangebote für Spielgeräte. Angebot A kostet 40 Euro Grundpreis und 8 Euro pro Stunde. Angebot B kostet 20 Euro Grundpreis und 12 Euro pro Stunde. Ab wie vielen Stunden ist Angebot A günstiger?
| Stunden | Angebot A | Angebot B | Günstiger |
|---|---|---|---|
| 1 | 48 Euro | 32 Euro | B |
| 2 | 56 Euro | 44 Euro | B |
| 3 | 64 Euro | 56 Euro | B |
| 4 | 72 Euro | 68 Euro | B |
| 5 | 80 Euro | 80 Euro | gleich teuer |
| 6 | 88 Euro | 92 Euro | A |
Ab 6 Stunden ist Angebot A günstiger. Bei 5 Stunden sind beide Angebote gleich teuer.
Gute Tabellen gestalten
Eine gute mathematische Tabelle ist klar, vollständig und sinnvoll geordnet. Sie muss nicht schön aussehen, aber sie muss beim Denken helfen.
- Überschrift: Jede Spalte braucht eine verständliche Überschrift.
- Einheit: Größen wie Euro, Meter oder Minuten müssen angegeben werden.
- Reihenfolge: Werte sollten geordnet eingetragen werden, zum Beispiel aufsteigend.
- Vollständigkeit: Alle wichtigen Fälle müssen berücksichtigt werden.
- Rechenweg: Zwischenschritte können sichtbar gemacht werden.
- Probe: Mindestens ein Ergebnis sollte überprüft werden.
- Antwortsatz: Die Lösung muss zur Frage passen.
Häufige Fehler und wie Du sie vermeidest
Beim Arbeiten mit Tabellen treten bestimmte Fehler immer wieder auf. Wenn Du sie kennst, kannst Du sie vermeiden.
| Fehler | Folge | Besser so |
|---|---|---|
| Einheiten fehlen | Ergebnisse sind schwer zu deuten | Einheiten in die Spaltenüberschrift schreiben |
| Werte werden ungeordnet eingetragen | Muster sind schwer erkennbar | Werte der Reihe nach eintragen |
| Zu wenige Fälle werden geprüft | Lösung kann unvollständig sein | weitere Zeilen ergänzen |
| Rechenregel wird nicht geprüft | falsche Vermutung bleibt unbemerkt | Probe mit einem bekannten Wert durchführen |
| Antwortsatz fehlt | Ergebnis ist nicht auf die Frage bezogen | Ergebnis in einem ganzen Satz erklären |
Tabellen und Diagramme
Eine Tabelle kann die Grundlage für ein Diagramm sein. Wenn Du Werte in einer Tabelle gesammelt hast, kannst Du sie in ein Säulendiagramm, Liniendiagramm oder Koordinatensystem übertragen. Tabellen zeigen genaue Werte. Diagramme zeigen besonders gut Entwicklungen, Vergleiche und Muster.

Digitale Tabellen
Mit einer Tabellenkalkulation kannst Du Tabellen digital erstellen. Programme wie LibreOffice Calc, Microsoft Excel oder Google Tabellen können Rechnungen automatisch ausführen. Trotzdem musst Du selbst entscheiden, welche Spalten sinnvoll sind, welche Formel passt und ob das Ergebnis logisch ist.
Eine digitale Tabelle ist hilfreich, wenn viele Werte berechnet werden müssen. Sie ersetzt aber nicht das mathematische Denken. Du brauchst weiterhin eine passende Fragestellung, eine sinnvolle Struktur, eine Kontrolle und eine verständliche Erklärung.
Merksatz
Eine Tabelle löst ein mathematisches Problem nicht von allein. Sie macht Informationen sichtbar, ordnet Möglichkeiten und hilft Dir, eine Regel zu erkennen. Die Lösung entsteht durch Dein mathematisches Denken.
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Wozu dient eine Tabelle beim mathematischen Problemlösen besonders? (Sie ordnet Informationen und macht Muster sichtbar) (!Sie ersetzt jede Rechnung vollständig) (!Sie macht jede Aufgabe automatisch eindeutig) (!Sie verhindert immer alle Fehler)
Welche Angabe gehört in eine gute Spaltenüberschrift? (Die passende Größe mit Einheit) (!Nur eine beliebige Zahl) (!Ein langer Antwortsatz) (!Eine zufällige Rechnung)
Was bedeutet Modellieren in der EKM-Strategie? (Die Situation mathematisch darstellen und eine Regel nutzen) (!Die Aufgabe ohne Lesen lösen) (!Nur das Ergebnis abschreiben) (!Alle Zahlen im Text addieren)
Welche Tabelle passt besonders gut zu einer Funktion? (Wertetabelle) (!Wörterbuch) (!Sitzplan) (!Kalenderblatt)
Warum ist systematisches Probieren mit einer Tabelle sinnvoll? (Weil Möglichkeiten geordnet geprüft werden) (!Weil Raten schneller wird) (!Weil keine Probe nötig ist) (!Weil Einheiten unwichtig werden)
Was zeigt eine Rechenregel in einer Tabelle? (Wie aus Eingabewerten passende Ausgabewerte entstehen) (!Wie viele Farben die Tabelle hat) (!Wie lang der Aufgabentext ist) (!Welche Schriftart verwendet wird)
Welche Frage hilft beim Erfassen einer Sachaufgabe? (Was ist gesucht) (!Welche Farbe hat die Tabelle) (!Wie viele Zeilen sind schön) (!Welche Antwort klingt am längsten)
Wann ist eine Entscheidungstabelle besonders nützlich? (Wenn mehrere Möglichkeiten verglichen werden) (!Wenn nur ein Wort übersetzt wird) (!Wenn gar keine Werte vorkommen) (!Wenn eine Zeichnung verboten ist)
Was ist eine Probe? (Eine Überprüfung der gefundenen Lösung) (!Eine neue zufällige Aufgabe) (!Eine Überschrift ohne Inhalt) (!Eine Liste ohne Rechnung)
Was sollte ein Antwortsatz leisten? (Er beantwortet die gestellte Frage verständlich) (!Er wiederholt nur alle Zahlen) (!Er ersetzt die Tabelle) (!Er enthält keine mathematische Aussage)
Memory
| Wertetabelle | Eingabewert und Ausgabewert |
| Rechentabelle | wiederholte Rechnungen |
| Entscheidungstabelle | Vergleich von Möglichkeiten |
| Kombinationstabelle | vollständige Übersicht über Paarungen |
| Probe | Kontrolle der Lösung |
| Einheit | Bedeutung einer Größe |
| Antwortsatz | verständliche Lösung zur Frage |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Thema |
|---|---|
| Informationen entnehmen | Aufgabentext verstehen |
| Spalten planen | Tabelle strukturieren |
| Werte eintragen | geordnet rechnen |
| Muster erkennen | Regel finden |
| Probe durchführen | Lösung überprüfen |
| Antwortsatz schreiben | Ergebnis erklären |
Kreuzworträtsel
| Tabelle | Geordnete Darstellung mit Zeilen und Spalten |
| Muster | Regelmäßigkeit in Zahlen oder Formen |
| Einheit | Angabe wie Euro Meter oder Minute |
| Probe | Kontrolle einer gefundenen Lösung |
| Spalte | Senkrechter Teil einer Tabelle |
| Zeile | Waagerechter Teil einer Tabelle |
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Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Tabellenüberschrift: Erfinde eine einfache Preisliste für Pausenbrötchen und erstelle eine Tabelle mit Anzahl und Gesamtpreis.
- Sachaufgabe: Schreibe eine kurze Sachaufgabe zu Eintrittspreisen und löse sie mit einer Tabelle.
- Einheit: Sammle fünf Größen aus Deinem Alltag und notiere jeweils eine passende Einheit in einer Tabelle.
- Probe: Nimm eine gelöste Tabellenaufgabe und schreibe zu zwei Ergebnissen eine verständliche Probe.
Standard
- Wertetabelle: Erstelle zu der Regel eine Wertetabelle für mehrere Eingabewerte und erkläre das Muster.
- Entscheidungstabelle: Vergleiche zwei Handy-, Bus- oder Freizeitangebote mit Grundpreis und Preis pro Nutzung.
- Kombinatorik: Entwickle eine Kombinationstabelle für drei Getränke und vier Snacks und bestimme alle möglichen Paare.
- Mathematisches Modellieren: Wähle eine Alltagssituation, etwa Sparen oder Fahrkosten, und übersetze sie in eine Tabelle mit Rechenregel.
Schwer
- Systematisches Probieren: Erstelle ein Zahlenrätsel mit zwei Bedingungen und löse es durch eine geordnete Tabelle.
- Funktionsgleichung: Finde zu einer selbst erstellten Wertetabelle eine passende Rechenregel und begründe Deine Entscheidung.
- Diagramm: Übertrage die Werte einer Tabelle in ein Diagramm und erkläre, was man im Diagramm schneller erkennt als in der Tabelle.
- Projektarbeit: Untersuche eine echte Fragestellung aus Deiner Klasse, sammle Daten, erstelle eine Tabelle und leite daraus eine begründete Entscheidung ab.

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Lernkontrolle
- Transferaufgabe: Eine Schule vergleicht zwei Kopierangebote. Angebot A hat einen höheren Grundpreis, aber niedrigere Seitenkosten. Entwickle eine Tabelle und erkläre, ab welcher Seitenzahl sich Angebot A lohnt.
- Begründung: Erkläre an einem eigenen Beispiel, warum eine Tabelle helfen kann, eine unvollständige Lösung zu erkennen.
- Fehleranalyse: In einer Tabelle fehlen Einheiten und die Werte sind ungeordnet. Beschreibe, welche Fehler dadurch entstehen können und wie Du die Tabelle verbessern würdest.
- Modellieren: Wandle eine Alltagssituation mit festen und veränderlichen Kosten in eine Rechenregel und eine Tabelle um.
- Vergleich: Beschreibe den Unterschied zwischen einer Tabelle und einem Diagramm. Erkläre, wann Du welches Werkzeug nutzen würdest.
- Reflexion: Beurteile, ob systematisches Probieren immer sinnvoll ist. Nenne eine Aufgabe, bei der es gut passt, und eine Aufgabe, bei der eine direkte Rechenregel besser ist.
Lernnachweis
Für einen überzeugenden Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du eine mathematische Problemstellung verstehst, passende Tabellenstrukturen auswählst, Werte korrekt berechnest und Deine Ergebnisse überprüfst. Wichtig ist nicht nur das richtige Ergebnis, sondern auch die Begründung Deines Vorgehens.
- Aufgabenverständnis: Du kannst erklären, was gesucht ist und welche Informationen gegeben sind.
- Tabellenstruktur: Du wählst sinnvolle Spalten, Zeilen, Überschriften und Einheiten.
- Rechenweg: Du trägst Werte geordnet ein und rechnest nachvollziehbar.
- Mustererkennung: Du erkennst Zusammenhänge, Veränderungen und Rechenregeln.
- Probe: Du überprüfst mindestens ein Ergebnis und erkennst mögliche Fehler.
- Antwortsatz: Du formulierst eine klare Antwort, die zur Ausgangsfrage passt.
- Reflexion: Du kannst erklären, warum die Tabelle bei dieser Aufgabe hilfreich war.
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