Logarithmische Achsen - vertikale Achse
Logarithmische Achsen - vertikale Achse
Logarithmische Achsen - vertikale Achse
Einleitung
Eine logarithmische Darstellung hilft, sehr kleine und sehr große Werte in einem Diagramm zu zeigen. In diesem Kurs ist nur die vertikale Achse logarithmisch. Sie heißt auch Ordinate oder y-Achse.
Auf einer linearen Achse bedeuten gleiche Abstände gleiche Differenzen. Auf einer logarithmischen Achse bedeuten gleiche Abstände gleiche Faktoren.
Beispiel: Die Werte 1, 10, 100 und 1000 liegen bei einer logarithmischen Achse zur Basis 10 gleich weit auseinander.
Die vertikale logarithmische Achse lesen
- Zehnerpotenz: Suche zuerst die Hauptmarken 1, 10, 100, 1000 und so weiter.
- Dekade: Ein Abschnitt von 10 bis 100 oder von 100 bis 1000 heißt Dekade.
- Faktor: Ein gleicher Abstand bedeutet dieselbe Multiplikation.
- Definitionsbereich: Auf einer normalen logarithmischen Achse können nur positive Werte dargestellt werden. Null ist nicht möglich.
| Lineare Achse | Logarithmische Achse |
|---|---|
| Gleicher Abstand bedeutet gleiche Differenz. | Gleicher Abstand bedeutet gleichen Faktor. |
| 10, 20, 30, 40 liegen gleich weit auseinander. | 1, 10, 100, 1000 liegen gleich weit auseinander. |
| Gut für einen kleinen Wertebereich. | Gut für viele Größenordnungen. |
Exponentielles Wachstum erkennen
Bei einer Exponentialfunktion der Form kann der Graph in einem Diagramm mit logarithmischer y-Achse wie eine Gerade aussehen.
Das liegt daran, dass gilt:
Eine steile Gerade zeigt einen großen Wachstumsfaktor. Eine fallende Gerade kann einen exponentiellen Zerfall zeigen.
Anwendungen
Logarithmische Achsen werden benutzt, wenn Werte viele Größenordnungen umfassen. Beispiele sind Bevölkerungswachstum, Schalldruckpegel, Erdbeben, Zinseszins und die Entwicklung technischer Leistungen.
Video: Logarithmische Achsen - vertikale Achse
Aufgaben zum Video
- Achsenart erkennen: Stoppe das Video bei einem Diagramm. Welche Achse ist logarithmisch?
- Skalenwerte notieren: Schreibe drei aufeinanderfolgende Hauptmarken der vertikalen Achse auf.
- Faktor bestimmen: Berechne den Faktor zwischen zwei benachbarten Hauptmarken.
- Graph beschreiben: Erkläre in zwei Sätzen, wie ein exponentieller Verlauf im Diagramm aussieht.
- Video-Skizze: Zeichne ein Beispiel aus dem Video ab und beschrifte beide Achsen.
- Merksatz: Formuliere einen eigenen Merksatz zur logarithmischen y-Achse.
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Was bedeuten gleiche Abstände auf einer logarithmischen Achse? (Gleiche Faktoren) (!Gleiche Summen) (!Gleiche Differenzen) (!Gleiche Vorzeichen)
Welche Werte liegen auf einer logarithmischen Achse zur Basis 10 gleich weit auseinander? (1, 10, 100, 1000) (!1, 2, 3, 4) (!10, 20, 30, 40) (!5, 15, 25, 35)
Wie heißt ein Diagramm, wenn nur eine Achse logarithmisch ist? (Halblogarithmisch) (!Doppelt linear) (!Symmetrisch) (!Periodisch)
Welcher Wert kann auf einer normalen logarithmischen Achse nicht dargestellt werden? (Null) (!Eins) (!Zehn) (!Hundert)
Wann ist eine logarithmische y-Achse besonders nützlich? (Bei Werten aus vielen Größenordnungen) (!Bei nur einem Messwert) (!Bei gleichen Textlängen) (!Bei geometrischen Winkeln)
Wie erscheint exponentielles Wachstum oft bei logarithmischer y-Achse? (Als Gerade) (!Als Kreis) (!Als Parabel) (!Als Rechteck)
Welcher Wert liegt logarithmisch ungefähr in der Mitte zwischen 10 und 100? (31,6) (!20) (!55) (!90)
Welcher Abschnitt hat denselben logarithmischen Abstand wie 2 bis 20? (20 bis 200) (!20 bis 30) (!20 bis 40) (!100 bis 110)
Wie heißt die vertikale Achse eines Koordinatensystems? (Ordinate) (!Abszisse) (!Diagonale) (!Tangente)
Woran erkennst Du häufig eine logarithmische Achse zur Basis 10? (Zehnerpotenzen liegen gleich weit auseinander) (!Alle Zahlen liegen gleich weit auseinander) (!Die Achse beginnt immer bei null) (!Die Achse enthält nur negative Werte)
Memory
| Dekade | Abschnitt zwischen zwei benachbarten Zehnerpotenzen |
| Ordinate | Vertikale Achse |
| Faktor | Verhältnis zweier Werte |
| Halblogarithmisch | Nur eine Achse ist logarithmisch |
| Exponentialfunktion | Wird oft als Gerade sichtbar |
| Nullwert | Nicht auf der normalen Logarithmusachse darstellbar |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Thema |
|---|---|
| Multiplikation | Gleicher Abstand auf der logarithmischen Achse |
| Addition | Gleicher Abstand auf der linearen Achse |
| Zehnerpotenz | Hauptmarke einer dekadischen Skala |
| Exponentialwachstum | Gerade im halblogarithmischen Diagramm |
| Nullwert | Nicht auf der normalen Logarithmusachse |
Kreuzworträtsel
| Ordinate | Wie heißt die vertikale Achse? |
| Dekade | Wie heißt ein Abschnitt zwischen zwei benachbarten Zehnerpotenzen? |
| Faktor | Was bleibt bei gleichen logarithmischen Abständen gleich? |
| Logarithmus | Welche Rechenart steckt hinter der Achsenteilung? |
| Halblogarithmisch | Wie heißt ein Diagramm mit nur einer logarithmischen Achse? |
| Zehnerpotenz | Wie heißt ein Wert wie zehn, hundert oder tausend? |
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Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Achsen markieren: Markiere in einer Grafik die logarithmische y-Achse und die lineare x-Achse.
- Video-Notiz: Schreibe drei wichtige Aussagen aus dem Video auf.
- Skala zeichnen: Zeichne die Hauptmarken 1, 10, 100 und 1000 mit gleichen Abständen.
- Fehler finden: Erkläre, warum 10, 20, 30 und 40 nicht die Hauptmarken einer logarithmischen Skala sind.
Standard
- Diagrammvergleich: Zeichne dieselben Messwerte einmal linear und einmal mit logarithmischer y-Achse.
- Wachstumsfaktor: Erstelle eine Wertetabelle mit einem festen Wachstumsfaktor und trage sie halblogarithmisch auf.
- Digitale Darstellung: Erzeuge mit GeoGebra oder einer Tabellenkalkulation ein Diagramm mit logarithmischer y-Achse.
- Mittelwert untersuchen: Prüfe, warum die logarithmische Mitte zwischen 10 und 100 ungefähr 31,6 ist.
Schwer
- Linearisierung: Leite aus die lineare Form für her.
- Messdatenanalyse: Untersuche reale Wachstumsdaten und entscheide, ob ein exponentielles Modell passt.
- Steigung deuten: Vergleiche zwei Geraden im halblogarithmischen Diagramm und deute ihre Steigungen.
- Diagrammkritik: Suche ein logarithmisches Diagramm und prüfe, ob Beschriftung und Aussage verständlich sind.
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Lernkontrolle
- Darstellungswahl: Begründe für einen Datensatz mit Werten von 0,1 bis 1.000.000, ob eine lineare oder logarithmische y-Achse besser ist.
- Fehlinterpretation: Eine Person sagt, gleiche Abstände bedeuteten gleiche Differenzen. Widerlege diese Aussage mit einem Beispiel.
- Modellvergleich: Erkläre, wie Du mit einem halblogarithmischen Diagramm exponentielles Wachstum erkennen kannst.
- Nullproblem: Entwickle eine sinnvolle Lösung für einen Datensatz, der auch Nullwerte enthält.
- Transfer: Entwirf ein Diagramm für eine reale Entwicklung und begründe Achsenwahl, Beschriftung und Aussage.
Lernnachweis
Für Deinen Lernnachweis solltest Du:
- eine logarithmische vertikale Achse sicher erkennen,
- Werte und Zwischenwerte richtig ablesen,
- den Unterschied zwischen Differenz und Faktor erklären,
- exponentielle Verläufe im halblogarithmischen Diagramm erkennen,
- eine passende Achsenskalierung begründet auswählen.
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