Logarithmische Achsen - vertikale Achse

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Eine logarithmische Darstellung hilft, sehr kleine und sehr große Werte in einem Diagramm zu zeigen. In diesem Kurs ist nur die vertikale Achse logarithmisch. Sie heißt auch Ordinate oder y-Achse.

Auf einer linearen Achse bedeuten gleiche Abstände gleiche Differenzen. Auf einer logarithmischen Achse bedeuten gleiche Abstände gleiche Faktoren.

Beispiel: Die Werte 1, 10, 100 und 1000 liegen bei einer logarithmischen Achse zur Basis 10 gleich weit auseinander.

Die vertikale logarithmische Achse lesen

1. Zehnerpotenz: Suche zuerst die Hauptmarken 1, 10, 100, 1000 und so weiter.
2. Dekade: Ein Abschnitt von 10 bis 100 oder von 100 bis 1000 heißt Dekade.
3. Faktor: Ein gleicher Abstand bedeutet dieselbe Multiplikation.
4. Definitionsbereich: Auf einer normalen logarithmischen Achse können nur positive Werte dargestellt werden. Null ist nicht möglich.

Lineare Achse	Logarithmische Achse
Gleicher Abstand bedeutet gleiche Differenz.	Gleicher Abstand bedeutet gleichen Faktor.
10, 20, 30, 40 liegen gleich weit auseinander.	1, 10, 100, 1000 liegen gleich weit auseinander.
Gut für einen kleinen Wertebereich.	Gut für viele Größenordnungen.

Exponentielles Wachstum erkennen

Bei einer Exponentialfunktion der Form $y=a\cdot b^x$ kann der Graph in einem Diagramm mit logarithmischer y-Achse wie eine Gerade aussehen.

Das liegt daran, dass gilt:

$\log (y)=\log (a)+x\cdot \log (b)$

Datei:Logarithmic scale (2).png

Eine steile Gerade zeigt einen großen Wachstumsfaktor. Eine fallende Gerade kann einen exponentiellen Zerfall zeigen.

Anwendungen

Logarithmische Achsen werden benutzt, wenn Werte viele Größenordnungen umfassen. Beispiele sind Bevölkerungswachstum, Schalldruckpegel, Erdbeben, Zinseszins und die Entwicklung technischer Leistungen.

Datei:Installed solar PV capacity log graph.svg

Datei:Semilog graph paper.svg

Video: Logarithmische Achsen - vertikale Achse

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Aufgaben zum Video

1. Achsenart erkennen: Stoppe das Video bei einem Diagramm. Welche Achse ist logarithmisch?
2. Skalenwerte notieren: Schreibe drei aufeinanderfolgende Hauptmarken der vertikalen Achse auf.
3. Faktor bestimmen: Berechne den Faktor zwischen zwei benachbarten Hauptmarken.
4. Graph beschreiben: Erkläre in zwei Sätzen, wie ein exponentieller Verlauf im Diagramm aussieht.
5. Video-Skizze: Zeichne ein Beispiel aus dem Video ab und beschrifte beide Achsen.
6. Merksatz: Formuliere einen eigenen Merksatz zur logarithmischen y-Achse.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeuten gleiche Abstände auf einer logarithmischen Achse? (Gleiche Faktoren) (!Gleiche Summen) (!Gleiche Differenzen) (!Gleiche Vorzeichen)

Welche Werte liegen auf einer logarithmischen Achse zur Basis 10 gleich weit auseinander? (1, 10, 100, 1000) (!1, 2, 3, 4) (!10, 20, 30, 40) (!5, 15, 25, 35)

Wie heißt ein Diagramm, wenn nur eine Achse logarithmisch ist? (Halblogarithmisch) (!Doppelt linear) (!Symmetrisch) (!Periodisch)

Welcher Wert kann auf einer normalen logarithmischen Achse nicht dargestellt werden? (Null) (!Eins) (!Zehn) (!Hundert)

Wann ist eine logarithmische y-Achse besonders nützlich? (Bei Werten aus vielen Größenordnungen) (!Bei nur einem Messwert) (!Bei gleichen Textlängen) (!Bei geometrischen Winkeln)

Wie erscheint exponentielles Wachstum oft bei logarithmischer y-Achse? (Als Gerade) (!Als Kreis) (!Als Parabel) (!Als Rechteck)

Welcher Wert liegt logarithmisch ungefähr in der Mitte zwischen 10 und 100? (31,6) (!20) (!55) (!90)

Welcher Abschnitt hat denselben logarithmischen Abstand wie 2 bis 20? (20 bis 200) (!20 bis 30) (!20 bis 40) (!100 bis 110)

Wie heißt die vertikale Achse eines Koordinatensystems? (Ordinate) (!Abszisse) (!Diagonale) (!Tangente)

Woran erkennst Du häufig eine logarithmische Achse zur Basis 10? (Zehnerpotenzen liegen gleich weit auseinander) (!Alle Zahlen liegen gleich weit auseinander) (!Die Achse beginnt immer bei null) (!Die Achse enthält nur negative Werte)

Memory

Dekade	Abschnitt zwischen zwei benachbarten Zehnerpotenzen
Ordinate	Vertikale Achse
Faktor	Verhältnis zweier Werte
Halblogarithmisch	Nur eine Achse ist logarithmisch
Exponentialfunktion	Wird oft als Gerade sichtbar
Nullwert	Nicht auf der normalen Logarithmusachse darstellbar

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Multiplikation	Gleicher Abstand auf der logarithmischen Achse
Addition	Gleicher Abstand auf der linearen Achse
Zehnerpotenz	Hauptmarke einer dekadischen Skala
Exponentialwachstum	Gerade im halblogarithmischen Diagramm
Nullwert	Nicht auf der normalen Logarithmusachse

Kreuzworträtsel

Ordinate	Wie heißt die vertikale Achse?
Dekade	Wie heißt ein Abschnitt zwischen zwei benachbarten Zehnerpotenzen?
Faktor	Was bleibt bei gleichen logarithmischen Abständen gleich?
Logarithmus	Welche Rechenart steckt hinter der Achsenteilung?
Halblogarithmisch	Wie heißt ein Diagramm mit nur einer logarithmischen Achse?
Zehnerpotenz	Wie heißt ein Wert wie zehn, hundert oder tausend?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Auf einer logarithmischen Achse stehen gleiche Abstände für gleiche .

Die vertikale Achse heißt auch .

Die Werte 1, 10, 100 und 1000 sind .

Ein Abschnitt zwischen zwei benachbarten Hauptmarken heißt .

Exponentielles Wachstum kann im halblogarithmischen Diagramm als erscheinen.

Auf einer normalen logarithmischen Achse sind nur Werte möglich.

Der Wert kann dort nicht dargestellt werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Achsen markieren: Markiere in einer Grafik die logarithmische y-Achse und die lineare x-Achse.
2. Video-Notiz: Schreibe drei wichtige Aussagen aus dem Video auf.
3. Skala zeichnen: Zeichne die Hauptmarken 1, 10, 100 und 1000 mit gleichen Abständen.
4. Fehler finden: Erkläre, warum 10, 20, 30 und 40 nicht die Hauptmarken einer logarithmischen Skala sind.

Standard

1. Diagrammvergleich: Zeichne dieselben Messwerte einmal linear und einmal mit logarithmischer y-Achse.
2. Wachstumsfaktor: Erstelle eine Wertetabelle mit einem festen Wachstumsfaktor und trage sie halblogarithmisch auf.
3. Digitale Darstellung: Erzeuge mit GeoGebra oder einer Tabellenkalkulation ein Diagramm mit logarithmischer y-Achse.
4. Mittelwert untersuchen: Prüfe, warum die logarithmische Mitte zwischen 10 und 100 ungefähr 31,6 ist.

Schwer

1. Linearisierung: Leite aus $y=a\cdot b^x$ die lineare Form für $\log (y)$ her.
2. Messdatenanalyse: Untersuche reale Wachstumsdaten und entscheide, ob ein exponentielles Modell passt.
3. Steigung deuten: Vergleiche zwei Geraden im halblogarithmischen Diagramm und deute ihre Steigungen.
4. Diagrammkritik: Suche ein logarithmisches Diagramm und prüfe, ob Beschriftung und Aussage verständlich sind.

Lernkontrolle

1. Darstellungswahl: Begründe für einen Datensatz mit Werten von 0,1 bis 1.000.000, ob eine lineare oder logarithmische y-Achse besser ist.
2. Fehlinterpretation: Eine Person sagt, gleiche Abstände bedeuteten gleiche Differenzen. Widerlege diese Aussage mit einem Beispiel.
3. Modellvergleich: Erkläre, wie Du mit einem halblogarithmischen Diagramm exponentielles Wachstum erkennen kannst.
4. Nullproblem: Entwickle eine sinnvolle Lösung für einen Datensatz, der auch Nullwerte enthält.
5. Transfer: Entwirf ein Diagramm für eine reale Entwicklung und begründe Achsenwahl, Beschriftung und Aussage.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. eine logarithmische vertikale Achse sicher erkennen,
2. Werte und Zwischenwerte richtig ablesen,
3. den Unterschied zwischen Differenz und Faktor erklären,
4. exponentielle Verläufe im halblogarithmischen Diagramm erkennen,
5. eine passende Achsenskalierung begründet auswählen.

Links

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