Lineare Funktionen und Geraden aufstellen

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Lineare Funktionen und Geraden aufstellen

Fach: Mathematik · Klassen: 7–11

Eine lineare Funktion hat als Graphen eine Gerade. Du lernst hier, wie Du aus einer Gleichung, aus einem Punkt und einer Steigung oder aus zwei Punkten eine Gerade aufstellst.

Lineare Funktion in der Form y = mx + b

Grundlagen

Die Form y = mx + b

Die Grundform lautet:

$f(x)=m\cdot x+b$

m ist die Steigung. b ist der y-Achsenabschnitt. Der Punkt $(0|b)$ liegt immer auf der Geraden.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Parameter einer linearen Funktion

Ist $m>0$, steigt die Gerade. Ist $m<0$, fällt sie. Bei $m=0$ ist sie waagerecht.

Steigung mit dem Steigungsdreieck

Die Steigung ist die Änderung nach oben oder unten geteilt durch die Änderung nach rechts:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Gerade mit Steigungsdreieck

Gerade mit Steigungsdreieck

Gerade aus Steigung und Punkt

Gegeben sind die Steigung $m$ und ein Punkt $P(x_0|y_0)$.

1. Setze in $y=m\cdot x+b$ ein.
2. Berechne $b=y_0-m\cdot x_0$.
3. Schreibe die fertige Gleichung auf.

Beispiel: $m=2$ und $P(1|5)$. Dann gilt $b=5-2\cdot 1=3$. Die Gerade ist $f(x)=2x+3$.

Gerade aus zwei Punkten

Gegeben sind $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ mit $x_1\ne x_2$.

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Danach setzt Du einen Punkt ein und berechnest $b$.

Beispiel: $P(1|2)$ und $Q(3|6)$. Es gilt $m=2$ und $b=0$. Also ist $f(x)=2x$.

Geraden und ihre Gleichungen

Geraden und ihre Gleichungen

Werte am Graphen lesen

Ein Punkt $(x|y)$ zeigt: Zum Wert $x$ gehört der Funktionswert $y$.

Funktionswerte aus einem Graphen ablesen

Funktionswerte aus einem Graphen ablesen

Video und Aufgaben

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Stoppe es bei Rechenschritten und rechne zuerst selbst.

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Aufgaben zum Video

1. Videoanalyse: Notiere die verschiedenen Wege, mit denen im Video eine Geradengleichung aufgestellt wird.
2. Steigung: Erkläre mit eigenen Worten, wie die Steigung aus zwei Punkten berechnet wird.
3. Y-Achsenabschnitt: Stoppe vor einem Ergebnis und berechne den Achsenabschnitt selbst.
4. Fehlerkontrolle: Prüfe ein Beispiel aus dem Video durch Einsetzen eines Punktes.
5. Erklärbild: Zeichne zu einem Beispiel ein Koordinatensystem, die Gerade und ein Steigungsdreieck.
6. Merksatz: Formuliere einen Satz, der Dir beim Aufstellen einer Geraden hilft.

Freies Zusatzvideo

Dieses freie Video wiederholt Funktionsterm, Graph und Steigungsdreieck.

Datei:Lineare Funktionen - kolleg24 Mathematik.webm

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie sieht der Graph einer linearen Funktion aus? (Als Gerade) (!Als Kreis) (!Als Parabel) (!Als Spirale)

Welche Form hat eine lineare Funktion? (f von x gleich m mal x plus b) (!f von x gleich x hoch zwei) (!f von x gleich m geteilt durch x) (!f von x gleich b hoch x)

Wofür steht m? (Für die Steigung) (!Für den Ursprung) (!Für den Funktionswert) (!Für die x-Achse)

Wofür steht b? (Für den y-Achsenabschnitt) (!Für die Steigung) (!Für den Nullpunkt) (!Für die Länge der Geraden)

Was gilt bei einer positiven Steigung? (Die Gerade steigt von links nach rechts) (!Die Gerade fällt von links nach rechts) (!Die Gerade ist senkrecht) (!Die Gerade ist ein Kreis)

Welchen y-Achsenabschnitt hat y gleich 2x minus 3? (Minus 3) (!2) (!3) (!Minus 2)

Welche Gerade hat die Steigung minus 1 und geht durch den Punkt 0 Strich 4? (y gleich minus x plus 4) (!y gleich x plus 4) (!y gleich minus 4x plus 1) (!y gleich 4x minus 1)

Wie berechnet man die Steigung aus zwei Punkten? (Differenz der y-Werte geteilt durch Differenz der x-Werte) (!Summe der y-Werte geteilt durch Summe der x-Werte) (!Differenz der x-Werte geteilt durch Differenz der y-Werte) (!Produkt aller Koordinaten)

Welche Steigung hat die Gerade durch 1 Strich 3 und 3 Strich 7? (2) (!1) (!3) (!4)

Was bedeutet m gleich 0? (Die Gerade ist waagerecht) (!Die Gerade ist senkrecht) (!Die Gerade steigt) (!Die Gerade fällt)

Memory

Steigung	m
y-Achsenabschnitt	b
Steigungsdreieck	Delta y durch Delta x
Punktprobe	Koordinaten einsetzen
Parallele Geraden	gleiche Steigung
Konstante Funktion	waagerechte Gerade

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Arbeitsschritt
Steigungsdreieck	Steigung am Graphen bestimmen
Schnittpunkt mit der y-Achse	y-Achsenabschnitt ablesen
Differenzenquotient	Steigung aus zwei Punkten berechnen
Punkt einsetzen	Achsenabschnitt berechnen
Punktprobe	Ergebnis kontrollieren

Kreuzworträtsel

Gerade	Wie heißt der Graph einer linearen Funktion?
Steigung	Welche Größe beschreibt das Steigen oder Fallen?
Achsenabschnitt	Wie heißt der Wert b mit einem Wort?
Koordinaten	Welche Zahlen beschreiben die Lage eines Punktes?
Punktprobe	Wie heißt die Kontrolle durch Einsetzen?
Parallel	Wie liegen Geraden mit gleicher Steigung, wenn sie verschieden sind?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Graph einer linearen Funktion ist eine . In der Gleichung $f(x)=m\cdot x+b$ beschreibt $m$ die . Der Wert $b$ heißt . Bei einer positiven Steigung die Gerade von links nach rechts. Aus zwei Punkten berechnet man zuerst die . Durch Einsetzen eines Punktes findet man danach den .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Parameter erkennen: Markiere in fünf Gleichungen jeweils $m$ und $b$.
2. Gerade zeichnen: Zeichne $f(x)=x+2$ und markiere das Steigungsdreieck.
3. Geraden im Alltag: Fotografiere oder skizziere drei gerade Linien und beschreibe ihre Lage.
4. Videoprotokoll: Schreibe fünf kurze Merksätze zum Lernvideo.

Standard

1. Zwei Punkte: Wähle zwei Punkte, berechne die Gleichung ihrer Geraden und prüfe beide Punkte.
2. Fehler finden: Erfinde eine falsche Rechnung und erkläre den Fehler.
3. Lernplakat: Gestalte ein Plakat zu $m$, $b$ und Steigungsdreieck.
4. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zum Aufstellen einer Geraden aus zwei Punkten.

Schwer

1. Lineares Modell: Entwickle ein Kostenmodell mit Grundgebühr und Preis pro Einheit.
2. Methodenvergleich: Vergleiche das Aufstellen aus einem Graphen, aus zwei Punkten und aus Punkt plus Steigung.
3. Parallele Geraden: Finde drei verschiedene Geraden, die parallel zu $f(x)=2x-1$ sind, und begründe Deine Wahl.
4. Digitale Untersuchung: Verändere in einer dynamischen Geometriesoftware $m$ und $b$ und dokumentiere die Wirkung.

Lernkontrolle

1. Handytarife vergleichen: Zwei Tarife bestehen aus Grundgebühr und Preis pro Gigabyte. Stelle beide Funktionen auf, bestimme ihren Schnittpunkt und deute ihn.
2. Fehleranalyse: Eine Person berechnet aus $P(1|4)$ und $Q(3|8)$ die Steigung mit $(3-1)/(8-4)$. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
3. Rückwärtsaufgabe: Erfinde zwei Punkte, deren Gerade die Gleichung $y=-2x+5$ besitzt, und begründe Deine Wahl.
4. Entscheidung: Prüfe, ob die Punkte $A(2|7)$, $B(4|11)$ und $C(6|16)$ auf einer Geraden liegen.
5. Begründung: Erkläre, warum zwei Punkte mit verschiedenen x-Werten genau eine Gerade festlegen.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. Steigung und y-Achsenabschnitt erklären kannst.
2. eine Gerade aus $m$ und $b$ zeichnen kannst.
3. eine Geradengleichung aus einem Punkt und einer Steigung aufstellen kannst.
4. eine Geradengleichung aus zwei Punkten berechnen und prüfen kannst.
5. ein einfaches Alltagsproblem mit einer linearen Funktion modellieren kannst.

Links

Lineare Funktionen und Geraden aufstellen Lineare Funktion Geradengleichung Steigung Steigungsdreieck Y-Achsenabschnitt Koordinatensystem Punktprobe