Kreis - Radius, Durchmesser und Mittelpunkt - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Ein Kreis ist eine der wichtigsten Figuren der Geometrie. Du findest Kreise im Alltag überall: bei Rädern, Uhren, Tellern, Münzen, Knöpfen, Zielscheiben oder Verkehrszeichen. In der Mathematik wird ein Kreis besonders genau beschrieben. Dafür brauchst Du vor allem drei Grundbegriffe: Mittelpunkt, Radius und Durchmesser.

Ein Kreis besteht aus allen Punkten einer Ebene, die vom Mittelpunkt denselben Abstand haben. Dieser Abstand heißt Radius. Der Durchmesser verläuft durch den Mittelpunkt und verbindet zwei gegenüberliegende Punkte der Kreislinie. Für die Klassenstufen 5 und 6 ist besonders wichtig, dass Du diese Begriffe erkennen, zeichnen, beschriften, messen und miteinander umrechnen kannst.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Grundbegriffe des Kreises

Der Mittelpunkt

Der Mittelpunkt ist der Punkt genau in der Mitte eines Kreises. In Zeichnungen wird er häufig mit dem Buchstaben $M$ bezeichnet. Alle Punkte auf der Kreislinie sind gleich weit von diesem Mittelpunkt entfernt. Wenn Du einen Kreis mit dem Zirkel zeichnest, setzt Du die Zirkelspitze in den Mittelpunkt. Die Öffnung des Zirkels bestimmt dann den Radius.

Der Mittelpunkt ist wichtig, weil er die Lage des Kreises festlegt. Verschiebst Du den Mittelpunkt, verschiebst Du den ganzen Kreis. Bleibt der Radius gleich, ist der Kreis zwar gleich groß, liegt aber an einer anderen Stelle.

Der Radius

Der Radius ist eine Strecke vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf der Kreislinie. Er wird meist mit $r$ abgekürzt. Alle Radien eines Kreises sind gleich lang. Das ist eine zentrale Eigenschaft des Kreises.

In mathematischer Schreibweise gilt:

r = Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie

Wenn Du zum Beispiel einen Kreis mit dem Radius $r=3\text{cm}$ zeichnest, stellst Du den Zirkel auf $3\text{cm}$ ein. Jeder Punkt auf der Kreislinie ist dann genau $3\text{cm}$ vom Mittelpunkt entfernt.

Der Durchmesser

Der Durchmesser ist eine Strecke, die durch den Mittelpunkt verläuft und zwei Punkte der Kreislinie miteinander verbindet. Er wird meist mit $d$ abgekürzt. Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius.

Die wichtigste Formel lautet:

$d=2\cdot r$

Aus dem Durchmesser kannst Du den Radius berechnen:

$r=\frac{d}{2}$

Beispiel: Hat ein Kreis den Radius $r=4\text{cm}$, dann beträgt der Durchmesser:

$d=2\cdot 4\text{cm}=8\text{cm}$

Hat ein Kreis den Durchmesser $d=10\text{cm}$, dann beträgt der Radius:

$r=\frac{10\text{cm}}{2}=5\text{cm}$

Die Kreislinie und die Kreisfläche

Die Kreislinie ist der Rand des Kreises. Sie besteht aus allen Punkten, die genau den Abstand $r$ vom Mittelpunkt haben. Die Kreisfläche ist die gesamte Fläche innerhalb der Kreislinie.

Im Alltag wird oft nicht genau zwischen Kreislinie und Kreisfläche unterschieden. In der Mathematik ist der Unterschied aber wichtig: Wenn Du nur den Rand meinst, sprichst Du von der Kreislinie. Wenn Du die ganze runde Fläche meinst, sprichst Du von der Kreisfläche.

Radius und Durchmesser vergleichen

Der Radius und der Durchmesser hängen eng zusammen. Der Radius ist immer halb so lang wie der Durchmesser. Der Durchmesser ist immer doppelt so lang wie der Radius.

Gegeben	Gesucht	Rechnung	Ergebnis
$r=2\text{cm}$	$d$	$d=2\cdot 2\text{cm}$	$d=4\text{cm}$
$r=6\text{cm}$	$d$	$d=2\cdot 6\text{cm}$	$d=12\text{cm}$
$d=8\text{cm}$	$r$	$r=\frac{8\text{cm}}{2}$	$r=4\text{cm}$
$d=14\text{cm}$	$r$	$r=\frac{14\text{cm}}{2}$	$r=7\text{cm}$

Kreis zeichnen

Einen Kreis mit dem Zirkel zeichnen

Einen genauen Kreis zeichnest Du am besten mit einem Zirkel. Dabei gehst Du in mehreren Schritten vor:

1. Mittelpunkt festlegen: Markiere einen Punkt und beschrifte ihn mit $M$.
2. Radius einstellen: Stelle den Zirkel auf die gewünschte Länge ein, zum Beispiel $r=4\text{cm}$.
3. Zirkelspitze setzen: Setze die Zirkelspitze genau auf den Mittelpunkt.
4. Kreislinie zeichnen: Drehe den Zirkel vorsichtig einmal um den Mittelpunkt.
5. Beschriftung ergänzen: Zeichne einen Radius ein und beschrifte ihn mit $r$. Zeichne danach einen Durchmesser ein und beschrifte ihn mit $d$.

Häufige Fehler beim Zeichnen

Beim Zeichnen von Kreisen passieren oft ähnliche Fehler. Ein Radius beginnt immer im Mittelpunkt und endet auf der Kreislinie. Ein Durchmesser muss durch den Mittelpunkt gehen. Eine Strecke, die zwei Punkte der Kreislinie verbindet, aber nicht durch den Mittelpunkt geht, heißt Sehne und ist kein Durchmesser.

Achte außerdem darauf, dass der Zirkel beim Zeichnen nicht verrutscht. Wenn die Zirkelspitze nicht fest im Mittelpunkt bleibt, entsteht keine genaue Kreislinie.

Mathematische Schreibweise mit der Math-Extension

In diesem aiMOOC wird die MediaWiki-Extension Math verwendet. Damit können Formeln sauber dargestellt werden. Die Formel für den Zusammenhang zwischen Radius und Durchmesser lautet:

$d=2\cdot r$

Die Umkehrung lautet:

$r=\frac{d}{2}$

Wenn Du mit Einheiten rechnest, schreibst Du diese mit dazu. Beispiel:

$r=3\text{cm}$

$d=2\cdot 3\text{cm}=6\text{cm}$

Beispiele aus dem Alltag

Fahrradreifen

Bei einem Fahrradreifen kannst Du Dir den Mittelpunkt als Mitte der Radachse vorstellen. Der Radius reicht von der Achse bis zum äußeren Rand des Reifens. Der Durchmesser geht von einer Seite des Reifens durch die Achse bis zur gegenüberliegenden Seite.

Uhr und Teller

Bei einer runden Uhr liegt der Mittelpunkt dort, wo die Zeiger befestigt sind. Ein Radius reicht von diesem Punkt bis zum Rand der Uhr. Bei einem runden Teller liegt der Mittelpunkt ungefähr in der Mitte der Tellerfläche. Wenn Du den Teller genau vermessen möchtest, kannst Du den Durchmesser von Rand zu Rand messen und daraus den Radius berechnen.

Zielscheibe

Eine Zielscheibe besteht oft aus mehreren Kreisen mit demselben Mittelpunkt. Solche Kreise nennt man konzentrische Kreise. Sie haben denselben Mittelpunkt, aber unterschiedliche Radien.

Merksätze

1. Mittelpunkt: Der Mittelpunkt liegt genau in der Mitte des Kreises.
2. Radius: Der Radius führt vom Mittelpunkt zur Kreislinie.
3. Durchmesser: Der Durchmesser führt von der Kreislinie durch den Mittelpunkt zur gegenüberliegenden Kreislinie.
4. Formel: Es gilt $d=2\cdot r$.
5. Umkehrformel: Es gilt $r=\frac{d}{2}$.
6. Kreislinie: Alle Punkte der Kreislinie haben denselben Abstand vom Mittelpunkt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist der Radius eines Kreises? (Eine Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie) (!Eine Strecke außerhalb des Kreises) (!Die gesamte Kreisfläche) (!Ein Punkt auf dem Durchmesser)

Was ist der Durchmesser eines Kreises? (Eine Strecke durch den Mittelpunkt von einer Seite der Kreislinie zur gegenüberliegenden Seite) (!Eine Strecke vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt außerhalb des Kreises) (!Der Rand des Kreises) (!Die Fläche innerhalb der Kreislinie)

Welche Formel verbindet Durchmesser und Radius richtig? (d = 2 mal r) (!r = 2 mal d) (!d = r geteilt durch 2) (!r = d mal d)

Wie berechnest Du den Radius, wenn der Durchmesser bekannt ist? (r = d geteilt durch 2) (!r = d mal 2) (!r = d plus 2) (!r = d minus 2)

Wo liegt der Mittelpunkt eines Kreises? (In der Mitte des Kreises) (!Immer auf der Kreislinie) (!Außerhalb des Kreises) (!Auf jedem Radius gleichzeitig)

Wie lang ist der Durchmesser bei einem Radius von 5 cm? (10 cm) (!5 cm) (!2,5 cm) (!15 cm)

Wie lang ist der Radius bei einem Durchmesser von 12 cm? (6 cm) (!12 cm) (!24 cm) (!4 cm)

Welche Aussage über alle Radien eines Kreises stimmt? (Sie sind gleich lang) (!Sie sind immer unterschiedlich lang) (!Sie sind doppelt so lang wie der Durchmesser) (!Sie liegen immer außerhalb des Kreises)

Welche Strecke ist keine sichere Beschreibung eines Durchmessers? (Eine Strecke zwischen zwei Kreislinienpunkten, die nicht durch den Mittelpunkt geht) (!Eine Strecke durch den Mittelpunkt) (!Eine Strecke von einer Seite der Kreislinie zur gegenüberliegenden Seite) (!Eine Strecke mit der Länge zwei Radien)

Was bestimmt die Zirkelöffnung beim Zeichnen eines Kreises? (Den Radius) (!Den Mittelpunkt) (!Die Farbe der Kreislinie) (!Die Anzahl der Kreisflächen)

Memory

Radius	Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie
Durchmesser	Strecke durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand
Mittelpunkt	Punkt in der Mitte des Kreises
Kreislinie	Rand des Kreises
Zirkel	Werkzeug zum Zeichnen genauer Kreise
Sehne	Strecke zwischen zwei Punkten der Kreislinie
konzentrische Kreise	Kreise mit gemeinsamem Mittelpunkt

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Radius	Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie
Durchmesser	Doppelte Länge des Radius
Mittelpunkt	Zentrum des Kreises
Kreislinie	Rand des Kreises
Zirkel	Werkzeug zum Zeichnen eines Kreises

Kreuzworträtsel

Radius	Wie heißt die Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie?
Mittelpunkt	Wie heißt das Zentrum eines Kreises?
Durchmesser	Wie heißt die Strecke von Rand zu Rand durch die Mitte?
Kreislinie	Wie heißt der Rand eines Kreises?
Zirkel	Welches Werkzeug nutzt man zum genauen Zeichnen eines Kreises?
Sehne	Wie heißt eine Strecke zwischen zwei Punkten der Kreislinie?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die vom denselben Abstand haben. Dieser Abstand heißt . Der Radius wird häufig mit dem Buchstaben abgekürzt. Der Durchmesser verläuft durch den und verbindet zwei gegenüberliegende Punkte der Kreislinie. Der Durchmesser ist immer so lang wie der Radius. Mit der Formel $d=2\cdot r$ berechnest Du den . Mit der Formel $r=\frac{d}{2}$ berechnest Du den . Die Kreislinie ist der des Kreises. Zum Zeichnen eines genauen Kreises verwendest Du einen . Eine Strecke zwischen zwei Punkten der Kreislinie, die nicht durch den Mittelpunkt geht, heißt .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Kreis im Alltag: Suche zu Hause oder auf dem Schulweg fünf runde Gegenstände. Notiere, wo ungefähr der Mittelpunkt liegt und wo Du einen Radius einzeichnen würdest.
2. Kreis zeichnen: Zeichne drei Kreise mit den Radien $2\text{cm}$, $3\text{cm}$ und $4\text{cm}$. Beschrifte jeweils Mittelpunkt, Radius und Durchmesser.
3. Begriffe erklären: Erkläre einer Partnerin oder einem Partner mit eigenen Worten den Unterschied zwischen Radius und Durchmesser.
4. Messübung: Miss bei einem runden Gegenstand den Durchmesser und berechne daraus den Radius.

Standard

1. Kreisplakat: Gestalte ein Lernplakat mit den Begriffen Mittelpunkt, Radius, Durchmesser, Kreislinie und Sehne. Verwende Zeichnungen und kurze Erklärungen.
2. Fehler finden: Zeichne absichtlich drei falsche Kreisbilder, zum Beispiel einen Durchmesser, der nicht durch den Mittelpunkt geht. Tausche das Blatt und lasse die Fehler erklären.
3. Sachaufgabe entwickeln: Erfinde eine eigene Textaufgabe zum Zusammenhang $d=2\cdot r$. Gib auch eine Musterlösung an.
4. Konzentrische Kreise: Zeichne eine Zielscheibe mit mindestens vier konzentrischen Kreisen. Beschrifte die unterschiedlichen Radien.

Schwer

1. Kreis untersuchen: Untersuche mehrere runde Gegenstände. Miss jeweils den Durchmesser, berechne den Radius und vergleiche Deine Ergebnisse in einer Tabelle.
2. Erklärvideo: Erstelle ein kurzes Lernvideo, in dem Du erklärst, wie man aus dem Radius den Durchmesser und aus dem Durchmesser den Radius berechnet.
3. Konstruktionsaufgabe: Zeichne einen Kreis mit $d=9\text{cm}$. Berechne zuerst den Radius und konstruiere danach den Kreis exakt mit dem Zirkel.
4. Mathematische Argumentation: Begründe schriftlich, warum alle Radien eines Kreises gleich lang sind und warum der Durchmesser doppelt so lang wie der Radius ist.

Lernkontrolle

1. Begriffsverständnis: Erkläre an einer selbst gezeichneten Skizze, warum ein Durchmesser immer aus zwei Radien besteht.
2. Transferaufgabe: Ein runder Tisch hat einen Durchmesser von $120\text{cm}$. Beschreibe, wie Du den Mittelpunkt finden könntest, und berechne den Radius.
3. Fehleranalyse: Eine Schülerin sagt: Ein Radius verbindet zwei Punkte der Kreislinie. Erkläre, warum diese Aussage falsch ist, und verbessere sie.
4. Alltagsproblem: Für ein rundes Schild soll der Radius bekannt sein. Man kann aber nur den Durchmesser messen. Beschreibe das Vorgehen und rechne mit einem selbst gewählten Beispiel.
5. Vergleichsaufgabe: Zwei Kreise haben die Radien $3\text{cm}$ und $6\text{cm}$. Vergleiche ihre Durchmesser und beschreibe den Zusammenhang in Worten.

Links

Kreis Radius Durchmesser Mittelpunkt Kreislinie Kreisfläche Zirkel Sehne konzentrische Kreise Geometrie MediaWiki-Extension Math