Kombinatorik von Stichproben

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Kombinatorik von Stichproben

Fach: Mathematik Klassenstufe: Klasse 9 bis Klasse 13 Themenbereich: Kombinatorik und Stochastik

Einleitung

Die Kombinatorik hilft Dir, Möglichkeiten zu zählen. Bei einer Stichprobe sind zwei Fragen wichtig:

1. Ist die Reihenfolge wichtig?
2. Darf ein Element mehrfach gewählt werden?

Lernziele

1. Du unterscheidest geordnete und ungeordnete Stichproben.
2. Du unterscheidest Stichproben mit und ohne Wiederholung.
3. Du wählst eine passende Formel.
4. Du löst einfache Anwendungsaufgaben.

Lernvideo

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Aufgaben zum Video

1. Videonotizen: Schreibe die zwei Entscheidungsfragen auf, die im Video erklärt werden.
2. Beispiele erkennen: Notiere je ein Beispiel für eine geordnete und eine ungeordnete Stichprobe.
3. Wiederholung: Erkläre mit eigenen Worten den Unterschied zwischen mit und ohne Wiederholung.
4. Formelübersicht: Halte die vier Formeln aus dem Video in einer Tabelle fest.
5. Videoanalyse: Stoppe das Video vor einem Rechenweg und versuche zuerst selbst, die passende Formel zu finden.

Grundwissen

Dabei bedeutet $n$ die Zahl der verfügbaren Elemente. $k$ ist die Zahl der ausgewählten Elemente.

Reihenfolge	Wiederholung	Anzahl der Möglichkeiten
wichtig	möglich	$n^k$
wichtig	nicht möglich	$\frac{n!}{(n-k)!}$
unwichtig	nicht möglich	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$
unwichtig	möglich	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k})$

Geordnet mit Wiederholung

Die Reihenfolge zählt. Ein Element darf mehrfach vorkommen.

Beispiel: Ein vierstelliger Zahlencode mit zehn Ziffern hat $10^4=10000$ Möglichkeiten.

Geordnet ohne Wiederholung

Die Reihenfolge zählt. Jedes Element darf nur einmal vorkommen.

Beispiel: Für drei Plätze aus acht Personen gibt es $8\cdot 7\cdot 6=336$ Möglichkeiten.

Ungeordnet ohne Wiederholung

Die Reihenfolge ist egal. Jedes Element darf nur einmal vorkommen.

Beispiel: Ein Team aus drei von acht Personen kann auf $(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3})=56$ Arten gebildet werden.

Ungeordnet mit Wiederholung

Die Reihenfolge ist egal. Ein Element darf mehrfach vorkommen.

Beispiel: Zwei Eiskugeln aus drei Sorten ergeben $(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})=6$ Möglichkeiten.

Datei:Urn problem qtl8.svg

Entscheidungshilfe

1. Frage zuerst: Ist die Reihenfolge wichtig?
2. Frage danach: Ist eine Wiederholung möglich?
3. Setze $n$ und $k$ in die passende Formel ein.
4. Prüfe, ob das Ergebnis zur Aufgabe passt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Womit beschäftigt sich die Kombinatorik? (Mit dem Zählen möglicher Auswahlen und Anordnungen) (!Mit dem Messen von Strecken) (!Mit dem Zeichnen von Funktionen) (!Mit dem Lösen von Gleichungen)

Wann ist eine Stichprobe geordnet? (Wenn die Reihenfolge wichtig ist) (!Wenn alle Ergebnisse gleich groß sind) (!Wenn nur eine Möglichkeit existiert) (!Wenn keine Elemente gewählt werden)

Was bedeutet mit Wiederholung? (Ein Element darf mehrfach gewählt werden) (!Die Reihenfolge ist immer unwichtig) (!Alle Elemente müssen gewählt werden) (!Die Rechnung wird zweimal ausgeführt)

Welche Formel gilt geordnet mit Wiederholung? (n hoch k) (!n Fakultät) (!n über k) (!n plus k)

Wie viele vierstellige Codes gibt es mit zehn Ziffern? (10000) (!40) (!5040) (!210)

Welche Formel gilt geordnet ohne Wiederholung? (n Fakultät geteilt durch n minus k Fakultät) (!n hoch k) (!n plus k) (!k geteilt durch n)

Welche Art von Stichprobe ist die Wahl eines Teams aus acht Personen? (Ungeordnet ohne Wiederholung) (!Geordnet mit Wiederholung) (!Geordnet ohne Wiederholung) (!Ungeordnet mit Wiederholung)

Wie viele Dreierteams können aus acht Personen gebildet werden? (56) (!24) (!336) (!512)

Wie viele Möglichkeiten gibt es für zwei Eiskugeln aus drei Sorten, wenn Sorten mehrfach gewählt werden dürfen und die Reihenfolge egal ist? (6) (!3) (!8) (!9)

Was solltest Du vor dem Einsetzen in eine Formel tun? (Die Art der Stichprobe bestimmen) (!Alle Zahlen addieren) (!Immer die Fakultät berechnen) (!Die Reihenfolge ignorieren)

Memory

Geordnet	Reihenfolge wichtig
Ungeordnet	Reihenfolge egal
Mit Wiederholung	Auswahl darf erneut vorkommen
Ohne Wiederholung	Auswahl nur einmal
Fakultät	Produkt der natürlichen Zahlen
Binomialkoeffizient	Ungeordnete Auswahl ohne Wiederholung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Stichprobenart
Zahlencode	Geordnet mit Wiederholung
Siegerpodest	Geordnet ohne Wiederholung
Mannschaftswahl	Ungeordnet ohne Wiederholung
Auswahl von Eiskugeln	Ungeordnet mit Wiederholung
Sitzordnung	Permutation

Kreuzworträtsel

Kombinatorik	Wie heißt das mathematische Gebiet zum Zählen von Möglichkeiten?
Reihenfolge	Was ist bei einer geordneten Stichprobe wichtig?
Zurücklegen	Welches Wort beschreibt, dass ein gezogenes Element erneut verfügbar wird?
Fakultät	Wie heißt das Produkt aller natürlichen Zahlen von eins bis n?
Variation	Wie heißt eine geordnete Auswahl?
Kombination	Wie heißt eine ungeordnete Auswahl?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer geordneten Stichprobe ist die wichtig. Bei einer Stichprobe mit Wiederholung darf ein Element vorkommen. Bei einer Stichprobe ohne Wiederholung wird ein Element nicht wieder . Die Formel für eine geordnete Stichprobe mit Wiederholung lautet . Eine ungeordnete Auswahl ohne Wiederholung wird mit dem berechnet. Das Zeichen n Fakultät wird als geschrieben.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Alltagsbeispiel: Finde ein Beispiel für eine Stichprobe mit Wiederholung.
2. Sortieraufgabe: Ordne vier selbst gewählte Situationen den vier Stichprobenarten zu.
3. Videokarte: Gestalte eine Karte mit den zwei Entscheidungsfragen aus dem Video.
4. Urnenversuch: Ziehe farbige Gegenstände mit und ohne Zurücklegen und notiere die Ergebnisse.

Standard

1. Formelplakat: Gestalte ein übersichtliches Plakat zu den vier Formeln.
2. Zahlenschloss: Berechne die Möglichkeiten für ein Zahlenschloss mit selbst gewählter Stellenzahl.
3. Teamwahl: Erfinde eine Aufgabe zur Auswahl eines Teams und löse sie.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du eine Stichprobenart erklärst.

Schwer

1. Formelherleitung: Begründe die Formel für eine geordnete Stichprobe ohne Wiederholung.
2. Fehleranalyse: Erfinde einen falschen Lösungsweg und erkläre den Fehler.
3. Simulation: Simuliere Stichproben mit einer Tabellenkalkulation und vergleiche die Ergebnisse.
4. Transferaufgabe: Entwickle eine Aufgabe, in der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit verbunden werden.

Lernkontrolle

1. Entscheidungsweg: Eine Schule vergibt Gold, Silber und Bronze an drei von zwölf Personen. Bestimme die Stichprobenart, wähle die Formel und begründe Deine Entscheidung.
2. Vergleich: Erkläre, warum eine Mannschaftswahl weniger Möglichkeiten besitzt als eine Vergabe fester Positionen an dieselben Personen.
3. Modellierung: Formuliere zu jeder der vier Stichprobenarten ein eigenes Alltagsbeispiel.
4. Fehlerprüfung: Eine Person berechnet eine Teamwahl mit $n^k$. Erkläre, warum diese Formel nicht passt.
5. Transfer: Untersuche, wie sich die Zahl der Möglichkeiten verändert, wenn bei einem Code eine weitere Stelle hinzukommt.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. die vier Stichprobenarten unterscheiden,
2. eine Entscheidung begründen,
3. die passende Formel auswählen,
4. Rechnungen verständlich darstellen,
5. ein eigenes Beispiel entwickeln.

Links

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