Grenzwerte - Analysis

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Grenzwerte - Analysis

Ein Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich eine Folge oder eine Funktion immer weiter nähert. Das Fachwort heißt auch Limes. Grenzwerte sind wichtig für die Analysis, die Ableitung, die Stetigkeit und die Kurvendiskussion.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Grenzwerte an Graphen und Wertetabellen erkennen.
2. einfache Grenzwerte berechnen.
3. Konvergenz und Divergenz unterscheiden.
4. Asymptoten und Polstellen beschreiben.
5. Grenzwerte und Randwerte unterscheiden.

Grundlagen

Grenzwert einer Folge

Die Folge

$a_n=\frac{1}{n}$

hat die Werte 1, 0,5, 0,333, 0,25 und so weiter. Die Werte nähern sich 0.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}=0$

Die Folge konvergiert gegen 0. Hat eine Folge keinen Grenzwert, heißt sie divergent.

Datei:ConvergencePlots.png

Grenzwert einer Funktion

Bei einer Funktion fragst Du: Was geschieht mit $f(x)$, wenn sich $x$ einer Zahl oder dem Unendlichen nähert?

Beispiel:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{x}=0$

Der Graph nähert sich der x-Achse. Die Gerade $y=0$ ist eine Asymptote.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Grenzwert an einer Stelle

Für

$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$

darf $x=1$ nicht eingesetzt werden. Für $x\ne 1$ gilt aber:

$f(x)=x+1$

Deshalb ist:

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2$

Der Grenzwert kann also existieren, obwohl die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist.

Links und rechts

An einer Polstelle können sich die Funktionswerte von links und rechts verschieden verhalten.

Für $f(x)=\frac{1}{x}$ gilt:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\mathrm{\infty }$

Darum gibt es bei $x=0$ keinen gemeinsamen zweiseitigen Grenzwert.

Datei:PointWiseConvergence.gif

Schnelle Regeln für das Unendliche

1. Polynome: Der Term mit der höchsten Potenz bestimmt das Verhalten.
2. Bruchfunktionen: Vergleiche die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner.
3. Grad des Zählers kleiner: Der Grenzwert ist meist 0.
4. Grade gleich: Teile die führenden Koeffizienten.
5. Exponentialfunktionen: $e^x$ wächst für $x\to \mathrm{\infty }$ sehr schnell und nähert sich für $x\to -\mathrm{\infty }$ der 0.

Grenzwert und Randwert

Ein Grenzwert beschreibt eine Annäherung. Ein Randwert ist ein Funktionswert am Rand eines Intervalls.

Bei einer Extremwertaufgabe auf $[a;b]$ prüfst Du:

1. Funktionswerte an möglichen Hoch- und Tiefpunkten.
2. den Randwert $f(a)$.
3. den Randwert $f(b)$.

Video: Grenzwerte und Randwerte

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Aufgaben zum Video

1. Videonotizen: Schreibe drei wichtige Aussagen des Videos auf.
2. Beispielrechnung: Notiere eine Rechnung aus dem Video und erkläre jeden Schritt.
3. Begriffe vergleichen: Erkläre den Unterschied zwischen Grenzwert und Randwert in zwei Sätzen.
4. Graph lesen: Zeichne einen Graphen aus dem Video vereinfacht nach und markiere die entscheidenden Stellen.
5. Transfer: Untersuche $f(x)=x^2-4x+5$ auf dem Intervall $[0;5]$. Vergleiche den Tiefpunkt mit beiden Randwerten.

Weiteres Erklärvideo

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist der Grenzwert von 1 durch x für x gegen plus unendlich? (0) (!1) (!Plus unendlich) (!Minus unendlich)

Wie heißt eine Folge, die sich einem festen Wert nähert? (Konvergent) (!Periodisch) (!Linear) (!Divergent)

Welcher Teil eines Polynoms bestimmt meist das Verhalten im Unendlichen? (Der Term mit der höchsten Potenz) (!Der konstante Term) (!Die kleinste Potenz) (!Nur das Vorzeichen von x)

Welchen Grenzwert hat x Quadrat minus 1 durch x minus 1 für x gegen 1? (2) (!0) (!1) (!Der Grenzwert existiert nie)

Was muss für einen zweiseitigen Grenzwert gelten? (Linker und rechter Grenzwert stimmen überein) (!Die Funktion muss eine Gerade sein) (!Der Funktionswert muss null sein) (!Die Funktion darf keinen Nenner haben)

Was ist der Grenzwert von x Quadrat für x gegen minus unendlich? (Plus unendlich) (!Minus unendlich) (!0) (!1)

Wogegen nähert sich e hoch x für x gegen minus unendlich? (0) (!1) (!Plus unendlich) (!Minus unendlich)

Was bedeutet der Grenzwert 2 für x gegen plus unendlich geometrisch? (Der Graph nähert sich der Geraden y gleich 2) (!Der Graph schneidet immer die x Achse) (!Die Funktion hat bei x gleich 2 eine Nullstelle) (!Der Graph endet bei x gleich 2)

Wann darf bei einem einfachen Grenzwert direkt eingesetzt werden? (Wenn die Funktion dort stetig und definiert ist) (!Nur bei Bruchfunktionen) (!Nur bei negativen Zahlen) (!Nie)

Was ist ein Randwert auf dem Intervall a bis b? (Der Funktionswert an a oder b) (!Der Grenzwert im Unendlichen) (!Die Steigung im Wendepunkt) (!Eine Nullstelle außerhalb des Intervalls)

Memory

Limes	Grenzwert
Konvergenz	Annäherung an einen festen Wert
Divergenz	kein Grenzwert
Asymptote	Annäherungsgerade
Polstelle	unbeschränktes Verhalten
Randwert	Funktionswert am Intervallende

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Folge	geordnete Liste von Zahlen
Grenzwert	Wert einer Annäherung
Polstelle	Stelle mit unbeschränktem Verhalten
Stetigkeit	Graph ohne Sprung oder Lücke
Randpunkt	Ende eines Intervalls

Kreuzworträtsel

Limes	Wie heißt der Grenzwert mit einem lateinischen Fachwort?
Konvergenz	Wie heißt die Annäherung an einen festen Wert?
Asymptote	Wie heißt eine Gerade, der sich ein Graph nähert?
Polstelle	Wie heißt eine Stelle mit unbeschränktem Verhalten?
Stetigkeit	Wie heißt die Eigenschaft eines Graphen ohne Sprung oder Lücke?
Randwert	Wie heißt ein Funktionswert am Ende eines Intervalls?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein anderes Wort für Grenzwert ist . Eine Folge mit festem Grenzwert heißt . Bei $x\to \mathrm{\infty }$ werden die x-Werte beliebig . Eine Gerade, der sich ein Graph nähert, heißt . An einer können Funktionswerte unbeschränkt wachsen. Ein Funktionswert am Ende eines Intervalls heißt .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Wertetabelle: Berechne die ersten zehn Werte der Folge $a_n=\frac{1}{n}$.
2. Graphische Darstellung: Zeichne die Punkte der Folge in ein Koordinatensystem.
3. Video-Glossar: Sammle fünf Fachbegriffe aus dem Video und erkläre sie einfach.
4. Lernkarte: Gestalte eine Karte mit der Bedeutung des Limeszeichens.

Standard

1. Vergleich von Funktionen: Vergleiche das Verhalten von $x^2$ und $x^3$ für große positive und negative x-Werte.
2. Definitionslücke: Erkläre den Grenzwert von $\frac{x^2-4}{x-2}$ für $x\to 2$.
3. Grenzwert und Funktionswert: Erfinde ein Beispiel, bei dem beide verschieden behandelt werden müssen.
4. Randwerte: Bestimme die größten und kleinsten Werte von $f(x)=x^2-2x$ auf $[0;3]$.

Schwer

1. Bruchfunktionen: Formuliere Regeln für die drei möglichen Vergleiche der Grade von Zähler und Nenner.
2. Einseitiger Grenzwert: Konstruiere eine Funktion mit verschiedenen Grenzwerten von links und rechts.
3. Epsilon-Delta-Definition: Erkläre die genaue Grenzwertidee mit eigenen Worten und einer Skizze.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video zu einem selbst gewählten Grenzwert.

Lernkontrolle

1. Fehleranalyse: Eine Person behauptet, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}=0$. Erkläre den Fehler mit linken und rechten Grenzwerten.
2. Modellierung: Die Temperatur eines Getränks nähert sich der Raumtemperatur. Erkläre die Bedeutung des Grenzwerts im Sachzusammenhang.
3. Funktionsvergleich: Entscheide, welche von drei selbst gewählten Funktionen für große x-Werte am schnellsten wächst, und begründe Deine Wahl.
4. Graphenanalyse: Zeichne einen Graphen mit waagerechter Asymptote und erkläre, wie der Grenzwert am Graphen sichtbar wird.
5. Optimierung: Begründe, warum bei einer Extremwertaufgabe auf einem geschlossenen Intervall auch die Randwerte geprüft werden müssen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. Grenzwerte aus Graphen und Tabellen bestimmen.
2. einfache Grenzwerte sicher berechnen.
3. Konvergenz und Divergenz erklären.
4. linke und rechte Grenzwerte vergleichen.
5. Asymptoten und Polstellen erkennen.
6. Grenzwerte und Randwerte unterscheiden.
7. Deine Rechenwege verständlich begründen.

Links

Grenzwerte - Analysis Grenzwert Grenzwert (Folge) Grenzwert (Funktion) Konvergenz Divergenz Stetigkeit Asymptote Polstelle Kurvendiskussion