Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Grenzwerte - Analysis

Ein Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich eine Folge oder eine Funktion immer weiter nähert. Das Fachwort heißt auch Limes. Grenzwerte sind wichtig für die Analysis, die Ableitung, die Stetigkeit und die Kurvendiskussion.

Datei:Cauchy sequence illustration.svg

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

Grenzwerte an Graphen und Wertetabellen erkennen.
einfache Grenzwerte berechnen.
Konvergenz und Divergenz unterscheiden.
Asymptoten und Polstellen beschreiben.
Grenzwerte und Randwerte unterscheiden.

Grundlagen

Grenzwert einer Folge

Die Folge

$a_{n} = \frac{1}{n}$

hat die Werte 1, 0,5, 0,333, 0,25 und so weiter. Die Werte nähern sich 0.

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

Die Folge konvergiert gegen 0. Hat eine Folge keinen Grenzwert, heißt sie divergent.

Datei:ConvergencePlots.png

Grenzwert einer Funktion

Bei einer Funktion fragst Du: Was geschieht mit $f (x)$ , wenn sich $x$ einer Zahl oder dem Unendlichen nähert?

Beispiel:

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$

Der Graph nähert sich der x-Achse. Die Gerade $y = 0$ ist eine Asymptote.

Datei:Function and its asymptote.svg

Grenzwert an einer Stelle

Für

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

darf $x = 1$ nicht eingesetzt werden. Für $x \neq 1$ gilt aber:

$f (x) = x + 1$

Deshalb ist:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = 2$

Der Grenzwert kann also existieren, obwohl die Funktion an dieser Stelle nicht definiert ist.

Links und rechts

An einer Polstelle können sich die Funktionswerte von links und rechts verschieden verhalten.

Für $f (x) = \frac{1}{x}$ gilt:

$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty$

$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty$

Darum gibt es bei $x = 0$ keinen gemeinsamen zweiseitigen Grenzwert.

Datei:PointWiseConvergence.gif

Schnelle Regeln für das Unendliche

Polynome: Der Term mit der höchsten Potenz bestimmt das Verhalten.
Bruchfunktionen: Vergleiche die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner.
Grad des Zählers kleiner: Der Grenzwert ist meist 0.
Grade gleich: Teile die führenden Koeffizienten.
Exponentialfunktionen: $e^{x}$ wächst für $x \to \infty$ sehr schnell und nähert sich für $x \to - \infty$ der 0.

Grenzwert und Randwert

Ein Grenzwert beschreibt eine Annäherung. Ein Randwert ist ein Funktionswert am Rand eines Intervalls.

Bei einer Extremwertaufgabe auf $[a; b]$ prüfst Du:

Funktionswerte an möglichen Hoch- und Tiefpunkten.
den Randwert $f (a)$ .
den Randwert $f (b)$ .

Video: Grenzwerte und Randwerte

Aufgaben zum Video

Videonotizen: Schreibe drei wichtige Aussagen des Videos auf.
Beispielrechnung: Notiere eine Rechnung aus dem Video und erkläre jeden Schritt.
Begriffe vergleichen: Erkläre den Unterschied zwischen Grenzwert und Randwert in zwei Sätzen.
Graph lesen: Zeichne einen Graphen aus dem Video vereinfacht nach und markiere die entscheidenden Stellen.
Transfer: Untersuche $f (x) = x^{2} - 4 x + 5$ auf dem Intervall $[0; 5]$ . Vergleiche den Tiefpunkt mit beiden Randwerten.

Weiteres Erklärvideo

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist der Grenzwert von 1 durch x für x gegen plus unendlich? (0) (!1) (!Plus unendlich) (!Minus unendlich)

Wie heißt eine Folge, die sich einem festen Wert nähert? (Konvergent) (!Periodisch) (!Linear) (!Divergent)

Welcher Teil eines Polynoms bestimmt meist das Verhalten im Unendlichen? (Der Term mit der höchsten Potenz) (!Der konstante Term) (!Die kleinste Potenz) (!Nur das Vorzeichen von x)

Welchen Grenzwert hat x Quadrat minus 1 durch x minus 1 für x gegen 1? (2) (!0) (!1) (!Der Grenzwert existiert nie)

Was muss für einen zweiseitigen Grenzwert gelten? (Linker und rechter Grenzwert stimmen überein) (!Die Funktion muss eine Gerade sein) (!Der Funktionswert muss null sein) (!Die Funktion darf keinen Nenner haben)

Was ist der Grenzwert von x Quadrat für x gegen minus unendlich? (Plus unendlich) (!Minus unendlich) (!0) (!1)

Wogegen nähert sich e hoch x für x gegen minus unendlich? (0) (!1) (!Plus unendlich) (!Minus unendlich)

Was bedeutet der Grenzwert 2 für x gegen plus unendlich geometrisch? (Der Graph nähert sich der Geraden y gleich 2) (!Der Graph schneidet immer die x Achse) (!Die Funktion hat bei x gleich 2 eine Nullstelle) (!Der Graph endet bei x gleich 2)

Wann darf bei einem einfachen Grenzwert direkt eingesetzt werden? (Wenn die Funktion dort stetig und definiert ist) (!Nur bei Bruchfunktionen) (!Nur bei negativen Zahlen) (!Nie)

Was ist ein Randwert auf dem Intervall a bis b? (Der Funktionswert an a oder b) (!Der Grenzwert im Unendlichen) (!Die Steigung im Wendepunkt) (!Eine Nullstelle außerhalb des Intervalls)

Memory

Limes	Grenzwert
Konvergenz	Annäherung an einen festen Wert
Divergenz	kein Grenzwert
Asymptote	Annäherungsgerade
Polstelle	unbeschränktes Verhalten
Randwert	Funktionswert am Intervallende

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Folge	geordnete Liste von Zahlen
Grenzwert	Wert einer Annäherung
Polstelle	Stelle mit unbeschränktem Verhalten
Stetigkeit	Graph ohne Sprung oder Lücke
Randpunkt	Ende eines Intervalls

Kreuzworträtsel

Limes	Wie heißt der Grenzwert mit einem lateinischen Fachwort?
Konvergenz	Wie heißt die Annäherung an einen festen Wert?
Asymptote	Wie heißt eine Gerade, der sich ein Graph nähert?
Polstelle	Wie heißt eine Stelle mit unbeschränktem Verhalten?
Stetigkeit	Wie heißt die Eigenschaft eines Graphen ohne Sprung oder Lücke?
Randwert	Wie heißt ein Funktionswert am Ende eines Intervalls?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Wertetabelle: Berechne die ersten zehn Werte der Folge $a_{n} = \frac{1}{n}$ .
Graphische Darstellung: Zeichne die Punkte der Folge in ein Koordinatensystem.
Video-Glossar: Sammle fünf Fachbegriffe aus dem Video und erkläre sie einfach.
Lernkarte: Gestalte eine Karte mit der Bedeutung des Limeszeichens.

Standard

Vergleich von Funktionen: Vergleiche das Verhalten von $x^{2}$ und $x^{3}$ für große positive und negative x-Werte.
Definitionslücke: Erkläre den Grenzwert von $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ für $x \to 2$ .
Grenzwert und Funktionswert: Erfinde ein Beispiel, bei dem beide verschieden behandelt werden müssen.
Randwerte: Bestimme die größten und kleinsten Werte von $f (x) = x^{2} - 2 x$ auf $[0; 3]$ .

Schwer

Bruchfunktionen: Formuliere Regeln für die drei möglichen Vergleiche der Grade von Zähler und Nenner.
Einseitiger Grenzwert: Konstruiere eine Funktion mit verschiedenen Grenzwerten von links und rechts.
Epsilon-Delta-Definition: Erkläre die genaue Grenzwertidee mit eigenen Worten und einer Skizze.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video zu einem selbst gewählten Grenzwert.

Lernkontrolle

Fehleranalyse: Eine Person behauptet, $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = 0$ . Erkläre den Fehler mit linken und rechten Grenzwerten.
Modellierung: Die Temperatur eines Getränks nähert sich der Raumtemperatur. Erkläre die Bedeutung des Grenzwerts im Sachzusammenhang.
Funktionsvergleich: Entscheide, welche von drei selbst gewählten Funktionen für große x-Werte am schnellsten wächst, und begründe Deine Wahl.
Graphenanalyse: Zeichne einen Graphen mit waagerechter Asymptote und erkläre, wie der Grenzwert am Graphen sichtbar wird.
Optimierung: Begründe, warum bei einer Extremwertaufgabe auf einem geschlossenen Intervall auch die Randwerte geprüft werden müssen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

Grenzwerte aus Graphen und Tabellen bestimmen.
einfache Grenzwerte sicher berechnen.
Konvergenz und Divergenz erklären.
linke und rechte Grenzwerte vergleichen.
Asymptoten und Polstellen erkennen.
Grenzwerte und Randwerte unterscheiden.
Deine Rechenwege verständlich begründen.

OERs zum Thema

Links

Grenzwerte - Analysis

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.