Dreiecke - Arten, Eigenschaften und Konstruktion - aiMOOC

Einleitung

Dreiecke gehören zu den wichtigsten Figuren der Geometrie. Ein Dreieck entsteht, wenn drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, durch drei Strecken miteinander verbunden werden. Diese drei Punkte heißen Ecken, die Strecken heißen Seiten und die Winkel im Inneren heißen Innenwinkel. Dreiecke begegnen Dir in der Mathematik, in der Architektur, beim Brückenbau, in Mustern, in Kunst, Technik und Natur.

In diesem aiMOOC lernst Du, wie man Dreiecke nach Seitenlängen und Winkeln unterscheidet, welche wichtigen Eigenschaften alle ebenen Dreiecke haben und wie Du Dreiecke mit Lineal, Geodreieck und Zirkel sauber konstruierst. Formeln werden mit der MediaWiki-Extension Math dargestellt.

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Grundbegriffe am Dreieck

Punkte, Seiten und Winkel

Ein Dreieck wird meistens mit drei Großbuchstaben benannt, zum Beispiel $\mathrm{△}ABC$. Die Ecken heißen dann $A$, $B$ und $C$. Die Seiten liegen jeweils gegenüber der gleichnamigen Ecke:

1. Seite a: Die Seite $a$ liegt der Ecke $A$ gegenüber und verbindet die Punkte $B$ und $C$.
2. Seite b: Die Seite $b$ liegt der Ecke $B$ gegenüber und verbindet die Punkte $A$ und $C$.
3. Seite c: Die Seite $c$ liegt der Ecke $C$ gegenüber und verbindet die Punkte $A$ und $B$.

Die Winkel werden häufig mit griechischen Buchstaben bezeichnet:

1. Alpha: $\alpha$ ist der Winkel bei $A$.
2. Beta: $\beta$ ist der Winkel bei $B$.
3. Gamma: $\gamma$ ist der Winkel bei $C$.

Innenwinkelsumme

In jedem ebenen Dreieck gilt:

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Das bedeutet: Wenn Du zwei Innenwinkel eines Dreiecks kennst, kannst Du den dritten berechnen. Beispiel:

$\alpha =50^{\circ }$, $\beta =70^{\circ }$

Dann gilt:

$\gamma =180^{\circ }-50^{\circ }-70^{\circ }=60^{\circ }$

Die Innenwinkelsumme ist eine der wichtigsten Eigenschaften des Dreiecks. Sie hilft Dir beim Prüfen von Zeichnungen, beim Berechnen fehlender Winkel und beim Begründen geometrischer Zusammenhänge.

Umfang und Flächeninhalt

Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe seiner drei Seitenlängen:

$U=a+b+c$

Beispiel:

$a=4\text{cm}$, $b=5\text{cm}$, $c=6\text{cm}$

$U=4\text{cm}+5\text{cm}+6\text{cm}=15\text{cm}$

Der Flächeninhalt eines Dreiecks wird mit einer Grundseite $g$ und der zugehörigen Höhe $h_g$ berechnet:

$A=\frac{g\cdot h_g}{2}$

Beispiel:

$g=8\text{cm}$, $h_g=5\text{cm}$

$A=\frac{8\text{cm}\cdot 5\text{cm}}{2}=20{\text{cm}}^2$

Die Höhe steht immer senkrecht auf der gewählten Grundseite oder auf deren Verlängerung.

Dreiecksungleichung

Nicht drei beliebige Streckenlängen können ein Dreieck bilden. Für jedes echte Dreieck gilt die Dreiecksungleichung:

$a+b>c$

$a+c>b$

$b+c>a$

Anschaulich bedeutet das: Die längste Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen Seiten. Sonst schließen sich die drei Strecken nicht zu einem Dreieck.

Beispiel:

Die Seiten $3\text{cm}$, $4\text{cm}$ und $6\text{cm}$ können ein Dreieck bilden, denn:

$3+4>6$

$3+6>4$

$4+6>3$

Die Seiten $2\text{cm}$, $3\text{cm}$ und $6\text{cm}$ können kein Dreieck bilden, denn:

$2+3>6$ ist falsch.

Dreiecksarten nach Seitenlängen

Dreiecke lassen sich danach unterscheiden, wie viele gleich lange Seiten sie haben.

Gleichseitiges Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten:

$a=b=c$

Alle drei Innenwinkel sind gleich groß:

$\alpha =\beta =\gamma =60^{\circ }$

Ein gleichseitiges Dreieck ist besonders regelmäßig. Es ist auch immer ein gleichschenkliges Dreieck, weil es mindestens zwei gleich lange Seiten besitzt.

Merke: Gleichseitig bedeutet drei gleich lange Seiten und drei Winkel von jeweils $60^{\circ }$.

Gleichschenkliges Dreieck

Ein gleichschenkliges Dreieck hat mindestens zwei gleich lange Seiten. Diese beiden Seiten heißen Schenkel. Die dritte Seite heißt Basis. Die beiden Winkel an der Basis sind gleich groß.

Wenn in einem Dreieck $b=c$ gilt, dann sind die gegenüberliegenden Winkel gleich groß. Das bedeutet:

$\beta =\gamma$

Merke: Gleich lange Seiten liegen gleich großen Winkeln gegenüber.

Ungleichseitiges Dreieck

Ein ungleichseitiges Dreieck hat drei verschieden lange Seiten. In der Regel sind dann auch die drei Innenwinkel verschieden groß.

Merke: Ungleichseitig bedeutet drei verschieden lange Seiten.

Dreiecksarten nach Winkeln

Dreiecke lassen sich auch nach der Größe ihrer Winkel einteilen.

Spitzwinkliges Dreieck

Ein spitzwinkliges Dreieck hat drei spitze Winkel. Jeder Innenwinkel ist kleiner als $90^{\circ }$.

Beispiel:

$\alpha =50^{\circ }$, $\beta =60^{\circ }$, $\gamma =70^{\circ }$

Alle drei Winkel sind kleiner als $90^{\circ }$, also ist das Dreieck spitzwinklig.

Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat genau einen rechten Winkel. Ein rechter Winkel misst $90^{\circ }$.

Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen Katheten.

Für rechtwinklige Dreiecke gilt später der Satz des Pythagoras:

$a^2+b^2=c^2$

In Klasse 5 und 6 reicht zunächst: Rechtwinklig bedeutet ein Winkel von genau $90^{\circ }$.

Stumpfwinkliges Dreieck

Ein stumpfwinkliges Dreieck hat genau einen stumpfen Winkel. Ein stumpfer Winkel ist größer als $90^{\circ }$ und kleiner als $180^{\circ }$.

Beispiel:

$\alpha =110^{\circ }$, $\beta =40^{\circ }$, $\gamma =30^{\circ }$

Da ein Winkel größer als $90^{\circ }$ ist, ist das Dreieck stumpfwinklig.

Eigenschaften von Dreiecken

Zusammenhänge zwischen Seiten und Winkeln

In jedem Dreieck gilt:

1. Größter Winkel: Der größten Seite liegt der größte Winkel gegenüber.
2. Kleinster Winkel: Der kleinsten Seite liegt der kleinste Winkel gegenüber.
3. Gleich lange Seiten: Gleich langen Seiten liegen gleich große Winkel gegenüber.
4. Gleich große Winkel: Gleich großen Winkeln liegen gleich lange Seiten gegenüber.

Diese Zusammenhänge helfen Dir, Dreiecke zu überprüfen und Fehler in Zeichnungen zu erkennen.

Höhen im Dreieck

Eine Höhe im Dreieck ist eine Strecke, die von einer Ecke senkrecht auf die gegenüberliegende Seite oder deren Verlängerung führt. Jedes Dreieck hat drei Höhen. Die Höhe ist wichtig, weil man mit ihr den Flächeninhalt berechnet.

$A=\frac{g\cdot h_g}{2}$

Bei spitzwinkligen Dreiecken liegen alle Höhen im Inneren. Bei rechtwinkligen Dreiecken sind zwei Höhen gleichzeitig Katheten. Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegen manche Höhen außerhalb des Dreiecks, wenn man sie auf die Verlängerung einer Seite zeichnet.

Besondere Linien im Dreieck

In Dreiecken gibt es mehrere besondere Linien:

1. Mittelsenkrechte: Sie steht senkrecht auf einer Seite und geht durch deren Mittelpunkt.
2. Winkelhalbierende: Sie teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel.
3. Seitenhalbierende: Sie verbindet eine Ecke mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.
4. Höhe: Sie verläuft von einer Ecke senkrecht zur gegenüberliegenden Seite oder zu deren Verlängerung.

Diese Linien werden in späteren Klassen wichtig, um Umkreis, Inkreis, Schwerpunkt und weitere besondere Punkte des Dreiecks zu untersuchen.

Konstruktion von Dreiecken

Werkzeuge und Genauigkeit

Zum Konstruieren eines Dreiecks brauchst Du je nach Aufgabe:

1. Lineal: Zum Zeichnen und Messen von Strecken.
2. Geodreieck: Zum Zeichnen und Messen von Winkeln.
3. Zirkel: Zum Übertragen von Streckenlängen und Zeichnen von Kreisbögen.
4. Bleistift: Zum genauen und korrigierbaren Zeichnen.
5. Planfigur: Eine kleine Skizze, in der Du einträgst, was gegeben ist.

Eine Konstruktion ist mehr als eine Freihandzeichnung. Du zeichnest nach festen Schritten und nutzt mathematische Eigenschaften.

Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks

Ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $a=5\text{cm}$ kannst Du so konstruieren:

1. Grundseite: Zeichne die Strecke $\overline{AB}=5\text{cm}$.
2. Zirkelspanne: Stelle den Zirkel auf $5\text{cm}$ ein.
3. Kreisbogen: Zeichne einen Kreisbogen um $A$.
4. Kreisbogen: Zeichne einen Kreisbogen um $B$.
5. Schnittpunkt: Der Schnittpunkt der Kreisbögen ist $C$.
6. Verbindung: Verbinde $A$ mit $C$ und $B$ mit $C$.

Warum funktioniert das? Der Punkt $C$ liegt genau $5\text{cm}$ von $A$ und genau $5\text{cm}$ von $B$ entfernt. Deshalb gilt:

$AB=AC=BC$

Das Dreieck ist also gleichseitig.

Konstruktion nach SSS

SSS bedeutet: Drei Seiten sind gegeben. Beispiel:

$a=6\text{cm}$, $b=5\text{cm}$, $c=4\text{cm}$

Konstruktionsidee:

1. Planfigur: Zeichne eine kleine Skizze und beschrifte Ecken, Seiten und bekannte Längen.
2. Grundseite: Zeichne eine der Seiten, zum Beispiel $c=\overline{AB}=4\text{cm}$.
3. Kreisbogen: Zeichne um $A$ einen Kreisbogen mit Radius $b=5\text{cm}$.
4. Kreisbogen: Zeichne um $B$ einen Kreisbogen mit Radius $a=6\text{cm}$.
5. Schnittpunkt: Der Schnittpunkt der Kreisbögen ist $C$.
6. Dreieck: Verbinde $C$ mit $A$ und $C$ mit $B$.

Vorher musst Du prüfen, ob die Dreiecksungleichung erfüllt ist. Bei $4$, $5$ und $6$ ist das der Fall.

Konstruktion nach SWS

SWS bedeutet: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind gegeben. Beispiel:

$b=5\text{cm}$, $c=6\text{cm}$, $\alpha =50^{\circ }$

Der Winkel $\alpha$ liegt zwischen den Seiten $b$ und $c$. Konstruktionsidee:

1. Startpunkt: Zeichne den Punkt $A$.
2. Winkel: Zeichne bei $A$ den Winkel $\alpha =50^{\circ }$.
3. Seite: Trage auf einem Schenkel die Länge $c=\overline{AB}=6\text{cm}$ ab.
4. Seite: Trage auf dem anderen Schenkel die Länge $b=\overline{AC}=5\text{cm}$ ab.
5. Verbindung: Verbinde $B$ und $C$.

Das Dreieck ist eindeutig bestimmt, weil die beiden Seiten den Winkel fest einschließen.

Konstruktion nach WSW oder SWW

WSW bedeutet: Eine Seite und zwei anliegende Winkel sind gegeben. SWW bedeutet: Eine Seite, ein anliegender Winkel und ein weiterer Winkel sind gegeben. Weil die Innenwinkelsumme $180^{\circ }$ beträgt, kannst Du den fehlenden Winkel berechnen.

Beispiel:

$c=7\text{cm}$, $\alpha =45^{\circ }$, $\beta =65^{\circ }$

Dann gilt:

$\gamma =180^{\circ }-45^{\circ }-65^{\circ }=70^{\circ }$

Konstruktionsidee:

1. Grundseite: Zeichne $\overline{AB}=7\text{cm}$.
2. Winkel bei A: Zeichne bei $A$ den Winkel $45^{\circ }$.
3. Winkel bei B: Zeichne bei $B$ den Winkel $65^{\circ }$.
4. Schnittpunkt: Der Schnittpunkt der beiden Winkelschenkel ist $C$.
5. Kontrolle: Prüfe, ob die Winkelsumme $180^{\circ }$ ergibt.

Typische Konstruktionsfehler

Typische Fehler beim Konstruieren von Dreiecken sind:

1. Falsche Beschriftung: Seiten und gegenüberliegende Ecken werden verwechselt.
2. Ungenaue Winkel: Das Geodreieck wird nicht sauber angelegt.
3. Ungenaue Zirkelspanne: Der Zirkel wird beim Zeichnen verstellt.
4. Dreiecksungleichung: Die Seitenlängen werden nicht geprüft.
5. Planfigur: Es wird ohne Skizze begonnen, sodass die Lage der Angaben unklar bleibt.

Eine gute Konstruktion enthält immer eine Planfigur, eine saubere Zeichnung und eine kurze Kontrolle.

Beispiele und Anwendungen

Beispiel 1: Fehlenden Winkel berechnen

Gegeben ist ein Dreieck mit:

$\alpha =35^{\circ }$

$\beta =80^{\circ }$

Gesucht ist $\gamma$.

Rechnung:

$\gamma =180^{\circ }-35^{\circ }-80^{\circ }$

$\gamma =65^{\circ }$

Das Dreieck hat die Winkel $35^{\circ }$, $80^{\circ }$ und $65^{\circ }$. Es ist spitzwinklig, weil alle Winkel kleiner als $90^{\circ }$ sind.

Beispiel 2: Dreiecksart erkennen

Ein Dreieck hat die Seitenlängen:

$a=5\text{cm}$, $b=5\text{cm}$, $c=8\text{cm}$

Da zwei Seiten gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig. Die Seite $c$ ist die Basis, wenn $a$ und $b$ die Schenkel sind.

Beispiel 3: Flächeninhalt berechnen

Ein Dreieck hat die Grundseite:

$g=10\text{cm}$

Die zugehörige Höhe ist:

$h_g=4\text{cm}$

Dann gilt:

$A=\frac{10\text{cm}\cdot 4\text{cm}}{2}$

$A=20{\text{cm}}^2$

Beispiel 4: Dreieck im Alltag

Dreiecke werden häufig verwendet, weil sie stabil sind. Ein Viereck kann sich ohne zusätzliche Strebe verformen. Ein Dreieck bleibt dagegen formstabil, wenn die Seitenlängen fest sind. Deshalb findest Du Dreiecke in Fachwerk, Brücken, Dachstühlen, Kränen und Trägerkonstruktionen.

Zusammenfassung

Ein Dreieck hat drei Ecken, drei Seiten und drei Innenwinkel. Die Innenwinkel ergeben zusammen immer $180^{\circ }$. Nach Seitenlängen unterscheidet man gleichseitige, gleichschenklige und ungleichseitige Dreiecke. Nach Winkeln unterscheidet man spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke. Der Umfang ist $U=a+b+c$, der Flächeninhalt ist $A=\frac{g\cdot h_g}{2}$. Beim Konstruieren helfen Planfigur, Lineal, Geodreieck und Zirkel. Wichtige Konstruktionsfälle sind SSS, SWS und WSW beziehungsweise SWW.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie viele Seiten hat ein Dreieck? (Drei) (!Zwei) (!Vier) (!Fünf)

Wie groß ist die Innenwinkelsumme in einem ebenen Dreieck? (180 Grad) (!90 Grad) (!270 Grad) (!360 Grad)

Welche Dreiecksart hat drei gleich lange Seiten? (Gleichseitiges Dreieck) (!Ungleichseitiges Dreieck) (!Stumpfwinkliges Dreieck) (!Rechtwinkliges Dreieck)

Wie nennt man ein Dreieck mit genau einem Winkel von 90 Grad? (Rechtwinkliges Dreieck) (!Spitzwinkliges Dreieck) (!Gleichseitiges Dreieck) (!Ungleichseitiges Dreieck)

Welche Formel berechnet den Umfang eines Dreiecks? (U gleich a plus b plus c) (!U gleich a mal b mal c) (!U gleich g mal h geteilt durch zwei) (!U gleich alpha plus beta plus gamma)

Welche Formel berechnet den Flächeninhalt eines Dreiecks mit Grundseite und Höhe? (A gleich Grundseite mal Höhe geteilt durch zwei) (!A gleich Grundseite plus Höhe) (!A gleich Umfang geteilt durch drei) (!A gleich Seite mal Seite)

Was bedeutet SSS bei einer Dreieckskonstruktion? (Drei Seiten sind gegeben) (!Drei Winkel sind gegeben) (!Zwei Seiten und ein beliebiger Winkel sind gegeben) (!Eine Seite und ein Umfang sind gegeben)

Welche Aussage beschreibt die Dreiecksungleichung richtig? (Die Summe zweier Seiten ist größer als die dritte Seite) (!Die Summe aller Winkel ist größer als 360 Grad) (!Alle Seiten müssen gleich lang sein) (!Eine Seite ist immer länger als die beiden anderen zusammen)

Wie heißt die Seite gegenüber dem rechten Winkel im rechtwinkligen Dreieck? (Hypotenuse) (!Kathete) (!Basis) (!Schenkel)

Welche Dreiecksart hat genau einen stumpfen Winkel? (Stumpfwinkliges Dreieck) (!Spitzwinkliges Dreieck) (!Gleichseitiges Dreieck) (!Rechtwinkliges Dreieck)

Memory

Gleichseitiges Dreieck	Drei gleich lange Seiten
Gleichschenkliges Dreieck	Mindestens zwei gleich lange Seiten
Rechtwinkliges Dreieck	Ein Winkel misst 90 Grad
Innenwinkelsumme	180 Grad
Hypotenuse	Seite gegenüber dem rechten Winkel
Höhe	Senkrechte zur Grundseite
Umfang	Summe aller Seitenlängen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Gleichseitiges Dreieck	Drei gleich lange Seiten
Gleichschenkliges Dreieck	Mindestens zwei gleich lange Seiten
Ungleichseitiges Dreieck	Drei verschieden lange Seiten
Rechtwinkliges Dreieck	Ein Winkel von 90 Grad
Stumpfwinkliges Dreieck	Ein Winkel größer als 90 Grad
Spitzwinkliges Dreieck	Drei Winkel kleiner als 90 Grad

...

Kreuzworträtsel

Winkel	Wie nennt man die Öffnung zwischen zwei Seiten eines Dreiecks?
Zirkel	Mit welchem Werkzeug überträgst Du Streckenlängen besonders genau?
Umfang	Wie heißt die Summe aller Seitenlängen?
Hoehe	Wie heißt die senkrechte Strecke von einer Ecke zur gegenüberliegenden Seite?
Basis	Wie heißt die dritte Seite eines gleichschenkligen Dreiecks?
Kathete	Wie heißt eine Seite, die den rechten Winkel bildet?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Dreieck besitzt Ecken, drei Seiten und drei Innenwinkel. Die Innenwinkelsumme in einem ebenen Dreieck beträgt immer Grad. Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt . Ein Dreieck mit mindestens zwei gleich langen Seiten heißt . Ein Dreieck mit einem Winkel von 90 Grad heißt . Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt . Der Umfang eines Dreiecks ist die seiner drei Seitenlängen. Der Flächeninhalt wird aus Grundseite und zugehöriger berechnet. Bei der Konstruktion SSS sind drei gegeben. Mit dem Zirkel kannst Du Streckenlängen durch übertragen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Dreiecksarten erkennen: Suche in Deinem Klassenzimmer oder Zuhause fünf Gegenstände, Muster oder Konstruktionen, in denen Dreiecke vorkommen. Beschreibe jeweils, ob Du ein gleichseitiges, gleichschenkliges, ungleichseitiges, rechtwinkliges, spitzwinkliges oder stumpfwinkliges Dreieck erkennst.
2. Winkel schätzen: Zeichne drei verschiedene Dreiecke frei Hand. Schätze zuerst die Winkelgrößen und überprüfe sie anschließend mit dem Geodreieck.
3. Dreiecks-Steckbrief: Erstelle einen Steckbrief zu einer Dreiecksart. Notiere Definition, Eigenschaften, eine Zeichnung und ein eigenes Beispiel.
4. Formeltraining: Erfinde drei Aufgaben zum Umfang eines Dreiecks und löse sie selbst. Tausche die Aufgaben anschließend mit einer Mitschülerin oder einem Mitschüler.

Standard

1. Dreieckskonstruktion SSS: Konstruiere ein Dreieck mit den Seitenlängen $4\text{cm}$, $5\text{cm}$ und $6\text{cm}$. Schreibe die Konstruktionsschritte vollständig auf.
2. Dreieckskonstruktion SWS: Konstruiere ein Dreieck mit zwei gegebenen Seiten und einem eingeschlossenen Winkel. Erkläre, warum der Winkel zwischen den beiden Seiten liegen muss.
3. Flächeninhalt untersuchen: Zeichne mehrere Dreiecke mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe, aber unterschiedlicher Form. Vergleiche ihre Flächeninhalte und formuliere eine Vermutung.
4. Dreiecksungleichung prüfen: Erstelle eine Tabelle mit zehn Dreiergruppen von Seitenlängen. Entscheide jeweils, ob daraus ein Dreieck entstehen kann, und begründe Deine Entscheidung.

Schwer

1. Stabilität von Dreiecken: Baue aus Papierstreifen oder Holzstäbchen ein Viereck und ein Dreieck. Untersuche, welche Figur stabiler ist, und erkläre den Unterschied mit eigenen Worten.
2. Konstruktionsbeschreibung: Schreibe eine Konstruktionsanleitung so genau, dass eine andere Person Dein Dreieck ohne zusätzliche Erklärungen zeichnen kann. Vergleicht danach die Ergebnisse.
3. Fehleranalyse: Sammle drei typische Fehler bei Dreieckskonstruktionen. Zeichne jeweils ein falsches Beispiel und erkläre, wie man den Fehler vermeidet.
4. Mathematik im Alltag: Recherchiere eine Brücke, ein Dach oder ein technisches Bauwerk mit Dreiecksformen. Erstelle eine kurze Präsentation darüber, warum Dreiecke dort sinnvoll sind.

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Lernkontrolle

1. Winkelbegründung: Ein Dreieck hat zwei Winkel mit $48^{\circ }$ und $72^{\circ }$. Berechne den dritten Winkel, bestimme die Dreiecksart nach Winkeln und begründe Deine Entscheidung.
2. Konstruktionsentscheidung: Du sollst ein Dreieck mit den Seiten $3\text{cm}$, $4\text{cm}$ und $8\text{cm}$ zeichnen. Erkläre, warum das nicht möglich ist, und beziehe Dich auf die Dreiecksungleichung.
3. Vergleich von Dreiecken: Zwei Dreiecke haben jeweils die Winkel $40^{\circ }$, $60^{\circ }$ und $80^{\circ }$. Erkläre, was über ihre Form ausgesagt werden kann und was nicht automatisch gleich sein muss.
4. Flächeninhalt übertragen: Ein Dreieck hat dieselbe Grundseite und dieselbe Höhe wie ein anderes Dreieck. Erkläre, warum beide Dreiecke den gleichen Flächeninhalt haben können, obwohl sie unterschiedlich aussehen.
5. Konstruktionsplanung: Entwickle eine Planfigur für ein Dreieck mit $c=6\text{cm}$, $\alpha =50^{\circ }$ und $\beta =70^{\circ }$. Beschreibe, welche Schritte Du zum Konstruieren ausführst.
6. Alltagsargumentation: Begründe, warum Dreiecke in Fachwerken und Brücken häufig verwendet werden. Nutze dabei den Begriff der Formstabilität.
7. Eigenschaften verknüpfen: Ein Dreieck ist gleichseitig. Erkläre, welche weiteren Eigenschaften daraus sicher folgen und warum.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis zeigst Du, dass Du Dreiecke nicht nur benennen, sondern ihre Eigenschaften anwenden kannst. Bearbeite dazu eine eigene Kombination aus Konstruktion, Berechnung und Erklärung.

1. Konstruktion: Konstruiere ein Dreieck nach SSS, SWS oder WSW. Beschrifte alle Ecken, Seiten und Winkel.
2. Berechnung: Berechne mindestens einen fehlenden Winkel, den Umfang oder den Flächeninhalt.
3. Begründung: Erkläre, welche Dreiecksart vorliegt und woran Du sie erkennst.
4. Kontrolle: Prüfe Deine Zeichnung mithilfe der Innenwinkelsumme oder der Dreiecksungleichung.
5. Reflexion: Beschreibe, welcher Schritt Dir leichtfiel und welcher Schritt besondere Genauigkeit erforderte.

Links

Dreiecke Dreieck Geometrie Gleichseitiges Dreieck Gleichschenkliges Dreieck Ungleichseitiges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Spitzwinkliges Dreieck Stumpfwinkliges Dreieck Innenwinkelsumme Dreiecksungleichung Umfang Flächeninhalt Höhe Hypotenuse Kathete Zirkel Geodreieck Konstruktion Kongruenzsatz

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Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026

Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.

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