Dezimalzahlen als Erweiterung natürlicher Zahlen verstehen 1
Dezimalzahlen als Erweiterung natürlicher Zahlen verstehen 1
Einleitung
Dezimalzahlen als Erweiterung natürlicher Zahlen verstehen bedeutet: Du erkennst, dass natürliche Zahlen zum Zählen ganzer Dinge geeignet sind, dass man mit Dezimalzahlen aber auch Werte zwischen zwei natürlichen Zahlen genau beschreiben kann. Wenn Du zum Beispiel zwischen 3 und 4 Meter misst, kann das Ergebnis 3,4 m oder 3,75 m sein. Die Zahl 3,75 liegt nicht bei einer ganzen Anzahl, sondern zwischen 3 und 4 auf dem Zahlenstrahl.
Eine Dezimalzahl ist keine völlig fremde Zahlenwelt, sondern eine Erweiterung der vertrauten natürlichen Zahlen im Dezimalsystem. Jede natürliche Zahl kann auch als Dezimalzahl geschrieben werden: 5 = 5,0 = 5,00. Das Dezimalzeichen zeigt, wo der ganzzahlige Teil endet und wo die feinere Einteilung beginnt. Im deutschsprachigen Raum wird dafür meist das Komma verwendet.
Kompetenzziele
Am Ende dieses aiMOOCs kannst Du erklären, warum Dezimalzahlen beim Messen, Vergleichen und Rechnen gebraucht werden. Du kannst natürliche Zahlen als Teil der Dezimalzahlen verstehen, Dezimalzahlen auf dem Zahlenstrahl einordnen, Stellenwerte benennen und typische Fehler beim Vergleichen vermeiden.
Natürliche Zahlen als Ausgangspunkt
Natürliche Zahlen verwendest Du beim Zählen: 0, 1, 2, 3, 4 und so weiter. Je nach Vereinbarung beginnt die Menge der natürlichen Zahlen mit 0 oder mit 1. Im Schulunterricht ist wichtig, dass die verwendete Vereinbarung klar angegeben wird.
Mit natürlichen Zahlen kannst Du viele Alltagssituationen beschreiben: fünf Bücher, zwölf Stifte, drei Tische oder zwanzig Schülerinnen und Schüler. Diese Zahlen geben eine ganze Anzahl an. Sobald Du aber misst, teilst oder vergleichst, reichen natürliche Zahlen oft nicht mehr aus. Ein Tisch ist vielleicht 1,2 m lang, ein Weg 3,5 km weit oder ein Getränk enthält 0,75 l.
Grenzen natürlicher Zahlen
Natürliche Zahlen beantworten die Frage: Wie viele ganze Einheiten sind es? Dezimalzahlen beantworten zusätzlich die Frage: Wie viel von der nächsten Einheit ist schon erreicht? Zwischen 2 und 3 liegen unendlich viele mögliche Messwerte. Die Dezimalschreibweise macht viele dieser Zwischenwerte übersichtlich sichtbar.
Beispiele:
- Länge: 1,4 m liegt zwischen 1 m und 2 m.
- Geld: 2,50 € liegt zwischen 2 € und 3 €.
- Masse: 0,8 kg liegt zwischen 0 kg und 1 kg.
- Zeit: 1,5 Stunden sind eine Stunde und eine halbe Stunde.
Das Dezimalsystem
Das Dezimalsystem ist ein Stellenwertsystem zur Basis zehn. Es benutzt die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. Der Wert einer Ziffer hängt nicht nur von der Ziffer selbst ab, sondern auch von ihrer Stelle.
In der Zahl 444 hat jede 4 einen anderen Wert: Die erste 4 steht für vier Hunderter, die zweite 4 für vier Zehner und die dritte 4 für vier Einer. Dieses Prinzip wird bei Dezimalzahlen nach rechts fortgesetzt: Nach der Einerstelle folgen Zehntel, Hundertstel, Tausendstel und weitere Stellen.
Stellenwerte links und rechts vom Komma
Links vom Komma stehen die ganzen Stellen: Einer, Zehner, Hunderter und so weiter. Rechts vom Komma stehen die Nachkommastellen. Sie beschreiben Teile eines Ganzen.
| Stelle | Bedeutung | Beispiel in 23,456 |
|---|---|---|
| Zehner | zehn Ganze | 2 Zehner |
| Einer | ein Ganzes | 3 Einer |
| Zehntel | ein Ganzes in zehn gleiche Teile geteilt | 4 Zehntel |
| Hundertstel | ein Ganzes in hundert gleiche Teile geteilt | 5 Hundertstel |
| Tausendstel | ein Ganzes in tausend gleiche Teile geteilt | 6 Tausendstel |
Die Zahl 23,456 bedeutet also: 2 Zehner + 3 Einer + 4 Zehntel + 5 Hundertstel + 6 Tausendstel.
Dezimalzahlen als Erweiterung
Eine Dezimalzahl erweitert die Schreibweise natürlicher Zahlen, indem sie das bekannte Stellenwertsystem rechts vom Komma fortsetzt. Damit kannst Du nicht nur ganze Einheiten, sondern auch Teile von Einheiten beschreiben.
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Die natürliche Zahl 8 kann als 8,0 geschrieben werden. Das bedeutet: 8 Ganze und 0 Zehntel. Ebenso ist 8 = 8,00 = 8,000. Die angehängten Nullen verändern den Wert nicht, solange sie rechts am Ende der Nachkommastellen stehen.
Warum das eine Erweiterung ist
Die natürlichen Zahlen liegen als Punkte auf dem Zahlenstrahl: 0, 1, 2, 3 und so weiter. Dezimalzahlen füllen die Zwischenräume zwischen diesen Punkten. Wenn die Strecke von 0 bis 1 in zehn gleiche Teile geteilt wird, entstehen Zehntel: 0,1; 0,2; 0,3 und so weiter. Wird jedes Zehntel nochmals in zehn gleiche Teile geteilt, entstehen Hundertstel: 0,01; 0,02; 0,03 und so weiter.
Dadurch werden natürliche Zahlen nicht ersetzt, sondern in ein genaueres Zahlensystem eingebettet. Jede natürliche Zahl bleibt erhalten, aber es kommen neue Zahlen zwischen den bisherigen Zahlen dazu.
Dezimalzahlen am Zahlenstrahl
Der Zahlenstrahl hilft Dir, Dezimalzahlen als Größen zu verstehen. Eine Zahl liegt weiter rechts, wenn sie größer ist, und weiter links, wenn sie kleiner ist.
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Wenn Du 2,6 eintragen willst, suchst Du zuerst die natürlichen Zahlen 2 und 3. Dann teilst Du die Strecke zwischen 2 und 3 in zehn gleiche Abschnitte. 2,6 liegt sechs Zehntel rechts von 2. Die Zahl 2,60 liegt an derselben Stelle, denn 2,60 und 2,6 haben denselben Wert.
Zwischen zwei natürlichen Zahlen
Zwischen 4 und 5 liegen zum Beispiel:
- Zehntel: 4,1; 4,2; 4,3; 4,4; 4,5; 4,6; 4,7; 4,8; 4,9
- Hundertstel: 4,01; 4,02; 4,03 und viele weitere
- Tausendstel: 4,001; 4,002; 4,003 und viele weitere
Je feiner Du einteilst, desto genauer kannst Du messen und beschreiben. Deshalb sind Dezimalzahlen in Naturwissenschaft, Technik, Wirtschaft und Alltag so wichtig.
Dezimalbrüche und Dezimalzahlen
Eine endliche Dezimalzahl kann auch als Dezimalbruch verstanden werden. Dabei steht jede Nachkommastelle für einen Bruch mit dem Nenner 10, 100, 1000 und so weiter.
Beispiele:
- 0,1 bedeutet ein Zehntel.
- 0,01 bedeutet ein Hundertstel.
- 0,001 bedeutet ein Tausendstel.
- 2,35 bedeutet zwei Ganze und fünfunddreißig Hundertstel.
Die Zahl 3,7 kann als 3 + 7/10 verstanden werden. Die Zahl 3,70 kann als 3 + 70/100 verstanden werden. Beide Werte sind gleich, weil 70/100 genauso groß ist wie 7/10.
Dezimalzeichen: Komma und Punkt
Im deutschsprachigen Raum wird meistens das Komma als Dezimalzeichen benutzt: 3,5. In vielen englischsprachigen Ländern wird stattdessen ein Punkt verwendet: 3.5. Beim Rechnen im Unterricht solltest Du die vereinbarte Schreibweise nutzen. In Computerprogrammen und Taschenrechnern kann je nach Einstellung ein Punkt vorkommen.
Wichtig ist: Das Dezimalzeichen trennt den ganzzahligen Teil vom gebrochenen Teil. Es ist kein Rechenzeichen und bedeutet nicht, dass zwei getrennte Zahlen nebeneinanderstehen.
Dezimalzahlen vergleichen und ordnen
Beim Vergleichen von Dezimalzahlen hilft die Stellenwerttafel. Zuerst vergleichst Du die ganzen Anteile. Sind diese gleich, vergleichst Du die Zehntel, dann die Hundertstel, dann die Tausendstel.
Beispiel: 4,58 und 4,6. Beide haben 4 Ganze. Vergleiche die Zehntel: 4,58 hat 5 Zehntel, 4,6 hat 6 Zehntel. Also ist 4,6 größer als 4,58. Du kannst auch 4,6 als 4,60 schreiben. Dann siehst Du: 4,60 > 4,58.
Typische Fehlvorstellungen
Eine häufige Fehlvorstellung lautet: 4,58 sei größer als 4,6, weil 58 größer als 6 ist. Das ist falsch, denn die Stellenwerte sind entscheidend. 4,6 bedeutet 4 Ganze und 6 Zehntel. 4,58 bedeutet 4 Ganze, 5 Zehntel und 8 Hundertstel. Sechs Zehntel sind mehr als fünf Zehntel.
Eine andere Fehlvorstellung lautet: 2,50 sei größer als 2,5, weil mehr Ziffern geschrieben werden. Das ist ebenfalls falsch. 2,50 = 2,5, denn die 0 am Ende der Nachkommastellen verändert den Wert nicht.
Runden von Dezimalzahlen
Beim Runden ersetzt Du eine Zahl durch eine nahegelegene, einfachere Zahl. Dazu schaust Du auf die Stelle rechts neben der Rundungsstelle. Ist diese Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4, wird abgerundet. Ist sie 5, 6, 7, 8 oder 9, wird aufgerundet.
Beispiele:
- 3,42 auf Zehntel gerundet ergibt 3,4.
- 3,47 auf Zehntel gerundet ergibt 3,5.
- 8,216 auf Hundertstel gerundet ergibt 8,22.
- 12,04 auf Einer gerundet ergibt 12.
Runden ist nützlich, wenn eine genaue Zahl nicht notwendig ist oder wenn Messwerte übersichtlich dargestellt werden sollen. Dabei geht jedoch Genauigkeit verloren.
Dezimalzahlen im Alltag
Dezimalzahlen begegnen Dir jeden Tag. Sie zeigen, dass die Erweiterung natürlicher Zahlen nicht nur ein mathematisches Thema ist, sondern ein Werkzeug für reale Situationen.
- Geld: 1,99 € beschreibt einen Betrag zwischen 1 € und 2 €.
- Länge: 2,54 cm beschreibt eine Länge genauer als nur 2 cm oder 3 cm.
- Masse: 0,5 kg bedeutet ein halbes Kilogramm.
- Temperatur: 36,7 °C beschreibt eine Temperatur genauer als 36 °C oder 37 °C.
- Sport: 9,58 s beschreibt eine Laufzeit genauer als 9 s oder 10 s.
Rechnen mit dem Verständnis von Stellenwerten
Beim Addieren und Subtrahieren von Dezimalzahlen müssen gleiche Stellen untereinanderstehen: Einer unter Einer, Zehntel unter Zehntel, Hundertstel unter Hundertstel. Das Komma steht dabei unter dem Komma.
Beispiel:
| Rechnung | Gedanke | Ergebnis |
|---|---|---|
| 2,30 + 1,45 | 2 Ganze und 1 Ganzes, 30 Hundertstel und 45 Hundertstel | 3,75 |
| 5,6 - 2,35 | 5,60 - 2,35 | 3,25 |
Die Erweiterung natürlicher Zahlen hilft Dir hier besonders: Du rechnest nicht mit zufälligen Ziffernfolgen, sondern mit Stellenwerten.
Einführungsvideo
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Nutze das Video, um die Grundidee der Dezimalzahlen zu wiederholen. Achte besonders darauf, wie das Komma, die Nachkommastellen und die Stellenwerttafel erklärt werden.
Merksätze
- Dezimalzahl: Eine Dezimalzahl kann ganze Anteile und Anteile kleiner als ein Ganzes darstellen.
- Natürliche Zahl: Jede natürliche Zahl kann als Dezimalzahl mit Nullen nach dem Komma geschrieben werden.
- Stellenwert: Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Stelle ab.
- Komma: Das Komma trennt den ganzzahligen Teil vom gebrochenen Teil.
- Zahlenstrahl: Dezimalzahlen liegen zwischen natürlichen Zahlen und machen Zwischenwerte sichtbar.
- Vergleich: Beim Vergleichen zählen die Stellenwerte, nicht die Anzahl der Ziffern.
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Was beschreibt eine Dezimalzahl zusätzlich zu natürlichen Zahlen? (Werte zwischen ganzen Zahlen) (!Nur größere natürliche Zahlen) (!Nur negative Zahlen) (!Nur römische Zahlen)
Welche Schreibweise hat denselben Wert wie 7? (7,0) (!0,7) (!70,0) (!7,1)
Welche Stelle steht direkt rechts vom Komma? (Zehntel) (!Zehner) (!Hundertstel) (!Einer)
Welche Zahl ist größer? (4,60) (!4,58) (!4,08) (!4,006)
Warum ist 2,50 gleich 2,5? (Endnullen nach dem Komma verändern den Wert nicht) (!Mehr Ziffern bedeuten immer einen größeren Wert) (!Das Komma darf ignoriert werden) (!Die Null zählt immer als Zehner)
Welche Zahl liegt zwischen 3 und 4? (3,75) (!2,75) (!4,75) (!30,75)
Was bedeutet die 6 in der Zahl 8,64? (Sechs Zehntel) (!Sechs Einer) (!Sechs Hundertstel) (!Sechs Zehner)
Welche Zahl entsteht, wenn 5,37 auf Zehntel gerundet wird? (5,4) (!5,3) (!5,37) (!5,0)
Welche Aussage zum Zahlenstrahl stimmt? (Größere Zahlen liegen weiter rechts) (!Größere Zahlen liegen immer weiter links) (!Alle Dezimalzahlen liegen bei null) (!Zwischen zwei natürlichen Zahlen liegt keine Zahl)
Welche Zahl ist kleiner als 0,5? (0,49) (!0,50) (!0,51) (!1,5)
Memory
| Natürliche Zahl | Zählzahl |
| Dezimalzahl | Kommazahl |
| Zehntel | Erste Nachkommastelle |
| Hundertstel | Zweite Nachkommastelle |
| Zahlenstrahl | Ordnungshilfe |
| Stellenwert | Bedeutung der Position |
| Dezimalzeichen | Komma |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Thema |
|---|---|
| Ganzzahliger Teil | Bereich links vom Komma |
| Zehntel | Bereich direkt rechts vom Komma |
| Hundertstel | Bereich rechts von den Zehnteln |
| Endnull | Null ohne Wertänderung am Ende |
| Zahlenstrahl | Darstellung von Größen in Reihenfolge |
Kreuzworträtsel
| Komma | Welches Zeichen trennt den ganzzahligen Teil vom gebrochenen Teil? |
| Zehntel | Wie heißt die erste Stelle rechts vom Komma? |
| Hundertstel | Wie heißt die zweite Stelle rechts vom Komma? |
| Zahlenstrahl | Worauf kannst Du Dezimalzahlen der Größe nach einordnen? |
| Stellenwert | Was bestimmt, welchen Wert eine Ziffer an ihrer Position hat? |
| Rundung | Wie nennt man das Ersetzen durch eine nahegelegene einfachere Zahl? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Zahlenstrahl zeichnen: Zeichne einen Zahlenstrahl von 0 bis 2 und trage die Dezimalzahlen 0,5; 1,2; 1,75 und 2,0 ein.
- Alltagsbeispiele sammeln: Suche zu Hause oder in der Schule fünf Beispiele für Dezimalzahlen und erkläre, welche Größe jeweils gemessen oder angegeben wird.
- Stellenwerttafel gestalten: Erstelle eine farbige Stellenwerttafel mit Einern, Zehnteln, Hundertsteln und Tausendsteln.
- Dezimalzahl erklären: Erkläre einer jüngeren Person in drei Sätzen, warum 3,0 denselben Wert hat wie 3.
Standard
- Dezimalzahlen vergleichen: Erstelle zehn Zahlenpaare mit Dezimalzahlen und ordne sie mit den Zeichen kleiner als, größer als oder gleich.
- Messprojekt: Miss drei Gegenstände möglichst genau und notiere die Ergebnisse als Dezimalzahlen mit passender Einheit.
- Fehler finden: Erfinde fünf typische Fehler beim Vergleichen von Dezimalzahlen und schreibe jeweils eine richtige Erklärung dazu.
- Bruch und Dezimalzahl: Wandle einfache Dezimalzahlen wie 0,5; 0,25; 0,75 und 1,2 in Brüche um und erkläre Deinen Weg.
Schwer
- Lernvideo planen: Entwickle ein kurzes Drehbuch für ein Erklärvideo zum Thema Dezimalzahlen am Zahlenstrahl.
- Forschungsfrage: Untersuche, warum verschiedene Länder Komma oder Punkt als Dezimalzeichen verwenden, und präsentiere Deine Ergebnisse.
- Mathematisches Modellieren: Plane einen Einkauf mit Preisen als Dezimalzahlen und berechne verschiedene Zahlungs- und Rückgeldsituationen.
- Diagnoseaufgabe entwickeln: Erstelle eine Aufgabe, mit der Lehrkräfte erkennen können, ob Lernende Stellenwerte bei Dezimalzahlen wirklich verstanden haben.
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Lernkontrolle
- Zahlenbereich erklären: Erkläre mit eigenen Worten, warum Dezimalzahlen als Erweiterung natürlicher Zahlen verstanden werden können.
- Transfer auf Messwerte: Beschreibe eine Situation aus dem Alltag, in der natürliche Zahlen nicht genau genug sind, und zeige, wie Dezimalzahlen helfen.
- Fehlvorstellung analysieren: Eine Person behauptet, 2,45 sei größer als 2,5, weil 45 größer als 5 ist. Erkläre den Denkfehler mithilfe von Stellenwerten.
- Zahlenstrahl anwenden: Zeichne einen Ausschnitt des Zahlenstrahls von 1 bis 2 und begründe die Positionen von 1,25; 1,5 und 1,8.
- Rundung bewerten: Entscheide, ob in einer Alltagssituation ein gerundeter Wert ausreicht oder ob eine genaue Dezimalzahl notwendig ist.
- Darstellungen verbinden: Stelle die Zahl 0,75 als Dezimalzahl, als Bruch, auf dem Zahlenstrahl und als Alltagssituation dar.
- Argumentation: Begründe, warum 4,20 und 4,2 gleich groß sind, obwohl die Schreibweisen unterschiedlich lang sind.
Lernnachweis
Für einen gelungenen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Regeln auswendig kannst, sondern den Zusammenhang zwischen natürlichen Zahlen, Dezimalzahlen, Stellenwertsystem und Zahlenstrahl verständlich darstellst.
- Begriffsklärung: Du erklärst die Begriffe natürliche Zahl, Dezimalzahl, Dezimalzeichen, Nachkommastelle und Stellenwert korrekt.
- Darstellung: Du kannst Dezimalzahlen in einer Stellenwerttafel und auf dem Zahlenstrahl darstellen.
- Vergleich: Du vergleichst Dezimalzahlen begründet mithilfe der Stellenwerte.
- Alltagsbezug: Du zeigst an realen Beispielen, warum Dezimalzahlen gebraucht werden.
- Fehleranalyse: Du erkennst typische Fehlvorstellungen und korrigierst sie nachvollziehbar.
- Transfer: Du wendest Dein Wissen auf Messwerte, Geldbeträge, Rundungen oder eigene Beispiele an.
- Reflexion: Du beschreibst, was Dir beim Verständnis der Erweiterung natürlicher Zahlen geholfen hat.
OERs zum Thema
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