Determinante einer Matrix berechnen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Die Determinante ist eine Zahl, die zu einer quadratischen Matrix gehört. Du schreibst sie als $\det (A)$. Mit ihr kannst Du zum Beispiel prüfen, ob eine Matrix eine inverse Matrix besitzt.

Datei:Determinant 2x2.svg

Lernziele

1. Du berechnest die Determinante einer 2×2-Matrix.
2. Du berechnest die Determinante einer 3×3-Matrix mit der Regel von Sarrus.
3. Du erklärst die Bedeutung von $\det (A)=0$.
4. Du nutzt die Determinante bei einfachen Flächen- und Anwendungsaufgaben.

Determinante einer 2×2-Matrix

Für

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

gilt:

$\det (A)=a\cdot d-b\cdot c$

Du rechnest also: Produkt der Hauptdiagonale minus Produkt der anderen Diagonale.

Beispiel:

$A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 4\end{array}\right)$

$\det (A)=3\cdot 4-2\cdot 1=12-2=10$

Determinante einer 3×3-Matrix

Bei einer 3×3-Matrix kannst Du die Regel von Sarrus verwenden. Du schreibst die ersten beiden Spalten noch einmal rechts neben die Matrix. Danach addierst Du die Produkte der fallenden Diagonalen und ziehst die Produkte der steigenden Diagonalen ab.

Datei:Determinant 3x3 Example.svg

Datei:Sarrus rule full step example 2.svg

Beispiel:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right)$

$\det (A)=0+40+0-15-0-24=1$

Die Regel von Sarrus gilt nur für 3×3-Matrizen.

Bedeutung der Determinante

Ist $\det (A)=0$, dann besitzt die Matrix keine Inverse. Ihre Zeilen oder Spalten sind voneinander abhängig.

Der Betrag der Determinante beschreibt außerdem, wie sich eine Fläche oder ein Volumen durch eine lineare Abbildung verändert.

Datei:Area parallellogram as determinant.svg

Lernvideo

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Aufgaben zum Video

1. Formel notieren: Schreibe die Formel für die Determinante einer 2×2-Matrix auf.
2. Beispiel nachrechnen: Rechne ein Beispiel aus dem Video ohne Hilfe erneut.
3. Rechenweg erklären: Erkläre in zwei Sätzen, warum ein Produkt abgezogen wird.
4. Video anhalten: Stoppe vor einem Ergebnis, berechne es selbst und vergleiche.
5. Eigene Aufgabe: Erfinde eine passende Matrix und berechne ihre Determinante.

Zusatzvideo: Was bedeutet die Determinante?

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Für welche Matrizen ist eine Determinante definiert? (Für quadratische Matrizen) (!Für alle Tabellen) (!Nur für Zeilenmatrizen) (!Nur für Matrizen mit positiven Zahlen)

Wie lautet die Formel für eine 2×2-Matrix? (ad minus bc) (!ab minus cd) (!ac plus bd) (!abcd)

Wie groß ist die Determinante der Matrix mit den Zeilen 2, 1 und 3, 4? (5) (!2) (!8) (!11)

Was bedeutet eine Determinante von null? (Die Matrix ist nicht invertierbar) (!Die Matrix ist immer eine Einheitsmatrix) (!Alle Einträge sind null) (!Die Matrix hat nur eine Zeile)

Für welche Größe gilt die Regel von Sarrus direkt? (Für eine 3×3-Matrix) (!Für eine 2×4-Matrix) (!Für jede beliebige Matrix) (!Nur für eine 1×1-Matrix)

Was geschieht bei der Regel von Sarrus mit den steigenden Diagonalprodukten? (Sie werden abgezogen) (!Sie werden verdoppelt) (!Sie werden ignoriert) (!Sie werden durch null geteilt)

Wie groß ist die Determinante einer Einheitsmatrix? (1) (!0) (!2) (!Minus 1)

Was geschieht mit der Determinante beim Vertauschen zweier Zeilen? (Ihr Vorzeichen wechselt) (!Sie bleibt immer gleich) (!Sie wird immer null) (!Sie wird quadriert)

Wie berechnet man die Determinante einer Dreiecksmatrix? (Man multipliziert die Diagonaleinträge) (!Man addiert alle Einträge) (!Man multipliziert nur die erste Zeile) (!Man zählt die Nullen)

Was beschreibt der Betrag der Determinante geometrisch? (Einen Flächen- oder Volumenfaktor) (!Die Anzahl der Matrixzeilen) (!Die Farbe einer Zeichnung) (!Nur die Länge eines Vektors)

Memory

Determinante	Zahl einer quadratischen Matrix
Zwei-mal-zwei-Matrix	ad minus bc
Drei-mal-drei-Matrix	Regel von Sarrus
Null-Determinante	Keine inverse Matrix
Betrag der Determinante	Flächen- oder Volumenfaktor

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Hauptdiagonale	Produkt a mal d
Nebendiagonale	Produkt b mal c
Quadratische Matrix	Gleich viele Zeilen und Spalten
Null-Determinante	Keine inverse Matrix
Sarrus-Regel	Verfahren für eine Drei-mal-drei-Matrix

Kreuzworträtsel

Matrix	Wie heißt eine rechteckige Anordnung von Zahlen?
Sarrus	Nach wem ist die bekannte Regel für Drei-mal-drei-Matrizen benannt?
Inverse	Wie heißt die Umkehrmatrix?
Diagonale	Auf welcher Linie liegen die Einträge von links oben nach rechts unten?
Null	Welcher Wert zeigt, dass eine Matrix nicht invertierbar ist?
Volumen	Welche dreidimensionale Größe kann durch eine Determinante skaliert werden?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Determinante gehört zu einer Matrix.

Bei einer Zwei-mal-zwei-Matrix lautet die Formel .

Für eine Drei-mal-drei-Matrix kann die Regel von verwendet werden.

Ist die Determinante null, ist die Matrix nicht .

Der Betrag der Determinante kann einen beschreiben.

Beim Vertauschen zweier Zeilen wechselt das .

Bei einer Dreiecksmatrix werden die Einträge der multipliziert.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Rechenkarte: Gestalte eine Karte mit der Formel für eine 2×2-Determinante und einem Beispiel.
2. Fehler finden: Erfinde einen falschen Rechenweg und markiere den Fehler.
3. Video-Zusammenfassung: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.
4. Merkbild: Zeichne ein Bild, das „Hauptdiagonale minus Nebendiagonale“ zeigt.

Standard

1. Sarrus erklären: Erkläre die Regel von Sarrus mit einer selbst gewählten Matrix.
2. Methoden vergleichen: Vergleiche die Berechnung bei einer 2×2- und einer 3×3-Matrix.
3. Flächenaufgabe: Wähle zwei Vektoren und bestimme mit der Determinante den Flächeninhalt des Parallelogramms.
4. Partnerkontrolle: Tausche eine selbst erstellte Aufgabe mit einer anderen Person und prüft eure Ergebnisse.

Schwer

1. Flächenformel begründen: Erkläre, warum der Betrag einer 2×2-Determinante einen Flächeninhalt liefert.
2. Laplace-Entwicklung: Informiere Dich über den Laplaceschen Entwicklungssatz und rechne ein Beispiel.
3. Eigenschaften untersuchen: Prüfe an Beispielen, wie Zeilentausch und Zeilenmultiplikation die Determinante verändern.
4. Erklärvideo erstellen: Produziere ein kurzes Lernvideo mit Rechnung, Erklärung und Kontrollaufgabe.

Lernkontrolle

1. Fehleranalyse: Eine Person rechnet bei einer 2×2-Matrix $ad+bc$. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
2. Entscheidung begründen: Untersuche zwei Matrizen und begründe, welche davon invertierbar ist.
3. Geometrischer Transfer: Erkläre, was eine Determinante von 3 für den Flächeninhalt einer Figur bedeutet.
4. Methodenwahl: Entscheide bei verschiedenen Matrixgrößen, ob Sarrus, eine einfache Formel oder die Laplace-Entwicklung geeignet ist.
5. Anwendung: Beschreibe, welche Rolle die Determinante beim eindeutigen Lösen eines linearen Gleichungssystems spielt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. Determinanten von 2×2- und 3×3-Matrizen sicher berechnest,
2. Deinen Rechenweg verständlich erklärst,
3. die Bedeutung von $\det (A)=0$ kennst,
4. geometrische Anwendungen beschreibst,
5. Fehler erkennst und korrigierst.

Links

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