Bedingte Wahrscheinlichkeit - Baumdiagramm und Pfadregeln
Bedingte Wahrscheinlichkeit - Baumdiagramm und Pfadregeln
Einleitung
In diesem aiMOOC lernst Du die bedingte Wahrscheinlichkeit, das Baumdiagramm und die beiden Pfadregeln. Du brauchst diese Werkzeuge, wenn ein Ergebnis von einer Bedingung oder von einem früheren Schritt abhängt.
Lernziele
- Bedingte Wahrscheinlichkeit: Du erklärst, was eine Bedingung verändert.
- Baumdiagramm: Du trägst Wahrscheinlichkeiten richtig an Ästen ein.
- Pfadregeln: Du multiplizierst entlang eines Pfades und addierst passende Pfade.
Grundlagen
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Schreibweise bedeutet: Wie wahrscheinlich ist Ereignis A, wenn B schon bekannt ist?
Für gilt:
Die Bedingung B verkleinert den betrachteten Ergebnisraum.
Baumdiagramm
Ein Baumdiagramm zeigt ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Jeder Ast steht für einen möglichen Ausgang. An jedem Ast steht eine Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten ausgehen, ergeben zusammen 1.
Erste Pfadregel: Multiplizieren
Willst Du die Wahrscheinlichkeit eines vollständigen Pfades berechnen, multiplizierst Du die Werte entlang dieses Pfades.
Beispiel: .
Zweite Pfadregel: Addieren
Kann ein Ereignis über mehrere Pfade eintreten, addierst Du die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade.
Kurzes Beispiel
60 Prozent einer Gruppe fahren mit dem Zug, 40 Prozent mit dem Fahrrad. 20 Prozent der Zugfahrenden und 5 Prozent der Radfahrenden kommen zu spät.
Also kommen 14 Prozent zu spät. Unter den verspäteten Personen beträgt der Anteil der Zugfahrenden:
Video
Aufgaben zum Video
- Begriffe erkennen: Notiere die Erklärung für bedingte Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramm und Pfadregel.
- Baum lesen: Stoppe beim ersten Baumdiagramm. Benenne die Stufen und die möglichen Ergebnisse.
- Knoten prüfen: Kontrolliere an zwei Knoten, ob die ausgehenden Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben.
- Erste Pfadregel: Erkläre mit einem Satz, warum entlang eines Pfades multipliziert wird.
- Zweite Pfadregel: Erkläre mit einem Satz, wann mehrere Pfade addiert werden.
- Eigenes Beispiel: Verändere die Zahlen aus einem Videobeispiel und rechne das neue Ergebnis aus.
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Was beschreibt P von A unter der Bedingung B? (Die Wahrscheinlichkeit von A, wenn B bekannt ist) (!Die Wahrscheinlichkeit von A und B ohne Bedingung) (!Die Gegenwahrscheinlichkeit von A) (!Die Anzahl aller Ergebnisse)
Was muss an jedem Knoten eines Baumdiagramms gelten? (Die ausgehenden Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1) (!Alle Äste haben dieselbe Wahrscheinlichkeit) (!Die Wahrscheinlichkeiten werden immer addiert) (!Jeder Knoten hat genau drei Äste)
Wie berechnest Du die Wahrscheinlichkeit eines vollständigen Pfades? (Du multiplizierst die Astwahrscheinlichkeiten) (!Du addierst die Astwahrscheinlichkeiten) (!Du ziehst die Astwahrscheinlichkeiten ab) (!Du rundest alle Werte auf 1)
Wann wird die zweite Pfadregel benutzt? (Wenn ein Ereignis über mehrere passende Pfade eintreten kann) (!Wenn nur ein einzelner Ast betrachtet wird) (!Wenn keine Wahrscheinlichkeit gegeben ist) (!Wenn alle Ergebnisse ausgeschlossen sind)
Was zeigt ein Ast in einem Baumdiagramm? (Einen möglichen Ausgang mit seiner Wahrscheinlichkeit) (!Nur das Endergebnis der gesamten Rechnung) (!Eine sichere Aussage ohne Wahrscheinlichkeit) (!Eine geometrische Strecke ohne Bedeutung)
Was bedeutet das Gegenereignis von A? (A tritt nicht ein) (!A tritt zweimal ein) (!A und B treten sicher ein) (!A hat die Wahrscheinlichkeit 1)
Welche Rechnung gehört zu einem Pfad mit 0,5 und 0,4? (0,5 mal 0,4) (!0,5 plus 0,4) (!0,5 minus 0,4) (!0,5 geteilt durch 0,4)
Wie groß ist 0,5 mal 0,4? (0,2) (!0,9) (!0,1) (!2,0)
Was verändert eine Bedingung bei der bedingten Wahrscheinlichkeit? (Den betrachteten Ergebnisraum) (!Die Rechenzeichen der Mathematik) (!Die Anzahl der Schulstunden) (!Die Bedeutung der Zahl 1)
Welche Aussage passt zu unabhängigen Ereignissen? (Die Bedingung verändert die Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses nicht) (!Die Bedingung macht jedes Ereignis unmöglich) (!Beide Ereignisse müssen immer gleichzeitig eintreten) (!Alle Pfadwahrscheinlichkeiten sind automatisch 1)
Memory
| Bedingte Wahrscheinlichkeit | Wahrscheinlichkeit unter einer Voraussetzung |
| Ast | Ein möglicher Ausgang |
| Pfad | Folge von Ästen |
| Erste Pfadregel | Werte entlang eines Pfades multiplizieren |
| Zweite Pfadregel | Passende Pfadwahrscheinlichkeiten addieren |
| Gegenereignis | Restwahrscheinlichkeit zu 1 |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Thema |
|---|---|
| Multiplizieren | entlang eines vollständigen Pfades |
| Addieren | bei mehreren passenden Pfaden |
| Bedingung | schränkt den Ergebnisraum ein |
| Gegenereignis | tritt ein, wenn das Ereignis nicht eintritt |
| Baumdiagramm | stellt ein mehrstufiges Zufallsexperiment dar |
Kreuzworträtsel
| Multiplikation | Welche Rechenart nutzt Du entlang eines Pfades? |
| Addition | Welche Rechenart nutzt Du für mehrere passende Pfade? |
| Bedingung | Welche Information ist bei einer bedingten Wahrscheinlichkeit schon bekannt? |
| Gegenereignis | Wie heißt das Ereignis, dass ein anderes Ereignis nicht eintritt? |
| Baumdiagramm | Welche Darstellung zeigt die Stufen eines Zufallsexperiments? |
| Pfadregel | Wie heißt eine Rechenregel für Wege im Baumdiagramm? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Münzwurf: Wirf eine Münze zweimal und zeichne das passende Baumdiagramm.
- Begriffsbild: Gestalte eine kleine Lernkarte zur ersten und zweiten Pfadregel.
- Video-Notiz: Halte drei wichtige Aussagen aus dem Lernvideo in eigenen Worten fest.
- Fehlersuche: Erfinde ein Baumdiagramm mit einem falschen Knoten und markiere den Fehler.
Standard
- Urnenmodell: Entwirf ein Experiment mit farbigen Kugeln, zeichne den Baum und berechne zwei Pfade.
- Alltagsdaten: Formuliere ein Beispiel zu Verkehrsmittel und Verspätung mit eigenen Wahrscheinlichkeiten.
- Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zur ersten und zweiten Pfadregel.
- Simulation: Simuliere ein zweistufiges Experiment mindestens 50-mal und vergleiche Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit.
Schwer
- Rückwärtsfrage: Berechne in einem eigenen Beispiel eine Wahrscheinlichkeit der Form P von A unter der Bedingung B.
- Diagnosetest: Entwickle ein Baumdiagramm zu Testtreffer, Krankheit und Fehlalarm und erkläre das Ergebnis verständlich.
- Vergleich: Stelle eine Rechnung mit Baumdiagramm und Vierfeldertafel gegenüber.
- Unterrichtsprojekt: Plane eine kurze Lernstation mit Beispiel, Lösung, Kontrollfrage und Medienhinweis.
|
|
Lernkontrolle
- Modellwahl: Begründe, warum ein Baumdiagramm für einen bestimmten Alltagstext geeignet oder ungeeignet ist.
- Datenänderung: Erkläre, wie sich das Endergebnis verändert, wenn nur eine bedingte Wahrscheinlichkeit größer wird.
- Fehleranalyse: Eine Person addiert alle Astwahrscheinlichkeiten eines Pfades. Erkläre den Denkfehler und korrigiere ihn.
- Rückschluss: Entwickle aus einer Gesamtwahrscheinlichkeit und einer Pfadwahrscheinlichkeit eine sinnvolle bedingte Wahrscheinlichkeit.
- Darstellungswechsel: Übertrage ein Baumdiagramm in eine Vierfeldertafel und beschreibe, welche Informationen gleich bleiben.
- Entscheidung: Beurteile anhand eines selbst gewählten Beispiels, ob zwei Ereignisse unabhängig sind.
Lernnachweis
Für einen Lernnachweis solltest Du:
- ein Baumdiagramm vollständig beschriften,
- die erste und zweite Pfadregel sicher anwenden,
- eine bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen und deuten,
- einen Rechenweg verständlich erklären,
- ein Ergebnis auf Plausibilität prüfen,
- eine Aufgabe auf einen neuen Kontext übertragen.
OERs zum Thema
Links
aiMOOC-Projekte
Schulfach+
|
|
aiMOOCs
aiMOOC Projekte
|
|
THE MONKEY DANCE
|
|
|