Laplace-Experiment - Stochastik

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Laplace-Experiment - Stochastik

Fach: Mathematik | Klassen: 8–12 | Thema: Stochastik

Einleitung

Bei einem Laplace-Experiment sind alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Ein fairer Spielwürfel ist ein typisches Beispiel. Du lernst hier die Laplace-Formel kennen und berechnest einfache Wahrscheinlichkeiten.

Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du:

1. ein Laplace-Experiment erkennen,
2. die Ergebnismenge angeben,
3. günstige Ergebnisse zählen,
4. Wahrscheinlichkeiten mit der Laplace-Formel berechnen.

Grundwissen

Was ist ein Laplace-Experiment?

Ein Zufallsexperiment ist ein Laplace-Experiment, wenn:

1. es nur endlich viele mögliche Ergebnisse gibt,
2. alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Beim fairen Würfel sind die Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5 und 6 gleich wahrscheinlich.

Wichtig: Ein echter Würfel wird in Aufgaben meist als ideal und fair angenommen.

Die Laplace-Formel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnest Du so:

Wahrscheinlichkeit = günstige Ergebnisse : mögliche Ergebnisse

$P(A)=\frac{|A|}{|\Omega |}$

Dabei ist Ω die Menge aller möglichen Ergebnisse. Das Ereignis A enthält die günstigen Ergebnisse.

Beispiel: Gerade Zahl würfeln

Ein fairer Würfel hat sechs mögliche Ergebnisse:

$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$

Für das Ereignis „gerade Zahl“ sind 2, 4 und 6 günstig.

$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\mathrm{\%}$

Beispiel: Münzwurf

Bei einer idealen Münze sind Kopf und Zahl gleich wahrscheinlich. Deshalb ist der Münzwurf ein Laplace-Experiment.

$P(\text{Kopf})=\frac{1}{2}=50\mathrm{\%}$

Die Abbildung zeigt alle Ergebnisse bei vier Münzwürfen. Bei mehreren Würfen hilft ein Baumdiagramm.

Achtung bei zwei Würfeln

Beim Werfen von zwei fairen Würfeln sind die 36 geordneten Paare gleich wahrscheinlich. Die möglichen Augensummen von 2 bis 12 sind aber nicht gleich wahrscheinlich.

Beispiel: Die Summe 7 kann auf sechs Arten entstehen. Die Summe 2 nur auf eine Art.

Gegenbeispiele

Ein Experiment ist kein Laplace-Experiment, wenn die Ergebnisse verschiedene Wahrscheinlichkeiten haben. Beispiele sind ein gezinkter Würfel oder ein Glücksrad mit verschieden großen Feldern.

Pierre-Simon Laplace

Das Laplace-Experiment ist nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace benannt. Er arbeitete unter anderem zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Lernvideo

Sieh Dir das Video aufmerksam an. Notiere die Definition, die Formel und mindestens ein Beispiel.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Aufgaben zum Video

1. Definition im Video: Schreibe mit eigenen Worten auf, wann ein Zufallsexperiment ein Laplace-Experiment ist.
2. Formel im Video: Notiere die Laplace-Formel und erkläre Zähler und Nenner.
3. Beispiel im Video: Beschreibe ein Beispiel aus dem Video und liste alle möglichen Ergebnisse auf.
4. Rechenweg im Video: Rechne eine Aufgabe aus dem Video selbst nach.
5. Fehler finden: Erkläre, warum man die Formel nicht anwenden darf, wenn die Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind.
6. Eigene Videoaufgabe: Erfinde eine ähnliche Aufgabe und gib die Lösung an.

Weiteres Erklärvideo

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann liegt ein Laplace-Experiment vor? (Alle möglichen Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich) (!Ein Ergebnis tritt sicher ein) (!Es gibt unendlich viele Ergebnisse) (!Das Experiment wird nur einmal durchgeführt)

Welche Formel gilt bei einem Laplace-Experiment? (Günstige Ergebnisse geteilt durch mögliche Ergebnisse) (!Mögliche Ergebnisse geteilt durch günstige Ergebnisse) (!Günstige Ergebnisse plus mögliche Ergebnisse) (!Günstige Ergebnisse mal mögliche Ergebnisse)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6 bei einem fairen Würfel? (Ein Sechstel) (!Ein Fünftel) (!Ein Drittel) (!Ein Halb)

Welche Ergebnisse sind beim Ereignis gerade Zahl günstig? (2, 4 und 6) (!1, 3 und 5) (!1, 2 und 3) (!4, 5 und 6)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl beim fairen Würfel? (Ein Halb) (!Ein Sechstel) (!Ein Drittel) (!Zwei Drittel)

Welches Experiment ist idealisiert ein Laplace-Experiment? (Wurf einer fairen Münze) (!Wurf eines gezinkten Würfels) (!Drehen eines Glücksrads mit verschieden großen Feldern) (!Vorhersage des Wetters)

Was enthält die Ergebnismenge? (Alle möglichen Ergebnisse) (!Nur die günstigen Ergebnisse) (!Nur unmögliche Ergebnisse) (!Nur bereits beobachtete Ergebnisse)

Wie viele gleich wahrscheinliche geordnete Paare gibt es bei zwei fairen Würfeln? (36) (!12) (!11) (!6)

Warum sind die Augensummen von zwei Würfeln nicht gleich wahrscheinlich? (Sie können auf unterschiedlich viele Arten entstehen) (!Die Würfel haben keine Zahlen) (!Jede Summe tritt genau einmal auf) (!Es gibt nur zwei mögliche Summen)

Wie groß kann eine Wahrscheinlichkeit sein? (Zwischen 0 und 1) (!Nur größer als 1) (!Nur kleiner als 0) (!Immer genau 100)

Memory

Laplace-Experiment	Gleich wahrscheinliche Ergebnisse
Ergebnismenge	Alle möglichen Ergebnisse
Ereignis	Auswahl günstiger Ergebnisse
Würfel	Sechs mögliche Augenzahlen
Münze	Kopf oder Zahl
Wahrscheinlichkeit	Zahl zwischen null und eins

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Ergebnismenge	alle möglichen Ergebnisse
günstige Ergebnisse	Ergebnisse des gesuchten Ereignisses
Laplace-Experiment	alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich
Zähler	Anzahl der günstigen Ergebnisse
Nenner	Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Kreuzworträtsel

Laplace	Nach welchem Mathematiker ist das Experiment benannt?
Wuerfel	Welcher Spielgegenstand hat meist sechs Seiten?
Muenze	Was zeigt Kopf oder Zahl?
Ereignis	Wie heißt eine Menge günstiger Ergebnisse?
Zufall	Was bestimmt den Ausgang eines Zufallsexperiments?
Formel	Womit wird die Wahrscheinlichkeit berechnet?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse . Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt . Die günstigen Ergebnisse stehen bei der Laplace-Formel im . Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse steht im . Bei einem fairen Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Zahl . Ein gezinkter Würfel ist im Allgemeinen .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Würfelversuch: Würfle 30-mal. Erstelle eine Strichliste und vergleiche die Ergebnisse.
2. Münzversuch: Wirf eine Münze 20-mal. Berechne die relative Häufigkeit von Kopf.
3. Ergebnismenge: Schreibe die Ergebnismenge für einen Würfel und eine Münze auf.
4. Laplace-Plakat: Gestalte ein kleines Merkblatt mit Definition, Formel und Beispiel.

Standard

1. Glücksrad gestalten: Zeichne ein Glücksrad, das ein Laplace-Experiment darstellt.
2. Gegenbeispiel entwickeln: Zeichne ein Glücksrad, das kein Laplace-Experiment darstellt, und begründe Deine Entscheidung.
3. Zwei Würfel: Untersuche, auf wie viele Arten die Summen 2 bis 12 entstehen.
4. Erklärvideo prüfen: Vergleiche Deine Notizen mit dem Lernvideo und verbessere unklare Stellen.

Schwer

1. Spiel untersuchen: Analysiere ein Würfel- oder Kartenspiel und prüfe, ob ein Laplace-Experiment vorliegt.
2. Simulation: Simuliere 100 Würfe mit einer Tabellenkalkulation und vergleiche Theorie und Beobachtung.
3. Faire Spielregel: Erfinde ein faires Spiel für zwei Personen und begründe die Gewinnchancen.
4. Video produzieren: Erstelle ein kurzes Erklärvideo zur Laplace-Formel mit einem eigenen Beispiel.

Lernkontrolle

1. Übertragen: Ein Glücksrad hat acht gleich große Felder. Drei sind blau. Berechne die Wahrscheinlichkeit für Blau und erkläre Deinen Rechenweg.
2. Beurteilen: Ein Glücksrad hat vier Felder mit verschieden großen Flächen. Jemand rechnet mit ein Viertel pro Farbe. Beurteile diese Rechnung.
3. Modellieren: Formuliere zu einem Würfelwurf ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit zwei Drittel.
4. Vergleichen: Erkläre den Unterschied zwischen der theoretischen Wahrscheinlichkeit und der relativen Häufigkeit in einem Versuch.
5. Analysieren: Bei zwei Würfeln behauptet jemand, jede Augensumme sei gleich wahrscheinlich. Widerlege die Aussage mit Beispielen.
6. Entwickeln: Erfinde ein Zufallsexperiment mit acht gleich wahrscheinlichen Ergebnissen und ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit drei Achtel.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. ein Laplace-Experiment sicher erkennen,
2. eine Ergebnismenge vollständig angeben,
3. günstige Ergebnisse bestimmen,
4. die Laplace-Formel richtig anwenden,
5. Ergebnisse als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentzahl angeben,
6. erklären, warum ein Gegenbeispiel kein Laplace-Experiment ist,
7. einen verständlichen Rechenweg zeigen.

Links

Laplace-Experiment - Stochastik Stochastik Zufallsexperiment Laplace-Formel Wahrscheinlichkeit Ergebnismenge Ereignis Relative Häufigkeit Baumdiagramm