Die Druckversion wird nicht mehr unterstützt und kann Darstellungsfehler aufweisen. Bitte aktualisiere deine Browser-Lesezeichen und verwende stattdessen die Standard-Druckfunktion des Browsers.

العوامل والمضاعفات

مقدمة

العوامل والمضاعفات أفكار أساسية تساعدك على فهم الأعداد، وتنظيمها، واكتشاف الأنماط فيها. ستتعلم في هذا المساق كيف تعرف عوامل عدد ما، وكيف تبني مضاعفاته، وكيف تميز الأعداد الأولية من المركبة، وكيف تستخدم قواعد بسيطة لمعرفة قابلية القسمة من دون إجراء قسمة طويلة كل مرة.

تخيل أنك تملك 24 قطعة صغيرة وتريد ترتيبها في صفوف متساوية. يمكنك أن تصنع صفاً واحداً من 24 قطعة، أو صفين في كل منهما 12 قطعة، أو ثلاثة صفوف في كل منها 8 قطع، أو أربعة صفوف في كل منها 6 قطع. هذه الترتيبات تكشف لنا عوامل العدد 24.

أهداف التعلم

بعد إنهاء هذا المساق، تستطيع أن تشرح معنى العامل والمضاعف بكلماتك، وأن تجد عوامل أعداد صغيرة بطريقة منظمة، وأن تكتب مضاعفات عدد وتتبع نمطها، وأن تستخدم قواعد قابلية القسمة على أعداد شائعة، وأن تميز العدد الأولي من العدد المركب، وأن تجد عاملاً مشتركاً أو مضاعفاً مشتركاً في مسائل بسيطة، وأن تبرر إجابتك باستخدام الضرب أو القسمة.

مفاتيح البداية: الضرب والقسمة

العوامل والمضاعفات مرتبطان مباشرة بعمليتي الضرب والقسمة. إذا كان 4 × 6 = 24، فإن 4 و6 عاملان للعدد 24، والعدد 24 مضاعف لكل من 4 و6.

عندما نقول إن عدداً يقسم عدداً آخر دون باق، فنحن نعني أن نتيجة القسمة عدد صحيح ولا يتبقى شيء. مثلاً: 24 ÷ 6 = 4، لذلك 6 عامل للعدد 24. أما 24 ÷ 5 فلا تعطي عدداً صحيحاً، لذلك 5 ليس عاملاً للعدد 24.

في هذا المساق نتحدث غالباً عن العوامل الموجبة للأعداد الطبيعية. العدد صفر ليس عاملاً لعدد موجب، لأن القسمة على صفر غير معرفة.

لعبة سريعة: ابحث عن عائلة الضرب

اختر عدداً مثل 18، ثم حاول كتابة كل جمل الضرب التي تعطيه باستعمال أعداد طبيعية. يمكنك كتابة 1 × 18 و2 × 9 و3 × 6. كل عدد ظهر في هذه الجمل هو عامل للعدد 18.

العوامل: من يقسم العدد دون باق؟

العامل هو عدد يقسم عدداً آخر قسمة تامة دون باق. لإيجاد العوامل بطريقة منظمة، ابحث عن أزواج الضرب التي تعطي العدد المطلوب.

مثال العدد 24: 1 × 24 = 24 2 × 12 = 24 3 × 8 = 24 4 × 6 = 24

إذن عوامل 24 الموجبة هي: 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24.

طريقة مفيدة هي أن تبدأ من 1 وتصعد تدريجياً. عندما تبدأ أزواج العوامل في التكرار بترتيب معكوس، تكون قد وجدت جميع العوامل.

فخ شائع

لا تخلط بين العوامل والمضاعفات. عوامل العدد محدودة. مثلاً عوامل 12 الموجبة تنتهي عند 12. أما مضاعفات 12 فتستمر بلا نهاية.

تحدي بصري

ارسم 20 نقطة. جرب ترتيبها في مستطيلات كاملة من دون ترك نقاط خارج الصفوف. كل بعد ممكن للمستطيل يكشف زوجاً من عوامل 20.

المضاعفات: نمط يستمر

المضاعف هو ناتج ضرب عدد في عدد صحيح. إذا بدأنا بالمضاعفات الموجبة للعدد 4 نجد: 4، 8، 12، 16، 20، 24، 28، 32، ثم يستمر النمط.

يمكنك أيضاً التفكير في المضاعفات على خط الأعداد كقفزات متساوية. إذا كنت تقفز كل مرة ثلاث خطوات، فستصل إلى 3 ثم 6 ثم 9 ثم 12 ثم 15. هذه مضاعفات موجبة للعدد 3.

ومن الناحية الرياضية، الصفر مضاعف لأي عدد طبيعي موجب لأن ضرب ذلك العدد في صفر يساوي صفراً، لكننا نبدأ غالباً بالمضاعف الموجب الأول عندما نبحث عن نمط مناسب للأطفال.

أنماط يمكن ملاحظتها

مضاعفات 2 أعداد زوجية. مضاعفات 5 تنتهي بصفر أو خمسة. مضاعفات 10 تنتهي بصفر. وإذا قارنت مضاعفات عددين، فقد تجد أعداداً تظهر في القائمتين؛ نسميها مضاعفات مشتركة.

مثال: بعض مضاعفات 4 هي 4، 8، 12، 16، 20، 24. وبعض مضاعفات 6 هي 6، 12، 18، 24. إذن 12 و24 مثالان لمضاعفات مشتركة للعددين 4 و6.

لعبة سباق المضاعفات

اعمل مع زميل. يختار أحدكما العدد 4 والآخر العدد 6. يكتب كل واحد أول ستة مضاعفات موجبة لعدده. ضع دائرة حول كل عدد ظهر في القائمتين. الفائز هو من يكتشف أول مضاعف مشترك ويشرح كيف عرفه.

قابلية القسمة: اختصارات ذكية

تساعدك قواعد قابلية القسمة على معرفة هل يقسم عددٌ عدداً آخر دون باق، من دون إجراء القسمة كاملة في كل مرة.

القسمة على 2: إذا كان رقم الآحاد زوجياً، فالعدد يقبل القسمة على 2.

القسمة على 3: اجمع أرقام العدد. إذا كان مجموعها يقبل القسمة على 3، فالعدد نفسه يقبل القسمة على 3. مثال: في 123 يكون المجموع 1 + 2 + 3 = 6، و6 يقبل القسمة على 3، إذن 123 يقبل القسمة على 3.

القسمة على 4: انظر إلى آخر رقمين. إذا كان العدد الذي يشكلانه يقبل القسمة على 4، فالعدد كله يقبل القسمة على 4.

القسمة على 5: إذا انتهى العدد بصفر أو خمسة، فهو يقبل القسمة على 5.

القسمة على 6: يجب أن يقبل العدد القسمة على 2 وعلى 3 معاً.

القسمة على 9: اجمع أرقام العدد. إذا كان المجموع يقبل القسمة على 9، فالعدد يقبل القسمة على 9.

القسمة على 10: إذا انتهى العدد بصفر، فهو يقبل القسمة على 10.

جرب القاعدة قبل القسمة

هل 246 يقبل القسمة على 2؟ نعم، لأن رقم الآحاد 6 زوجي. وهل يقبل القسمة على 3؟ نعم، لأن 2 + 4 + 6 = 12، و12 يقبل القسمة على 3. لذلك 246 يقبل القسمة على 6 أيضاً.

الأعداد الأولية والمركبة

العدد الأولي عدد طبيعي أكبر من 1 له عاملان موجبان فقط: 1 والعدد نفسه. من أمثلته 2 و3 و5 و7 و11 و13.

العدد المركب عدد طبيعي أكبر من 1 وله أكثر من عاملين موجبين. مثلاً 12 عدد مركب لأن من عوامله 1 و2 و3 و4 و6 و12.

العدد 2 مميز لأنه العدد الأولي الزوجي الوحيد. أما العدد 1 فليس أولياً ولا مركباً، لأنه يملك عاملاً موجباً واحداً فقط.

غربال الأعداد الأولية

يمكنك استخدام فكرة غربال إراتوستينس لاكتشاف الأعداد الأولية حتى 100. اكتب الأعداد، ثم اشطب مضاعفات 2 الأكبر من 2، وبعد ذلك مضاعفات 3 الأكبر من 3، ثم مضاعفات 5 الأكبر من 5، وهكذا. الأعداد التي تبقى من دون شطب هي أعداد أولية.

فخ شائع آخر

كون العدد فردياً لا يعني أنه أولي. العدد 9 فردي، لكنه مركب لأن 3 × 3 = 9. والعدد 15 فردي أيضاً، لكنه مركب لأن 3 × 5 = 15.

العوامل والمضاعفات المشتركة

إذا كان عدد ما عاملاً لعددين أو أكثر، نسميه عاملاً مشتركاً. مثلاً عوامل 12 تشمل 1 و2 و3 و4 و6 و12، وعوامل 18 تشمل 1 و2 و3 و6 و9 و18. لذلك 1 و2 و3 و6 عوامل مشتركة، وأكبرها 6.

أما المضاعف المشترك فهو عدد يظهر في قوائم مضاعفات عددين أو أكثر. بعض مضاعفات 3 هي 3، 6، 9، 12، 15، 18. وبعض مضاعفات 4 هي 4، 8، 12، 16، 20، 24. أول مضاعف موجب مشترك هنا هو 12.

تظهر هذه الأفكار في مواقف يومية. إذا كانت حافلة تصل كل 6 دقائق وأخرى كل 8 دقائق، فيمكنك استعمال المضاعفات المشتركة لمعرفة متى تتزامن أوقات وصولهما. وإذا أردت تقسيم 18 قطعة حمراء و24 قطعة زرقاء إلى مجموعات متساوية من دون بقايا، تساعدك العوامل المشتركة على اختيار عدد المجموعات.

كيف أختار بين العامل والمضاعف؟

اسأل نفسك: هل أبحث عن أعداد تقسم عدداً معيناً؟ إذن أفكر في العوامل. أم أبحث عن أعداد نصل إليها بالضرب أو القفز المتساوي؟ إذن أفكر في المضاعفات.

قبل أن تنهي هذا الجزء، اشرح بصوتك الفرق بين العامل والمضاعف باستخدام العدد 12، ثم أعط مثالاً لعدد أولي ومثالاً لعدد مركب، واذكر قاعدة واحدة لقابلية القسمة.

مهام تفاعلية

اختبار: اختبر معرفتك

أي عدد مما يلي عامل للعدد ثمانية عشر؟ (ستة) (!خمسة) (!سبعة) (!ثمانية)

ما المضاعف الموجب التالي للعدد سبعة بعد واحد وعشرين؟ (ثمانية وعشرون) (!اثنان وعشرون) (!خمسة وعشرون) (!سبعة وعشرون)

أي عدد مما يلي عدد أولي؟ (سبعة عشر) (!خمسة عشر) (!واحد وعشرون) (!سبعة وعشرون)

أي عدد يقبل القسمة على اثنين وعلى ثلاثة معاً؟ (ثمانية عشر) (!خمسة وعشرون) (!خمسة وثلاثون) (!تسعة وأربعون)

أي عدد يقبل القسمة على ثلاثة باستعمال قاعدة مجموع الأرقام؟ (مئة وثلاثة وعشرون) (!مئة وأربعة وعشرون) (!مئة وخمسة وعشرون) (!مئة وسبعة وعشرون)

كيف نصنف العدد واحد؟ (ليس أوليا ولا مركبا) (!عدد أولي) (!عدد مركب) (!مضاعف للعدد اثنين فقط)

ما القائمة التي تحتوي جميع العوامل الموجبة للعدد اثني عشر؟ (واحد واثنان وثلاثة وأربعة وستة واثنا عشر) (!واحد واثنان وثلاثة وخمسة وستة واثنا عشر) (!اثنان وأربعة وستة وثمانية وعشرة واثنا عشر) (!واحد وثلاثة وخمسة وسبعة وتسعة وأحد عشر)

أي عدد هو مضاعف مشترك للعددين أربعة وستة؟ (اثنا عشر) (!ثمانية) (!عشرة) (!أربعة عشر)

ما أكبر عامل مشترك للعددين اثني عشر وثمانية عشر؟ (ستة) (!ثلاثة) (!تسعة) (!اثنا عشر)

ما العلامة السريعة على قابلية العدد للقسمة على عشرة؟ (ينتهي بصفر) (!ينتهي بخمسة) (!يبدأ بصفر) (!مجموع أرقامه فردي)

لعبة الذاكرة

عامل	عدد يقسم عدداً آخر دون باق
مضاعف	ناتج ضرب عدد في عدد صحيح
عدد أولي	عدد أكبر من واحد له عاملان موجبان فقط
عدد مركب	عدد أكبر من واحد له أكثر من عاملين موجبين
عامل مشترك	عامل ينتمي إلى عددين أو أكثر
مضاعف مشترك	مضاعف يظهر في قوائم عددين أو أكثر
باقي	ما يتبقى بعد قسمة غير تامة

السحب والإفلات

صِل قاعدة القسمة بالوصف الصحيح	العلامة التي نبحث عنها
قاعدة القسمة على اثنين	ينتهي العدد برقم زوجي
قاعدة القسمة على ثلاثة	مجموع أرقام العدد يقبل القسمة على ثلاثة
قاعدة القسمة على خمسة	ينتهي العدد بصفر أو خمسة
قاعدة القسمة على تسعة	مجموع الأرقام يقبل القسمة على تسعة
قاعدة القسمة على عشرة	ينتهي العدد بصفر

كلمات متقاطعة

عامل	ما الاسم الذي نطلقه على عدد يقسم عدداً آخر دون باق؟
مضاعف	ما الاسم الذي نطلقه على ناتج ضرب عدد في عدد صحيح؟
أولي	ما وصف العدد الأكبر من واحد الذي له عاملان موجبان فقط؟
مركب	ما وصف العدد الأكبر من واحد الذي له أكثر من عاملين موجبين؟
قسمة	ما العملية العكسية للضرب التي نستخدمها لاختبار العامل؟
باقي	ما الذي قد يتبقى عندما لا تكون القسمة تامة؟

مهام مفتوحة

سهل

بطاقات العوامل: اصنع أربع بطاقات لأعداد من اختيارك بين عشرة وثلاثين، واكتب على ظهر كل بطاقة جميع عوامل العدد بطريقة منظمة.
سلم المضاعفات: اختر عدداً بين اثنين وتسعة وارسم سلماً من عشر درجات، واكتب على كل درجة مضاعفاً موجباً تالياً لذلك العدد.
صيد الأعداد الأولية: اكتب الأعداد من اثنين إلى خمسين، ولوّن الأعداد الأولية بلون والأعداد المركبة بلون آخر، ثم اختر ثلاثة أعداد واشرح سبب تصنيفها.
ملصق قابلية القسمة: أنشئ ملصقاً صغيراً يوضح قواعد القسمة على اثنين وثلاثة وخمسة وعشرة مع مثال واحد من صنعك لكل قاعدة.

متوسط

مقابلة رياضية: اسأل أحد أفراد الأسرة أو زميلاً كيف يستخدم المضاعفات أو التقسيم المتساوي في الحياة اليومية، ثم اكتب ملخصاً قصيراً من دون تسجيل أي معلومات شخصية غير ضرورية.
مختبر المستطيلات: استخدم أزراراً أو مكعبات أو نقاطاً مرسومة لتمثيل ثلاثة أعداد مركبة في مستطيلات مختلفة، وصوّر أو ارسم الترتيبات التي تكشف أزواج العوامل.
سباق العوامل والمضاعفات: صمم لعبة ورقية فيها بطاقات أعداد وبطاقات أوامر مثل جد عاملاً أو جد مضاعفاً أو اختبر القسمة، ثم جرّب اللعبة مع زميل وسجل ما يحتاج إلى تحسين.
فيديو دقيقة واحدة: أنشئ فيديو قصيراً أو عرضاً مصوراً يشرح الفرق بين العامل والمضاعف بمثال واحد واضح، من دون إظهار وجوه أو بيانات شخصية إذا لم ترغب في ذلك.

متقدم

تحقيق في الأنماط: قارن أول عشرة مضاعفات لثلاثة أعداد مختلفة، وابحث عن أنماط مشتركة أو دورية، ثم اكتب ثلاث ملاحظات مدعومة بأمثلة.
تحدي الغربال: نفذ غربال إراتوستينس حتى مئة على ورقة كبيرة، ثم اشرح لماذا لا نحتاج إلى اختبار كل عدد على حدة بالقسمة الطويلة.
مسألة من الحياة: ابتكر مسألة عن مواعيد دورية تحتاج إلى مضاعف مشترك، ومسألة أخرى عن توزيع أشياء بالتساوي تحتاج إلى عامل مشترك، ثم حل المسألتين وفسر اختيارك.
معرض الأدلة: أنشئ لوحة أو عرضاً يجمع مثالاً لعدد أولي ومثالاً لعدد مركب وقاعدة قابلية قسمة وزوجاً من الأعداد لهما عوامل مشتركة، وأضف لكل جزء دليلاً بالحساب أو بالرسم.

مجالات تعلم مرتبطة

العوامل والمضاعفات

تتصل هذه الموضوعات بمهارات الحساب الذهني وحل المسائل والأنماط العددية. عندما تتقن العوامل والمضاعفات يصبح من الأسهل لاحقاً تبسيط الكسور، ومقارنة المقامات، وفهم النسب وبعض أفكار الجبر.

مسرد

المصطلح	المعنى
العامل	عدد يقسم عدداً آخر قسمة تامة دون باق
المضاعف	ناتج ضرب عدد في عدد صحيح
العامل المشترك	عامل يشترك فيه عددان أو أكثر
المضاعف المشترك	مضاعف يظهر في قوائم مضاعفات عددين أو أكثر
العدد الأولي	عدد طبيعي أكبر من واحد له عاملان موجبان فقط
العدد المركب	عدد طبيعي أكبر من واحد له أكثر من عاملين موجبين
قابلية القسمة	إمكانية قسمة عدد على آخر من دون باق
الباقي	الجزء المتبقي عندما لا تكون القسمة تامة
زوج عوامل	عددان حاصل ضربهما يساوي العدد المطلوب
غربال إراتوستينس	طريقة منظمة لشطب مضاعفات الأعداد واكتشاف الأعداد الأولية