Arabic:الأعداد النسبية والعمليات الحسابية

مقدمة

تظهر الأعداد النسبية في حياتك كل يوم: قد تكون درجة الحرارة تحت الصفر، وقد يكون رصيد لعبة أعلى أو أقل من نقطة البداية، وقد تحتاج إلى نصف كوب أو 0.75 لتر في وصفة. في هذه الدورة ستتعلم كيف تفهم الأعداد الموجبة والسالبة والكسور والكسور العشرية، وكيف تمثلها وتقارنها وتجري عليها العمليات الحسابية بثقة.

العدد النسبي هو عدد يمكن كتابته على صورة كسر بسطه عدد صحيح ومقامه عدد صحيح غير الصفر. لذلك فالأعداد الصحيحة مثل 5 و−3 أعداد نسبية أيضًا، لأن 5 يمكن كتابته 5/1 و−3 يمكن كتابته −3/1. كما أن الكسور مثل 3/4 والكسور العشرية المنتهية مثل 0.75 أعداد نسبية.

ستستخدم في هذا المقرر خط الأعداد والنماذج البصرية والرسوم المتحركة والفيديوهات والأمثلة اليومية والأنشطة التفاعلية. لا تحفظ القواعد وحدها؛ حاول دائمًا أن تسأل: أين يقع العدد؟ ما إشارتُه؟ وما معنى العملية في الموقف؟

تحميل الفيديو

يوتيوب

قد يقوم يوتيوب بجمع البيانات الشخصية. سياسة الخصوصية

استمرار تجاهل

أهداف التعلم

بنهاية الدورة ستكون قادرًا على أن:

1. تتعرف إلى العدد النسبي: تميز الأعداد النسبية وتكتب أمثلة عليها بصور مختلفة.
2. تمثل الأعداد على خط الأعداد: تحدد مواضع الأعداد الموجبة والسالبة والكسور والكسور العشرية.
3. تقارن وترتب الأعداد: تستخدم موقع العدد وقيمته المطلقة ونماذج الكسور للمقارنة.
4. تحول بين الكسور والصور العشرية: تربط بين تمثيلات متكافئة للعدد نفسه.
5. تجمع الأعداد النسبية: تطبق قواعد الإشارات وتستخدم المقامات المشتركة عند الحاجة.
6. تطرح الأعداد النسبية: تحول الطرح إلى جمع المعكوس الجمعي عندما يكون ذلك مفيدًا.
7. تضرب الأعداد النسبية: تطبق قاعدة الإشارات وتبسط الكسور.
8. تقسم الأعداد النسبية: تستخدم مقلوب المقسوم عليه مع الانتباه إلى أن القسمة على الصفر غير معرفة.
9. تطبق ترتيب العمليات: تنجز حسابات متعددة الخطوات بصورة منظمة.
10. تتحقق من معقولية النتائج: تستخدم التقدير والعملية العكسية والسياق اليومي لفحص إجابتك.

ما الأعداد النسبية؟

الأعداد الموجبة والسالبة والصفر

العدد الموجب أكبر من الصفر، مثل 4 و2.5. والعدد السالب أصغر من الصفر، مثل −4 و−2.5. أما الصفر فليس موجبًا ولا سالبًا. يمكن أن تمثل الأعداد السالبة مواقف مثل درجات الحرارة تحت الصفر أو دين بقيمة معينة، بينما تمثل الأعداد الموجبة ارتفاعًا أو ربحًا أو درجة فوق نقطة مرجعية.

على خط الأعداد تزداد القيم كلما تحركت إلى اليمين، وتقل كلما تحركت إلى اليسار. لذلك −2 أكبر من −5 لأنه يقع إلى يمينه، رغم أن الرقم 5 أكبر من الرقم 2 من حيث القيمة المطلقة.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

استخدم خط الأعداد لتلاحظ أن القيم تزداد نحو اليمين وتقل نحو اليسار.

مثال حياتي: إذا كانت درجة الحرارة صباحًا −3 درجات ثم ارتفعت 7 درجات، تصبح 4 درجات. يمكنك تصور البداية عند −3 والتحرك 7 وحدات إلى اليمين حتى تصل إلى 4.

الكسور كنماذج لأجزاء من الواحد

الكسر مثل 3/4 يصف ثلاثة أجزاء من أربعة أجزاء متساوية. يسمى العدد العلوي البسط ويسمى العدد السفلي المقام. المقام يحدد عدد الأجزاء المتساوية التي قُسّم إليها الواحد، والبسط يحدد عدد الأجزاء التي نأخذها.

إذا ضربت البسط والمقام في العدد نفسه غير الصفر فإن قيمة الكسر لا تتغير. مثلًا 1/2 و2/4 و3/6 كسور متكافئة. هذه الفكرة مهمة عند إيجاد مقام مشترك للجمع والطرح.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

راقب الرسم المتحرك لتربط بين الكسر وعدد الأجزاء المأخوذة من كل صحيح.

فكرة بصرية: تخيل بيتزا مقسمة إلى 8 قطع متساوية. إذا أكلت 3 قطع فقد أكلت 3/8 من البيتزا. إذا أكل صديقك 4 قطع فقد أكل 4/8، أي 1/2.

الكسور العشرية والصور المتكافئة

العدد العشري مثل 0.5 أو 1.25 يمكن أن يكون عددًا نسبيًا. العدد 0.5 يساوي 5/10 ويساوي 1/2. والعدد 0.75 يساوي 75/100 ويساوي 3/4. للتحويل من كسر عشري منتهٍ إلى كسر اعتيادي، اكتب العدد من دون الفاصلة في البسط وضع في المقام قوة مناسبة للعدد 10 ثم بسّط.

مثلًا: 0.36 = 36/100 = 9/25. وعند تحويل كسر إلى صورة عشرية يمكنك قسمة البسط على المقام. بعض الأعداد النسبية تعطي كسرًا عشريًا دوريًا؛ فمثلًا 1/3 يعطي 0.333... حيث يتكرر الرقم 3.

نموذج بصري صغير يوضح جمع أجزاء عشرية

استخدم النماذج المظللة لتتخيل الأجزاء العشرية قبل إجراء الحساب الرمزي.

تمثيل الأعداد النسبية ومقارنتها

وضع الكسور والكسور العشرية على خط الأعداد

لتمثيل 1/2 بين 0 و1، اقسم المسافة بينهما إلى جزأين متساويين وضع النقطة عند الجزء الأول. ولتمثيل −1/2 استخدم الموضع المناظر على يسار الصفر. أما 1.5 فيقع في منتصف المسافة بين 1 و2.

عندما تكون المقامات مختلفة، قد يفيد تحويل الكسور إلى مقام مشترك أو إلى صور عشرية. مثال: لمقارنة 2/3 و3/4 يمكن تحويلهما إلى مقام 12؛ فنحصل على 8/12 و9/12، لذلك 2/3 أصغر من 3/4.

نموذجان دائريان يقارنان بين ثلثين وثلاثة أرباع

يوضح النموذج أن 2/3 أصغر من 3/4 عندما ننظر إلى الجزء المظلل من كل صحيح.

القيمة المطلقة

القيمة المطلقة لعدد هي بعده عن الصفر على خط الأعداد، ولذلك لا تكون سالبة. القيمة المطلقة للعدد −6 هي 6، والقيمة المطلقة للعدد 6 هي 6 أيضًا. تساعدك القيمة المطلقة على التفكير في المسافة، كما تساعدك في جمع عددين مختلفي الإشارة.

إذا أردت مقارنة −7 و−3، فإن كليهما سالب، والعدد ذو القيمة المطلقة الأكبر يكون أبعد يسارًا؛ لذلك −7 أصغر من −3.

المقارنة والترتيب

يمكنك استخدام ثلاث استراتيجيات:

1. الموقع على خط الأعداد: العدد الواقع إلى اليمين هو الأكبر.
2. المقام المشترك: مفيد عند مقارنة كسور ذات مقامات مختلفة.
3. التحويل إلى صورة عشرية: مفيد عندما تكون القسمة سهلة أو الصورة العشرية مألوفة.

مثال: رتب −1.2 و−1/2 و0.25 من الأصغر إلى الأكبر. حوّل −1/2 إلى −0.5. يصبح الترتيب: −1.2 ثم −0.5 ثم 0.25.

العمليات الحسابية على الأعداد النسبية

الجمع

عند جمع عددين لهما الإشارة نفسها، اجمع القيم المطلقة واحتفظ بالإشارة. مثال: −3 + −5 = −8.

عند جمع عددين مختلفي الإشارة، اطرح القيمة المطلقة الأصغر من الأكبر وخذ إشارة العدد ذي القيمة المطلقة الأكبر. مثال: −7 + 4 = −3؛ لأن 7 أكبر من 4 والعدد ذو القيمة المطلقة الأكبر سالب.

في الكسور يجب توحيد المقام قبل جمع البسطين. مثال: 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2. أما في الكسور العشرية فرتب الفواصل العشرية تحت بعضها: 1.25 + 0.7 = 1.95.

تحميل الفيديو

يوتيوب

قد يقوم يوتيوب بجمع البيانات الشخصية. سياسة الخصوصية

استمرار تجاهل

الطرح

يمكنك التفكير في الطرح على أنه جمع المعكوس الجمعي. فمثلًا 5 − 8 يساوي 5 + −8، والناتج −3. وكذلك 4 − −2 يساوي 4 + 2، والناتج 6.

على خط الأعداد، طرح عدد موجب يعني التحرك إلى اليسار، بينما طرح عدد سالب يكافئ التحرك إلى اليمين. هذه الصورة تساعدك على فهم سبب تحول طرح السالب إلى جمع موجب.

في الكسور: 5/6 − 1/4 = 10/12 − 3/12 = 7/12. تحقق دائمًا من أن المقام مشترك قبل طرح البسطين.

الضرب

في ضرب الأعداد النسبية، اضرب القيم أولًا ثم حدد الإشارة:

1. إشارتان متماثلتان: الناتج موجب.
2. إشارتان مختلفتان: الناتج سالب.

أمثلة: −3 × −4 = 12، و−3 × 4 = −12. وعند ضرب الكسور اضرب البسط في البسط والمقام في المقام ثم بسّط. مثال: 2/3 × 3/5 = 6/15 = 2/5. من الذكاء أحيانًا الاختصار قبل الضرب لتقليل الأعداد.

القسمة

قسمة عددين نسبيين تتبع قاعدة الإشارات نفسها المستخدمة في الضرب. وعند قسمة كسر على كسر، اضرب الكسر الأول في مقلوب الكسر الثاني. مثلًا 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8.

لا يجوز القسمة على الصفر. لذلك يجب أن يكون المقسوم عليه غير الصفر دائمًا. وإذا كان المقسوم عليه عددًا عشريًا، يمكنك أحيانًا تحويل العددين إلى كسور أو تحريك الفاصلة في العددين بالمقدار نفسه للحصول على مقسوم عليه صحيح.

تحميل الفيديو

يوتيوب

قد يقوم يوتيوب بجمع البيانات الشخصية. سياسة الخصوصية

استمرار تجاهل

ترتيب العمليات

عندما يجتمع أكثر من نوع من العمليات، اتبع ترتيبًا منظمًا: ابدأ بما داخل الأقواس، ثم الضرب والقسمة من اليمين واليسار بحسب الظهور، ثم الجمع والطرح بحسب الظهور. لا تنفذ العمليات من اليمين إلى اليسار عشوائيًا بسبب اتجاه الكتابة العربية؛ اتبع البناء الرياضي للعملية.

مثال: في 2 + 3 × 4 ننفذ الضرب أولًا، فنحصل على 2 + 12 = 14. أما في (2 + 3) × 4 فنحسب داخل القوس أولًا، فنحصل على 5 × 4 = 20.

تطبيقات من الحياة اليومية

درجات الحرارة: إذا كانت الحرارة −5 درجات ثم ارتفعت 8 درجات، فالتغير يمثل −5 + 8 = 3 درجات.

المال والرصيد: إذا كان لديك رصيد مقداره 20 وحدة ثم دفعت 27 وحدة، فيمكن تمثيل التغير بعملية 20 − 27 = −7. الإشارة السالبة هنا تعبر عن عجز أو دين بالنسبة إلى نقطة الصفر المختارة.

الارتفاع والانخفاض: إذا كان غواص على عمق −12 مترًا ثم صعد 5 أمتار، يصبح موقعه −7 أمتار بالنسبة إلى سطح البحر.

الطهي والقياس: إذا احتجت إلى 3/4 كوب من الحليب لدفعة واحدة وصنعت نصف الكمية، فأنت تحتاج إلى 1/2 × 3/4 = 3/8 كوب.

الألعاب والنقاط: يمكن أن تمثل المكافأة بعدد موجب والعقوبة بعدد سالب. إذا حصل لاعب على 12 نقطة ثم خسر 15 نقطة، يصبح التغير الكلي −3 نقاط.

أخطاء شائعة واستراتيجيات تحقق

الخطأ الأول: الاعتقاد أن −8 أكبر من −3 لأن 8 أكبر من 3. تذكر أن −8 يقع يسار −3 على خط الأعداد، لذلك هو أصغر.

الخطأ الثاني: جمع مقامي كسرين عند الجمع. في 1/2 + 1/3 لا نحصل على 2/5؛ بل نوحد المقام: 3/6 + 2/6 = 5/6.

الخطأ الثالث: نسيان قاعدة الإشارات في الضرب والقسمة. استخدم جملة قصيرة: متماثلتان موجب، مختلفتان سالب.

الخطأ الرابع: الخلط بين القيمة المطلقة والإشارة. القيمة المطلقة تمثل مسافة، ولذلك القيمة المطلقة للعدد −9 تساوي 9.

الخطأ الخامس: القسمة على الصفر. لا يوجد عدد يمكن ضربه في الصفر للحصول على عدد غير صفري، لذلك القسمة على الصفر غير معرفة.

كيف تتحقق؟ قدّر النتيجة أولًا، ثم استخدم العملية العكسية عندما تستطيع. إذا كان 3/4 من 20 يساوي 15، فيمكن فحص الإجابة بملاحظة أن 15 أقل من 20 وأن ثلاثة أرباع كمية يجب أن تكون قريبة من الكمية الكاملة ولكن أصغر منها.

مهام تفاعلية

اختبار: اختبر معرفتك

أي وصف يعرّف العدد النسبي تعريفًا صحيحًا؟ (عدد يمكن كتابته على صورة كسر بسطه ومقامه عددان صحيحان والمقام غير صفر) (!عدد موجب فقط) (!عدد صحيح فقط) (!عدد لا يمكن كتابته على صورة كسر)

أي عدد هو الأكبر؟ (−2) (!−5) (!−7) (!−9)

أي كسر يساوي العدد العشري 0.75؟ (3/4) (!1/4) (!2/5) (!7/5)

ما ناتج −3 + 5؟ (2) (!−2) (!8) (!−8)

ما ناتج 4 ناقص العدد −2؟ (6) (!2) (!−6) (!−2)

ما إشارة حاصل ضرب عددين سالبين؟ (موجبة) (!سالبة) (!صفر دائمًا) (!لا يمكن تحديدها أبدًا)

أي طريقة صحيحة لقسمة 3/4 على 2/5؟ (ضرب 3/4 في 5/2) (!جمع 3/4 و2/5) (!ضرب 3/4 في 2/5) (!طرح 2/5 من 3/4)

ما القيمة المطلقة للعدد −8؟ (8) (!−8) (!0) (!16)

ما ناتج 2 + 3 × 4 وفق ترتيب العمليات؟ (14) (!20) (!24) (!9)

كانت درجة الحرارة −4 درجات ثم ارتفعت 9 درجات. ما درجة الحرارة الجديدة؟ (5 درجات) (!−13 درجة) (!13 درجة) (!−5 درجات)

لعبة الذاكرة

العدد النسبي	عدد يمكن كتابته على صورة كسر مقامه غير صفر
المعكوس الجمعي	عدد إذا جمعته مع العدد الأصلي كان الناتج صفرًا
القيمة المطلقة	المسافة بين العدد والصفر على خط الأعداد
المقلوب	كسر ينتج من تبديل البسط والمقام
المقام المشترك	مقام موحد يساعد على جمع الكسور أو طرحها
خط الأعداد	تمثيل مستقيم تزداد عليه القيم نحو اليمين

السحب والإفلات

طابق كل موقف بالطريقة المناسبة.	الفكرة الصحيحة
جمع كسرين مختلفي المقام	إيجاد مقام مشترك ثم جمع البسطين
طرح عدد نسبي	إضافة معكوسه الجمعي
ضرب عددين بإشارتين متماثلتين	الحصول على ناتج موجب
قسمة كسر على كسر	الضرب في مقلوب المقسوم عليه
مقارنة عددين على خط الأعداد	اختيار العدد الواقع إلى اليمين بوصفه الأكبر
التحقق من نتيجة حسابية	استخدام التقدير أو العملية العكسية

كلمات متقاطعة

نسبي	ما صفة العدد الذي يمكن كتابته على صورة كسر مقامه غير صفر؟
مقام	ما اسم الجزء السفلي من الكسر؟
موجب	ما صفة العدد الأكبر من الصفر؟
سالب	ما صفة العدد الأصغر من الصفر؟
عشري	ما صفة تمثيل مثل 0.75؟
مقلوب	ما اسم الكسر الناتج من تبديل البسط والمقام؟

مهام مفتوحة

سهل

1. خط أعداد منزلي: ارسم خط أعداد من −10 إلى 10، وحدد عليه خمسة أعداد موجبة وخمسة أعداد سالبة والصفر، ثم اكتب جملة مقارنة بين عددين من اختيارك.
2. نموذج كسر بصري: قسم ورقة إلى ثمانية أجزاء متساوية، ظلل ثلاثة أجزاء، ثم اكتب الكسر والصورة العشرية التقريبية التي يمثلها التظليل.
3. درجات الحرارة: أنشئ جدولًا لسبع درجات حرارة افتراضية بين −8 و8، ثم رتبها من الأصغر إلى الأكبر واشرح كيف ساعدك خط الأعداد.
4. بطاقات الإشارات: اصنع أربع بطاقات تلخص قواعد إشارات الجمع والطرح والضرب والقسمة، وأضف مثالًا صحيحًا إلى كل بطاقة.

متوسط

1. مقارنة الكسور: صمم ملصقًا بصريًا يقارن ثلاث أزواج من الكسور باستخدام دوائر أو مستطيلات مقسمة وأظهر أي كسر أكبر في كل زوج.
2. ميزانية مصغرة: أنشئ موقفًا افتراضيًا لرصيد يبدأ من الصفر ويتضمن خمسة إيداعات أو مصروفات موجبة وسالبة، ثم احسب الرصيد بعد كل خطوة.
3. شرح بالفيديو: سجل فيديو قصيرًا من دقيقة إلى دقيقتين تشرح فيه مثالًا واحدًا على جمع عددين مختلفي الإشارة باستخدام خط أعداد مرسوم بيدك، من دون إظهار بيانات شخصية.
4. تحويلات متعددة: اختر ستة أعداد نسبية واكتب كل عدد في صورتين على الأقل من بين كسر واعتيادي وعشري، ثم تحقق من التكافؤ بالحساب.

متقدم

1. تحليل خطأ حسابي: ابتكر ثلاثة حلول خاطئة شائعة لمسائل على الأعداد النسبية، ثم اكتب تحت كل حل موضع الخطأ وطريقة تصحيحه.
2. مقابلة رياضية: اسأل شخصًا بالغًا عن موقف يستخدم فيه أعدادًا سالبة أو كسورًا أو أعدادًا عشرية في العمل أو المنزل، ثم لخص الفكرة من دون تسجيل أي معلومات شخصية عنه.
3. لعبة مسار نسبي: صمم لعبة ورقية يتحرك فيها اللاعب يمينًا أو يسارًا على خط أعداد بحسب بطاقات تتضمن عمليات على أعداد نسبية، واكتب قواعد تجعل الحساب جزءًا من الفوز.
4. مشروع متجر افتراضي: أنشئ قائمة أسعار وخصومات افتراضية لخمسة منتجات، واحسب أسعارًا جديدة باستخدام الكسور والأعداد العشرية، ثم قدم النتائج في جدول مع طريقة التحقق من كل حساب.

مجالات تعلم مرتبطة

الأعداد النسبية والعمليات الحسابية الأعداد الصحيحة الكسور الكسور العشرية خط الأعداد النسبة المئوية ترتيب العمليات الجبر

تتصل الأعداد النسبية بموضوعات كثيرة في الرياضيات والعلوم والحياة اليومية. فهم الكسور والكسور العشرية يساعدك لاحقًا في النسبة المئوية والتناسب والجبر والاحتمالات والقياس. كما أن خط الأعداد يمهد لفهم الإحداثيات والمعادلات والمتباينات.

مسرد

العدد النسبي

عدد يمكن كتابته على صورة كسر بسطه ومقامه عددان صحيحان والمقام غير صفر.

العدد الموجب

عدد أكبر من الصفر.

العدد السالب

عدد أصغر من الصفر.

البسط

الجزء العلوي من الكسر، ويبين عدد الأجزاء المأخوذة.

المقام

الجزء السفلي من الكسر، ويبين عدد الأجزاء المتساوية في الواحد.

الكسر العشري

تمثيل عددي يستخدم الفاصلة العشرية، مثل 0.25.

القيمة المطلقة

بعد العدد عن الصفر على خط الأعداد.

المعكوس الجمعي

عدد له القيمة المطلقة نفسها والإشارة المعاكسة، ومجموعهما صفر.

المقلوب

كسر ينتج من تبديل البسط والمقام في كسر غير صفري.

المقام المشترك

مقام واحد مكافئ يُستخدم لجمع الكسور أو طرحها.

التبسيط

كتابة كسر مكافئ بأصغر بسط ومقام ممكنين بالنسبة إلى عامل مشترك.

ترتيب العمليات

قواعد تحدد أي العمليات الحسابية تُنفذ أولًا في التعبير المتعدد العمليات.