Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Einleitung

Mit der Trigonometrie kannst Du in einem rechtwinkligen Dreieck fehlende Seiten und Winkel berechnen. Dafür nutzt Du vor allem Sinus, Kosinus und Tangens.

Datei:RechtwinkligesDreieck.svg

Lernbereiche

Lernziele

Du lernst:

Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete zu erkennen.
Sinus, Kosinus und Tangens richtig auszuwählen.
Seiten und Winkel mit dem Taschenrechner zu berechnen.
Anwendungen wie Leitern, Steigungen und Höhen zu untersuchen.

Grundwissen

Die Seiten des Dreiecks

Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Sie ist die längste Seite.

Die Ankathete liegt am betrachteten Winkel. Die Gegenkathete liegt diesem Winkel gegenüber.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Die drei wichtigsten Formeln

Für einen Winkel $α$ gilt:

$\sin (α) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$\cos (α) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

$\tan (α) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

Datei:Trigonometric function triangle mnemonic.svg

Merke: Welche Kathete Ankathete oder Gegenkathete ist, hängt vom betrachteten Winkel ab.

Ein kurzes Beispiel

Ein Dreieck hat zur Ecke $α$ die Gegenkathete 3 cm, die Ankathete 4 cm und die Hypotenuse 5 cm.

$\sin (α) = \frac{3}{5} = 0,6$

$\cos (α) = \frac{4}{5} = 0,8$

$\tan (α) = \frac{3}{4} = 0,75$

Mit der Umkehrfunktion erhältst Du:

$α = \sin^{- 1} (0,6) \approx 36, 9^{\circ}$

Achte darauf, dass Dein Taschenrechner auf Grad eingestellt ist.

Video: Planet Schule

Das Video erklärt den Einheitskreis, die Seiten im rechtwinkligen Dreieck sowie Sinus, Kosinus und Tangens.

Eine frei nutzbare Fassung des Lernvideos ist auch bei Wikimedia Commons verfügbar:

Datei:Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck - kolleg24 Mathematik.webm

Aufgaben zum Video

Vorwissen aktivieren: Zeichne vor dem Video ein rechtwinkliges Dreieck und beschrifte den rechten Winkel.
Seiten erkennen: Notiere während des Videos die Erklärungen zu Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete.
Formeln sichern: Schreibe die drei Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens auf.
Einheitskreis erklären: Formuliere in zwei einfachen Sätzen, was der Einheitskreis mit Sinus und Kosinus zu tun hat.
Anwendung finden: Nenne ein Beispiel aus dem Video, bei dem Trigonometrie im Alltag genutzt wird.
Video prüfen: Wähle eine Rechnung aus dem Video und rechne sie selbst nach.

Der Einheitskreis

Der Einheitskreis hat den Radius 1. Am Einheitskreis ist der Kosinus die waagerechte Koordinate und der Sinus die senkrechte Koordinate eines Punktes.

Datei:Winkelfunktionen Einheitskreis.svg

Aus dem Satz des Pythagoras folgt:

$\sin^{2} (α) + \cos^{2} (α) = 1$

Datei:Circle cos sin.gif

Anwendungen

Trigonometrie hilft Dir bei:

Höhenmessung: Höhe eines Baumes oder Gebäudes bestimmen.
Steigung: Neigung einer Straße oder Rampe untersuchen.
Entfernungsmessung: Unzugängliche Strecken berechnen.
Technik: Kräfte, Winkel und Bauteile planen.

Der Tangens beschreibt auch eine Steigung:

$\tan (α) = \frac{Höhenunterschied}{waagerechte Strecke}$

Datei:Academ Base of trigonometry.svg

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber? (Hypotenuse) (!Ankathete) (!Gegenkathete) (!Winkelhalbierende)

Wie groß ist ein rechter Winkel? (90 Grad) (!45 Grad) (!100 Grad) (!180 Grad)

Welches Seitenverhältnis beschreibt den Sinus? (Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) (!Ankathete geteilt durch Hypotenuse) (!Gegenkathete geteilt durch Ankathete) (!Hypotenuse geteilt durch Gegenkathete)

Welches Seitenverhältnis beschreibt den Kosinus? (Ankathete geteilt durch Hypotenuse) (!Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) (!Gegenkathete geteilt durch Ankathete) (!Hypotenuse geteilt durch Ankathete)

Welches Seitenverhältnis beschreibt den Tangens? (Gegenkathete geteilt durch Ankathete) (!Ankathete geteilt durch Hypotenuse) (!Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) (!Hypotenuse geteilt durch Gegenkathete)

Welche Seite ist im rechtwinkligen Dreieck die längste? (Hypotenuse) (!Ankathete) (!Gegenkathete) (!Höhe)

Welche Taste wird für einen Winkel aus einem Sinuswert genutzt? (Umkehrfunktion des Sinus) (!Quadratwurzel) (!Logarithmus) (!Prozenttaste)

Welche Einstellung braucht der Taschenrechner bei Winkelangaben in Grad? (Gradmodus) (!Bogenmaßmodus) (!Statistikmodus) (!Bruchmodus)

Was beschreibt der Tangens bei einer Straße? (Steigung) (!Flächeninhalt) (!Umfang) (!Geschwindigkeit)

Welche Gleichung gilt am Einheitskreis? (Sinusquadrat plus Kosinusquadrat gleich eins) (!Sinus plus Kosinus gleich null) (!Tangensquadrat gleich eins) (!Sinus mal Kosinus gleich zwei)

Memory

Hypotenuse	Seite gegenüber dem rechten Winkel
Ankathete	Kathete am betrachteten Winkel
Gegenkathete	Kathete gegenüber dem betrachteten Winkel
Sinus	Gegenkathete durch Hypotenuse
Kosinus	Ankathete durch Hypotenuse
Tangens	Gegenkathete durch Ankathete

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Sinus	Verhältnis aus Gegenkathete und Hypotenuse
Kosinus	Verhältnis aus Ankathete und Hypotenuse
Tangens	Verhältnis aus Gegenkathete und Ankathete
Hypotenuse	Seite gegenüber dem rechten Winkel
Einheitskreis	Kreis mit dem Radius eins

Kreuzworträtsel

Hypotenuse	Wie heißt die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck?
Ankathete	Welche Kathete liegt am betrachteten Winkel?
Gegenkathete	Welche Kathete liegt dem betrachteten Winkel gegenüber?
Sinus	Welche Funktion nutzt Gegenkathete und Hypotenuse?
Kosinus	Welche Funktion nutzt Ankathete und Hypotenuse?
Tangens	Welche Funktion beschreibt Gegenkathete durch Ankathete?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Videonotizen: Sieh das Planet-Schule-Video an und notiere fünf wichtige Begriffe.
Dreieck beschriften: Zeichne drei rechtwinklige Dreiecke und markiere jeweils Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete.
Formelkarte: Gestalte eine kleine Lernkarte mit Sinus, Kosinus und Tangens.
Fotoprojekt: Fotografiere eine Leiter, Rampe oder Treppe und markiere darin ein rechtwinkliges Dreieck.

Standard

Videozusammenfassung: Erkläre den Inhalt des Videos in höchstens acht einfachen Sätzen.
Messaufgabe: Miss an einer Zeichnung zwei Seiten und berechne einen Winkel.
Schattenmessung: Miss Schatten und Höhe eines Gegenstandes und untersuche das entstehende Dreieck.
Wertetabelle: Berechne Sinus, Kosinus und Tangens für fünf verschiedene Winkel.

Schwer

Ähnliche Dreiecke: Erkläre, warum gleich große Winkel zu gleichen Seitenverhältnissen führen.
Einheitskreis-Modell: Baue oder zeichne einen Einheitskreis und zeige Sinus und Kosinus.
Straßensteigung: Untersuche den Zusammenhang zwischen Prozentsteigung und Steigungswinkel.
Erklärvideo: Erstelle ein eigenes kurzes Lernvideo mit einer Beispielrechnung und vergleiche es mit dem Planet-Schule-Video.

Lernkontrolle

Leiterproblem: Eine Leiter lehnt an einer Wand. Entscheide, welche trigonometrische Funktion Du für die Höhe brauchst, und begründe Deine Wahl.
Fehleranalyse: Eine Person verwechselt Ankathete und Gegenkathete. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
Funktionswahl: Entwickle eine Regel, mit der Du zwischen Sinus, Kosinus und Tangens auswählst.
Modellvergleich: Vergleiche eine trigonometrische Lösung mit einer maßstäblichen Zeichnung. Beurteile mögliche Abweichungen.
Steigung übertragen: Erkläre, wie aus einer Straßensteigung ein rechtwinkliges Dreieck entsteht und wie daraus der Winkel berechnet wird.
Video-Transfer: Übertrage eine Idee aus dem Planet-Schule-Video auf ein selbst gewähltes Alltagsproblem.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sicher benennen kannst.
Sinus, Kosinus und Tangens passend auswählst.
fehlende Seiten und Winkel berechnest.
Ergebnisse mit Einheit und sinnvoller Rundung angibst.
Deine Rechenwege verständlich erklärst.
Trigonometrie auf ein Alltagsproblem überträgst.

OERs zum Thema

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Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

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Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.