Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Wendepunkte und Wendestellen

Einleitung

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einem Graphen, an dem sich die Krümmung ändert: aus einer Rechtskurve wird eine Linkskurve oder umgekehrt.

Die Wendestelle ist nur die x-Koordinate $x_{W}$ . Der Wendepunkt enthält beide Koordinaten:

$W (x_{W} ∣ f (x_{W}))$

Anschauliche Bedeutung

Stell Dir vor, Du fährst mit dem Fahrrad durch eine Kurve. Zuerst lenkst Du nach rechts, danach nach links. Beim Wechsel liegt der Wendepunkt.

Linkskrümmung: $f^{″} (x) > 0$
Rechtskrümmung: $f^{″} (x) < 0$
Krümmungswechsel: Das Vorzeichen von $f^{″}$ ändert sich.

Die roten Kreise zeigen Extrempunkte. Die blauen Quadrate zeigen Wendepunkte. So erkennst Du: Ein Wendepunkt ist nicht dasselbe wie ein Hochpunkt oder Tiefpunkt.

Wendestellen berechnen

Gehe in vier Schritten vor:

Ableiten: Bilde $f^{'} (x)$ , $f^{″} (x)$ und möglichst $f^{‴} (x)$ .
Notwendige Bedingung: Löse $f^{″} (x) = 0$ .
Hinreichende Bedingung: Prüfe einen Vorzeichenwechsel von $f^{″}$ oder zeige $f^{‴} (x_{W}) \neq 0$ .
Wendepunkt: Berechne $y_{W} = f (x_{W})$ .

Wichtig: Aus $f^{″} (x_{W}) = 0$ allein folgt noch kein Wendepunkt.

Beispiel:

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x$

$f^{″} (x) = 6 x - 6$

$f^{‴} (x) = 6$

Aus $6 x - 6 = 0$ folgt $x_{W} = 1$ . Weil $f^{‴} (1) = 6 \neq 0$ , liegt eine Wendestelle vor. Mit $f (1) = - 2$ erhältst Du:

$W (1 ∣ - 2)$

Gegenbeispiel und Sonderfall

Bei $f (x) = x^{4}$ gilt zwar $f^{″} (0) = 0$ . Die zweite Ableitung wechselt dort aber nicht das Vorzeichen. Deshalb liegt kein Wendepunkt vor.

Bei $f (x) = x^{5}$ ist $f^{‴} (0) = 0$ . Trotzdem wechselt $f^{″}$ das Vorzeichen. Deshalb ist $W (0 ∣ 0)$ ein Wendepunkt.

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Zusätzlich gilt dann $f^{'} (x_{W}) = 0$ .

Lernvideo: Wendepunkte und Wendestellen

Aufgaben zum Video

Videoanalyse: Notiere in einem Satz, wie das Video einen Wendepunkt erklärt.
Rechenweg: Schreibe die im Video genannten Rechenschritte in der richtigen Reihenfolge auf.
Begriffe unterscheiden: Erkläre nach dem Video den Unterschied zwischen Wendestelle und Wendepunkt.
Bedingungen prüfen: Erkläre, warum $f^{″} (x) = 0$ allein nicht genügt.
Eigenes Beispiel: Pausiere vor einer Beispielrechnung, rechne selbst weiter und vergleiche Deinen Weg mit dem Video.

Zweites Erklärvideo

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ändert sich an einem Wendepunkt? (Das Krümmungsverhalten) (!Der Definitionsbereich) (!Die Einheit der x-Achse) (!Der Funktionsname)

Was ist eine Wendestelle? (Die x-Koordinate eines Wendepunkts) (!Die y-Koordinate eines Hochpunkts) (!Die Steigung der x-Achse) (!Der gesamte Funktionsgraph)

Welche Gleichung liefert mögliche Wendestellen? (f von x gleich null) (!f von x gleich null) (!f' von x gleich null) (!x gleich f von x)

Welche Prüfung weist sicher einen Krümmungswechsel nach? (Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung) (!Ein Vorzeichenwechsel der Funktion) (!Eine Nullstelle der ersten Ableitung) (!Ein positiver Funktionswert)

Wie erhältst Du die y-Koordinate eines Wendepunkts? (Durch Einsetzen der Wendestelle in die Ausgangsfunktion) (!Durch Einsetzen in die zweite Ableitung) (!Durch Verdoppeln der Wendestelle) (!Durch Nullsetzen der dritten Ableitung)

Was gilt bei f von xW gleich null und f' von xW ungleich null? (Bei xW liegt eine Wendestelle) (!Bei xW liegt immer ein Hochpunkt) (!Bei xW liegt immer eine Nullstelle) (!Die Funktion ist konstant)

Was zeigt f von x größer null? (Der Graph ist linksgekrümmt) (!Der Graph ist rechtsgekrümmt) (!Der Graph fällt immer) (!Der Graph hat keine Steigung)

Was zeigt f von x kleiner null? (Der Graph ist rechtsgekrümmt) (!Der Graph ist linksgekrümmt) (!Der Graph steigt immer) (!Der Graph liegt unter der x-Achse)

Welche zusätzliche Bedingung gilt bei einem Sattelpunkt? (Die erste Ableitung ist dort null) (!Die Funktion ist überall null) (!Die zweite Ableitung ist überall positiv) (!Die x-Koordinate ist immer eins)

Warum hat x hoch vier bei x gleich null keinen Wendepunkt? (Die zweite Ableitung wechselt dort nicht das Vorzeichen) (!Die Funktion besitzt keine Ableitung) (!Die Funktion besitzt keinen Graphen) (!Die dritte Ableitung ist positiv)

Memory

Wendestelle	x-Koordinate
Wendepunkt	Punkt auf dem Graphen
Zweite Ableitung	Krümmungsverhalten
Vorzeichenwechsel	sicherer Nachweis
Sattelpunkt	waagerechte Wendetangente
Dritte Ableitung	schnelle Prüfung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Wendestelle	x-Wert des Wendepunkts
Wendepunkt	Koordinatenpaar auf dem Graphen
Linkskrümmung	zweite Ableitung positiv
Rechtskrümmung	zweite Ableitung negativ
Sattelpunkt	Wendepunkt mit waagerechter Tangente

Kreuzworträtsel

Wendestelle	Wie heißt die x-Koordinate eines Wendepunkts?
Krümmung	Welche Eigenschaft des Graphen ändert sich?
Ableitung	Welches mathematische Werkzeug wird mehrfach gebildet?
Vorzeichen	Was muss bei der zweiten Ableitung wechseln?
Sattelpunkt	Wie heißt ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente?
Tangente	Welche Gerade berührt den Graphen am Wendepunkt?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Graphenskizze: Zeichne eine S-Kurve und markiere einen möglichen Wendepunkt.
Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Wendestelle, Wendepunkt und Krümmung.
Kurvenfahrt: Erkläre den Krümmungswechsel mit dem Beispiel einer Fahrradfahrt.
Videozusammenfassung: Fasse das Lernvideo in höchstens fünf einfachen Sätzen zusammen.

Standard

Wendepunkt berechnen: Bestimme den Wendepunkt von $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ .
Vorzeichentabelle: Untersuche $f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ mit einer Vorzeichentabelle für $f^{″}$ .
Fehleranalyse: Eine Person behauptet, jede Nullstelle von $f^{″}$ sei eine Wendestelle. Widerlege die Aussage.
Wendetangente: Berechne die Wendetangente von $f (x) = x^{3}$ im Ursprung.

Schwer

Parameterfunktion: Untersuche $f_{a} (x) = x^{3} + a x$ auf Wendepunkt und Wendetangente.
Modellierung: Erfinde einen Sachzusammenhang, in dem ein Wendepunkt eine stärkste Zu- oder Abnahme beschreibt.
Gegenbeispiel: Vergleiche $x^{4}$ und $x^{5}$ bei $x = 0$ .
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, das notwendige und hinreichende Bedingungen unterscheidet.

Lernkontrolle

Strategiewahl: Entscheide bei $f (x) = x^{5}$ , ob die Prüfung mit der dritten Ableitung genügt. Begründe Deine Wahl.
Graph und Ableitung: Erkläre, wie ein Wendepunkt von $f$ mit einem Extrempunkt von $f^{'}$ zusammenhängt.
Fehler korrigieren: Prüfe die Aussage „Aus $f^{″} (2) = 0$ folgt der Wendepunkt $W (2 ∣ 0)$ “ und verbessere sie.
Transfer: Beschreibe, was ein Wendepunkt in einem Graphen zur Wachstumsgeschwindigkeit einer Population bedeuten kann.
Vergleich: Unterscheide Extrempunkt, Wendepunkt und Sattelpunkt anhand von Steigung und Krümmung.
Begründung: Erkläre ohne Rechnung, warum ein sichtbarer Wechsel von Links- zu Rechtskrümmung einen Wendepunkt zeigt.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

den Unterschied zwischen Wendestelle und Wendepunkt erklären,
die zweite und dritte Ableitung bilden,
mögliche Wendestellen berechnen,
einen Vorzeichenwechsel prüfen,
Wendepunkte mit beiden Koordinaten angeben,
einen Sattelpunkt erkennen,
einen Rechenweg verständlich begründen.

OERs zum Thema

Links

Wendepunkte und Wendestellen

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Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.