Lineare Funktionen - Einfach erklärt
Lineare Funktionen - Einfach erklärt
Lineare Funktionen - Einfach erklärt
Einleitung
Eine lineare Funktion beschreibt einen Zusammenhang mit einer geraden Linie. Ihre wichtigste Form ist:
Dabei ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. In diesem kurzen aiMOOC lernst Du, wie Du lineare Funktionen erkennst, zeichnest und im Alltag nutzt.
Lernvideo
Sieh Dir das Video aufmerksam an. Stoppe bei Beispielen und rechne kurz selbst mit.
Aufgaben zum Video
- Grundform: Notiere die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion.
- Steigung: Erkläre mit einem Satz, was die Zahl m am Graphen verändert.
- Y-Achsenabschnitt: Erkläre, wo Du die Zahl b im Koordinatensystem findest.
- Sonderfälle: Beschreibe, wie der Graph bei positiver, negativer und fehlender Steigung aussieht.
- Videobeispiel: Wähle eine Rechnung aus dem Video, stoppe vor dem Ergebnis und rechne selbst weiter.
Das Wichtigste
Funktionsgleichung
Die Gleichung lautet .
- m: Zeigt, wie stark die Gerade steigt oder fällt.
- b: Zeigt, wo die Gerade die y-Achse schneidet.
- Graph: Ist bei einer linearen Funktion eine Gerade.
Steigung
Die Steigung kann mit einem Steigungsdreieck bestimmt werden:
Ist , steigt die Gerade. Ist , fällt sie. Bei ist sie waagerecht.
Y-Achsenabschnitt
Der y-Achsenabschnitt ist der Funktionswert bei . Bei gilt deshalb . Die Gerade geht durch den Punkt .
Eine Gerade zeichnen
Beispiel:
- Starte bei .
- Gehe wegen ein Kästchen nach rechts und zwei nach oben.
- Markiere den zweiten Punkt.
- Ziehe eine Gerade durch beide Punkte.
Wertetabelle
Du kannst Werte einsetzen:
| x | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| y = 2x + 1 | −1 | 1 | 3 | 5 |
Die Punkte , , und liegen auf derselben Geraden.
Nullstelle
Die Nullstelle liegt dort, wo die Gerade die x-Achse schneidet. Setze dafür .
Beispiel: . Daraus folgt .
Lineare Funktionen im Alltag
Lineare Funktionen können Kosten beschreiben. Eine Grundgebühr ist der y-Achsenabschnitt. Ein Preis pro Einheit ist die Steigung.
Beispiel: bedeutet 5 Euro Grundgebühr und 2 Euro pro Einheit.
Freies Erklärvideo zur Vertiefung
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Wie lautet die Grundform einer linearen Funktion? (y = m mal x plus b) (!y = x hoch zwei plus b) (!y = m geteilt durch x) (!y = b hoch x)
Was beschreibt m in einer linearen Funktion? (Die Steigung) (!Die Nullstelle) (!Die x-Achse) (!Die Wertetabelle)
Was beschreibt b in der Gleichung y = m mal x plus b? (Den y-Achsenabschnitt) (!Die Länge der x-Achse) (!Die Anzahl der Punkte) (!Die Breite des Koordinatensystems)
Wie sieht der Graph einer linearen Funktion aus? (Als Gerade) (!Als Kreis) (!Als Parabel) (!Als Dreieck)
Was gilt bei einer positiven Steigung? (Die Gerade steigt von links nach rechts) (!Die Gerade fällt von links nach rechts) (!Die Gerade ist senkrecht) (!Die Gerade ist ein Kreis)
Was gilt bei m gleich null? (Die Gerade ist waagerecht) (!Die Gerade ist senkrecht) (!Die Gerade ist eine Parabel) (!Die Gerade hat keinen Graphen)
Wo schneidet die Funktion y gleich 3x plus 2 die y-Achse? (Bei 2) (!Bei 3) (!Bei minus 2) (!Bei 6)
Welcher Punkt liegt auf y gleich 2x plus 1? (Der Punkt 1 und 3) (!Der Punkt 1 und 1) (!Der Punkt 0 und 0) (!Der Punkt 2 und 2)
Wie findest Du eine Nullstelle? (Du setzt y gleich null) (!Du setzt m gleich null) (!Du setzt b gleich eins) (!Du löschst die x-Achse)
Was bedeutet die Funktion K gleich 4x plus 10 bei Kosten? (10 Grundgebühr und 4 pro Einheit) (!4 Grundgebühr und 10 pro Einheit) (!Keine Grundgebühr und 14 pro Einheit) (!10 Grundgebühr und keine weiteren Kosten)
Memory
| Steigung | m |
| Y-Achsenabschnitt | b |
| Funktionsgleichung | y = mx + b |
| Graph | Gerade |
| Nullstelle | Schnitt mit der x-Achse |
| Wertetabelle | geordnete Wertepaare |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Thema |
|---|---|
| Steigende Gerade | positive Steigung |
| Fallende Gerade | negative Steigung |
| Waagerechte Gerade | Steigung null |
| Schnitt mit der y-Achse | Achsenabschnitt |
| Schnitt mit der x-Achse | Nullstelle |
Kreuzworträtsel
| Gerade | Wie heißt der Graph einer linearen Funktion? |
| Steigung | Welche Größe wird meist mit m bezeichnet? |
| Achsenabschnitt | Wie heißt die Zahl b? |
| Wertetabelle | Welche Tabelle zeigt zusammengehörige x- und y-Werte? |
| Koordinatensystem | Wo wird der Graph gezeichnet? |
| Nullstelle | Wie heißt der Schnittpunkt mit der x-Achse? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Videonotizen: Schreibe fünf wichtige Begriffe aus dem Lernvideo auf.
- Wertetabelle: Erstelle für eine Tabelle mit vier x-Werten.
- Gerade zeichnen: Zeichne den Graphen von .
- Alltagsbeispiel: Erfinde eine Situation mit Grundgebühr und Preis pro Einheit.
Standard
- Video erklären: Wähle eine Stelle aus dem Video und erkläre sie mit eigenen Worten.
- Zwei Punkte: Bestimme die Steigung der Geraden durch und .
- Tarifvergleich: Vergleiche und in einer Tabelle.
- Fehler finden: Jemand zeichnet als steigende Gerade. Erkläre den Fehler.
Schwer
- Modell entwickeln: Miss die Füllhöhe eines Gefäßes in gleichen Zeitabständen und prüfe, ob ein linearer Zusammenhang passt.
- Erklärvideo: Produziere ein eigenes kurzes Video über Steigung und y-Achsenabschnitt.
- Parameter untersuchen: Verändere m und b mit einer dynamischen Geometriesoftware und dokumentiere Deine Beobachtungen.
- Schnittpunkt: Bestimme rechnerisch und zeichnerisch den Schnittpunkt von und .
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Lernkontrolle
- Handytarife: Tarif A kostet 10 Euro Grundgebühr und 2 Euro je Einheit. Tarif B kostet 4 Euro Grundgebühr und 3 Euro je Einheit. Stelle beide Funktionen auf und entscheide, wann welcher Tarif günstiger ist.
- Wassertank: Ein Tank enthält zuerst 120 Liter. Pro Minute fließen 8 Liter ab. Stelle eine Funktion auf und erkläre die Bedeutung von Steigung und Achsenabschnitt.
- Graph deuten: Eine Gerade steigt stark und schneidet die y-Achse unterhalb von null. Beschreibe mögliche Vorzeichen von m und b.
- Fehleranalyse: Prüfe die Aussage: „Je größer b ist, desto steiler ist die Gerade.“ Begründe Deine Entscheidung.
- Daten prüfen: Die Punkte , , und sind gegeben. Prüfe, ob alle Punkte zu einer linearen Funktion gehören.
Lernnachweis
Für einen Lernnachweis solltest Du:
- die Form erklären,
- Steigung und y-Achsenabschnitt bestimmen,
- Wertetabellen erstellen,
- Geraden zeichnen und lesen,
- Nullstellen berechnen,
- einfache Alltagssituationen als lineare Funktionen darstellen,
- Deine Rechenwege verständlich begründen.
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