Kosinussatz - Dreiecke berechnen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Mit dem Kosinussatz kannst Du unbekannte Seiten und Winkel in einem Dreieck berechnen. Er gilt für jedes Dreieck. Du brauchst ihn besonders bei den Fällen SWS und SSS.

Bezeichnungen im Dreieck

Die Seite $a$ liegt dem Winkel $\alpha$ gegenüber. Entsprechend liegt $b$ gegenüber von $\beta$ und $c$ gegenüber von $\gamma$.

Die drei Formeln

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos (\alpha )$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos (\beta )$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (\gamma )$

Merke: In jeder Formel gehören der Winkel und die allein stehende Seite zusammen.

Wann brauchst Du den Kosinussatz?

1. SWS: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind bekannt. Du berechnest die dritte Seite.
2. SSS: Alle drei Seiten sind bekannt. Du berechnest einen Winkel.

Beispiel: Eine Seite berechnen

Gegeben sind $a=7\text{cm}$, $b=5\text{cm}$ und $\gamma =60^{\circ }$.

$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cdot \cos (\gamma )}$

$c=\sqrt{7^2+5^2-2\cdot 7\cdot 5\cdot \cos (60^{\circ })}$

$c=\sqrt{39}\approx \mathrm{6,2}\text{cm}$

Beispiel: Einen Winkel berechnen

Gegeben sind $a=5\text{cm}$, $b=6\text{cm}$ und $c=7\text{cm}$.

$\cos (\gamma )=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

$\gamma =\arccos \left(\frac{5^2+6^2-7^2}{2\cdot 5\cdot 6}\right)\approx \mathrm{78,}{5}^{\circ }$

Stelle Deinen Taschenrechner auf Grad oder DEG.

Verbindung zum Satz des Pythagoras

Ist $\gamma =90^{\circ }$, dann gilt $\cos (90^{\circ })=0$. Aus dem Kosinussatz wird:

$c^2=a^2+b^2$

Der Satz des Pythagoras ist also ein Sonderfall des Kosinussatzes.

Video

Das Video erklärt, wann Du den Kosinussatz brauchst und wie Du Seiten und Winkel berechnest.

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Aufgaben zum Video

1. Videoanalyse: Notiere die drei Formen des Kosinussatzes aus dem Video.
2. SWS-Fall: Erkläre in einem Satz, woran Du den SWS-Fall erkennst.
3. SSS-Fall: Beschreibe, wie aus einem Kosinuswert ein Winkel wird.
4. Rechenweg: Pausiere bei einem Beispiel und rechne jeden Schritt selbst nach.
5. Fehlerkontrolle: Prüfe, ob der berechnete Winkel kleiner als $180^{\circ }$ und die Seitenlänge positiv ist.
6. Zusammenfassung: Erkläre den Kosinussatz nach dem Video in höchstens drei Sätzen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel berechnet die Seite c? (c² = a² + b² − 2ab cos γ) (!c² = a² + b² + 2ab cos γ) (!c² = a² − b² − 2ab cos γ) (!c² = a + b − 2ab cos γ)

Für welche Dreiecke gilt der Kosinussatz? (Für alle Dreiecke) (!Nur für rechtwinklige Dreiecke) (!Nur für gleichseitige Dreiecke) (!Nur für spitzwinklige Dreiecke)

Was kannst Du im SWS-Fall direkt berechnen? (Die dritte Seite) (!Nur den Flächeninhalt) (!Nur die Höhe) (!Nur den Umfang)

Was kannst Du im SSS-Fall direkt berechnen? (Einen Winkel) (!Eine unbekannte Seite) (!Nur die Höhe) (!Nur den Schwerpunkt)

Welche Taschenrechnerfunktion liefert aus einem Kosinuswert den Winkel? (Arkuskosinus) (!Quadratwurzel) (!Logarithmus) (!Tangens)

Welche Einstellung braucht der Taschenrechner bei Winkelangaben in Grad? (Gradmodus) (!Bogenmaßmodus) (!Statistikmodus) (!Bruchmodus)

Welche Seite gehört zum Winkel gamma? (Die Seite c) (!Die Seite a) (!Die Seite b) (!Die längste Seite in jedem Dreieck)

Was entsteht bei gamma gleich 90 Grad aus dem Kosinussatz? (Der Satz des Pythagoras) (!Der Sinussatz) (!Die Winkelsumme) (!Die binomische Formel)

Wie lang ist c bei a gleich 3, b gleich 4 und gamma gleich 90 Grad? (5) (!6) (!7) (!12)

Was geschieht beim Berechnen einer Seite zuletzt? (Die Quadratwurzel wird gezogen) (!Der Winkel wird verdoppelt) (!Die Seiten werden addiert) (!Der Kosinus wird weggelassen)

Memory

Kosinussatz	Beziehung zwischen Seiten und Winkeln
SWS-Fall	dritte Seite bestimmen
SSS-Fall	unbekannten Winkel bestimmen
Arkuskosinus	Kosinuswert zurück in einen Winkel
Gradmodus	Einstellung für Winkel in Grad
Pythagoras	Sonderfall bei einem rechten Winkel

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
SWS-Fall	dritte Seite suchen
SSS-Fall	Winkel suchen
Eingeschlossener Winkel	liegt zwischen den gegebenen Seiten
Arkuskosinus	Kosinuswert in einen Winkel umwandeln
Gradmodus	Winkel in Grad berechnen

Kreuzworträtsel

Kosinus	Welche Winkelfunktion steht im Kosinussatz?
Dreieck	Für welche geometrische Figur wird der Satz verwendet?
Arkuskosinus	Welche Umkehrfunktion berechnet einen Winkel?
Seitenlaenge	Welche Größe kann im SWS-Fall berechnet werden?
Winkelsumme	Welche Größe beträgt im ebenen Dreieck insgesamt 180 Grad?
Pythagoras	Welcher Satz ist ein Sonderfall des Kosinussatzes?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Kosinussatz gilt in jedem . Die Seite c liegt dem Winkel gegenüber. Beim SWS-Fall wird eine unbekannte berechnet. Beim SSS-Fall wird ein unbekannter berechnet. Zum Berechnen eines Winkels brauchst Du den . Der Taschenrechner muss bei Gradangaben im stehen. Bei einem rechten Winkel wird der Kosinussatz zum Satz des . Nach dem Berechnen einer quadrierten Seitenlänge ziehst Du die .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Formelkarte: Gestalte eine Karte mit den drei Formen des Kosinussatzes.
2. Dreieck beschriften: Zeichne ein Dreieck und beschrifte Seiten und Winkel richtig.
3. Video-Notizen: Schreibe fünf wichtige Begriffe aus dem Video auf.
4. Pythagoras-Vergleich: Markiere, welcher Teil des Kosinussatzes bei einem rechten Winkel verschwindet.

Standard

1. Rechenbeispiel: Berechne eine fehlende Seite bei zwei selbst gewählten Seiten und einem eingeschlossenen Winkel.
2. Winkelberechnung: Wähle drei passende Seitenlängen und berechne einen Winkel.
3. Fehleranalyse: Erfinde einen typischen Fehler beim Einsetzen und verbessere ihn.
4. Erklärplakat: Gestalte ein Plakat zum Unterschied zwischen SWS und SSS.

Schwer

1. Sachaufgabe: Erfinde eine Aufgabe aus Vermessung, Navigation oder Technik und löse sie.
2. Begründung: Erkläre rechnerisch, warum der Satz des Pythagoras ein Sonderfall ist.
3. Dreiecksprüfung: Untersuche, wie sich die Seite c verändert, wenn der Winkel gamma größer wird.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video mit einer vollständigen Winkelberechnung.

Lernkontrolle

1. Methodenwahl: Entscheide bei drei verschiedenen Dreiecken, ob Du den Kosinussatz, den Sinussatz oder den Satz des Pythagoras verwendest. Begründe jede Wahl.
2. Fehlerdiagnose: Eine Person ordnet dem Winkel gamma die Seite b zu. Erkläre die Folgen für die Rechnung und korrigiere den Ansatz.
3. Parameteränderung: Zwei Seiten bleiben gleich. Beschreibe, wie sich die dritte Seite verändert, wenn der eingeschlossene Winkel wächst.
4. Modellierung: Plane eine indirekte Entfernungsmessung auf dem Schulhof. Lege fest, welche Längen und Winkel gemessen werden müssen.
5. Plausibilitätsprüfung: Entwickle mindestens drei Regeln, mit denen Du ein Ergebnis zu einer Dreiecksberechnung prüfen kannst.
6. Transfer: Erkläre, warum der Kosinussatz auch bei stumpfwinkligen Dreiecken funktioniert, der Satz des Pythagoras allein aber nicht genügt.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. die Seiten und Winkel eines Dreiecks richtig zuordnen,
2. den SWS-Fall und den SSS-Fall unterscheiden,
3. eine fehlende Seite vollständig berechnen,
4. einen fehlenden Winkel mit dem Arkuskosinus bestimmen,
5. den Taschenrechner richtig einstellen,
6. Ergebnisse auf Plausibilität prüfen,
7. den Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras erklären.

Mediennachweise

1. Dreieck mit unbekannter Seite oder unbekanntem Winkel
2. Diagramm zum Kosinussatz
3. Trigonometrische Darstellung
4. Grafik zum Beweis
5. Lernvideo zum Kosinussatz

Links

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