Geraden im Raum aufstellen
Geraden im Raum aufstellen
Geraden im Raum aufstellen
Einleitung
Eine Gerade im Raum wird mit Vektoren beschrieben. Du brauchst einen bekannten Punkt, einen Richtungsvektor und einen Parameter. Die Form heißt Parameterform.
Das Grundmodell
Eine Gerade hat die Form:
Dabei ist:
- Stützvektor : Er zeigt zu einem bekannten Punkt der Geraden.
- Richtungsvektor : Er zeigt die Richtung der Geraden.
- Parameter : Er bestimmt, wie weit Du auf der Geraden gehst.
Der Richtungsvektor darf nicht der Nullvektor sein.
Gerade durch zwei Punkte
Gegeben sind zwei verschiedene Punkte und .
- Nutze den Ortsvektor von als Stützvektor.
- Berechne den Differenzvektor .
- Setze beide Vektoren in die Geradengleichung ein.
Beispiel:
Für erhältst Du den Punkt . Für erhältst Du den Punkt .
Merksatz
Stützvektor plus Parameter mal Richtungsvektor.
Eine Gerade kann mehrere richtige Gleichungen haben. Du darfst einen anderen Punkt der Geraden als Stützpunkt wählen. Du darfst auch ein von null verschiedenes Vielfaches des Richtungsvektors nutzen.
Lernvideo
Aufgaben zum Video
- Videoanalyse: Schreibe beim Ansehen die allgemeine Geradengleichung auf.
- Stützvektor: Notiere bei der ersten Beispielgeraden den Stützvektor.
- Richtungsvektor: Pausiere bei einer Rechnung mit zwei Punkten und berechne den Richtungsvektor selbst.
- Parameter: Setze in eine Gleichung aus dem Video die Werte und ein.
- Fehleranalyse: Erkläre, warum die Reihenfolge bei zur Wahl des Stützpunktes passen muss.
- Transfer: Erfinde zwei eigene Punkte und stelle eine Gerade durch beide Punkte auf.
Zweites Erklärvideo
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Welche Form beschreibt eine Gerade im Raum? (Stützvektor plus Parameter mal Richtungsvektor) (!Stützvektor mal Richtungsvektor) (!Parameter plus Nullvektor) (!Zwei Punkte ohne Vektoren)
Was zeigt der Stützvektor? (Zu einem bekannten Punkt der Geraden) (!Immer zum Ursprung) (!Senkrecht von der Geraden weg) (!Nur in Richtung der x-Achse)
Was beschreibt der Richtungsvektor? (Die Richtung der Geraden) (!Die Farbe der Geraden) (!Nur den Startpunkt) (!Die Länge des Koordinatensystems)
Wie berechnet man einen Richtungsvektor aus zwei Punkten A und B? (B minus A) (!A plus B) (!A mal B) (!B geteilt durch A)
Welche Werte darf der Parameter t annehmen? (Alle reellen Zahlen) (!Nur positive Zahlen) (!Nur ganze Zahlen) (!Nur die Zahlen null und eins)
Was erhält man meistens für t gleich null? (Den Stützpunkt) (!Den Nullvektor) (!Den Richtungsvektor) (!Einen Punkt außerhalb der Geraden)
Welche Bedingung gilt für den Richtungsvektor? (Er darf nicht der Nullvektor sein) (!Er muss nur positive Einträge haben) (!Er muss die Länge eins haben) (!Er muss zum Ursprung zeigen)
Wie viele Koordinaten hat ein Punkt im Raum? (Drei) (!Eine) (!Zwei) (!Vier)
Woran erkennt man eine Parametergleichung? (Sie enthält einen veränderlichen Parameter) (!Sie enthält keine Vektoren) (!Sie besteht nur aus einer Zahl) (!Sie enthält immer einen Winkel)
Welche Aussage über Geradengleichungen ist richtig? (Eine Gerade kann mehrere richtige Parameterformen haben) (!Jede Gerade hat nur eine mögliche Gleichung) (!Der Stützvektor muss immer der Nullvektor sein) (!Der Parameter darf nicht negativ sein)
Memory
| Stützvektor | Startpunkt der Beschreibung |
| Richtungsvektor | Bewegungsrichtung |
| Parameter | Schrittzahl auf der Geraden |
| Ortsvektor | Verbindung vom Ursprung |
| Differenzvektor | Endvektor minus Startvektor |
| Punktprobe | Prüfung durch Einsetzen |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Bedeutung |
|---|---|
| Stützvektor | Ortsvektor eines bekannten Geradenpunktes |
| Richtungsvektor | Differenz aus zwei Punktvektoren |
| Parameter | Veränderliche reelle Zahl |
| Geradengleichung | Stützvektor plus Vielfaches des Richtungsvektors |
| Punktprobe | Prüfen durch Einsetzen |
...
Kreuzworträtsel
| Vektor | Mathematischer Pfeil mit Richtung und Länge |
| Parameter | Veränderliche Zahl in der Geradengleichung |
| Gerade | Unendlich lange Linie ohne Krümmung |
| Raum | Dreidimensionaler Bereich |
| Koordinate | Einzelne Zahl zur Lagebeschreibung |
| Differenz | Ergebnis einer Subtraktion |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Grundform: Schreibe die allgemeine Form einer Geradengleichung auf und beschrifte ihre drei Teile.
- Markieren: Markiere in drei vorgegebenen Geradengleichungen Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter.
- Parameter einsetzen: Berechne für eine Gerade die Punkte zu , und .
- Skizze: Zeichne ein räumliches Koordinatensystem und markiere einen Stützpunkt mit einem Richtungspfeil.
Standard
- Zwei-Punkte-Form: Stelle die Gerade durch und auf.
- Video erklären: Fasse die wichtigste Rechenregel aus dem Lernvideo in höchstens vier Sätzen zusammen.
- Vergleichen: Prüfe, ob zwei verschiedene Parameterformen dieselbe Gerade beschreiben können.
- Fehler finden: Erstelle eine falsche Geradengleichung und erkläre den Fehler.
Schwer
- Modellierung: Beschreibe die Flugbahn einer Drohne mit einem Startpunkt und einem Richtungsvektor.
- Punktprobe: Untersuche, ob ein gegebener Punkt auf einer Raumgeraden liegt, und begründe jeden Rechenschritt.
- Beweisidee: Erkläre, warum ein von null verschiedenes Vielfaches eines Richtungsvektors dieselbe Richtung beschreibt.
- Erklärvideo: Produziere ein kurzes eigenes Video, in dem Du eine Gerade durch zwei Punkte aufstellst.
|
|
Lernkontrolle
- Zusammenhang erklären: Begründe, warum zwei verschiedene Punkte nötig sind, um eine eindeutige Gerade festzulegen.
- Darstellungen vergleichen: Entscheide, ob zwei Geradengleichungen dieselbe Gerade beschreiben, und begründe Deine Entscheidung.
- Fehler übertragen: Erkläre, wie sich ein Vorzeichenfehler im Richtungsvektor auf berechnete Punkte auswirkt.
- Modell entwickeln: Formuliere eine reale Bewegung im Raum als Geradengleichung und erkläre die Bedeutung aller Größen.
- Strategie wählen: Beschreibe, wie Du aus zwei Punkten möglichst sicher eine Geradengleichung aufstellst und kontrollierst.
- Rückwärtsaufgabe: Erfinde zu einer Geradengleichung zwei passende Punkte und zeige rechnerisch, dass beide auf der Geraden liegen.
Lernnachweis
Für einen Lernnachweis solltest Du:
- eine Gerade in Parameterform erklären können,
- Stützvektor, Richtungsvektor und Parameter sicher erkennen,
- aus zwei Punkten einen Differenzvektor bilden,
- eine vollständige Geradengleichung aufstellen,
- Punkte durch Einsetzen eines Parameterwertes bestimmen,
- eigene Rechenwege verständlich begründen.
OERs zum Thema
Links
aiMOOC-Projekte
Schulfach+
|
|
aiMOOCs
aiMOOC Projekte
|
|
THE MONKEY DANCE
|
|
|