Brüche und Dezimalzahlen umwandeln - Bruchrechnen


Brüche und Dezimalzahlen umwandeln - Bruchrechnen
Einleitung
Brüche und Dezimalzahlen umwandeln gehört zu den wichtigsten Grundlagen der Bruchrechnung. Du lernst in diesem aiMOOC, wie Du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandelst, wie Du eine Dezimalzahl wieder als Bruch schreibst und wie Du beide Schreibweisen beim Rechnen sinnvoll nutzt. Dabei geht es nicht nur um einzelne Rechentricks, sondern um ein tiefes Verständnis: Eine Zahl kann in verschiedenen Darstellungen erscheinen, obwohl ihr Wert gleich bleibt.

Ein Bruch wie 3/4 beschreibt einen Anteil, eine Division und eine Zahl auf dem Zahlenstrahl. Die Dezimalzahl 0,75 beschreibt denselben Wert. Wer zwischen beiden Darstellungen sicher wechseln kann, erkennt Zusammenhänge in Mathematik, Prozentrechnung, Messen, Geldrechnung, Diagrammen und vielen Alltagssituationen.
Lernziele
Nach diesem aiMOOC kannst Du:
- Brüche als Division von Zähler durch Nenner deuten.
- Dezimalzahlen mit Stellenwerten wie Zehntel, Hundertstel und Tausendstel erklären.
- Brüche durch Erweitern oder Division in Dezimalzahlen umwandeln.
- Endliche und periodische Dezimalzahlen unterscheiden.
- Dezimalzahlen als Brüche schreiben und durch Kürzen vereinfachen.
- entscheiden, wann ein Bruch, eine Dezimalzahl oder ein gerundeter Wert beim Rechnen sinnvoll ist.
Vorwissen: Bruch, Dezimalzahl und Wertgleichheit
Ein Bruch besteht aus einem Zähler, einem Bruchstrich und einem Nenner. Der Nenner sagt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wird. Der Zähler sagt, wie viele dieser Teile genommen werden. Der Bruch 3/4 bedeutet also: Ein Ganzes wird in vier gleich große Teile geteilt, drei davon werden betrachtet.
Eine Dezimalzahl ist eine Zahl mit Komma und Stellen nach dem Komma. Die Stellen nach dem Komma heißen Zehntel, Hundertstel, Tausendstel und so weiter. Die Zahl 0,75 bedeutet 7 Zehntel und 5 Hundertstel, also 75 Hundertstel. Deshalb gilt: 0,75 = 75/100 = 3/4.

Wichtig: Verschiedene Schreibweisen können denselben Wert haben. Die Brüche 3/4, 6/8 und 75/100 sind wertgleich. Auch die Dezimalzahl 0,75 liegt auf dem Zahlenstrahl an derselben Stelle.

Warum Umwandeln wichtig ist
Beim Bruchrechnen hilft Dir das Umwandeln, Zahlen besser zu vergleichen oder Aufgaben einfacher zu lösen. Manchmal ist ein Bruch übersichtlicher, manchmal eine Dezimalzahl. Beim genauen Rechnen ist die Bruchschreibweise oft besser, weil sie ohne Rundungsfehler auskommt. Beim Schätzen, Messen oder Vergleichen ist eine Dezimalzahl oft schneller verständlich.
| Situation | Sinnvolle Schreibweise | Beispiel |
|---|---|---|
| Anteil genau beschreiben | Bruch | 1/3 der Klasse |
| Geldbetrag angeben | Dezimalzahl | 2,50 Euro |
| Prozentwert erkennen | Dezimalzahl oder Bruch | 0,25 = 1/4 = 25 Prozent |
| Exakte Rechnung ohne Rundung | Bruch | 2/3 statt 0,666... |
| Größen schnell vergleichen | Dezimalzahl | 0,7 ist größer als 0,65 |
Grundlagen der Umwandlung
Ein Bruch ist eine Division
Der Bruchstrich bedeutet auch geteilt durch. Deshalb kannst Du jeden Bruch als Divisionsaufgabe lesen:
| Bruch | Bedeutung | Dezimalzahl |
|---|---|---|
| 1/2 | 1 geteilt durch 2 | 0,5 |
| 3/4 | 3 geteilt durch 4 | 0,75 |
| 5/8 | 5 geteilt durch 8 | 0,625 |
| 1/3 | 1 geteilt durch 3 | 0,333... |
Merksatz: Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, teilst Du den Zähler durch den Nenner.
Zehnerpotenzen als Brücke
Besonders einfach wird die Umwandlung, wenn der Nenner auf 10, 100, 1000 oder eine andere Zehnerpotenz gebracht werden kann. Dann liest Du die Dezimalzahl direkt ab.
| Bruch | Erweitern | Dezimalzahl |
|---|---|---|
| 1/2 | 5/10 | 0,5 |
| 3/4 | 75/100 | 0,75 |
| 7/20 | 35/100 | 0,35 |
| 9/25 | 36/100 | 0,36 |
| 13/50 | 26/100 | 0,26 |
Merksatz: Ein Bruch mit dem Nenner 10, 100 oder 1000 heißt Dezimalbruch. Aus einem Dezimalbruch kannst Du die Kommazahl direkt bilden.
Bruchstreifen verstehen
Bruchstreifen zeigen, dass verschieden aussehende Brüche denselben Anteil beschreiben können. Sie helfen Dir zu sehen, warum 1/2 = 2/4 = 4/8 = 0,5 gilt. Beim Umwandeln nutzt Du genau diese Idee: Du suchst eine gleichwertige Schreibweise, die besser zur Aufgabe passt.
Vom Bruch zur Dezimalzahl
Methode 1: Erweitern auf Zehntel, Hundertstel oder Tausendstel
Diese Methode funktioniert gut, wenn Du den Nenner leicht zu 10, 100 oder 1000 erweitern kannst.
Beispiel 1: 3/5 soll in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Der Nenner 5 passt in 10, denn 5 · 2 = 10. Also gilt: 3/5 = 6/10 = 0,6.
Beispiel 2: 17/25 soll in eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Der Nenner 25 passt in 100, denn 25 · 4 = 100. Also gilt: 17/25 = 68/100 = 0,68.
Beispiel 3: 7/8 lässt sich auf 1000 erweitern, denn 8 · 125 = 1000. Also gilt: 7/8 = 875/1000 = 0,875.
Methode 2: Kürzen und dann erweitern
Manche Brüche sehen zuerst schwierig aus. Wenn Du sie zuerst kürzt, wird die Umwandlung leichter.
| Ausgangsbruch | Gekürzt | Auf Zehnerpotenz erweitert | Dezimalzahl |
|---|---|---|---|
| 15/30 | 1/2 | 5/10 | 0,5 |
| 18/45 | 2/5 | 4/10 | 0,4 |
| 21/28 | 3/4 | 75/100 | 0,75 |
| 36/48 | 3/4 | 75/100 | 0,75 |
Merksatz: Kürzen verändert den Wert nicht. Es verändert nur die Darstellung.
Methode 3: Schriftlich dividieren
Wenn Erweitern nicht leicht ist, kannst Du den Zähler durch den Nenner teilen. Das ist die allgemeinste Methode.
Beispiel: 5/8 wird zu 5 : 8. Da 5 kleiner als 8 ist, schreibst Du 0 Komma und rechnest mit Zehnteln weiter. 50 : 8 = 6 Rest 2, dann 20 : 8 = 2 Rest 4, dann 40 : 8 = 5 Rest 0. Also gilt: 5/8 = 0,625.
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Endliche Dezimalzahlen
Eine Dezimalzahl ist endlich, wenn sie nach einer bestimmten Anzahl von Nachkommastellen aufhört. Beispiele sind 0,5, 0,75 und 0,125.
Ein gekürzter Bruch hat eine endliche Dezimalzahl, wenn der Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält. Das liegt daran, dass unser Dezimalsystem auf der Zahl 10 beruht und 10 = 2 · 5 ist.
| Bruch | Gekürzter Nenner | Dezimalzahl | Art |
|---|---|---|---|
| 1/2 | 2 | 0,5 | endlich |
| 3/4 | 4 = 2 · 2 | 0,75 | endlich |
| 7/8 | 8 = 2 · 2 · 2 | 0,875 | endlich |
| 9/25 | 25 = 5 · 5 | 0,36 | endlich |
| 1/40 | 40 = 2 · 2 · 2 · 5 | 0,025 | endlich |
Periodische Dezimalzahlen
Eine periodische Dezimalzahl entsteht, wenn sich eine Ziffer oder eine Ziffernfolge immer wiederholt. Beispiele sind 1/3 = 0,333... und 2/11 = 0,181818....
Wenn der gekürzte Nenner eines Bruchs noch einen anderen Primfaktor als 2 oder 5 enthält, entsteht eine periodische Dezimalzahl.
| Bruch | Dezimalzahl | Periode |
|---|---|---|
| 1/3 | 0,333... | 3 |
| 2/3 | 0,666... | 6 |
| 1/6 | 0,1666... | 6 |
| 1/7 | 0,142857142857... | 142857 |
| 2/11 | 0,181818... | 18 |
Wichtig: Wenn Du eine periodische Dezimalzahl rundest, ist das Ergebnis nur ein Näherungswert. Dann verwendest Du das Zeichen ≈. Beispiel: 1/3 ≈ 0,33.
Von der Dezimalzahl zum Bruch
Endliche Dezimalzahlen als Brüche schreiben
Bei einer endlichen Dezimalzahl gehst Du in drei Schritten vor:
- Nachkommastellen zählen.
- Zahl ohne Komma in den Zähler schreiben.
- Als Nenner 10, 100, 1000 und so weiter wählen und anschließend kürzen.
| Dezimalzahl | Bruch vor dem Kürzen | Gekürzter Bruch |
|---|---|---|
| 0,4 | 4/10 | 2/5 |
| 0,75 | 75/100 | 3/4 |
| 0,125 | 125/1000 | 1/8 |
| 2,5 | 25/10 | 5/2 |
| 3,08 | 308/100 | 77/25 |
Merksatz: Die Anzahl der Nachkommastellen bestimmt die Zahl der Nullen im Nenner.
Gemischte Zahlen und Dezimalzahlen größer als Eins
Dezimalzahlen können größer als 1 sein. Dann enthält der Bruch einen größeren Zähler als Nenner oder Du schreibst eine gemischte Zahl.
| Dezimalzahl | Unechter Bruch | Gemischte Zahl |
|---|---|---|
| 1,5 | 3/2 | 1 1/2 |
| 2,25 | 9/4 | 2 1/4 |
| 4,75 | 19/4 | 4 3/4 |
| 6,2 | 31/5 | 6 1/5 |
Beim Bruchrechnen ist der unechte Bruch oft praktischer, weil Du damit direkt addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren kannst.
Periodische Dezimalzahlen als Brüche schreiben
Periodische Dezimalzahlen lassen sich ebenfalls als Brüche schreiben. Dafür nutzt Du die Wiederholung der Ziffern.
Beispiel 1: 0,333... ist 1/3.
Beispiel 2: 0,666... ist 2/3.
Beispiel 3: 0,090909... ist 1/11.
Eine einfache Begründung für 0,333... = 1/3: Wenn x = 0,333... gilt, dann ist 10x = 3,333.... Subtrahierst Du x von 10x, bleibt 9x = 3. Also ist x = 3/9 = 1/3.
Dezimaltrennzeichen: Komma und Punkt
In Deutschland wird bei Dezimalzahlen meistens das Komma verwendet: 0,75. In vielen Taschenrechnern, Programmiersprachen und englischsprachigen Texten steht stattdessen ein Punkt: 0.75. Mathematisch ist der Wert gleich, aber Du musst im jeweiligen Zusammenhang auf die Schreibweise achten.

Bruchrechnen mit umgewandelten Zahlen
Wann Bruch, wann Dezimalzahl?
Beim Rechnen solltest Du bewusst entscheiden, welche Darstellung sinnvoll ist.
| Aufgabe | Gute Strategie | Warum? |
|---|---|---|
| 1/2 + 1/4 | als Brüche rechnen | gleicher Zusammenhang, exaktes Ergebnis |
| 0,75 + 0,2 | als Dezimalzahlen rechnen | gleiche Schreibweise, schnelles Addieren |
| 1/3 + 0,5 | 0,5 in 1/2 umwandeln | 1/3 bleibt als Dezimalzahl periodisch |
| 7/8 vergleichen mit 0,9 | 7/8 in 0,875 umwandeln | Vergleich der Größen wird klar |
| 2/5 von 30 Euro | 2/5 in 0,4 oder 40 Prozent umwandeln | Alltagsrechnung wird übersichtlich |
Brüche vergleichen durch Umwandeln
Um Brüche zu vergleichen, kannst Du sie auf gleiche Nenner bringen oder in Dezimalzahlen umwandeln.
Beispiel: Vergleiche 3/8 und 0,4. Wandle 3/8 um: 3 : 8 = 0,375. Da 0,375 kleiner als 0,4 ist, gilt 3/8 < 0,4.
Beispiel: Vergleiche 5/6 und 0,8. 5/6 = 0,8333.... Da 0,8333... größer als 0,8 ist, gilt 5/6 > 0,8.
Rechnen ohne Rundungsfalle
Beim Umwandeln können Rundungsfehler entstehen. Besonders gefährlich sind periodische Dezimalzahlen.
Ungenau: 1/3 + 1/3 + 1/3 ≈ 0,33 + 0,33 + 0,33 = 0,99.
Genau: 1/3 + 1/3 + 1/3 = 3/3 = 1.
Merksatz: Runde erst am Ende einer Aufgabe, wenn ein Näherungswert verlangt ist. Rechne mit Brüchen weiter, wenn ein exaktes Ergebnis wichtig ist.
Typische Fehler und wie Du sie vermeidest
| Fehler | Warum problematisch? | Besser so |
|---|---|---|
| 1/4 als 0,4 schreiben | Viertel sind nicht Zehntel | 1/4 = 25/100 = 0,25 |
| Nachkommastellen falsch zählen | 0,08 ist nicht 8/10 | 0,08 = 8/100 = 2/25 |
| Nicht kürzen | Ergebnis bleibt unnötig kompliziert | 75/100 = 3/4 |
| Periodische Zahl abschneiden | Genauigkeit geht verloren | 1/3 = 0,333... oder gerundet 0,33 |
| Komma und Punkt verwechseln | Schreibweise kann im Kontext falsch sein | In deutschen Texten meist Komma verwenden |
Strategiekarte
Überblick: So entscheidest Du schnell
| Ausgangszahl | Frage | Strategie | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Bruch | Nenner passt zu 10, 100 oder 1000? | Erweitern | 3/20 = 15/100 = 0,15 |
| Bruch | Nenner ist groß, aber kürzbar? | Erst kürzen | 18/24 = 3/4 = 0,75 |
| Bruch | Erweitern ist unpraktisch? | Zähler durch Nenner dividieren | 5/8 = 0,625 |
| Dezimalzahl | Anzahl der Nachkommastellen klar? | Über Zehnerpotenz schreiben | 0,06 = 6/100 = 3/50 |
| Periodische Dezimalzahl | Ziffern wiederholen sich? | Periode als Bruch erfassen | 0,777... = 7/9 |
Mini-Training mit Lösungen
| Aufgabe | Lösungsidee | Ergebnis |
|---|---|---|
| Wandle 9/20 in eine Dezimalzahl um. | auf Hundertstel erweitern | 0,45 |
| Wandle 0,35 in einen Bruch um. | 35/100 schreiben und kürzen | 7/20 |
| Vergleiche 2/3 und 0,7. | 2/3 = 0,666... | 0,7 ist größer |
| Wandle 1,25 in einen Bruch um. | 125/100 kürzen | 5/4 |
| Entscheide, ob 3/40 endlich ist. | Nenner enthält nur 2 und 5 | ja, 0,075 |
Digitale Lernimpulse
Die folgenden Lernvideos können Dir helfen, die Umwandlungsschritte noch einmal in Ruhe zu wiederholen. Nutze sie aktiv: Stoppe nach jedem Beispiel, rechne selbst weiter und vergleiche dann Deinen Rechenweg.
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Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Was ist die Dezimalzahl zu 3/4? (0,75) (!0,34) (!0,43) (!0,8)
Welcher Bruch entspricht der Dezimalzahl 0,4? (2/5) (!4/5) (!1/4) (!4/100)
Wie wandelst Du einen Bruch grundsätzlich in eine Dezimalzahl um? (Zähler durch Nenner teilen) (!Nenner durch Zähler teilen) (!Zähler und Nenner addieren) (!Zähler und Nenner vertauschen)
Wann hat ein gekürzter Bruch eine endliche Dezimalzahl? (Wenn der Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 enthält) (!Wenn der Zähler größer als der Nenner ist) (!Wenn der Nenner ungerade ist) (!Wenn der Bruch nicht gekürzt werden kann)
Welche Dezimalzahl gehört zu 1/3? (0,333...) (!0,3) (!0,13) (!0,75)
Welcher gekürzte Bruch entspricht 2,75? (11/4) (!275/10) (!27/5) (!7/25)
Was bedeutet das Zeichen ≈ bei einer Dezimalzahl? (Ungefähr gleich oder gerundet) (!Immer exakt gleich) (!Der Bruch wurde erweitert) (!Die Zahl ist negativ)
Welcher gekürzte Bruch entspricht 0,08? (2/25) (!8/10) (!8/1000) (!4/5)
Was passiert beim Kürzen eines Bruchs? (Der Wert bleibt gleich) (!Der Wert wird immer kleiner) (!Der Nenner wird immer größer) (!Der Zähler wird immer null)
Welche Rechnung zeigt richtig, wie 5/8 in eine Dezimalzahl umgewandelt wird? (5 : 8 = 0,625) (!8 : 5 = 1,6) (!5 + 8 = 13) (!5 · 8 = 40)
Memory
| Zähler | Zahl über dem Bruchstrich |
| Nenner | Zahl unter dem Bruchstrich |
| Kürzen | Zähler und Nenner durch denselben Teiler teilen |
| Erweitern | Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren |
| Dezimalbruch | Bruch mit Zehnerpotenz im Nenner |
| Periode | Sich wiederholende Ziffernfolge |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Thema |
|---|---|
| Zehntel | eine Stelle nach dem Komma |
| Hundertstel | zwei Stellen nach dem Komma |
| Tausendstel | drei Stellen nach dem Komma |
| Endliche Dezimalzahl | Bruch endet beim Dividieren |
| Periodische Dezimalzahl | Ziffernfolge wiederholt sich |
...
Kreuzworträtsel
| Zaehler | Wie heißt die Zahl über dem Bruchstrich? |
| Nenner | Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich? |
| Quotient | Wie nennt man das Ergebnis einer Division? |
| Kuerzen | Wie nennt man das Vereinfachen eines Bruchs durch gemeinsames Teilen? |
| Periode | Wie heißt eine sich wiederholende Ziffernfolge bei einer Dezimalzahl? |
| Runden | Wie nennt man das Nähern einer Zahl auf eine gewünschte Stelle? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Bruchbild: Zeichne drei einfache Brüche als Rechtecke oder Kreise und schreibe jeweils die passende Dezimalzahl dazu.
- Alltagsbeispiel: Suche zu Hause oder in der Schule drei Situationen, in denen Dezimalzahlen vorkommen, und erkläre, ob man sie auch als Bruch schreiben kann.
- Zahlenstrahl: Trage 1/2, 0,25, 3/4 und 0,8 auf einem Zahlenstrahl ein und begründe die Reihenfolge.
- Kürzen: Erstelle fünf eigene Dezimalzahlen mit zwei Nachkommastellen und wandle sie in vollständig gekürzte Brüche um.
Standard
- Rechenweg erklären: Erkläre an drei Beispielen, wann Erweitern auf Hundertstel einfacher ist als schriftliche Division.
- Fehleranalyse: Sammle fünf typische Fehler beim Umwandeln von Brüchen und Dezimalzahlen und schreibe jeweils eine Korrektur mit Begründung.
- Vergleichsstrategie: Entwickle eine Strategie, mit der man Brüche und Dezimalzahlen schnell vergleichen kann, und teste sie an zehn Zahlenpaaren.
- Lernplakat: Gestalte ein Plakat mit den wichtigsten Regeln zum Umwandeln von Brüchen, Dezimalzahlen und Prozentangaben.
Schwer
- Periodische Dezimalzahl: Untersuche die Brüche mit den Nennern 3, 6, 7, 9 und 11 und beschreibe, welche Perioden entstehen.
- Beweisidee: Erkläre mit eigenen Worten, warum ein gekürzter Bruch mit einem anderen Primfaktor als 2 oder 5 im Nenner keine endliche Dezimalzahl haben kann.
- Projekt Bruchrechnen: Erstelle ein kurzes Lernvideo, in dem Du eine Dezimalzahl in einen Bruch und einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandelst.
- Anwendungsaufgabe: Entwickle eine Sachaufgabe aus dem Alltag, in der Brüche, Dezimalzahlen und Prozentangaben sinnvoll ineinander umgewandelt werden müssen.

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Lernkontrolle
- Darstellungswechsel: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, warum 0,75, 75/100 und 3/4 denselben Wert haben, obwohl sie unterschiedlich aussehen.
- Strategieentscheidung: Entscheide bei fünf Aufgaben, ob Du lieber mit Brüchen oder Dezimalzahlen rechnest, und begründe Deine Entscheidung jeweils.
- Rundungsfehler: Zeige an einem Beispiel mit 1/3, warum zu frühes Runden ein falsches Ergebnis erzeugen kann.
- Transferaufgabe: Plane einen Einkauf oder ein Rezept, in dem Mengen als Brüche und Dezimalzahlen vorkommen, und rechne alle Angaben in die jeweils andere Darstellung um.
- Fehlerdiagnose: Prüfe die Aussage „0,08 ist dasselbe wie 8/10“ und erkläre den Fehler mithilfe von Stellenwerten.
- Zusammenhang Prozentrechnung: Erkläre, wie 1/4, 0,25 und 25 Prozent zusammenhängen, und übertrage diese Idee auf drei weitere Beispiele.
Lernnachweis
Für einen guten Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du nicht nur einzelne Ergebnisse kennst, sondern die Zusammenhänge verstehst.
- Fachbegriffe: Du verwendest Begriffe wie Zähler, Nenner, Dezimalbruch, Kürzen, Erweitern, Periode und Näherungswert korrekt.
- Rechenwege: Du dokumentierst Deine Umwandlungen Schritt für Schritt und kannst Deinen Weg erklären.
- Darstellungswechsel: Du wandelst Brüche in Dezimalzahlen und Dezimalzahlen in Brüche sicher um.
- Begründung: Du erklärst, warum manche Dezimalzahlen endlich und andere periodisch sind.
- Anwendung: Du nutzt die passende Schreibweise in Sachaufgaben, beim Vergleichen und beim Rechnen.
- Reflexion: Du erkennst typische Fehler und beschreibst, wie Du sie vermeidest.
OERs zum Thema
Weitere offene Lernmöglichkeiten
- Wikimedia Commons: Suche nach Bruchstreifen, Kreisdiagrammen oder Zahlenstrahlen und beschreibe, welche Darstellung Dir beim Verstehen am meisten hilft.
- ZUM-Unterrichten: Nutze offene Mathematikmaterialien zum Wiederholen von Bruchrechnung und Dezimalzahlen.
- Eigene Aufgaben: Erstelle ein kleines Übungsblatt mit Lösungen, das andere Lernende zur Selbstkontrolle verwenden können.
Links
aiMOOC-Projekte
Schulfach+


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aiMOOC Projekte


THE MONKEY DANCE





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