Vielfache einer Zahl ermitteln - Bruchrechnen

Einleitung

Vielfache einer Zahl ermitteln ist eine Grundtechnik der Arithmetik, die Dir beim Bruchrechnen besonders dann hilft, wenn Brüche unterschiedliche Nenner haben. Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen brauchst Du meist einen gemeinsamen Nenner. Der günstigste gemeinsame Nenner ist oft der Hauptnenner. Er ist das kleinste gemeinsame Vielfache der vorkommenden Nenner.

In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du Vielfache sicher bildest, gemeinsame Vielfache findest und daraus den Hauptnenner für die Bruchrechnung bestimmst. Du übst das Vorgehen an Beispielen, erkennst typische Fehler und wendest die Strategie auf Vergleiche, Additionen und Subtraktionen von Brüchen an.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, was ein Vielfaches einer Zahl ist. Du kannst Vielfache durch Multiplikation bilden, gemeinsame Vielfache zweier oder mehrerer Zahlen finden und das kleinste gemeinsame Vielfache als Hauptnenner nutzen. Außerdem kannst Du Brüche durch Erweitern auf gleiche Nenner bringen und dann vergleichen, addieren oder subtrahieren.

Vorwissen

Du solltest die Multiplikation im kleinen Einmaleins sicher beherrschen, wissen, was ein Bruch aus Zähler und Nenner bedeutet, und einfache Brüche erweitern können. Wenn Du diese Grundlagen noch unsicher findest, wiederhole zuerst Brüche erweitern, Brüche kürzen und Teilbarkeit.

Vielfache verstehen

Ein Vielfaches einer natürlichen Zahl entsteht, wenn Du diese Zahl mit einer natürlichen Zahl multiplizierst. Die Vielfachen von 4 sind zum Beispiel 4, 8, 12, 16, 20, 24 und so weiter. Du rechnest also 4 · 1, 4 · 2, 4 · 3, 4 · 4 und so weiter.

Die Vielfachen von 6 lauten 6, 12, 18, 24, 30, 36 und so weiter. Du kannst sie Dir wie gleich große Sprünge auf einem Zahlenstrahl vorstellen. Bei der Zahl 6 springst Du immer 6 weiter. Bei der Zahl 8 springst Du immer 8 weiter.

Vielfache durch Zählen ermitteln

Die einfachste Methode ist das Weiterzählen in gleichen Schritten. Für kleine Zahlen ist das oft der schnellste Weg.

Vielfache von 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24
Vielfache von 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40
Vielfache von 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56

Wenn Du die Vielfachen zweier Zahlen nebeneinander aufschreibst, kannst Du gemeinsame Vielfache erkennen. Bei 3 und 5 ist 15 ein gemeinsames Vielfaches, denn 15 kommt in beiden Reihen vor.

Vielfache durch Multiplikation ermitteln

Du kannst Vielfache auch gezielt mit einer Tabelle bilden. Für die Zahl 9 rechnest Du 9 · 1, 9 · 2, 9 · 3 und so weiter. So entstehen 9, 18, 27, 36, 45, 54 und weitere Vielfache. Diese Methode hilft besonders, wenn Du nicht nur auswendig weiterzählst, sondern kontrollieren möchtest, ob ein Wert wirklich ein Vielfaches ist.

Ein Beispiel: Ist 42 ein Vielfaches von 7? Ja, denn 7 · 6 = 42. Ist 43 ein Vielfaches von 7? Nein, denn 43 lässt sich nicht ohne Rest durch 7 teilen.

Gemeinsame Vielfache

Ein gemeinsames Vielfaches gehört zu den Vielfachen von mindestens zwei Zahlen. Für die Zahlen 4 und 6 sieht das so aus:

Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36
Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42

Gemeinsame Vielfache sind 12, 24 und 36. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 12. Man schreibt: kgV(4, 6) = 12.

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Bedeutung für das Bruchrechnen

Beim Bruchrechnen müssen Brüche mit unterschiedlichen Nennern häufig zuerst gleichnamig gemacht werden. Gleichnamige Brüche haben denselben Nenner. Erst dann kannst Du die Zähler direkt vergleichen, addieren oder subtrahieren.

Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner. Er macht die Rechnung übersichtlich, weil die Zahlen meist kleiner bleiben als bei einem beliebigen gemeinsamen Nenner.

Beispiel: Brüche addieren

Berechne $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ .

Zuerst schaust Du auf die Nenner 4 und 6. Die Vielfachen von 4 sind 4, 8, 12, 16 und so weiter. Die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18, 24 und so weiter. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 12. Deshalb ist 12 der Hauptnenner.

Nun erweiterst Du beide Brüche auf den Nenner 12. Aus $\frac{1}{4}$ wird $\frac{3}{12}$ , weil 4 · 3 = 12. Aus $\frac{1}{6}$ wird $\frac{2}{12}$ , weil 6 · 2 = 12. Dann addierst Du die Zähler: $\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$ .

Beispiel: Brüche vergleichen

Vergleiche $\frac{2}{5}$ und $\frac{3}{8}$ .

Die Nenner sind 5 und 8. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 40. Daher erweiterst Du beide Brüche auf den Nenner 40. Aus $\frac{2}{5}$ wird $\frac{16}{40}$ . Aus $\frac{3}{8}$ wird $\frac{15}{40}$ . Weil 16 größer ist als 15, gilt: $\frac{2}{5} > \frac{3}{8}$ .

Beispiel: Mehrere Brüche addieren

Berechne $\frac{1}{6} + \frac{3}{8} + \frac{5}{12}$ .

Die Nenner sind 6, 8 und 12. Die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18, 24. Die Vielfachen von 8 sind 8, 16, 24. Die Vielfachen von 12 sind 12, 24. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 24. Also ist 24 der Hauptnenner.

Jetzt erweiterst Du: $\frac{1}{6} = \frac{4}{24}$ , $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$ und $\frac{5}{12} = \frac{10}{24}$ . Dann addierst Du: $\frac{4}{24} + \frac{9}{24} + \frac{10}{24} = \frac{23}{24}$ .

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Schritt-für-Schritt-Methode

Mit der folgenden Methode kannst Du viele Aufgaben sicher lösen:

Nenner erkennen: Markiere zuerst die Nenner der Brüche.
Vielfache bilden: Schreibe Vielfache der Nenner auf.
Gemeinsames Vielfaches finden: Suche die erste Zahl, die in allen Vielfachenreihen vorkommt.
Hauptnenner bestimmen: Nutze das kleinste gemeinsame Vielfache als Hauptnenner.
Erweiterungsfaktor berechnen: Teile den Hauptnenner durch den ursprünglichen Nenner.
Bruch erweitern: Multipliziere Zähler und Nenner mit demselben Erweiterungsfaktor.
Rechnen mit Brüchen: Addiere, subtrahiere oder vergleiche nun die Zähler.

Warum der Zähler mit verändert werden muss

Wenn Du einen Bruch auf einen neuen Nenner bringst, darfst Du nicht nur den Nenner ändern. Du musst Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Nur dann bleibt der Wert des Bruchs gleich.

Beispiel: $\frac{1}{3}$ soll den Nenner 12 erhalten. Der Nenner 3 wird mit 4 multipliziert. Deshalb muss auch der Zähler 1 mit 4 multipliziert werden. Es entsteht $\frac{4}{12}$ . Beide Brüche beschreiben dieselbe Bruchzahl.

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Strategien zum Finden des Hauptnenners

Für kleine Nenner reicht oft die Vielfachenliste. Bei 6 und 9 notierst Du 6, 12, 18 und 9, 18. Schon erkennst Du: Der Hauptnenner ist 18.

Wenn ein Nenner bereits ein Vielfaches des anderen Nenners ist, ist die größere Zahl oft direkt der Hauptnenner. Bei den Nennern 5 und 10 ist 10 der Hauptnenner, weil 10 ein Vielfaches von 5 und von 10 ist.

Bei größeren Zahlen hilft die Primfaktorzerlegung. Dabei zerlegst Du die Nenner in Primzahlen und nimmst jeden Primfaktor in der höchsten benötigten Anzahl. Für den Einstieg in die Bruchrechnung ist aber die Vielfachenliste meistens anschaulicher.

Unterschied zwischen gemeinsamen Nenner und Hauptnenner

Ein gemeinsamer Nenner muss nur ein gemeinsames Vielfaches der Nenner sein. Ein Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache. Beim Rechnen mit $\frac{1}{4} + \frac{1}{6}$ wäre 24 ebenfalls ein gemeinsamer Nenner. Der Hauptnenner ist aber 12. Beide Wege können zum richtigen Ergebnis führen, doch der Hauptnenner macht die Rechnung meist kürzer.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Ein häufiger Fehler ist, die Nenner beim Addieren einfach mitzuzählen. Das ist falsch. Bei gleichnamigen Brüchen werden nur die Zähler addiert, der Nenner bleibt gleich. Aus $\frac{2}{7} + \frac{3}{7}$ wird $\frac{5}{7}$ , nicht $\frac{5}{14}$ .

Ein weiterer Fehler ist, beim Erweitern nur den Nenner zu verändern. Wenn Du aus $\frac{2}{3}$ fälschlich $\frac{2}{12}$ machst, ist der Wert kleiner geworden. Richtig ist $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ , weil Zähler und Nenner mit 4 multipliziert werden.

Außerdem ist nicht immer das Produkt der Nenner der beste Hauptnenner. Bei den Nennern 6 und 8 ist das Produkt 48, der Hauptnenner aber 24. Mit 24 rechnest Du einfacher.

Übungsbeispiele mit Lösungen

Aufgabe 1: Hauptnenner finden

Finde den Hauptnenner von $\frac{2}{3}$ und $\frac{5}{4}$ . Die Nenner sind 3 und 4. Vielfache von 3 sind 3, 6, 9, 12. Vielfache von 4 sind 4, 8, 12. Der Hauptnenner ist 12.

Aufgabe 2: Brüche gleichnamig machen

Mache $\frac{3}{5}$ und $\frac{1}{2}$ gleichnamig. Die Nenner 5 und 2 haben das kleinste gemeinsame Vielfache 10. Also gilt: $\frac{3}{5} = \frac{6}{10}$ und $\frac{1}{2} = \frac{5}{10}$ .

Aufgabe 3: Brüche subtrahieren

Berechne $\frac{7}{9} - \frac{1}{6}$ . Die Nenner 9 und 6 haben das kleinste gemeinsame Vielfache 18. Es gilt $\frac{7}{9} = \frac{14}{18}$ und $\frac{1}{6} = \frac{3}{18}$ . Also ist $\frac{14}{18} - \frac{3}{18} = \frac{11}{18}$ .

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist ein Vielfaches von 6? (24) (!25) (!31) (!14)

Welche Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 4 und 6? (12) (!10) (!16) (!24)

Warum braucht man beim Addieren ungleichnamiger Brüche oft ein gemeinsames Vielfaches der Nenner? (Damit die Brüche gleichnamig werden) (!Damit die Zähler kleiner werden) (!Damit die Nenner addiert werden können) (!Damit der Bruch immer größer wird)

Was ist der Hauptnenner von den Nennern 5 und 10? (10) (!5) (!15) (!50)

Welche Aussage zum Erweitern eines Bruchs ist richtig? (Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert) (!Nur der Nenner wird multipliziert) (!Nur der Zähler wird multipliziert) (!Zähler und Nenner werden addiert)

Was ist der Hauptnenner von 3 und 8? (24) (!11) (!18) (!32)

Welche Vielfachenreihe gehört zur Zahl 7? (7, 14, 21, 28) (!7, 12, 17, 22) (!7, 15, 23, 31) (!7, 10, 13, 16)

Welche Rechnung macht den Bruch 1/4 gleichnamig mit dem Nenner 12? (1/4 wird zu 3/12) (!1/4 wird zu 1/12) (!1/4 wird zu 4/12) (!1/4 wird zu 12/4)

Was ist das Ergebnis von 1/4 plus 1/6? (5/12) (!2/10) (!1/24) (!7/12)

Was ist bei gleichnamigen Brüchen beim Addieren richtig? (Die Zähler werden addiert und der Nenner bleibt gleich) (!Die Nenner werden addiert und der Zähler bleibt gleich) (!Zähler und Nenner werden vertauscht) (!Alle Zahlen werden miteinander multipliziert)

Memory

Vielfaches	Ergebnis einer Multiplikation mit einer ganzen Zahl
Hauptnenner	kleinstes gemeinsames Vielfaches der Nenner
Erweitern	Zähler und Nenner gleich multiplizieren
Gleichnamig	Brüche besitzen denselben Nenner
Nenner	Zahl unter dem Bruchstrich
Zähler	Zahl über dem Bruchstrich

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Nenner betrachten	Ausgangspunkt beim Bruchrechnen
Vielfache aufschreiben	Suche nach gemeinsamen Zahlen
Hauptnenner wählen	kleinstes gemeinsames Vielfaches
Erweiterungsfaktor bestimmen	Hauptnenner durch alten Nenner teilen
Zähler anpassen	Wert des Bruchs erhalten

Kreuzworträtsel

Vielfaches	Wie nennt man das Ergebnis, wenn eine Zahl mit einer natürlichen Zahl multipliziert wird?
Nenner	Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?
Zaehler	Wie heißt die Zahl über dem Bruchstrich?
Hauptnenner	Wie nennt man das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner?
Erweitern	Wie nennt man das gleichzeitige Multiplizieren von Zähler und Nenner?
Addieren	Wie heißt die Rechenart des Zusammenzählens?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Vielfachenliste: Schreibe die ersten zehn Vielfachen von 3, 4, 5 und 6 auf und markiere gemeinsame Vielfache farbig.
Zahlenstrahl: Zeichne einen Zahlenstrahl bis 40 und trage Sprünge der Zahlen 4 und 8 ein. Beschreibe, wo die Sprünge zusammentreffen.
Bruchkarten: Erstelle Karten mit Brüchen wie 1/2, 1/3, 1/4 und 1/6. Notiere zu jeder Karte passende Erweiterungen.
Fehlersuche: Erfinde drei falsche Rechnungen zu ungleichnamigen Brüchen und erkläre jeweils, wie man sie korrigiert.

Standard

Hauptnenner-Tabelle: Erstelle eine Tabelle mit Nennerpaaren wie 3 und 4, 4 und 6, 6 und 9, 8 und 12. Bestimme jeweils den Hauptnenner.
Brüche vergleichen: Vergleiche fünf selbst gewählte Bruchpaare, indem Du sie auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringst.
Alltagsaufgabe: Formuliere eine Sachaufgabe, in der zwei Personen unterschiedlich große Bruchteile einer Pizza oder eines Kuchens bekommen. Löse sie mit einem Hauptnenner.
Erklärvideo: Plane ein kurzes Erklärvideo, in dem Du zeigst, wie man den Hauptnenner von 6 und 8 findet.

Schwer

Strategievergleich: Vergleiche die Vielfachenliste und die Primfaktorzerlegung als Wege zum Hauptnenner. Erkläre, wann welche Methode sinnvoller ist.
Mehrere Nenner: Löse fünf Aufgaben mit drei Brüchen und drei unterschiedlichen Nennern. Beschreibe jeden Rechenschritt.
Mathe-Plakat: Gestalte ein Lernplakat zum Thema Hauptnenner mit Definition, Beispiel, Warnhinweisen und Übungsaufgabe.
Interview: Befrage Mitschülerinnen oder Mitschüler, welche Fehler ihnen beim Bruchrechnen passieren. Werte die Antworten aus und gib Lerntipps.

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Lernkontrolle

Fehleranalyse: Eine Person rechnet 1/3 + 1/6 = 2/9. Erkläre genau, warum das falsch ist, und löse die Aufgabe richtig.
Methodenwahl: Entscheide bei den Nennern 6, 8 und 12, ob Du eine Vielfachenliste oder eine Primfaktorzerlegung nutzen würdest. Begründe Deine Entscheidung.
Transferaufgabe: Erfinde eine Alltagssituation, in der man Bruchteile mit unterschiedlichen Nennern vergleichen muss. Löse Deine eigene Aufgabe.
Begründung: Erkläre, warum der Hauptnenner nicht immer das Produkt der Nenner ist. Nutze ein selbst gewähltes Beispiel.
Darstellung wechseln: Zeige die Aufgabe 2/5 + 1/10 einmal rechnerisch und einmal mit einer Zeichnung. Vergleiche beide Darstellungen.
Rechenweg prüfen: Zwei Lernende erhalten verschiedene gemeinsame Nenner, aber dasselbe Endergebnis. Prüfe, ob beide Wege mathematisch richtig sein können.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du Vielfache sicher bilden kannst, gemeinsame Vielfache erkennst und das kleinste gemeinsame Vielfache als Hauptnenner bestimmst. Du solltest Brüche korrekt erweitern, gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren sowie Brüche mit unterschiedlichen Nennern vergleichen können. Besonders wichtig ist, dass Du Deinen Rechenweg begründest und typische Fehler erklären kannst. Ein guter Lernnachweis enthält mindestens eine Rechnung mit zwei Brüchen, eine Rechnung mit drei Brüchen, eine Vergleichsaufgabe, eine Fehleranalyse und eine kurze Erklärung in eigenen Worten.

OERs zum Thema

Links

Vielfache einer Zahl ermitteln

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.