Bekannte Lösungsstrategien anwenden - EKM

Einleitung

Bekannte Lösungsstrategien anwenden - EKM ist ein aiMOOC zum mathematischen Problemlösen, zum bewussten Einsatz von heuristischen Strategien und zur reflektierten Bearbeitung von Aufgaben im Sinne eines Erweiterten Kompetenznachweises Mathematik (EKM). In einer EKM-Aufgabe reicht es nicht, nur ein Ergebnis zu nennen. Du sollst zeigen, wie Du ein Problem verstehst, welche Lösungsstrategie Du auswählst, wie Du Deine Lösung darstellst, überprüfst und begründest.

Im Mittelpunkt steht die Frage: Wie finde ich einen sinnvollen Weg, wenn ich nicht sofort weiß, wie eine Aufgabe zu lösen ist? Genau dann helfen bekannte Lösungsstrategien: eine Skizze anfertigen, eine Tabelle nutzen, systematisch probieren, rückwärts arbeiten, ein Muster erkennen, eine Aufgabe vereinfachen, eine Gleichung aufstellen oder mehrere Darstellungsformen miteinander verbinden.

Dieser aiMOOC richtet sich besonders an Lernende der Sekundarstufe I, kann aber auch in der Grundschule, in der Berufsbildung und in der Lehrkräftebildung eingesetzt werden. Du lernst, mathematische Probleme nicht nur zu lösen, sondern Deinen Weg verständlich zu machen. Das ist wichtig, weil Mathematik nicht allein aus Rechnen besteht, sondern aus Denken, Argumentieren, Darstellen, Modellieren und Kommunikation.

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Was bedeutet EKM?

EKM steht in diesem Lernkurs für Erweiterter Kompetenznachweis Mathematik. Ein erweiterter Kompetenznachweis prüft nicht nur, ob Du ein richtiges Ergebnis findest. Er achtet besonders darauf, ob Du mathematische Kompetenzen sichtbar machen kannst. Dazu gehören:

Problemlösen: Du erkennst, was gesucht ist, und entwickelst einen Lösungsweg.
Modellieren: Du übersetzt eine Alltagssituation in mathematische Sprache.
Darstellen: Du nutzt Skizzen, Tabellen, Diagramme, Terme oder Gleichungen.
Argumentieren: Du erklärst, warum Dein Weg sinnvoll ist.
Kommunikation: Du beschreibst Deine Gedanken so, dass andere sie nachvollziehen können.
Reflexion: Du prüfst, ob Dein Ergebnis zur Aufgabe passt.

Ein EKM ist daher besonders geeignet, um zu zeigen, wie Du mathematisch denkst. Dabei dürfen unterschiedliche Wege zum Ziel führen. Entscheidend ist, dass Dein Weg zur Aufgabe passt, nachvollziehbar ist und überprüft wird.

Mathematisches Problemlösen

Ein Problem in der Mathematik ist mehr als eine Routineaufgabe. Bei einer Routineaufgabe kennst Du das passende Verfahren meist sofort. Bei einer Problemaufgabe liegt zwischen Ausgangssituation und Ziel eine gedankliche Hürde. Du musst entscheiden, welche Strategie helfen könnte.

Beispiel für eine Routineaufgabe: Berechne 48 : 6. Du kennst das Verfahren und kannst direkt rechnen.

Beispiel für eine Problemaufgabe: In einer Klasse geben sich alle Kinder genau einmal die Hand. Insgesamt werden 190 Händedrücke gezählt. Wie viele Kinder sind in der Klasse? Hier musst Du erst eine Strategie finden: Du könntest eine Tabelle anlegen, ein Muster suchen oder eine Gleichung aufstellen.

Problemlösen ist ein Prozess. Du probierst, prüfst, verwirfst und verbesserst. Fehler sind dabei keine Niederlage, sondern Hinweise. Sie zeigen Dir, welche Annahmen nicht passen und welcher Weg genauer untersucht werden sollte.

Die vier Phasen nach George Pólya

Der Mathematiker George Pólya beschrieb einen bis heute wichtigen Zugang zum Problemlösen. Seine vier Phasen helfen Dir, auch schwierige Aufgaben strukturiert zu bearbeiten.

Das Problem verstehen: Lies genau. Markiere wichtige Informationen. Kläre, was gegeben und was gesucht ist.
Einen Plan entwickeln: Wähle eine passende Strategie. Überlege, ob eine Skizze, Tabelle, Gleichung, Vereinfachung oder Rückwärtsrechnung hilft.
Den Plan ausführen: Arbeite sorgfältig. Notiere Zwischenschritte. Bleibe flexibel, wenn der Plan nicht funktioniert.
Zurückblicken und prüfen: Kontrolliere Ergebnis und Rechenweg. Frage Dich, ob das Ergebnis sinnvoll ist und ob es einen eleganteren Weg gibt.

Diese Phasen verlaufen nicht immer streng nacheinander. Manchmal musst Du nach dem Prüfen zurück zur Planung gehen. Manchmal zeigt eine Skizze, dass Du die Aufgabe anders verstehen musst. Gutes Problemlösen ist daher ein Kreislauf aus Verstehen, Planen, Ausführen und Reflektieren.

Warum bekannte Lösungsstrategien wichtig sind

Bekannte Lösungsstrategien sind Werkzeuge für Dein Denken. Wie bei einem Werkzeugkasten entscheidest Du je nach Aufgabe, welches Werkzeug geeignet ist. Eine Skizze hilft oft bei geometrischen oder räumlichen Problemen. Eine Tabelle hilft, wenn mehrere Fälle oder Zahlenwerte geordnet werden müssen. Systematisches Probieren hilft, wenn Du Möglichkeiten untersuchen möchtest. Eine Gleichung hilft, wenn Zusammenhänge zwischen unbekannten und bekannten Größen beschrieben werden können.

Eine Strategie ist nicht automatisch richtig, nur weil sie bekannt ist. Du musst prüfen, ob sie zur Situation passt. Genau darin liegt die Kompetenz: Du wählst bewusst, begründest Deine Wahl und passt Deinen Weg an, wenn Du neue Einsichten gewinnst.

Strategien im Überblick

Strategie 1: Aufgabe genau verstehen

Bevor Du rechnest, musst Du die Aufgabe verstehen. Viele Fehler entstehen, weil Lernende zu früh losrechnen. Stelle Dir vor dem ersten Rechenschritt folgende Fragen:

Gegeben: Welche Informationen stehen in der Aufgabe?
Gesucht: Wonach wird gefragt?
Bedingung: Welche Einschränkungen oder Regeln gelten?
Darstellung: Kann ich die Situation zeichnen, ordnen oder in eigene Worte fassen?
Schätzung: Welche Größenordnung könnte das Ergebnis haben?

Diese Strategie ist die Grundlage aller weiteren Strategien. Wer die Aufgabe nicht genau versteht, kann zwar rechnen, aber leicht am Ziel vorbeirechnen.

Strategie 2: Eine Skizze anfertigen

Eine Skizze übersetzt Text in ein Bild. Sie muss nicht künstlerisch sein. Sie soll mathematische Beziehungen sichtbar machen. Besonders hilfreich ist sie bei Geometrie, Sachaufgaben, Wegen, Flächen, Körpern, Netzen, Abständen und Anordnungen.

Beispiel: Ein rechteckiger Garten ist doppelt so lang wie breit. Der Umfang beträgt 48 m. Wie lang und wie breit ist der Garten? Eine Skizze mit zwei kurzen und zwei doppelt so langen Seiten zeigt schnell, dass sechs gleiche Breitenstücke zusammen 48 m ergeben.

Eine gute Skizze enthält Beschriftungen. Trage bekannte Größen ein und markiere die gesuchte Größe. Wenn Du etwas vermutest, kennzeichne es als Vermutung und überprüfe es später.

Strategie 3: Eine Tabelle anlegen

Eine Tabelle ordnet Informationen. Sie hilft, Muster zu erkennen und Fälle systematisch zu prüfen. Tabellen sind besonders nützlich bei Kombinatorik, Zuordnung, Proportionalität, Zahlenfolgen und Sachaufgaben mit mehreren Bedingungen.

Beispiel: Ein Fahrradverleih verlangt eine Grundgebühr von 4 Euro und zusätzlich 3 Euro pro Stunde. Mit einer Tabelle kannst Du die Gesamtkosten für 1, 2, 3 oder mehr Stunden darstellen und daraus eine Regel entwickeln.

Stunden	Rechnung	Kosten
1	4 + 3	7 Euro
2	4 + 6	10 Euro
3	4 + 9	13 Euro
4	4 + 12	16 Euro

Aus der Tabelle erkennst Du: Die Kosten steigen pro Stunde um 3 Euro. Daraus kann ein Term entstehen: Kosten = 4 + 3 · Stunden.

Strategie 4: Systematisch probieren

Probieren ist keine schlechte Strategie, wenn es systematisch geschieht. Systematisches Probieren bedeutet, dass Du Deine Versuche geordnet notierst, auswertest und zielgerichtet verbesserst.

Unsicheres Probieren wäre: Du rätst mehrere Zahlen, ohne aufzuschreiben, warum Du sie wählst.

Systematisches Probieren wäre: Du beginnst mit einer sinnvollen Zahl, prüfst die Bedingung, notierst das Ergebnis und entscheidest, ob die nächste Zahl größer oder kleiner sein muss.

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Beispiel: Zwei Zahlen haben die Summe 28. Ihr Produkt soll möglichst groß sein. Mit einer Tabelle kannst Du systematisch Paare prüfen: 1 und 27, 2 und 26, 3 und 25 und so weiter. Du erkennst ein Muster: Das Produkt wächst, bis die Zahlen möglichst nahe beieinanderliegen.

Strategie 5: Rückwärts arbeiten

Beim Rückwärtsarbeiten beginnst Du beim Ziel und gehst Schritt für Schritt zurück zum Anfang. Diese Strategie hilft besonders bei Aufgaben mit mehreren Veränderungen, bei Rätseln und bei Gleichungen.

Beispiel: Eine Zahl wird verdoppelt, dann werden 5 addiert. Das Ergebnis ist 23. Welche Zahl war es? Rückwärts gehst Du vom Ergebnis aus: 23 - 5 = 18, dann 18 : 2 = 9. Die gesuchte Zahl ist 9.

Rückwärtsarbeiten verlangt, dass Du Rechenschritte umkehrst. Aus Addition wird Subtraktion, aus Multiplikation wird Division, aus Quadrieren kann Wurzelziehen werden, wenn der Zahlenbereich passt.

Strategie 6: Ein Muster erkennen

Ein Muster ist eine Regelmäßigkeit. Muster können in Zahlen, Formen, Tabellen, Figuren oder Situationen auftreten. Wenn Du ein Muster erkennst, kannst Du Vorhersagen machen und allgemeine Regeln formulieren.

Beispiel: Aus Streichhölzern werden Quadrate in einer Reihe gelegt. Ein Quadrat braucht 4 Hölzer, zwei Quadrate brauchen 7 Hölzer, drei Quadrate brauchen 10 Hölzer. Das Muster lautet: Jedes weitere Quadrat braucht 3 zusätzliche Hölzer. Daraus entsteht eine Regel.

Muster dürfen nicht nur geraten werden. Du musst prüfen, ob sie zur Struktur der Aufgabe passen. Eine Regel aus drei Beispielen kann plausibel sein, muss aber begründet werden.

Strategie 7: Vereinfachen und Spezialfälle betrachten

Manchmal ist eine Aufgabe zu groß oder zu unübersichtlich. Dann hilft Vereinfachung. Du bearbeitest zuerst einen kleineren Fall und überträgst die Erkenntnis auf die größere Aufgabe.

Beispiel: Statt sofort zu berechnen, wie viele Diagonalen ein Zwölfeck hat, untersuchst Du Dreieck, Viereck, Fünfeck und Sechseck. Du erkennst: Von jedem Eckpunkt aus gibt es Verbindungen zu allen anderen Punkten außer zu sich selbst und zu den zwei Nachbarpunkten. So entsteht eine allgemeine Strategie.

Vereinfachen heißt nicht, die Aufgabe falsch zu machen. Es bedeutet, ein leichteres Modell zu nutzen, um eine Struktur zu entdecken.

Strategie 8: Eine Gleichung aufstellen

Eine Gleichung ist sinnvoll, wenn eine unbekannte Größe mit bekannten Größen verbunden ist. Dazu musst Du die Situation in mathematische Sprache übersetzen.

Beispiel: Ein Kinobesuch kostet für zwei Erwachsene und drei Kinder zusammen 51 Euro. Ein Erwachsenenticket kostet 12 Euro. Wie viel kostet ein Kinderticket? Du kannst schreiben: 2 · 12 + 3 · x = 51. Dann folgt 24 + 3x = 51, also 3x = 27 und x = 9.

Eine Gleichung ist besonders stark, wenn Du Bedingungen knapp und eindeutig darstellen möchtest. Trotzdem bleibt wichtig: Prüfe am Ende, ob die Lösung zur Sachsituation passt.

Strategie 9: Darstellungen wechseln

Mathematische Informationen können verschieden dargestellt werden: als Text, Bild, Tabelle, Diagramm, Term, Gleichung oder mündliche Erklärung. Ein Wechsel der Darstellung kann ein Problem deutlich erleichtern.

Wenn eine Textaufgabe unklar wirkt, hilft vielleicht eine Skizze. Wenn eine Zahlenfolge schwer zu verstehen ist, hilft eine Tabelle. Wenn eine Tabelle viele Werte enthält, hilft vielleicht ein Term. Wer zwischen Darstellungen wechseln kann, zeigt eine wichtige mathematische Kompetenz.

Strategie 10: Lösung prüfen und begründen

Eine Lösung ist erst dann überzeugend, wenn sie geprüft wurde. Prüfen bedeutet mehr als nur noch einmal rechnen. Du fragst:

Plausibilität: Passt die Größenordnung?
Bedingung: Erfüllt das Ergebnis alle Bedingungen?
Einheit: Stimmen Einheiten wie Meter, Euro oder Minuten?
Rechenweg: Sind die Schritte logisch?
Alternative: Gibt es einen zweiten Weg zur Kontrolle?

In einem EKM ist die Begründung besonders wichtig. Schreibe nicht nur, was Du gerechnet hast, sondern warum Dein Vorgehen passt.

Beispielaufgaben mit Lösungsstrategien

Beispiel 1: Händedruck-Aufgabe

Aufgabe: In einer Gruppe gibt jede Person jeder anderen Person genau einmal die Hand. Es gibt 28 Händedrücke. Wie viele Personen sind in der Gruppe?

Strategie: Tabelle anlegen und Muster erkennen.

Personen	Neue Händedrücke durch die letzte Person	Gesamtzahl
2	1	1
3	2	3
4	3	6
5	4	10
6	5	15
7	6	21
8	7	28

Lösung: Es sind 8 Personen. Die Tabelle zeigt, dass bei jeder neuen Person so viele neue Händedrücke dazukommen, wie bereits Personen in der Gruppe sind.

Beispiel 2: Zahlenrätsel

Aufgabe: Ich denke mir eine Zahl. Ich verdreifache sie, addiere 4 und erhalte 31. Welche Zahl habe ich mir gedacht?

Strategie: Rückwärts arbeiten oder Gleichung aufstellen.

Rückwärts: 31 - 4 = 27. Danach 27 : 3 = 9.

Gleichung: 3x + 4 = 31. Also 3x = 27 und x = 9.

Lösung: Die gedachte Zahl ist 9. Die Probe lautet: 3 · 9 + 4 = 31.

Beispiel 3: Kombinatorik ordnen

Aufgabe: Du hast drei T-Shirts und zwei Hosen. Wie viele verschiedene Outfits kannst Du bilden?

Strategie: Skizze, Baumdiagramm oder Tabelle.

T-Shirt	Hose 1	Hose 2
T-Shirt A	Outfit A1	Outfit A2
T-Shirt B	Outfit B1	Outfit B2
T-Shirt C	Outfit C1	Outfit C2

Lösung: Es gibt 6 Outfits. Die Tabelle zeigt 3 · 2 Möglichkeiten.

Beispiel 4: Geometrisches Problem vereinfachen

Aufgabe: Wie viele Diagonalen hat ein Achteck?

Strategie: Spezialfälle betrachten und eine Regel entwickeln.

Von einem Eckpunkt eines Achtecks kannst Du zu 7 anderen Punkten Linien ziehen. Zwei davon sind Seiten des Achtecks und zählen nicht als Diagonalen. Also gehen von einem Punkt 5 Diagonalen aus. Bei 8 Punkten wären das 8 · 5 Linien. Jede Diagonale wird dabei doppelt gezählt. Deshalb rechnest Du 8 · 5 : 2 = 20.

Lösung: Ein Achteck hat 20 Diagonalen.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Zu früh rechnen

Viele Lernende beginnen sofort mit Zahlen, ohne die Aufgabe zu verstehen. Das wirkt schnell, führt aber oft zu falschen Wegen. Nimm Dir am Anfang Zeit für Aufgabenanalyse, Markierungen und eine kurze Zusammenfassung in eigenen Worten.

Unsystematisch probieren

Probieren ist nur dann hilfreich, wenn Du Deine Versuche ordnest. Schreibe auf, was Du ausprobierst und warum Du den nächsten Versuch veränderst. Eine Tabelle macht Deine Gedanken sichtbar.

Ergebnis ohne Prüfung abgeben

Ein Ergebnis kann rechnerisch entstehen und trotzdem nicht zur Aufgabe passen. Prüfe Einheiten, Bedingungen und Plausibilität. Ein negativer Preis, eine halbe Person oder eine Fläche ohne Einheit zeigen, dass noch etwas nicht stimmt.

Lösungsweg nicht erklären

In einem EKM zählt nicht nur das Ergebnis. Der Lösungsweg zeigt Deine Kompetenz. Schreibe vollständige Sätze, nutze passende Fachbegriffe und erkläre, warum Deine Strategie geeignet ist.

Strategieauswahl: Welche Strategie passt wann?

Aufgabensituation	Passende Strategie	Warum sie hilft
Viele Informationen im Text	Aufgabe verstehen, markieren, umformulieren	Du erkennst Gegebenes und Gesuchtes.
Räumliche oder geometrische Situation	Skizze zeichnen	Beziehungen werden sichtbar.
Mehrere Fälle oder Möglichkeiten	Tabelle oder Baumdiagramm	Du arbeitest vollständig und geordnet.
Ergebnis ist bekannt, Anfang gesucht	Rückwärtsarbeiten	Du kehrst die Rechenschritte um.
Wiederholende Struktur	Muster erkennen	Du findest eine Regel.
Unbekannte Größe mit Bedingungen	Gleichung aufstellen	Du beschreibst die Situation mathematisch.
Aufgabe wirkt zu groß	Vereinfachung und Spezialfälle	Du entdeckst die Grundstruktur.
Unsicherheit beim Ergebnis	Probe und Plausibilitätsprüfung	Du sicherst die Lösung ab.

Sprache im EKM

Gute mathematische Kommunikation braucht klare Formulierungen. Diese Satzanfänge können Dir helfen:

Aufgabenverständnis: Gegeben ist ... Gesucht ist ...
Strategiewahl: Ich wähle diese Strategie, weil ...
Darstellung: Die Tabelle zeigt ...
Begründung: Daraus folgt ...
Prüfung: Die Lösung passt, denn ...
Reflexion: Ein anderer möglicher Weg wäre ...

Achte darauf, dass Deine Erklärung zur Rechnung passt. Eine schöne Rechnung ohne Erklärung ist in einem EKM nicht genug. Eine gute Erklärung ohne korrekte mathematische Prüfung ist ebenfalls nicht ausreichend. Beides gehört zusammen.

Mini-Strategiekarten

Strategiekarte: Skizze

Nutze eine Skizze, wenn eine Situation räumlich, geometrisch oder schwer vorstellbar ist.

Achte darauf, dass Du bekannte Größen einträgst und die gesuchte Größe markierst.

Prüfe, ob Deine Skizze die Aufgabe vereinfacht oder ob sie falsche Annahmen enthält.

Strategiekarte: Tabelle

Nutze eine Tabelle, wenn Du mehrere Fälle, Werte oder Möglichkeiten ordnen möchtest.

Achte darauf, dass jede Spalte eine klare Bedeutung hat.

Prüfe, ob alle Fälle vollständig und ohne doppelte Zählung enthalten sind.

Strategiekarte: Rückwärtsarbeiten

Nutze Rückwärtsarbeiten, wenn das Ergebnis bekannt ist und der Anfang gesucht wird.

Achte darauf, jeden Schritt richtig umzukehren.

Prüfe, indem Du mit Deiner gefundenen Anfangszahl wieder vorwärts rechnest.

Strategiekarte: Muster erkennen

Nutze Mustererkennung, wenn sich Zahlen, Figuren oder Schritte regelmäßig verändern.

Achte darauf, genügend Beispiele zu untersuchen.

Prüfe, ob Deine Regel auch für weitere Fälle gilt.

Strategiekarte: Gleichung

Nutze eine Gleichung, wenn eine unbekannte Größe durch Bedingungen beschrieben wird.

Achte darauf, die Variable klar zu benennen.

Prüfe, indem Du die gefundene Zahl in die ursprüngliche Situation einsetzt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist bei einer EKM-Aufgabe besonders wichtig? (Den Lösungsweg verständlich darstellen und begründen) (!Nur das Endergebnis ohne Erklärung notieren) (!Möglichst schnell ohne Kontrolle rechnen) (!Alle Zahlen aus der Aufgabe addieren)

Welche Strategie passt besonders gut zu einer geometrischen Sachaufgabe? (Eine Skizze anfertigen) (!Die Aufgabe sofort auswendig lösen) (!Alle Wörter alphabetisch ordnen) (!Nur das Ergebnis schätzen)

Was bedeutet systematisches Probieren? (Versuche geordnet durchführen und auswerten) (!Zufällig Zahlen raten) (!Die erste Idee immer behalten) (!Ohne Notizen rechnen)

Welche Frage gehört zur Phase Problem verstehen? (Was ist gegeben und was ist gesucht) (!Wie kann ich möglichst viele Rechenzeichen verwenden) (!Wie schreibe ich das Ergebnis besonders groß) (!Welche Farbe hat mein Heft)

Wann ist Rückwärtsarbeiten besonders hilfreich? (Wenn das Ergebnis bekannt ist und der Anfang gesucht wird) (!Wenn alle Angaben fehlen) (!Wenn keine Rechenschritte vorkommen) (!Wenn die Lösung schon im Titel steht)

Welche Darstellung hilft oft beim Ordnen mehrerer Fälle? (Eine Tabelle) (!Ein Zufallswort) (!Ein Gedicht ohne Zahlen) (!Ein unbeschriftetes Bild)

Was ist eine Probe? (Eine Überprüfung, ob Ergebnis und Bedingungen zusammenpassen) (!Eine neue Aufgabe ohne Zusammenhang) (!Ein Rechenschritt, der immer weggelassen wird) (!Eine beliebige Schätzung ohne Kontrolle)

Warum betrachtet man manchmal einen einfacheren Spezialfall? (Um die Struktur einer schwierigen Aufgabe zu erkennen) (!Um die eigentliche Aufgabe zu vergessen) (!Um keine Begründung schreiben zu müssen) (!Um alle Zahlen zu vermeiden)

Welche Strategie passt, wenn eine unbekannte Zahl durch Bedingungen beschrieben wird? (Eine Gleichung aufstellen) (!Die Einheit weglassen) (!Den Text abschreiben) (!Das Ergebnis raten und nicht prüfen)

Was gehört zu einer guten mathematischen Reflexion? (Überprüfen, ob der Lösungsweg sinnvoll und übertragbar ist) (!Nach dem ersten Rechenschritt aufhören) (!Keine Fehler suchen) (!Die Aufgabe ohne Begründung abgeben)

Memory

Skizze	Räumliche Beziehungen sichtbar machen
Tabelle	Fälle geordnet untersuchen
Rückwärtsarbeiten	Vom Ergebnis zum Anfang gehen
Muster	Regelmäßigkeit erkennen
Gleichung	Unbekannte mathematisch beschreiben
Probe	Ergebnis an den Bedingungen prüfen
Vereinfachung	Schwierige Aufgabe durch Spezialfall erschließen
Begründung	Lösungsweg nachvollziehbar erklären

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Skizze	Geometrische Situation veranschaulichen
Tabelle	Mehrere Fälle übersichtlich ordnen
Rückwärtsarbeiten	Vom bekannten Ziel zum Anfang gehen
Gleichung	Unbekannte Größe mit Bedingungen beschreiben
Probe	Ergebnis und Lösungsweg kontrollieren

Kreuzworträtsel

Verstehen	Welche erste Phase hilft, Gegebenes und Gesuchtes zu klären?
Skizze	Welche Darstellung hilft besonders bei geometrischen Aufgaben?
Tabelle	Welche Darstellung ordnet Fälle in Zeilen und Spalten?
Muster	Was suchst Du bei regelmäßigen Veränderungen?
Heuristik	Wie nennt man eine hilfreiche Suchstrategie beim Problemlösen?
Probe	Wie heißt die Kontrolle einer gefundenen Lösung?

LearningApps

Lückentext

Beim mathematischen Problemlösen beginnst Du damit, die

genau zu verstehen. Eine hilfreiche Darstellung für geometrische Situationen ist die

. Wenn Du mehrere Fälle ordnen möchtest, eignet sich oft eine

. Beim

gehst Du vom bekannten Ergebnis zum Anfang zurück. Eine

beschreibt eine unbekannte Größe mit mathematischen Bedingungen. Durch eine

überprüfst Du, ob Deine Lösung zur Aufgabe passt. In einem EKM ist nicht nur das Ergebnis wichtig, sondern auch die

des Lösungswegs. Wer verschiedene Darstellungen nutzt, kann mathematische Zusammenhänge besser

.

Offene Aufgaben

Leicht

Strategiekarte: Erstelle eine kleine Strategiekarte zu einer Lösungsstrategie Deiner Wahl. Notiere, wann die Strategie hilft, worauf man achten muss und wie man das Ergebnis prüft.
Skizze: Suche eine Sachaufgabe aus Deinem Mathematikbuch und zeichne eine Skizze dazu. Beschrifte alle wichtigen Angaben und markiere die gesuchte Größe.
Tabelle: Erfinde eine Aufgabe, bei der eine Tabelle beim Lösen hilft. Erstelle die Tabelle und erkläre in drei Sätzen, welches Muster sichtbar wird.
Probe: Nimm eine bereits gelöste Aufgabe und schreibe eine ausführliche Probe. Erkläre, warum das Ergebnis sinnvoll ist oder wo Du unsicher bist.

Standard

Lösungsweg: Bearbeite eine Problemaufgabe auf zwei verschiedenen Wegen. Vergleiche beide Wege nach Verständlichkeit, Aufwand und Sicherheit.
Systematisches Probieren: Entwickle ein Zahlenrätsel, das durch systematisches Probieren gelöst werden kann. Gib eine geordnete Lösungstabelle an.
Mathematische Kommunikation: Erkläre einer Partnerin oder einem Partner Deinen Lösungsweg mündlich. Lass Dir Rückfragen stellen und verbessere danach Deine schriftliche Erklärung.
Darstellungswechsel: Wandle eine Textaufgabe zuerst in eine Skizze, dann in eine Tabelle und schließlich in eine Gleichung um. Beschreibe, welche Darstellung Dir am meisten geholfen hat.

Schwer

Problemaufgabe: Entwickle eine komplexe EKM-Aufgabe aus dem Alltag, zum Beispiel zu Fahrtkosten, Flächenplanung, Einkauf, Sportturnier oder Energieverbrauch. Formuliere Erwartungshorizont und Bewertungskriterien.
Strategievergleich: Untersuche eine schwierige Aufgabe mit mindestens drei Strategien. Begründe, welche Strategie am effektivsten war und warum.
Fehleranalyse: Erfinde einen falschen Lösungsweg zu einer Aufgabe und analysiere genau, an welcher Stelle der Fehler entsteht. Formuliere eine Lernhilfe, die diesen Fehler vermeiden hilft.
Transfer: Übertrage eine bekannte Strategie aus der Mathematik auf ein Problem in einem anderen Fach, zum Beispiel Physik, Geographie, Wirtschaft oder Informatik. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Grenzen.

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Lernkontrolle

Strategieauswahl: Du erhältst eine unbekannte Sachaufgabe mit mehreren Bedingungen. Wähle eine geeignete Lösungsstrategie aus und begründe, warum diese Strategie besser passt als zwei andere mögliche Strategien.
Darstellungswechsel: Löse eine Aufgabe zuerst mit einer Tabelle und danach mit einer Gleichung. Vergleiche, welche Informationen in welcher Darstellung deutlicher werden.
Fehleranalyse: Analysiere einen vorgegebenen fehlerhaften Lösungsweg. Beschreibe den Denkfehler, korrigiere ihn und formuliere einen Tipp, der den Fehler künftig vermeiden kann.
Transferleistung: Entwickle aus einer einfachen Routineaufgabe eine anspruchsvollere Problemaufgabe. Erkläre, welche zusätzliche Hürde entsteht und welche Strategie beim Lösen hilft.
Begründung: Schreibe zu einer richtigen Lösung eine vollständige mathematische Begründung. Achte darauf, dass jede Aussage aus der Aufgabe, aus einer Rechnung oder aus einer logischen Folgerung hervorgeht.
Reflexion: Vergleiche zwei verschiedene Lösungswege zu derselben Aufgabe. Beurteile, welcher Weg für Lernende Deiner Klasse verständlicher ist und welcher Weg sich besser verallgemeinern lässt.
EKM-Bewertung: Entwirf ein kleines Bewertungsraster für eine EKM-Aufgabe. Berücksichtige Aufgabenverständnis, Strategieauswahl, Darstellung, Rechnung, Begründung und Prüfung.

Lernnachweis

Für einen überzeugenden Lernnachweis zu Bekannte Lösungsstrategien anwenden - EKM solltest Du zeigen, dass Du mathematische Probleme strukturiert bearbeiten kannst. Wichtig sind:

Aufgabenverständnis: Du kannst Gegebenes, Gesuchtes und Bedingungen klar benennen.
Strategieauswahl: Du wählst eine passende Strategie und begründest Deine Wahl.
Darstellung: Du nutzt geeignete Darstellungen wie Skizze, Tabelle, Diagramm, Term oder Gleichung.
Lösungsweg: Du rechnest nachvollziehbar und dokumentierst Zwischenschritte.
Begründung: Du erklärst, warum Deine Schritte mathematisch sinnvoll sind.
Probe: Du überprüfst Ergebnis, Einheit, Bedingungen und Plausibilität.
Reflexion: Du kannst Deinen Weg bewerten, verbessern und mit anderen Wegen vergleichen.
Transfer: Du kannst eine bekannte Strategie auf neue Aufgaben übertragen.

Ein möglicher Lernnachweis ist ein Portfolio mit drei selbst bearbeiteten Problemaufgaben. Zu jeder Aufgabe gehören Aufgabenanalyse, Strategiewahl, Lösung, Probe und Reflexion. Ergänzend kannst Du eine kurze mündliche Präsentation halten, in der Du Deinen besten Lösungsweg erklärst.

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aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.